Página:Elementos de Arithmetica.djvu/130

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Seja a fracção irreductivel ~ e supponhamos que o denominador b tenha somente factores primos iguaes a 2 e 5.

Decompondo o denominador l em seus factores primos, teremos

a__a

T~~ 2X2X2X.......X5X5X.......

Suppondo m o numero de factores iguaes a 2, e p o numero de factores iguaes a 5, resulta

a__a _ a

T~ 2X2X2X2.....X5X5X.....~~ 2mX5p

Admittindo que o denominador b tenha factores primos iguaes a 2 e 5, pôde o numero de factores iguaes a 2 ser igual, maior ou menor que o numero de factores iguaes a 5, e portanto na demonstração do principio, devemos considerar as seguintes hypotheses : M—p, m^>p e m<Zp.

As hypotheses m>p e m<j? comprehendem as em que o denominador tem somente factores iguaes a 2 ou somente factores iguaes a 5. Supponhamos m—n.

â

Mudando no denominador da fracção-p em m, e atten-

2mX&p

dendo a que 2mX5ra=10m, temos

â â SL Si R

T— 2X2X2X.....X5X5X....._ 2mX5p= 2mX5m_ 10®

O denominador da ultima fracção sendo uma potencia de 10, essa fracção é decimal e de numero limitado de algarismos. Supponhamos m^>p.

EL

Multiplicando ambos os termos da fracção--por 5m_p e

v 2mX5p

attendendo a que 2mX5m=10m, resulta

a__a _ a aX5m-p _

2X2X2X • • ■ X5X5X • ■ • ~ 2™>^=2^X5PX5^T? —

_aX5m-p_aX5m^p.

2mX5m 10m Sendo o denominador da ultima fracção uma potencia de 10, essa fracção é decimal e de numero limitado de algarismos.