Devemos notar que a razão da progressão que resulta da juncção das diversas progressões parciaes é o quociente da divisão da razão da progressão primitiva pelo numero de meios que inserirmos mais um.
segunda propriedade
260. Dous termos quaesquer ãe uma progressão por ãifferença e ãous que distem igualmente ã'elles, formam sempre uma equiãifferença.
Seja a progressão -f- a. b. c. d. e. f. g. b. m. o. p. q. s____
Suppondo os termos b ep e os dous e e h equidistantes d'elles, trata-se de provar que
b. e : b. p
Considerando a progressão desde l até e, e substituindo na fórmula 1—a ± (n—1) r. em logar de l o seu valor e, e èm logar de a o seu valpr b, temos
e=b ± (n—1) r (1)
Se considerarmos a progressão desde h até p, e substituirmos na mesma fórmula em logar de l o seu valor p, e em logar de a o seu valor h, teremos
p—h ± (n—1) r (2)
Subtrahindo b de ambos os membros da primeira igualdade e 7i de ambos os membros da segunda, acha-se
e—b= ± (n—1) r p—h=: ± (n—1) r Na penúltima igualdade, n representa o numero de termos desde b até e, e na ultima representa o numero de termos desde h até p, e sendo por hypothese o numero de termos entre b e e o mesmo que entre h e p, segue-se que n tem o mesmo valor nas duas igualdades.
O mesmo acontece com r, porquanto na penúltima igualdade representa a razão da progressão desde b até e, e na ultima representa a razão da progressão desde h até p, e a razão de uma progressão é um numero constante.
Sendo os segundos membros iguaes, os primeiros também são, e teremos
e—b=p—h
ou
e . b : p . h
ou, invertendo
b . e : h . p
