Página:Elementos de Arithmetica.djvu/74

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trahendo com o resto. Para tirar, pois, a prova da subtracção, tiram-se os noves ao subtrahendo e ao resto, e em separado ao minuendo. Os dous restos devem ser iguaes.

Prova da multiplicação

81. Tiram-se os noves ao multiplicando e ao multiplicador ; multiplicam-se os dous restos, e tiram-se os noves ao resultado ; tirando depois os noves do producto, os restos devem ser iguaes.

Demonstração.—Seja A o multiplicando e B o multiplicador, AB será o producto.

O multiplicando podendo ser decomposto em duas partes, uma d'ellas um múltiplo de 9, e a outra o resto da divisão do multiplicando por 9, teremos

A=9Q+R;

raciocinando do mesmo modo em relação ao multiplicador, resulta

B=9Q'+R'

Multiplicando as duas igualdades ordenadamente, temos

AB=92QQ'+9Q'R+9QR'+RR'

ou ainda

AB=9(9QQ'+Q'R+QR')+RR'

Logo o resto da divisão do producto AB por 9 é igual ao resto da divisão por 9 do producto RR' dos restos que se obtêm tirando os 9 do multiplicando e multiplicador.

Prova da divisão

82. Se a divisão fôr exacta, tiram-se os noves ao divisor e ao quociente ; multiplicam-se os dous restos e tiram-se os noves do resultado, e o resto deve ser igual ao resto que se obtém tirando os noves do dividendo, porque o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente.

Se a divisão não fôr exacta, o dividendo é igual ao divisor multiplicado pela parte inteira do quociente, mais o resto da divisão.