Quadratura do círculo

Quadratura do círculo por Srinivasa Ramanujan

Quadratura do círculo

Seja $PQR$ um círculo com centro $O$, cujo diâmetro é $PR$. Bisseccione $PO$ em $H$ e seja $T$ o ponto da trisecção de $OR$ mais próximo a $R$. Desenhe $TQ$ perpendicular a $PR$ e coloque a corda $RS=TQ$.

Junte $PS$, e desenhe $OM$ e $TN$ paralelos a $RS$. Coloque a corda $PK=PM$, e desenhe a tangente $PL=MN$. Junte $RL$, $RK$ e $KL$. Corte $RC=RH$. Desenhe $CD$ paralelo a $KL$, encontrando $RL$ em $D$.

Entâo, o quadrado em $RD$ será igual ao círculo $PQR$ aproximadamente.

Para

$RS^2=\frac{5}{36}d^2$,

onde $d$ é o diâmetro do círculo.

Portanto

$PS^2=\frac{31}{36}d^2$.

Mas $PL$ e $PK$ são iguais a $MN$ e $PM$ respectivamente.

Portanto

$PK^2=\frac{31}{144}d^2$, e $PL^2=\frac{31}{324}d^2$.

	Logo	$RK^2 = PR^2-PK^2 = \frac{113}{144}d^2$,
e		$RL^2 = PR^2+PL^2=\frac{355}{324}d^2$.

	No entanto	$\frac{RK}{RL} =\frac{RC}{RD} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{113}{355}}$,
e		$RC = \frac{3}{4}d$.

Portanto

$RD =\frac{d}{2}\sqrt{\frac{355}{113}}=r\sqrt{\pi}$ muito aproximadamente.

Nota.—Se a área do círculo for $140.000$ milhas quadradas, então $RD$ é maior do que o comprimento real em cerca de uma polegada.