Quadratura do círculo

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Quadratura do círculo
por Srinivasa Ramanujan
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Publicado no Journal of the Indian Mathematical Society, v, 1913, página 132.


[editar] Quadratura do círculo

Seja PQR um círculo com centro O, cujo diâmetro é PR. Bisseccione PO em H e seja T o ponto da trisecção de OR mais próximo a R. Desenhe TQ perpendicular a PR e coloque a corda RS = TQ.

Junte PS, e desenhe OM e TN paralelos a RS. Coloque a corda PK = PM, e desenhe a tangente PL = MN. Junte RL, RK e KL. Corte RC = RH. Desenhe CD paralelo a KL, encontrando RL em D.

Entâo, o quadrado em RD será igual ao círculo PQR aproximadamente.

Para RS^2=\frac{5}{36}d^2,

onde d é o diâmetro do círculo.

Portanto PS^2=\frac{31}{36}d^2.

Mas PL e PK são iguais a MN e PM respectivamente.

Portanto PK^2=\frac{31}{144}d^2, e PL^2=\frac{31}{324}d^2.
Logo RK^2 = PR^2-PK^2 = \frac{113}{144}d^2,
e RL^2 = PR^2+PL^2=\frac{355}{324}d^2.
Approximately squaring the circle.svg
No entanto \frac{RK}{RL} =\frac{RC}{RD} = \frac{3}{2}\sqrt{\frac{113}{355}},
e RC = \frac{3}{4}d.
Portanto RD =\frac{d}{2}\sqrt{\frac{355}{113}}=r\sqrt{\pi} muito aproximadamente.

Nota.—Se a área do círculo for 140.000 milhas quadradas, então RD é maior do que o comprimento real em cerca de uma polegada.

Obtido em "http://pt.wikisource.org/wiki/Quadratura_do_c%C3%ADrculo"
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