Relações algébricas entre certos produtos infinitos

Relações algébricas entre cetros produtos infinitos por Srinivasa Ramanujan

Relações algébricas entre certos produtos infinitos

Foi provado pelo Prof. L. J. Rogers que

$\begin{align} G(x) & = 1 + \frac{1}{1-x} + \frac{x^4}{(1-x)(1-x^2)} + \frac{x^9}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} + \ldots \\ & = \frac{1}{(1-x)(1-x^6)(1-x^{11})\ldots} \times \frac{1}{(1-x^4)(1-x^9)(1-x^{14})\ldots}, \\ \end{align}$

e	$\begin{align} H(x) & =1 + \frac{x^2}{1-x} + \frac{x^6}{(1-x)(1-x^2)} + \frac{x^{12}}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} + \ldots \\ & = \frac{1}{(1-x^2)(1-x^7)(1-x^{12})\ldots} \times \frac{1}{(1-x^3)(1-x^8)(1-x^{13})\ldots}. \\ \end{align}$

Provas mais simples foram encontradas posteriormente pelo Prof. Rogers e por mim.

Eu encontrei uma relação algébrica entre $G(x)$ and $H(x)$, viz.:$H(x)\{G(x)\}^{11} - x^2G(x)\{H(x)\}^{11}=1 + 11x\{G(x)H(x)\}^6$.

Outra fórmula notável é

$H(x)G(x^{11}) - x^2G(x)H(x^{11})=1$.

Cada uma dessas fórmulas é a mais simples de um grande classe.

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