Relações algébricas entre certos produtos infinitos

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Relações algébricas entre cetros produtos infinitos
por Srinivasa Ramanujan
Publicado no Proceedings of the London Mathematical Sociecty, vol. XVIII, nº 2, de 13 de março de 1919 sob o título Algebraic relations between certain infinite products.

Relações algébricas entre certos produtos infinitos[editar]

Foi provado pelo Prof. L. J. Rogers[1] que


\begin{align}
 G(x) & = 1 + \frac{1}{1-x} + \frac{x^4}{(1-x)(1-x^2)} + \frac{x^9}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} + \ldots \\
      & = \frac{1}{(1-x)(1-x^6)(1-x^{11})\ldots} \times \frac{1}{(1-x^4)(1-x^9)(1-x^{14})\ldots}, \\
\end{align}


e


\begin{align}
 H(x) & =1 + \frac{x^2}{1-x} + \frac{x^6}{(1-x)(1-x^2)} + \frac{x^{12}}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)} + \ldots \\
      & = \frac{1}{(1-x^2)(1-x^7)(1-x^{12})\ldots} \times \frac{1}{(1-x^3)(1-x^8)(1-x^{13})\ldots}. \\
\end{align}

Provas mais simples foram encontradas posteriormente pelo Prof. Rogers e por mim[2].

Eu encontrei uma relação algébrica entre G(x) and H(x), viz.:H(x)\{G(x)\}^{11} - x^2G(x)\{H(x)\}^{11}=1 + 11x\{G(x)H(x)\}^6.

Outra fórmula notável é

H(x)G(x^{11}) - x^2G(x)H(x^{11})=1.

Cada uma dessas fórmulas é a mais simples de um grande classe.


  1. Proc. London Math. Soc., Ser. 1, Vol. xxv, 1894, pp. 318–343.
  2. Proc. Camb. Phil. Soc., Vol. xix, 1919, pp. 211–216. Uma breve relação histórica dos teoremas é feita pelo Sr Hardy em uma nota anexada a esse artigo. [Para a prova de Ramanujan ver Nº 26 desse volume: a prova de Roger e a nota de Hardy referenciadas são reproduzidas nas notas no Apêndice do Nº 26.]