Annaes da Academia Brasileira de Ciências/Volume 1/Número 1/A Theoria da Relatividade e as Raias Espectraes do Hydrogenio

A Theoria da Relatividade e as Raias Espectraes do Hydrogenio
por Teodoro Ramos

Edição de referência: páginas 20-27.

A THEORIA DA RELATIVIDADE E AS RAIAS
ESPECTRAES DO HYDROGENIO

Theodoro Ramos

Sommerfeld conseguiu explicar o desdobramento das raias da série clássica de Balmer relativa ao hydrogenio ^[1], estudando o movimento dos electrons em torno do nucleo positivo sob o ponto de vista da teoria da relatividade restricta ^[2]. Sommerfeld suppoz um campo de Minkowski e desprezou o movimento do nucleo. G. Darwin ^[3], estudou a influencia deste deslocamento e achou um termo correctivo desprezivel para o afastamento das raias do “doublet”.

Neste pequeno trabalho vamos abordar o problema sob o ponto de vista da teoria da relatividade generalizada.

O nucleo positivo será assimilado a uma esphera de raio $α$ e de massa $M$ e cuja carga electrostática é $E$ . Teremos um campo com symetria espherica em que são nullas as componentes do potencial vector.

O espaço-tempo no exterior da esphera será definido por ^[4] $d s^{2} = - \frac{d r^{2}}{1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}} - r^{2} [d θ^{2} + {sen}^{2} θ d φ^{2}] + c^{2} (1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}) d t^{2}$

em que $γ = \frac{2 f M}{c^{2}} + \frac{ε^{2}}{a} e ε^{2} = \frac{f E^{2}}{c^{4}},$

$f$ designando a constante de Gauss e $c$ a velocidade da luz.

O movimento do electron de massa $m$ e de carga $e$ póde ser estudado no espaço e no tempo com o auxílio do princípio generalizado da conservação da quantidade de movimento e da energia.

Ponhamos $L = m c^{2} [1 - V] + \frac{e E}{r}$

em que $V = \frac{1}{c} \frac{d s}{d t}$ , e consideremos o tensor $ω_{δ} = p_{r} δ r + p_{φ} δ_{φ} + p_{θ} δ θ - W δ t$ , cujas componentes de espaço são as quantidades de movimento generalizadas ^[5]

$p_{r} = \frac{δ L}{δ r^{'}}, p_{φ} = \frac{δ L}{δ φ^{'}}, p_{θ} = \frac{δ L}{δ θ^{'}}$

(os accentos designando as derivadas em relação a $t$ ), e cuja componente de tempo é a energia total generalizada

$W = r^{'} \frac{δ L}{δ r^{'}} + φ^{'} \frac{δ L}{δ φ^{'}} + θ^{'} \frac{δ L}{δ θ^{'}} - L .$

As equações differenciaes do movimento serão obtidas exprimindo que ellas admittem como invariante integral $\int_{C} ω_{δ}$ extendida a um contorno fechado qualquer no espaço a 7 dimensões $(r, φ, θ, p_{r}, p_{φ}, p_{θ}, t)$ . Obtem-se assim, mediante um calculo classico, as condições

$d p_{r} + \frac{δ W}{δ r} = 0$ $- d r + \frac{δ W}{δ p_{r}} d t = 0$

e mais 4 equações analogas para $φ$ e $θ$ , e tambem

$- d W + \frac{δ W}{δ t} d t = 0$

Como $W$ não depende explicitamente de $φ$ e de $t$ , tira-se immediatamente $\frac{d p_{φ}}{d t} = 0, d W = 0$

$p_{φ} = c o n s t . = p e W = c o n s t .;$

vem tambem $\frac{d p_{θ}}{d s} = \frac{δ W}{δ θ} \frac{d t}{d s}$ que desenvolvida dá

$\frac{d}{d s} (r^{2} \frac{d θ}{d s}) = r^{2} s e n θ c o s θ {(\frac{d φ}{d s})}^{2} .$

Estas equações permittem concluir que a energia total generalizada é constante e que a trajectoria póde ser considerada como pertencente ao plano $θ = \frac{π}{2} .$

As equações $p_{φ} = p e W = c o n s t .$ dão, então, $m c r^{2} \frac{d_{φ}}{d s} = p$

$c [1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}] \frac{d t}{d s} = \frac{W}{m c^{2}} + \frac{e E}{m c^{2} r} + 1.$ Tem-se, tambem,

$p_{r} = m c \frac{d r}{d s} {[1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}]}^{- 1}$ $c^{2} [1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}] {(\frac{d t}{d s})}^{2} - {[1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}]}^{- 1} {(\frac{d r}{d s})}^{2} - r^{2} {(\frac{d φ}{d s})}^{2} = 1.$

Eliminando $\frac{d t}{d s}, \frac{d r}{d s} e \frac{d φ}{d s}$ entre estas 4 equações, vem

$p_{r}^{2} = {[\frac{W}{c} + \frac{e E}{r} + m c]}^{2} {[1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}]}^{- 2} - m c^{2} {[1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}]}^{- 1} - \frac{p^{2}}{r^{2}} {[1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}]}^{- 1} .$

Desenvolvendo em série ${[1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}]}^{- 1} e {[1 - \frac{γ}{r} + \frac{ε^{2}}{r^{2}}]}^{- 2}$ conservando sómente os primeiros termos do desenvolvimento (o que é permitido pois $\frac{γ}{r} e \frac{ε^{2}}{r^{2}}$ são muito pequenos) vem para $p_{r}^{2}$ a expressão approximada

$p_{r}^{2} = (2 m W + \frac{W^{2}}{c^{2}}) + 2 [m e E + \frac{e E W}{c^{2}} - \frac{m c^{2} γ}{2}] \frac{1}{r} + [\frac{e^{2} E^{2}}{c^{2}} - p^{2}] \frac{1}{r^{2}} .$

As condições de estabilidade da trajectória são

$\int_{(φ)} p_{φ} d φ = n h, \int_{(r)} p_{r} d r = n_{1} h$

em que $n$ e $n_{1}$ designam 2 numeros inteiros e $h$ é a constante universal de Planck. As integrações devem ser extendidas a todo o dominio de variação de $φ_{r}$ e de respectivamente. A primeira condição dá $p = \frac{n h}{2 π}$ .

Quanto á segunda, tem-se

$J = \int_{(r)} \sqrt{A + 2 \frac{B}{r} + \frac{C}{r^{2}}} d r = n_{1} h$

em que

$A = 2 m W + \frac{W^{2}}{c^{2}}, B = m e E + \frac{e E W}{c^{2}} - \frac{m c^{2} γ}{2}, C = \frac{n^{3} h^{2}}{4 π^{2}} + \frac{e^{2} E^{2}}{c^{2}}$

As integraes do typo de $J$ já foram calculadas por Sommerfeld. Encontra-se $J = - 2 π i (C - \frac{B}{\sqrt{A}}) = n_{1} h$

$- 2 π i C = - h \sqrt{n^{2} - u^{2}}, a = \frac{2 π e^{2}}{h c}$

$\frac{B}{\sqrt{A}} = \frac{e E (1 + \frac{W}{m c^{2}}) - \frac{c^{2} γ}{2}}{c {[{(1 + \frac{W}{m c^{2}})}^{2} - 1]}^{1 / 2}}, u = a \frac{E}{e}$

Obtem-se a relação approximada

$[4 π^{2} e^{2} E^{2} + c^{2} h^{2} (n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{2}] {(1 + \frac{W}{m c^{2}})}^{2} - 4 π^{2} c^{2} γ e E (1 + \frac{W}{m c^{2}}) - c^{2} h^{2} (n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{2} = 0$

Com grande aproximação póde-se escrever

$1 + \frac{W}{m c^{2}} = {[1 + \frac{u^{2}}{(n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{2}}]}^{- 1 / 2} \times [1 + \frac{\frac{π^{2} γ^{2} c^{2}}{2 h^{2}} u^{2} (n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{- 4}}{u^{2} (n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{- 2} + 1}] + \frac{\frac{π γ c}{h} u (n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{- 2}}{u^{2} (n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{- 2} + 1}$

Desenvolvendo em série os radicaes, vem

${[1 + \frac{u^{2}}{(n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{2}}]}^{- 1} = 1 - \frac{1}{2} \frac{u^{2}}{(n + n_{1})^{2}} -$

$- \frac{1}{2} \frac{u^{4}}{(n + n_{1})^{4}} (\frac{1}{4} + \frac{n_{1}}{n}) + \dots$

$\frac{\frac{π^{2} γ^{2} c^{2}}{2 h^{2}} u^{2} (n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{- 4}}{u^{2} (n_{1} + \sqrt{n^{2} - u^{2}})^{- 2} + 1} =$

$= \frac{π^{2} γ^{2} c^{2}}{2 h^{2}} [\frac{u^{2}}{(n + n_{1})^{4}} + \frac{2 n_{1} + n}{n (n + n_{1})^{6}} u^{4} + \dots]$

$\frac{\frac{π γ c}{h} u (n_{1} + \sqrt{n_{2} - u_{2}})^{- 2}}{u^{2} (n_{1} + \sqrt{n_{2} - u_{2}})^{- 2} + 1} =$

$= \frac{π γ c}{h} [\frac{u}{(n + n_{1})^{2}} + \frac{u^{3}}{(n + n_{1})^{4}} \frac{n_{1}}{n} + \dots]$

A frequencia $ν$ da radiação emittida (ou absorvida) quando o electron passa de uma orbita á qual corresponde a energia $W_{k}$ para outra á qual se refere a energia $W_{n}$ é dada pela equação de Planck-Einstein

$h ν = W_{k} - W_{n}$

Vem

$ν = [n, n_{1}] - [k, k_{1}]$ em que

$[n, n_{1}] = R \frac{E}{e} {(\frac{E}{e} - \frac{2 π γ c}{h α}) \frac{1}{(n + n_{1})^{2}} - \frac{2 π γ c}{h} \frac{E}{e} \frac{α}{(n + n_{1})^{4}} \frac{n_{1}}{n} + \frac{α^{2}}{(n + n_{1})^{4}} {(\frac{E}{e})}^{3} (\frac{1}{4} + \frac{n_{1}}{n}) + \dots}$

$R = \frac{2 π^{2} m e^{4}}{h^{3}}$

Vê-se que o termo achado por Sommerfeld

$R {(\frac{E}{e})}^{2} \frac{1}{(n + n_{1})^{2}} + \frac{1}{4} \frac{α^{2} R}{(n + n_{1})^{4}} {(\frac{E}{e})}^{4}$

soffre uma diminuição cuja parte principal é dada pela quantidade

$- \frac{2 π γ c}{h α} R \frac{E}{e} \frac{1}{(n + n_{1})^{2}}$

Quanto ao termo que rege a estructura do “doublet”, sofre também uma diminuição correspondente a

$- \frac{2 π γ c}{h} α R {(\frac{E}{e})}^{3} \frac{n_{1}}{n} \frac{1}{(n + n_{1})^{4}} .$

A correcção do termo principal representa, para o hydrogenio, uma fracção do termo de Sommerfeld $\frac{1}{4} \frac{α^{2} R}{(n_{1} + n)^{4}}$ da ordem de grandeza de $\frac{γ c}{h α^{3}}$ ou $1 0^{- 7}$ ^[6], e não póde, portanto, ser, actualmente, submetida ao “contrôle” experimental.

Quanto á correcção relativa á estructura do “doublet”, ella é uma fracção da ordem de $1 0^{- 13}$ do termo correspondente achado por Sommerfeld; trata-se, pois, de uma modificação desprezivel. E’, entretanto, interessante constatar que Paschen em suas experiencias achou para o afastamento do “doublet” do hydrogenio um valor ligeiramente inferior ao que foi calculado por Sommerfeld. A experiencia confirma, pois, uma correcção tendo o mesmo sentido da que achamos; a ordem de grandeza é, porém, differente.

Terminando esta nota assignalaremos que o estudo da orbita do electron póde ser effectuado com o auxilio das funcções ellipticas. A variavel $φ$ é dada em funcção de $r$ por uma integral que contém um radical do 4.° gráo em $\frac{1}{r}$ ^[7].

Sessão de Novembro de 1923.

↑ Sommerfeld “La constitution de l’atome et les raies spectrales” t. 2, 1923.
↑ Mostramos em um trabalho anterior que o mesmo resultado póde ser obtido modificando ligeiramente o potencial electrostatico.
↑ C. G. Darwin, Phil. Mag. (1920), de acordo com uma citação de Sommerfeld, op. cit., pg. 568, t. 2.
↑ Deve-se este $d s^{2}$ a H. Vanderlinden. Consulte-se a pg. 95 do excellente tratado de Th. De Donder “La Gravifique Einsteinienne”. Este autor emprega um outro sistema de constantes.
↑ Alguns autores dão a estas expressões a denominação de “momentos”.
↑ Adoptando para as constantes os valores que se acham na obra de Sommerfeld, e admitindo com Rutherford que é de $1 0^{- 16}$ a ordem de grandeza do raio do nucleo positivo.
↑ Em um campo de Schwarzschild encontra-se um radical do 3.° gráo.

Esta obra entrou em domínio público no contexto da Lei 5988/1973, Art. 42, que esteve vigente até junho de 1998.

Caso seja uma obra publicada pela primeira vez entre 1931 e 1977 certamente não estará em domínio público nos Estados Unidos da América.

[1] Sommerfeld “La constitution de l’atome et les raies spectrales” t. 2, 1923.

[2] Mostramos em um trabalho anterior que o mesmo resultado póde ser obtido modificando ligeiramente o potencial electrostatico.

[3] C. G. Darwin, Phil. Mag. (1920), de acordo com uma citação de Sommerfeld, op. cit., pg. 568, t. 2.

[4] Deve-se este $d s^{2}$ a H. Vanderlinden. Consulte-se a pg. 95 do excellente tratado de Th. De Donder “La Gravifique Einsteinienne”. Este autor emprega um outro sistema de constantes.

[5] Alguns autores dão a estas expressões a denominação de “momentos”.

[6] Adoptando para as constantes os valores que se acham na obra de Sommerfeld, e admitindo com Rutherford que é de $1 0^{- 16}$ a ordem de grandeza do raio do nucleo positivo.

[7] Em um campo de Schwarzschild encontra-se um radical do 3.° gráo.

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