Annaes da Academia Brasileira de Ciências/Volume 1/Número 1/A Theoria da Relatividade e as Raias Espectraes do Hydrogenio

by Teodoro Ramos

 

A THEORIA DA RELATIVIDADE E AS RAIAS
ESPECTRAES DO HYDROGENIO

 

Theodoro Ramos

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Sommerfeld conseguiu explicar o desdobramento das raias da série clássica de Balmer relativa ao hydrogenio ^[1], estudando o movimento dos electrons em torno do nucleo positivo sob o ponto de vista da teoria da relatividade restricta ^[2]. Sommerfeld suppoz um campo de Minkowski e desprezou o movimento do nucleo. G. Darwin ^[3], estudou a influencia deste deslocamento e achou um termo correctivo desprezivel para o afastamento das raias do “doublet”.

Neste pequeno trabalho vamos abordar o problema sob o ponto de vista da teoria da relatividade generalizada.

O nucleo positivo será assimilado a uma esphera de raio $\alpha$ e de massa $M$ e cuja carga electrostática é $E$. Teremos um campo com symetria espherica em que são nullas as componentes do potencial vector.

O espaço-tempo no exterior da esphera será definido por ^[4] $$ds^{2}=-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}}}-r^{2}\left[d\theta ^{2}+\operatorname {sen} ^{2}\theta d\varphi ^{2}\right]+c^{2}\left(1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}$$

em que $\gamma ={\frac {2fM}{c^{2}}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{a}}\quad {\text{e}}\quad \varepsilon ^{2}={\frac {fE^{2}}{c^{4}}},$

$f$ designando a constante de Gauss e $c$ a velocidade da luz.

O movimento do electron de massa $m$ e de carga $e$ póde ser estudado no espaço e no tempo com o auxílio do princípio generalizado da conservação da quantidade de movimento e da energia.

Ponhamos $L=mc^{2}\left[1-V\right]+{\frac {eE}{r}}$

em que $V={\frac {1}{c}}{\frac {ds}{dt}}$, e consideremos o tensor $\omega _{\delta }=p_{r}\delta r+p_{\varphi }\delta _{\varphi }+p_{\theta }\delta \theta -W\delta t$, cujas componentes de espaço são as quantidades de movimento generalizadas ^[5]

$$p_{r}={\frac {\delta L}{\delta r'}},\quad p_{\varphi }={\frac {\delta L}{\delta \varphi '}},\quad p_{\theta }={\frac {\delta L}{\delta \theta '}}$$

(os accentos designando as derivadas em relação a $t$), e cuja componente de tempo é a energia total generalizada

$$W=r'{\frac {\delta L}{\delta r'}}+\varphi '{\frac {\delta L}{\delta \varphi '}}+\theta '{\frac {\delta L}{\delta \theta '}}-L.$$

As equações differenciaes do movimento serão obtidas exprimindo que ellas admittem como invariante integral $\int _{C}\omega _{\delta }$ extendida a um contorno fechado qualquer no espaço a 7 dimensões $(r,\varphi ,\theta ,p_{r},p_{\varphi },p_{\theta },t)$. Obtem-se assim, mediante um calculo classico, as condições

$$dp_{r}+{\frac {\delta W}{\delta r}}=0$$ $$-dr+{\frac {\delta W}{\delta p_{r}}}dt=0$$

e mais 4 equações analogas para $\varphi$ e $\theta$, e tambem

$$-dW+{\frac {\delta W}{\delta t}}dt=0$$

Como $W$ não depende explicitamente de $\varphi$ e de $t$, tira-se immediatamente ${\frac {dp_{\varphi }}{dt}}=0\quad ,\quad dW=0$

$$p_{\varphi }=const.=p\quad e\quad W=const.;$$

vem tambem ${\frac {dp_{\theta }}{ds}}={\frac {\delta W}{\delta \theta }}{\frac {dt}{ds}}$ que desenvolvida dá

$${\frac {d}{ds}}\left(r^{2}{\frac {d\theta }{ds}}\right)=r^{2}sen\theta \quad cos\theta \left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}.$$

Estas equações permittem concluir que a energia total generalizada é constante e que a trajectoria póde ser considerada como pertencente ao plano $\theta ={\frac {\pi }{2}}.$

As equações $p_{\varphi }=p\quad e\quad W=const.$ dão, então, $mcr^{2}{\frac {d_{\varphi }}{ds}}=p$

$$c\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]{\frac {dt}{ds}}={\frac {W}{mc^{2}}}+{\frac {eE}{mc^{2}r}}+1.$$ Tem-se, tambem,

$$p_{r}=mc{\frac {dr}{ds}}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}$$ $$c^{2}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]\left({\frac {dt}{ds}}\right)^{2}-\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}\left({\frac {dr}{ds}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}=1.$$

Eliminando ${\frac {dt}{ds}},\quad {\frac {dr}{ds}}\quad e\quad {\frac {d\varphi }{ds}}$ entre estas 4 equações, vem

$$p_{r}^{2}=\left[{\frac {W}{c}}+{\frac {eE}{r}}+mc\right]^{2}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-2}-mc^{2}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}-{\frac {p^{2}}{r^{2}}}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}.$$

Desenvolvendo em série $\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}\quad {\text{e}}\quad \left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-2}$ conservando sómente os primeiros termos do desenvolvimento (o que é permitido pois ${\frac {\gamma }{r}}\quad e\quad {\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}$ são muito pequenos) vem para $p_{r}^{2}$ a expressão approximada

$$p_{r}^{2}=\left(2mW+{\frac {W^{2}}{c^{2}}}\right)+2\left[meE+{\frac {eEW}{c^{2}}}-{\frac {mc^{2}\gamma }{2}}\right]{\frac {1}{r}}+\left[{\frac {e^{2}E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}\right]{\frac {1}{r^{2}}}.$$

As condições de estabilidade da trajectória são

$$\int _{(\varphi )}p_{\varphi }d\varphi =nh,\quad \int _{(r)}p_{r}dr=n_{1}h$$

em que ${\textstyle n}$ e ${\textstyle n_{1}}$ designam 2 numeros inteiros e ${\textstyle h}$ é a constante universal de Planck. As integrações devem ser extendidas a todo o dominio de variação de ${\textstyle \varphi _{r}}$ e de respectivamente. A primeira condição dá $p={\frac {nh}{2\pi }}$ .

Quanto á segunda, tem-se

$$J=\int _{(r)}{\sqrt {A+2{\frac {B}{r}}+{\frac {C}{r^{2}}}}}dr=n_{1}h$$

em que

$$A=2mW+{\frac {W^{2}}{c^{2}}},\quad B=meE+{\frac {eEW}{c^{2}}}-{\frac {mc^{2}\gamma }{2}},\quad C={\frac {n^{3}h^{2}}{4\pi ^{2}}}+{\frac {e^{2}E^{2}}{c^{2}}}$$

As integraes do typo de $J$ já foram calculadas por Sommerfeld. Encontra-se $J=-2\pi i\left(C-{\frac {B}{\sqrt {A}}}\right)=n_{1}h$

$$-2\pi iC=-h{\sqrt {n^{2}-u^{2}}},\quad a={\frac {2\pi e^{2}}{hc}}$$

$${\frac {B}{\sqrt {A}}}={\frac {eE\left(1+{\frac {W}{mc^{2}}}\right)-{\frac {c^{2}\gamma }{2}}}{c\left[\left(1+{\frac {W}{mc^{2}}}\right)^{2}-1\right]^{1/2}}},\quad u=a{\frac {E}{e}}$$

Obtem-se a relação approximada

$$\left[4\pi ^{2}e^{2}E^{2}+c^{2}h^{2}(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{2}\right]\left(1+{\frac {W}{mc^{2}}}\right)^{2}-4\pi ^{2}c^{2}\gamma eE\left(1+{\frac {W}{mc^{2}}}\right)-c^{2}h^{2}(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{2}=0$$

Com grande aproximação póde-se escrever

$$1+{\frac {W}{mc^{2}}}=\left[1+{\frac {u^{2}}{(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{2}}}\right]^{-1/2}\times \left[1+{\frac {{\dfrac {\pi ^{2}\gamma ^{2}c^{2}}{2h^{2}}}u^{2}(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{-4}}{u^{2}(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{-2}+1}}\right]+{\frac {{\dfrac {\pi \gamma c}{h}}u(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{-2}}{u^{2}(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{-2}+1}}$$

Desenvolvendo em série os radicaes, vem

$$\left[1+{\frac {u^{2}}{(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{2}}}\right]^{-1}=1-{\frac {1}{2}}{\frac {u^{2}}{(n+n_{1})^{2}}}-$$

$$-{\frac {1}{2}}{\frac {u^{4}}{(n+n_{1})^{4}}}\left({\frac {1}{4}}+{\frac {n_{1}}{n}}\right)+\ldots$$

$${\frac {{\frac {\pi ^{2}\gamma ^{2}c^{2}}{2h^{2}}}u^{2}(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{-4}}{u^{2}(n_{1}+{\sqrt {n^{2}-u^{2}}})^{-2}+1}}=$$

$$={\frac {\pi ^{2}\gamma ^{2}c^{2}}{2h^{2}}}\left[{\frac {u^{2}}{(n+n_{1})^{4}}}+{\frac {2n_{1}+n}{n(n+n_{1})^{6}}}u^{4}+\ldots \right]$$

$${\frac {{\frac {\pi \gamma c}{h}}u(n_{1}+{\sqrt {n_{2}-u_{2}}})^{-2}}{u^{2}(n_{1}+{\sqrt {n_{2}-u_{2}}})^{-2}+1}}=$$

$$={\frac {\pi \gamma c}{h}}\left[{\frac {u}{(n+n_{1})^{2}}}+{\frac {u^{3}}{(n+n_{1})^{4}}}{\frac {n_{1}}{n}}+\ldots \right]$$

A frequencia $\nu$ da radiação emittida (ou absorvida) quando o electron passa de uma orbita á qual corresponde a energia $W_{k}$ para outra á qual se refere a energia $W_{n}$ é dada pela equação de Planck-Einstein

$$h\nu =W_{k}-W_{n}$$

Vem

$$\nu =[n,n_{1}]-[k,k_{1}]$$ em que

$$[n,n_{1}]=R{\frac {E}{e}}\left\{\left({\frac {E}{e}}-{\frac {2\pi \gamma c}{h\alpha }}\right){\frac {1}{(n+n_{1})^{2}}}-{\frac {2\pi \gamma c}{h}}{\frac {E}{e}}{\frac {\alpha }{(n+n_{1})^{4}}}{\frac {n_{1}}{n}}+{\frac {\alpha ^{2}}{(n+n_{1})^{4}}}\left({\frac {E}{e}}\right)^{3}\left({\frac {1}{4}}+{\frac {n_{1}}{n}}\right)+\cdots \right\}$$

$$R={\frac {2\pi ^{2}me^{4}}{h^{3}}}$$

Vê-se que o termo achado por Sommerfeld

$$R\left({\frac {E}{e}}\right)^{2}{\frac {1}{(n+n_{1})^{2}}}+{\frac {1}{4}}{\frac {\alpha ^{2}R}{(n+n_{1})^{4}}}\left({\frac {E}{e}}\right)^{4}$$

soffre uma diminuição cuja parte principal é dada pela quantidade

$$-{\frac {2\pi \gamma c}{h\alpha }}R{\frac {E}{e}}{\frac {1}{(n+n_{1})^{2}}}$$

Quanto ao termo que rege a estructura do “doublet”, sofre também uma diminuição correspondente a

$$-{\frac {2\pi \gamma c}{h}}\alpha R\left({\frac {E}{e}}\right)^{3}{\frac {n_{1}}{n}}{\frac {1}{(n+n_{1})^{4}}}.$$

A correcção do termo principal representa, para o hydrogenio, uma fracção do termo de Sommerfeld ${\frac {1}{4}}{\frac {\alpha ^{2}R}{(n_{1}+n)^{4}}}$ da ordem de grandeza de ${\frac {\gamma c}{h\alpha ^{3}}}$ ou $10^{-7}$ ^[6], e não póde, portanto, ser, actualmente, submetida ao “contrôle” experimental.

Quanto á correcção relativa á estructura do “doublet”, ella é uma fracção da ordem de $10^{-13}$ do termo correspondente achado por Sommerfeld; trata-se, pois, de uma modificação desprezivel. E’, entretanto, interessante constatar que Paschen em suas experiencias achou para o afastamento do “doublet” do hydrogenio um valor ligeiramente inferior ao que foi calculado por Sommerfeld. A experiencia confirma, pois, uma correcção tendo o mesmo sentido da que achamos; a ordem de grandeza é, porém, differente.

Terminando esta nota assignalaremos que o estudo da orbita do electron póde ser effectuado com o auxilio das funcções ellipticas. A variavel $\varphi$ é dada em funcção de $r$ por uma integral que contém um radical do 4.° gráo em ${\frac {1}{r}}$ ^[7].

Sessão de Novembro de 1923.

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1. Sommerfeld “La constitution de l’atome et les raies spectrales” t. 2, 1923.
2. Mostramos em um trabalho anterior que o mesmo resultado póde ser obtido modificando ligeiramente o potencial electrostatico.
3. C. G. Darwin, Phil. Mag. (1920), de acordo com uma citação de Sommerfeld, op. cit., pg. 568, t. 2.
4. Deve-se este $ds^{2}$ a H. Vanderlinden. Consulte-se a pg. 95 do excellente tratado de Th. De Donder “La Gravifique Einsteinienne”. Este autor emprega um outro sistema de constantes.
5. Alguns autores dão a estas expressões a denominação de “momentos”.
6. Adoptando para as constantes os valores que se acham na obra de Sommerfeld, e admitindo com Rutherford que é de $10^{-16}$ a ordem de grandeza do raio do nucleo positivo.
7. Em um campo de Schwarzschild encontra-se um radical do 3.° gráo.