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A TH. DA RELAT. E AS RAIAS ESP. DO HYDR.

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$$ds^{2}=-{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}}}-r^{2}\left[d\theta ^{2}+\operatorname {sen} ^{2}\theta d\varphi ^{2}\right]+c^{2}\left(1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}$$

em que $\gamma ={\frac {2fM}{c^{2}}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{a}}\quad {\text{e}}\quad \varepsilon ^{2}={\frac {fE^{2}}{c^{4}}},$

$f$ designando a constante de Gauss e $c$ a velocidade da luz.

O movimento do electron de massa $m$ e de carga $e$ póde ser estudado no espaço e no tempo com o auxílio do princípio generalizado da conservação da quantidade de movimento e da energia.

Ponhamos $L=mc^{2}\left[1-V\right]+{\frac {eE}{r}}$

em que $V={\frac {1}{c}}{\frac {ds}{dt}}$, e consideremos o tensor $\omega _{\delta }=p_{r}\delta r+p_{\varphi }\delta _{\varphi }+p_{\theta }\delta \theta -W\delta t$, cujas componentes de espaço são as quantidades de movimento generalizadas ^[1]

$$p_{r}={\frac {\delta L}{\delta r'}},\quad p_{\varphi }={\frac {\delta L}{\delta \varphi '}},\quad p_{\theta }={\frac {\delta L}{\delta \theta '}}$$

(os accentos designando as derivadas em relação a $t$), e cuja componente de tempo é a energia total generalizada

$$W=r'{\frac {\delta L}{\delta r'}}+\varphi '{\frac {\delta L}{\delta \varphi '}}+\theta '{\frac {\delta L}{\delta \theta '}}-L.$$

As equações differenciaes do movimento serão obtidas exprimindo que ellas admittem como invariante integral $\int _{C}\omega _{\delta }$ extendida a um contorno fechado qualquer no espaço a 7 dimensões $(r,\varphi ,\theta ,p_{r},p_{\varphi },p_{\theta },t)$.

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1. Alguns autores dão a estas expressões a denominação de “momentos”.

T. I, n.° 1, Março de 1929