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THEODORO RAMOS

Obtem-se assim, mediante um calculo classico, as condições

$$dp_{r}+{\frac {\delta W}{\delta r}}=0$$ $$-dr+{\frac {\delta W}{\delta p_{r}}}dt=0$$

e mais 4 equações analogas para $\varphi$ e $\theta$, e tambem

$$-dW+{\frac {\delta W}{\delta t}}dt=0$$

Como $W$ não depende explicitamente de $\varphi$ e de $t$, tira-se immediatamente ${\frac {dp_{\varphi }}{dt}}=0\quad ,\quad dW=0$

$$p_{\varphi }=const.=p\quad e\quad W=const.;$$

vem tambem ${\frac {dp_{\theta }}{ds}}={\frac {\delta W}{\delta \theta }}{\frac {dt}{ds}}$ que desenvolvida dá

$${\frac {d}{ds}}\left(r^{2}{\frac {d\theta }{ds}}\right)=r^{2}sen\theta \quad cos\theta \left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}.$$

Estas equações permittem concluir que a energia total generalizada é constante e que a trajectoria póde ser considerada como pertencente ao plano $\theta ={\frac {\pi }{2}}.$

As equações $p_{\varphi }=p\quad e\quad W=const.$ dão, então, $mcr^{2}{\frac {d_{\varphi }}{ds}}=p$

$$c\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]{\frac {dt}{ds}}={\frac {W}{mc^{2}}}+{\frac {eE}{mc^{2}r}}+1.$$ Tem-se, tambem,

$$p_{r}=mc{\frac {dr}{ds}}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}$$Ann. da Acad. Brasileira de Sciencias