Página:A Theoria da Relatividade e as Raias Espectraes do Hydrogenio.pdf/4

A TH. DA RELAT. E AS RAIAS ESP. DO HYDR.

23

$$c^{2}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]\left({\frac {dt}{ds}}\right)^{2}-\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}\left({\frac {dr}{ds}}\right)^{2}-r^{2}\left({\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}=1.$$

Eliminando ${\frac {dt}{ds}},\quad {\frac {dr}{ds}}\quad e\quad {\frac {d\varphi }{ds}}$ entre estas 4 equações, vem

$$p_{r}^{2}=\left[{\frac {W}{c}}+{\frac {eE}{r}}+mc\right]^{2}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-2}-mc^{2}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}-{\frac {p^{2}}{r^{2}}}\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}.$$

Desenvolvendo em série $\left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-1}\quad {\text{e}}\quad \left[1-{\frac {\gamma }{r}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}\right]^{-2}$ conservando sómente os primeiros termos do desenvolvimento (o que é permitido pois ${\frac {\gamma }{r}}\quad e\quad {\frac {\varepsilon ^{2}}{r^{2}}}$ são muito pequenos) vem para $p_{r}^{2}$ a expressão approximada

$$p_{r}^{2}=\left(2mW+{\frac {W^{2}}{c^{2}}}\right)+2\left[meE+{\frac {eEW}{c^{2}}}-{\frac {mc^{2}\gamma }{2}}\right]{\frac {1}{r}}+\left[{\frac {e^{2}E^{2}}{c^{2}}}-p^{2}\right]{\frac {1}{r^{2}}}.$$

As condições de estabilidade da trajectória são

$$\int _{(\varphi )}p_{\varphi }d\varphi =nh,\quad \int _{(r)}p_{r}dr=n_{1}h$$

em que ${\textstyle n}$ e ${\textstyle n_{1}}$ designam 2 numeros inteiros e ${\textstyle h}$ é a constante universal de Planck. As integrações devem ser extendidas a todo o dominio de variação de ${\textstyle \varphi _{r}}$ e de respectivamente.

T. 1. n° 1, Março de 1929