Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/200

Wikisource, a biblioteca livre
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa


não admitte soluções inteiras, se, depois de simplificada, os coeffi- cientes das incógnitas não forem primos entre si.

Com efíeito, designando por d um divisor commum de a, b, c..., teremos

a = a'd, b = b'd, c = c'd,. . .

o que converte a equação em

a'dx + b'dy + c'dz + . . ,=k.

Ora, dando a x, y, z,.. . valores inteiros, o primeiro membro torna-se múltiplo de d; e como o segundo membro não satisfaz a esta condição, segue-se que a equação não admitte soluções inteiras.

316. Consideremos as duas equações a tres incógnitas ax + by + cz — d, a'x + b'y + c'z = d',

que supporemos simplificadas de modo que os coefficientes das incógnitas e o termo conhecido sejam primos entre si.

Para este systema de equações admittir soluções inteiras, é necessário que cada uma d'ellas as admitia; e por consequência é necessário que em cada uma das equações os coefficientes das incógnitas sejam primos entre si.

Posto isto, eliminando entre estas equações uma das incógnitas, por exemplo z, e empregando o methodo da reducção, vem

ac'x-f bc'y + cc'z — de1, ca'x + cb'y -f cc'z — cd',

ou, subtrahindo a segunda da primeira,

(ac' — ca') x -f (bc' — cbr)y=dc'--cd'...... (1);

e assim temos uma equação a duas incógnitas, que sabemos re- solver em números inteiros. ,

Sejama; = «, ?/ = (3 uma solução d'esta equação: as fórmulas geraes, que dão todos os valores inteiros de x e y, são

x = a+(bc' — cb')t, y = (3 — (ac' — ca') t____(2)'.

Substituindo estes valores de x e y em qualquer das equações