Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/301

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311. A lei da formação das reduzidas fornece-nos o processo para, dada uma fracção continua, achar a grandeza de que ella é o desenvolvimento. Para isso, basta formar as reduzidas conse- cutivas : a ultima é a grandeza pedida.

Exemplos. l.° Seja dada a fracção continua

x=% 3, 1, 5, 4, 4, 1, 2. Formando as reduzidas consecutivas, temos jí 7_ 9 52 2|7 920 1137 319Í _3194

T' T T' 23' 96 ' 407' ~5Õ3 ' 1413: 8° ^~T4Í3' 2.° Supponhamos a fracção continua

x = 0, 4, 1, 1, II, 1, 6. Formando as reduzidas consecutivas, temos

^ 1 H 23 25 173 173

1' 4' 5' 9' 104' 113' 782: ®~782'

Se a fracção continua for illimitada, sómente podemos obter

um valor aproximado da grandeza, tomando uma das reduzidas.

t

313. Se a fracção continua for periódica, podemos ainda achar exacta- mente a grandeza; e para isso vamos eslahelecer alguns princípios.

1.° Em uma fracção continua periódica simples, a reduzida composta de um certo numero de períodos e a reduzida, que tem um período a mais, diffe- rem entre si em menos do que qualquer grandeza, tornando um numero de períodos suficientemente grande. Supponhamos a fracção continua

x=a, 6, c,----k, a, b, c,----n3. ■

Seja —j o valor de uma reduzida composta de um certo numero de pe- ' na

riodos, e sejam —e as duas reduzidas antecedentes: sera

r_nq -f-p

r1 nq' 4-p1'

v

Além d'isto, seja — a reduzida que tem um período a mais: designando ® v r

por lc o valor de um período, o valor de deduz-se do valor de -p, mu- dando neste n em n +4-; e vem te

= q(n+ nqk + q+pk = (nq+p)lc + q = rk+q

v' qiín^ly^pi nq>k-t-q'+p'k (nq' 4- p')k + q> r'k + q'