Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/313

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e formando as reduzidas consecutivas, temos

3 22 333 355 T' 7' 106' Í13' * '

fracções que se aproximam mais de rr do que outro qualquer quebrado de termos mais simples.

A segunda reduzida é o valor de tc achado por Archimedes; e como é de ordem par, é aproxinado por excesso.

A quarta reduzida é o valor achado por Adriano Metius, e é também aproximado por excesso.

33<*. Applicação á analyse indeterminada, Yimos(n.°204) que a diíficuldade que ha em achar as soluções ir.teiías de uma equação do primeiro grau a duas iacogritas se reduz a deter- minar uma das soluções. A theoria das fracções continuas dá-nos um meio muito si iples para i so, como passamos a mostrar. Supponhamos a equação

ax + by = c,

na qual a, b e c são primos entre e também primos entre si os dois coefficientes a e b.

Desenvolvendo — em íracçãc continua e formando as redu-

6 a

zidas consecuWas, a ultima é precifamente a fracção —; porque

a ^

a ultima reduzida t iu-educlivel e egual a —, e dois quenrados

i reduct:veis eguaes têm os termos respectivamente eguaes. a1

Posto isto,, seja r-a penúltima reduzida: subtrahindo da ultima reduz da a penúltima, temos

a a' ab1 — ba1

~b~ í g bV~;

e como o numerador da i.ifferença de duas reduzidas consecutivas é ± 1, será

ab' — ba'=± 1..