Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/88

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resulta a equação equivalente

— c 4- dxs = — cuP — b,

ou, escrevendo em primeiro logar o segundo membro,

— «a2 — b = — c + dx9. é

AGI. 1As raizes de uma equação não se alteram, quando os dois membros se multiplicam ou dividem pela mesma quantidade differente de zero, comtanto que esta quantidade não contenha incógnitas. Stipponhamos a equação

A = B, ou A — B = 0, que, multiplicada por m, se torna em

(A — B) m = 0.

As raizes da primeira equação, substituídas no logar das in- cógnitas, que ella contém, tornam A—B nullo: e por consequência são também raizes da segunda equação, pois que a reduzem á identidade 0 = 0. Além d isto, sendo m uma quantidade conhe- cida, differente de zero, as raizes da segunda equação, substituídas no logar das incógnitas que ella contém, tornam A—B índio: e por consequência são também raizes da primeira. Portanto, as duas equações são equivalentes.

Se o factor m for nullo, a segunda equação é uma identidade que fica satisfeita por tod<s os valores das incógnitas, embora esses valores não sejam raizes da primeira. Portanto neste caso as duas equações não são equivalentes.

Além d'isto, se o factor m contiver incógnitas, também não se pode affirmar que a equação resultante seja equivalente á pro- posta. Com efíeilo, para um producto ser nullo é necessário que pelo menos uni dos factores o seja: logo a equação resultante fica satisfeita pondo

A — B = 0, ou m = 0;

isto é, a equação resultante fica sn!i-feita não só pelas raizes da equação proposta, mas também pelas raizes dá equação que se obtém, egualando a zero o factor por que se fez a multiplicação; e estas ultimas raizes podem ser extranhas á equação proposta.