Elementos de Arithmetica/Capítulo 1

Elementos de Arithmetica por João José Luiz Vianna
CAPITULO I

Edição de referência: Livraria Francisco Alves, 1914. páginas 23-49.

PARTE PRIMEIRA

CAPITULO I

Operações sobre os numeros inteiros

22. As soluções das diversas questões, que sobre os numeros se realisam para satisfazer às necessidades da vida social, dependem do conhecimento das operações da — Arithmetica.

D'essas operações consideremos em primeiro logar as quatro: addição, subtracção, multiplicação e divisão.

ADDIÇÃO

23. Addição é a operação que tem por fim formar um numero que reuna em si todas as partes que entrarem na composição de dous ou mais numeros.

Os numeros que se sommam chamam-se parcellas; e o resultado da operação, somma.

Na addição dos numeros inteiros ha dous casos a considerar:

1º Caso. — Addição de dous numeros simples ou de um numero composto com um simples.

2º Caso. — Addição de numeros compostos.

24. 1º Caso. — A addição de dous numeros simples se effectua reunindo ao primeiro numero as unidades do outro, uma por uma. Assim, para sommar os numeros 3 e 4, diremos: tres e um, quatro; quatro e um, cinco; cinco e um, seis; seis e um, sete; e o resultado sete é a somma dos numeros 3 e 4.

A somma dos dous numeros póde ser mais facilmente obtida se reunirmos logo o primeiro numero ao segundo; o que fazemos dizendo: tres e quatro, sete; e para isso é sufficiente o conhecimento da seguinte:

Taboada da addição
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

Esta taboada é constituída do seguinte modo:

A primeira linha horizontal começa por zero, seguindo-se os nove primeiros numeros inteiros.

A segunda começa pelo numero um, sendo os outros numeros formados pela addição de uma unidade a cada um dos numeros da primeira.

A terceira, juntando igualmente a cada numero da segunda uma unidade. O mesmo processo de formação é empregado até a decima linha.

Para, por meio d'esta tabella, acharmos a somma de dous numeros simples, por exemplo, 7 e 8, basta procurar o numero que se acha no cruzamento da columna que principia por 7 com a linha que principia por 8.

Para sommar 58 com 7, diremos: — oito unidades mais sete unidades, são quinze unidades, ou uma dezena e cinco unidades; reunindo a dezena com as cinco dezenas do numero 58, teremos seis dezenas e cinco unidades, ou o numero 65. Pelo que fica estabelecido, não só podemos achar a somma de muitos numeros simples, como também de um numero composto com um ou mais numeros simples.

25. 2º Caso. — A addição de numeros compostos póde ser effectuada decompondo os numeros em suas diversas partes e reunindo em um só numero as unidades das differentes ordens que entrarem na composição dos numeros dados.

Sejam para sommar os numeros: 484, 685 e 796.

O numero 484 decompõe-se em 4 centenas, 8 dezenas e 4 unidades.

O numero 685 decompõe-se em 6 centenas, 8 dezenas e 5 unidades.

O numero 796 decompõe-se em 7 centenas, 9 dezenas e 6 unidades.

A reunião d'essas partes é um numero composto de 17 centenas 25 dezenas e 15 unidades, ou é o numero 1965.

O resultado achado póde ser obtido mais facilmente, se collocarmos os numeros uns abaixo dos outros, de modo que as unidades das differentes ordens se correspondam em columnas verticaes, e reunirmos as unidades de cada uma d'essas ordens, como se vê no seguinte exemplo:

7484

6385

5796

19665

Quatro unidades mais cinco são nove, e mais seis são quinze unidades, ou uma dezena e cinco unidades.

Uma dezena mais oito são nove; nove dezenas mais oito são dezesete, e mais nove são vinte e seis dezenas, ou duas centenas e seis dezenas.

Duas centenas mais quatro são seis; seis centenas mais tres são nove, e mais sete são dezeseis centenas, ou um milhar e seis centenas.

Um milhar mais sete são oito; oito milhares mais seis são quatorze, e mais cinco são dezenove milhares, ou uma dezena de milhar e nove milhares. O raciocínio empregado para sommar os tres numeros precedentes póde ser applicado para sommar quaesquer outros numeros inteiros. E, pois, fácil estabelecer a seguinte:

Regra. — Escrevem-se os numeros uns abaixo dos outros, de modo que as unidades das differentes ordens se correspondam em columnas verticaes. Sublinha-se. Sommam-se as unidades das differentes ordens contidas em cada uma das columnas, começando pela ordem mais inferior. Se a somma de cada columna não fôr superior a nove, é escripta por inteiro abaixo do traço. Se fôr superior a nove, escreve-se sómente o que excede de dez, vinte, trinta, etc., e essas dez, vinte, trinta unidades de uma ordem qualquer, convertidas em unidades da ordem seguinte, a ellas se reúnem.

Sendo o numero de parcellas muito grande, é conveniente decompol-as em grupos, cada um composto de um certo numero d'ellas. Sommando cada um d'esses grupos e reunindo depois essas diversas sommas, teremos o resultado.

SUBTRACÇÃO

26. A subtracção é a operação que tem por fim achar o excesso de um numero sobre outro menor.

O numero maior chama-se minuendo; o menor, subtrahendo; e o resultado da operação, resto, excesso ou differença.

Na subtracção dos numeros inteiros ha dous casos a considerar:

1º Caso. — Subtrahir um numero simples de outro também simples; ou subtrahir um numero simples de um composto, sendo o resultado numero simples.

2o Caso. — Subtrahir um numero composto de outro também composto.

27. 1º Caso. — A subtracção de um numero simples de outro simples, ou de um numero simples de outro composto, se effectua subtrahindo do numero maior as unidades de que se compõe o menor, uma por uma.

Assim, para subtrahir 4 de 7, diremos: sete menos um, seis; seis menos um, cinco; cinco menos um, quatro; quatro menos um, tres; e esse resultado 3 é o excesso do numero 7 sobre o numero 4. Si se tratasse de subtrahir do numero 14 o numero 5, diriamos do mesmo modo: quatorze menos um, treze; treze menos um, doze; doze menos um, onze; onze menos um, dez; dez menos um, nove; e o resultado 9 é o excesso do numero 14 sobre o numero 5.

O conhecimento da taboada da addição facilita muito a acquisição d'esses resultados; porquanto, em logar de procedermos pelo modo indicado, podemos dizer 7 menos 4, 3; e 14 menos 5, 9.

28. 2º Caso. — A subtracção de um numero composto de outro tambem composto póde ser efectuada decompondo os dous numeros em suas diversas partes e subtrahindo as partes do menor successivamente das partes correspondentes do maior.

Seja o numero 3642 para subtrahir do numero 6874.

O numero 6874 decompõe-se em 6 milhares, 8 centenas,7 dezenas e 4 unidades.

O numero 3642 decompõe-se em 3 milhares, 6 centenas, 4 dezenas e 2 unidades.

A subtracção das differentes unidades do numero 3642 das unidades correspondentes do numero 6874, dá em resultado um numero composto de 3 milhares, 2 centenas, 3 dezenas e 2 unidades ou o numero 3232.

Podemos facilmente obter o resultado da subtracção de um numero composto, de outro, se escrevermos o numero menor abaixo do maior e subtrahirmos as unidades das differentes ordens do numero menor, das unidades das ordens correspondentes no maior, como se póde ver nos exemplos seguintes:

1º Exemplo:

8975

6323

2652

Subtrahindo de 5 unidades 3, restam 2 unidades.

De 7 dezenas subtrahindo 2, restam 5 dezenas.

Subtrahindo de 9 centenas 3, restam 6 centenas.

De 8 milhares subtrahindo 6, restam 2 milhares.

E o numero 2652 é o resultado.

2º Exemplo:

8	13	7	14
9	3	8	4
3	8	2	7
5	5	5	7

Não sendo possivel subtrahir de 4 unidades 7, decompõe-se uma dezena em 10 unidades, e o numero maior fica com 17 dezenas e 14 unidades; e se d'essas 14 unidades subtrahirmos 7, restam evidentemente 7 unidades.

Subtrahindo das 7 dezenas 2, restam 5 dezenas.

Não sendo tambem possivel subtrahir de 3 centenas 8, decompõe-se um milhar em 10 centenas, e o numero maior fica com 8 milhares e 13 centenas; e subtrahindo das 13 centenas 8, restam 5 centenas.

Subtrahindo finalmente de 8 milhares 3, restam 5 milhares.

E o numero 5557 é o resultado.

3º Exemplo:

			12
7	9	9	2	9	9	14
8	0	0	3	0	0	4
2	7	5	8	4	3	6
5	2	4	4	5	6	8

Não sendo possivel de 4 unidades subtrahir 6, e não tendo o numero maior unidades nas ordens das dezenas e das centenas, decompõe-se um milhar em 10 centenas; d'essas 10 centenas decompõe-se uma em 10 dezenas, e das 10 dezenas decompõe-se uma em 10 unidades, e fica o numero maior tendo 2 milhares, 9 centenas, 9 dezenas e 14 unidades; e subtrahindo das 14 unidades 6, restam 8.

Subtrahindo das 9 dezenas 3, e das 9 centenas 4, restam 6 dezenas e 5 centenas.

Como não é tambem possivel subtrahir dos 2 milhares 8, e não tendo o numero maior unidades nas ordens das dezenas de milhares e centenas de milhares, decompõe-se um milhão em 10 centenas de milhares; d'essas 10 centenas de milhares decompõe-se uma em 10 dezenas de milhares, e das 10 dezenas de milhares decompõe-se uma em 10 milhares, e o numero maior fica com 7 milhões, 9 centenas de milhares, 9 dezenas de milhares e 12 milhares.

Subtrahindo dos 12 milhares 8, das 9 dezenas de milhares 5, das 9 centenas de milhares 7, e dos 7 milhões 2, restam 4 milhares, 4 dezenas de milhares, 2 centenas de milhares e 5 milhões.

E o numero 5244568 é o resultado.

Do exposto podemos estabelecer a seguinte: Regra. — Escreve-se o numero menor abaixo do maior, de modo que as unidades das differentes ordens se correspondam em columnas verticaes. Sublinha-se. Subtrahem-se as unidades das differentes ordens do numero menor das unidades das ordens correspondentes no maior. Se em uma ordem do numero maior houver menor numero de unidades que na ordem correspondente do menor, reunem-se mentalmente a essa ordem dez unidades e diminue-se de uma unidade a ordem seguinte. Se a ordem ou as ordens seguintes não tiverem unidades, reunem-se mentalmente dez unidades a essa ordem, consideram-se as ordens seguintes como tendo cada uma d'ellas nove unidades e diminue-se de uma a primeira ordem que tiver unidades.^[1]

Reunir dez unidades a uma ordem do numero maior e diminuir de uma unidade a ordem seguinte nesse mesmo numero, é o mesmo que reunir dez unidades á ordem do numero maior e augmentar de uma unidade a ordem seguinte no numero menor.

No segundo exemplo, em logar de subtrahir duas dezenas de 7, podemos subtrahir 3 dezenas de 8 e o resultado será o mesmo.

Provas da addição e subtracção

29. Prova de uma operação é uma outra operação que indica probabilidade de não ter havido engano na primeira.

D'entre os diversos modos de provar a addição, o mais acceito é aquelle que consiste em sommar os numeros da esquerda para a direita e subtrahir as sommas das diversas columnas, successivamente, do resultado da operação. Se, feitas todas as subtracções, não houver resto, é provável estar certa a addição.

Exemplo:

5748

4659

3846

5764

20017

3220

Sommando a columna dos milhares, achamos 17 milhares; mas na somma ha 20; ha, pois, 3 de mais, que são convertidos em 30 centenas. Sommando as centenas, achamos 28 centenas; e havendo na somma 30, ha duas centenas de mais, que são convertidas em 20 dezenas, que, com uma pertencente á somma, perfazem 21. Sommando as dezenas, achamos 19 dezenas, e havendo na somma 21, ha duas dezenas de mais, as quaes são convertidas em 20 unidades, que, com 7 existentes na somma, perfazem 27. Sommando as unidades, achamos 27 unidades, e como esse numero de unidades é o mesmo que o contido na somma, não haverá resto algum.

Na subtracção, dando-se a somma de dous numeros e um d'elles, para achar o outro, é facil vêr que a prova consiste em sommar o subtrahendo com o resto, devendo o resultado ser o minuendo.

MULTIPLICAÇÃO

30. A multiplicação é a operação que tem por fim, dados dous numeros, determinar um terceiro, deriva-lo do primeiro, assim como o segundo se deriva da unidade.

O primeiro numero chama-se multiplicando; o segundo, multiplicador; e o terceiro, producto.

D'esta definição se conclue que o producto é do multiplicando o que o multiplicador fôr da unidade.

Assim, se o multiplicador fôr duas, tres, quatro, etc. vezes a unidade, o producto será duas, tres, quatro, etc. vezes o multiplicando; d'onde a multiplicação dos numeros inteiros póde ainda ser definida do seguinte modo: a operação que tem por fim repetir um numero tantas vezes quantas forem as unidades do outro.

31. O producto de dous numeros inteiros póde ser obtido por meio da addição, e para isso basta sommar tantas parcellas iguaes ao multiplicando quantas forem as unidades do multiplicador. Se tratarmos de achar o producto de 7 por 8, basta sommar 8 parcellas iguaes a 7; se é o producto de 57 por nove que queremos achar, basta sommar 9 parcellas iguaes a 57; se, finalmente, tratarmos de multiplicar 584 por 385, basta sommar 385 parcellas iguaes a 584.

Este processo elementar nem sempre convém, por depender gumas vezes de grande trabalho e de muito tempo, e isso acontece todas as vezes que o multiplicador é um numero muito grande.

32. No estudo do processo especial da multiplicação dos numeros inteiros, consideraremos dous casos:

1º Caso. — O multiplicador é numero simples.

2º Caso. — O multiplicador é numero composto.

Subdividindo-se cada um d'esses casos em dous, pois em cada um d'elles póde o multiplicando ser simples ou composto, fica o numero de casos sendo quatro.

1º Caso, — O multiplicando é simples e o multiplicador tambem.

2º Caso. — O multiplicando é composto e o multiplicador é simples.

3º Caso. — O multiplicando é simples e o multiplicador é composto.

4º Caso. — O multiplicando é composto e o multiplicador tambem.

Não alterando, porém, o producto a ordem dos factores, como veremos depois, fica o numero de casos reduzido a tres:

1º Caso. — Multiplicar um numero simples por outro tambem simples.

2º Caso. — Multiplicar um numero composto por um simples.

3º Caso. — Multiplicar um numero composto por outro tambem composto.

Passemos a estudar cada um d'esses tres casos.

33. 1º Caso. — O producto de um numero simples por outro tambem simples se obtém sempre por meio da taboada de Pythagoras, que deve ser conservada mentalmente.

Esta taboada é constituída do seguinte modo:

A primeira linha horizontal é formada pelos nove primeiros numeros inteiros.

Os numeros da segunda linha horizontal formam-se sommando duas parcellas iguaes a cada um dos numeros da primeira.

Os da terceira linha horizontal formam-se sommando os da primeira com os da segunda, e assim forma-se cada uma das outras sommando a primeira com a precedente.

Para,por meio d'esta tabella, conhecermos o producto de um namero simples por outro tambem simples, por exemplo, 7 multiplicado por 8, basta ver o numero que se acha no cruzamento da columna que principia por 7 e da linha horizontal que principia por 8, e acharemos 56.

Taboada da multiplicação
1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	4	6	8	10	12	14	16	18
3	6	9	12	15	18	21	24	27
4	8	12	16	20	24	28	32	36
5	10	15	20	25	30	35	40	45
6	12	18	24	30	36	42	48	54
7	14	21	28	35	42	49	56	63
8	16	24	32	40	48	56	64	72
9	18	27	36	45	54	63	72	81

34. 2º Caso — Seja o numero 9758 para multiplicar pelo numero 6.

O producto de 9758 por 6 póde ser obtido por meio da addição, e para isso basta sommar 6 parcellas iguaes a 9758.

9758

Mas sommar seis parcellas iguaes a 8 unidades é repetir 8 unidades seis vezes; sommar seis parcellas iguaes a 5 dezenas é repetir 5 dezenas seis vezes; sommar seis parcellas iguaes a 7 centenas é repetir 7 centenas seis vezes; e finalmente sommar seis parcellas iguaes a 9 milhares é repetir 9 milhares seis vezes.

9758

9

58548

Repetindo 8 unidades seis vezes, achamos 48 unidades, e como 48 unidades contém 4 dezenas e 8 unidades, devemos escrever as 8 unidades no logar competente e reunir as 4 dezenas com as dezenas.

Repetindo 5 dezenas seis vezes, achamos 30 dezenas, que com as 4 formam 34 dezenas; e como 34 dezenas contém 3 centenas e 4 dezenas, devemos escrever as 4 dezenas no seu logar proprio e reunir as 3 centenas com as centenas.

Repetindo 7 centenas seis vezes, achamos 42 centenas, que com as 3 formam 45 centenas; e como 45 centenas contém 4 milhares e 5 centenas, devemos escrever as 5 centenas no logar competente e reunir os 4 milhares com os milhares.

Repetindo 9 milhares seis vezes, achamos 54 milhares, que com os 4 formam 58 milhares; e, como 58 milhares contém 5 dezenas de milhares e 8 milhares, devemos escrever os 8 milhares no logar competente e á sua esquerda as 5 dezenas de milhares.

Do exposto se conclue a seguinte:

Regra. — Multiplicam-se as diversas ordens do numero composto pelo numero simples; escrevem-se os productos abaixo de um traço, conservando mentalmente as reservas que se formarem em cada um d'elles e que têm de ser reunidas com o producto seguinte.

35. Multiplica-se um numero inteiro qualquer por 10, 100, 1000, etc., escrevendo á sua direita um, dous, tres, etc., zeros, como vimos na numeração decimal dos numeros inteiros. (18)

36. 3º Caso. — Seja o numero 937 para multiplicar pelo numero 654.

			9	3	7
			6	5	4
		3	7	4	8
	4	6	8	5	(0
5	6	2	2	(0	0
6	1	2	7	9	8

O producto de 937 por 654 póde ser obtido por meio da addição, sommando 654 parcellas iguaes a 937

937
937
937
937	4 parcellas

937
...
...
...
937	50 parcellas
937
937
937
...
...
...
...
937	600 parcellas

Dividindo as 654 parcellas em 3 grupos, um de 4 parcellas, outro de 50 e outro de 600; sommando cada um dos grupos e reunindo as tres sommas, o resultado será a somma das 654 parcellas iguaes a 937, ou o producto de 937 por 654.

A somma do primeiro grupo ou das 4 parcellas iguaes a 937 se obtem, como no segundo caso, multiplicando 937 por 4, cujo resultado é igual a 3748.

As 50 parcellas iguaes a 937 são decompostas em 10 grupos, cada um de 5 parcellas.

{\mbox{1º grupo}}{\begin{cases}937\\937\\937\\937\\937\\\end{cases}}

Sommando cada um d'esses déz grupos e reunindo depois essas 10 sommas iguaes, teremos a somma das 50 parcellas.

Ora, a somma de cada um d'esses 10 grupos se obtem multiplicando 937 por 5, cujo producto é 4685.

Reunindo as 10 sommas iguaes a 4685, ou multiplicando 4685 por 10, se obtém a somma das 50 parcellas iguaes a 937, que é 46850.

As 600 parcellas iguaes a 937 são decompostas em 100 grupos, cada um de 6 parcellas.

{\mbox{1º grupo}}{\begin{cases}937\\937\\937\\937\\937\\937\\\end{cases}}

Sommando cada um d'esses 100 grupos e reunindo depois as 100 sommas iguaes, teremos a somma das 600 parcellas.

Ora, a somma de cada um d'esses grupos se obtém multiplicando 937 por 6, cujo producto é 5622.

Reunindo as 100 sommas iguaes a 5622, ou multiplicando 5622 por 100, obtem-se a somma das 600 parcellas iguaes a 937, que é 562200.

A reunião das tres sommas obtidas é 612798, producto de 937 por 654, como se vê no exemplo.

Na pratica prescinde-se sempre do ultimo zero do segundo producto parcial, dos dous ultimos do terceiro, dos tres ultimos do quarto e assim por diante.

Pelo que fica estabelecido, podemos concluir a seguinte:

Regra. — Multiplica-se o multiplicando pelas diversas ordens do multiplicador. Os productos parciaes escrevem-se unsa baixo dos outros, de modo que o primeiro algarismo da direita de cada um d'élles fique abaixo do algarismo correspondente no multiplicador. Sommam-se depois os productos parciaes, e o resultado será o producto pedido.

37. Se um dos factores ou ambos terminarem por zeros, a multiplicação se effectua prescindindo dos zeros, e no producto escrevem-se á direita tantos zeros quantos forem os zeros dos factores.

1º Exemplo:

					7	4	5	8	7	6
						3	8	0	0	0
	5	9	6	7	0	0	8
2	2	3	7	6	2	8
2	8	3	4	3	2	8	8	0	0	0

Prescindindo dos tres zeros no multiplicador, fica elle mil vezes menor, e por isso o producto fica tambem mil vezes menor, e para que o producto não mude, é necessário tornal-o mil vezes maior, o que se consegue escrevendo tres zeros á sua direita.

2º Exemplo:

	3	6	8	0	0	0
			5	7	0	0
	2	5	7	6
1	8	4	0
2	0	9	7	6	0	0	0	0	0

Prescindindo dos tres zeros no multiplicando, fica elle mil vezes menor, e o producto fica tambem mil vezes menor; prescindindo dos dous zeros no multiplicador, fica elle cem vezes menor, e o producto fica cem vezes menor; mas se o producto fica mil vezes menor por causa de um factor e cem vezes menor por causa de outro, fica cem mil vezes menor por causa de ambos; e para termos o producto pedido, é necessario tornal-o cem mil vezes maior, o que se consegue escrevendo cinco zeros á sua direita.

Se entre os algarismos do multiplicador houver um ou mais zeros, a multiplicação se effectua sem se attender aos zeros, segundo a regra estabelecida.

Exemplo:

					7	8	0	5	6	4
						2	0	0	0	7
			5	4	6	3	9	4	8
1	5	6	1	1	2	8
1	5	6	1	6	7	4	3	9	4	8

Princípios relativos á multiplicação dos numeros inteiros

38. 1º Principio. — O producto de dous numeros inteiros é sempre da especie do multiplicando.

Com effeito, sendo o producto de dous numeros inteiros a somma de tantas parcellas iguaes ao multiplicando quantas forem as unidades do multiplicador, e sendo a somma sempre da mesma especie que as parcellas, segue-se que o producto é sempre da especie do multiplicando.

39. 2º Principio. — O numero de algarismos de um producto de dous numeros inteiros é igual ao numero de algarismos dos dous factores, ou é igual a esse numero diminuído de uma unidade.

Tratando-se de multiplicar um numero de quatro algarismos por outro de tres, o producto deve ter sete ou seis algarismos.

Com effeito, o multiplicando tendo 4 algarismos, está comprehendido entre 10000 e 1000; o multiplicador tendo 3 algarismos, está comprehendido entre 1000 e 100; e o producto deve necessariamente estar comprehendido entre $1000\times 10000$ e $1000\times 100$ , ou entre 10000000 e 100000, e portanto tem 7 ou 6 algarismos.

40. 3º Principio. — O producto de dous factores não muda, seja qual fôr a ordem dos factores.

Trata-se de demonstrar que $5\times 6=6\times 5$ .

O producto de 5 por 6 se obtém por meio da addição, isto é, sommando 6 parcellas iguaes a 5.

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Em logar de sommar as seis parcellas, podemos decompôr cada uma d'ellas em suas unidades e depois reunir essas unidades.

Contando por linhas horizontaes, temos seis linhas, cada uma de cinco unidades, isto é, temos 6 vezes 5 unidades ou $5\times 6$ ; se contamos por linhas verticaes, temos 5 linhas, cada uma de seis unidades, isto é, temos 5 vezes 6 unidades ou $6\times 5$ ; mas quer contemos de um modo, quer de outro, o numero de unidades é o mesmo; logo, $5\times 6$ é o mesmo que $6\times 5$ .

41. 4º Principio. — O producto de tres factores não muda, invertendo a ordem dos dous últimos factores.

Trata-se de demonstrar que $3\times 4\times 5=3\times 5\times 4$ .

O producto de 3 por 4 se obtém, sommando 4 parcellas iguaes a 3; e como esse producto deve ser repetido 5 vezes, deve-se considerar a somma das 4 parcellas iguaes a 3, cinco vezes.

3 + 3 + 3 + 3

Contando por linhas horizontaes, temos 5 linhas, e, como cada uma é igual a $3\times 4$ , o resultado será $3\times 4\times 5$ ; se contarmos por linhas verticaes, temos quatro linhas, e como cada uma é igual a $3\times 5$ , o resultado será $3\times 5\times 4$ ; mas como é indiferente contar de um ou de outro modo, segue-se que $3\times 4\times 5=3\times 5\times 4$ . 42. 5º Principio. — O producto de um numero qualquer de factores não muda, invertendo de qualquer modo a ordem dos factores.

Seja: $2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7$ .

Considerando os quatro primeiros factores como um só, ficam elles reduzidos a tres, a saber: 120, 6 e 7; pelo ultimo principio, podemos mudar a ordem dos dous ultimos, e teremos:

2\times 3\times 4\times 5\times 7\times 6

Se prescindirmos do ultimo factor, 6, e considerarmos os tres primeiros como um só, ficam tres factores 24, 5 e 7, e ainda, pelo ultimo principio, podemos escrever $2\times 3\times 4\times 7\times 5$ ; mas sendo $2\times 3\times 4\times 5\times 7=2\times 3\times 4\times 7\times 5$ , multiplicando os dous productos por 6, os resultados serão iguaes, e teremos:

2\times 3\times 4\times 7\times 5\times 6

Prescindindo dos dous ultimos factores, e considerando os dous primeiros como um só, ficam tres factores, 6, 4 e 7, e pelo ultimo principio teremos $2\times 3\times 7\times 4$ ; mas sendo $2\times 3\times 4\times 7=2\times 3\times 7\times 4$ , os dous productos multiplicados pelo numero $5\times 6$ serão iguaes, e teremos :

2\times 3\times 7\times 4\times 5\times 6

Se prescindirmos dos tres ultimos factores, ficam os tres factores 2, 3 e 7, nos quaes, mudando a ordem dos dous ultimos, temos $2\times 7\times 3$ ; mas sendo $2\times 3\times 7=2\times 7\times 3$ , os dous productos multiplicados pelo numero $4\times 5\times 6$ serão iguaes, e teremos:

2\times 7\times 3\times 4\times 5\times 6

Prescindindo dos quatro ultimos factores, ficam dous, 2 e 7, e como o producto de dous factores não muda invertendo a ordem dos factores, em logar de $2\times 7$ podemos escrever $7\times 2$ , e sendo iguaes esses dous productos multiplicados pelo numero $3\times 4\times 5\times 6$ , os resultados serão iguaes, e teremos:

7\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6

Sendo o producto dos seis factores o mesmo, seja qual fôr o logar que occupe nesse producto o factor 7; e sendo applicavel aos outros factores o raciocínio que empregamos para o factor 7, fica demonstrado o principio. 43. 6º Principio. — Multiplicar um numero por outro é o mesmo que multiplicar esse numero pelos factores d'esse outro.

Trata-se de demonstrar que $4\times 30=4\times 5\times 6$ .

Com effeito, multiplicar 4 por 30 é o mesmo que sommar 30 parcellas iguaes a 4; podendo-se decompôr as 30 parcellas iguaes a 4 em 6 grupos de 5 parcellas iguaes a 4, ou em 5 grupos de 6 parcellas iguaes a 4, segue-se que

4\times 30=4\times 5\times 6=4\times 6\times 5

DIVISÃO

44. A divisão é a operação que tem por fim, dados dous numeros, achar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza o primeiro.

O primeiro numero chama-se dividendo; o segundo, divisor; e o terceiro, quociente.

D'esta definição segue-se que o dividendo é um producto de dous factores, sendo um d'elles o divisor e o outro o quociente.

Nas applicações da divisão, podendo o factor dado ser ora o multiplicando, ora o multiplicador, tem essa operação dous problemas differentes:

1º Determinar quantas vezes um numero contém outro — quando o factor dado é o multiplicando; exemplo: Com 20 soldados quantas fileiras de 5 soldados posso formar?

Com effeito, o factor dado sendo o multiplicando e da mesma especie do producto, o factor procurado é o multiplicador; e como o multiplicador indica o numero de vezes que o producto contém o multiplicando (31), segue-se que determinar o multiplicador é determinar quantas vezes um numero contém outro.

2º Dividir um numero em partes iguaes — quando o factor conhecido é o multiplicador; exemplo: Distribuindo 20 soldados em 4 fileiras, quantos soldados terei em cada fileira?

Com effeito, o factor dado sendo o multiplicador, o factor pedido é o multiplicando e da mesma especie do producto; e sendo o multiplicando uma das partes iguaes que o producto contém (31), segue-se que determinar o multiplicando é determinar uma d'essas partes iguaes, e para isso é necessário dividir o producto em um certo numero de partes iguaes.

No 1º problema, sendo o dividendo e o divisor da mesma especie, o factor dado é o multiplicando (38); o fim da divisão é então determinar quantas vezes um numero contém outro, e a especie do quociente é conhecida explicitamente pelo enunciado do problema.

No 2º problema, sendo o dividendo e o divisor de especies differentes, o factor dado é o multiplicador (38); o fim da divisão é então dividir um numero em partes iguaes, e a especie do quociente é implicitamente conhecida pela do dividendo.

45. O quociente da divisão de um numero inteiro qualquer por outro, póde ser obtido natural e espontaneamente por meio da subtracção, e para isso basta subtrahir do dividendo successivamente o divisor até esgotal-o completamente ou não ser mais possivel a subtracção, como se vê nos seguintes exemplos:

1º Exemplo — 48 ÷ 12	2º Exemplo — 52 ÷ 12
48	52
12 1ª Subtracção.	12 1ª Subtracção.
__	__
36	40
12 2ª Subtracção.	12 2ª Subtracção.
__	__
24	28
12 3ª Subtracção.	12 3ª Subtracção.
__	__
12	16
12 4ª Subtracção.	12 4ª Subtracção.
__	__
0	4

No primeiro exemplo a divisão é exacta; o numero de subtracções representa o numero de unidades de que se compõe o quociente; e, no segundo exemplo, a divisão não é exacta, e o numero de subtracções representa o numero de unidades de que se compõe a parte inteira do quociente.

Quando a divisão não é exacta, significa que não existe nenhum numero inteiro que, multiplicado pelo divisor, reproduza o dividendo. Então o dividendo é igual ao producto do divisor pelo quociente mais o resto.

Nem sempre convém empregar este processo elementar e espontaneo , por depender algumas vezes de grande trabalho e de muito tempo, e isso acontece todas as vezes que o dividendo é muito grande em relação ao divisor.

Applica-se então um processo abreviado e racional, deduzido da consideração de ser o problema da divisão inverso do da multiplicação.

46. No estudo do processo especial da divisão dos números inteiros, consideraremos dous casos:

1.º Caso: O divisor tem um só algarismo.

2.º Caso: O divisor tem mais de um algarismo.

Em ambos os casos o quociente poderá ser simples ou composto.

Subdividindo-se cada um d'esses casos em dous, pois em cada um d'elles póde o dividendo ser menor ou maior que dez vezes o divisor, fica o numero de casos sendo quatro:

1.º Caso: O divisor tem um sô algarismo e o dividendo é menor que dez vezes o divisor. O quociente será simples.

2.º Caso: O divisor tem um só algarismo e o dividendo é maior que dez vezes o divisor. O quociente será composto.

3.º Caso: O divisor tem mais de um algarismo e o dividendo é menor que dez vezes o divisor. O quociente será simples.

4.º Caso: O divisor tem mais de um algarismo e o dividendo é maior que dez vezes o divisor. O quociente será composto.

Tratemos de cada um d'esses casos.

47. 1.º Caso. — Seja o numero 72 para dividir pêlo numero 8.

Sendo o dividendo menor que dez vezes o divisor, o quociente é um numero simples e se obtém por meio da taboada de Pythagoras.

48. 2.º Caso. — Seja o numero 648 para dividir pelo numero 9.

648	9
630	72
18
18
0

Sendo o dividendo maior que dez vezes o divisor, o quociente tem mais de um algarismo.

Vejamos de quantos algarismos consta o quociente.

900=9\times 100>648

90=9\times 10<648

O numero 100, multiplicado pelo divisor 9, dando um producto 900, maior que o dividendo 648, não póde o quociente ser 100, nem numero maior que 100, isto é, não póde ter tres, nem mais algarismos; e se o numero 10, multiplicado pelo divisor, dá um producto 90, menor que o dividendo, não póde o quociente ser numero menor que 10, isto é, ter um só algarismo. Ora, se o quociente não póde ter um só algarismo, se não póde ter tres, nem mais de tres algarismos, tem necessariamente dous.

Como se obtém cada um d'elles ? O quociente, tendo dous algarismos, compõe-se de dezenas e unidades; e sendo o dividendo o producto do divisor pelo quociente, é elle um todo composto de duas partes; 1ª, producto do divisor pelas dezenas do quociente; 2ª, producto do divisor pelas unidades do quociente.

Separando do dividendo cada uma d'essas duas partes, e dividindo cada uma d'ellas pelo divisor, teremos as dezenas e as unidades do quociente.

Tratemos, pois, de separar do dividendo a primeira parte.

O producto das dezenas do quociente pelo divisor dará pelo menos dezenas, portanto esse producto estará contido nas 64 dezenas do dividendo; e dividindo essas 64 dezenas pelo divisor 9, teremos o algarismo 7 para as dezenas do quociente. Multiplicando as 7 dezenas do quociente pelo divisor, teremos 63, que, deduzido das 64 dezenas do dividendo, deixa um resto de 1 dezena. Reunindo-a ás 8 unidades, teremos 18 para a segunda parte, isto é, para producto do divisor pelas unidades do quociente. Para achar estas, bastará dividir as 18 unidades do dividendo pelo divisor 9; o resultado é o algarismo 2 das unidades do quociente.

49. 3º Caso.— Dividir o numero 648 pelo numero 72.

Sendo o dividendo menor que 10 vezes o divisor, o quociente só tem um algarismo, e esse algarismo se obtém raciocinando do seguinte modo: sendo o dividendo o producto do quociente pelo divisor, no exemplo dado o dividendo 648 constará de duas partes, a saber: o producto do algarismo procurado do quociente pelas unidades do divisor, e o producto d'esse mesmo algarismo pelas dezenas do divisor. Destacando então no dividendo um d'esses productos e dividindo-o pelo divisor, teriamos o quociente procurado; mas d'esses productos o unico que póde ser destacado é o producto do algarismo procurado pelas 7 dezenas do divisor, porque este producto não forneceu reserva; elle estará contido nas 64 dezenas do dividendo 648. Portanto, dividindo essas 64 dezenas do dividendo pelas 7 dezenas do divisor, o quociente será muito provavelmente o algarismo procurado do quociente; essa divisão, feita pela tabella de Pythiagoras, dá 9. Para termos certeza de que 9 é o verdadeiro quociente, devemos multiplical-o pelo divisor e verificar se esse producto reproduz o dividendo 648. Effectivamente $72\times 9=648$ , portanto 9 é o quociente pedido.

50. 4º Caso.— Dividir o numero 76518 pelo numero 327.

76518	327
65400	234
11118
9810
1308
1308
0

Sendo o dividendo maior que dez vezes o divisor, o quociente tem mais de um algarismo.

Vejamos quantos algarismos tem o quociente.

32700=327\times 100<76518

327000=327\times 1000>76518

O numero 100 multiplicado pelo divisor dá um producto menor que o dividendo, por isso o quociente será maior que 100; o numero 1000 multiplicado pelo divisor, dá um producto maior que o dividendo, por isso o quociente será menor que 1000. O quociente estando comprehendido entre 100 e 1000 se comporá de tres algarismos.

Como se determina cada um d'esses tres algarismos do quociente? O quociente, tendo tres algarismos, compõe-se de centenas, dezenas e unidades; e sendo o dividendo o producto do divisor pelo quociente, é elle um todo composto de tres partes: — 1ª, producto do divisor pelas centenas do quociente; 2ª, producto do divisor pelas dezenas do quociente; 3ª, producto do divisor pelas unidades do quocieute.

Se separarmos do dividendo cada uma d'essas partes e dividirmos cada uma d'ellas pelo divisor, teremos as centenas, as dezenas e as unidades do quociente. Ora, o unico producto que póde ser assignalado em primeiro logar no dividendo é o das centenas do quociente pelo divisor, porque os outros acham-se desfalcados, visto terem fornecido reservas para os productos que lhes são immediatamente superiores. Separemos, pois, do dividendo a 1ª parte.

O producto das centenas do quociente pelo divisor dará pelo menos centenas, portanto tal producto estará incluído nas 765 centenas do dividendo; por conseguinte, dividindo o dividendo por um de seus factores 327, virá para quociente o outro factor, isto é, o algarismo das centenas do quociente. Essa divisão effectua-se pelo 3º caso, e dá 2 para as centenas do quociente. Multiplicando as duas centenas pelo divisor e subtrahindo o producto do dividendo, o resto 11118 será composto das outras duas partes.

Tratemos de separar d'esse resto a 2ª parte, producto do divisor pelas dezenas do quociente.

Por um raciocínio semelhante, concluiriamos que o producto das dezenas do quociente pelo divisor está contido nas 1111 dezenas do dividendo parcial 11118. Portanto devemos separar o ultimo algarismo d'esse dividendo parcial e dividir 1111 dezenas pelo divisor (3º caso), e teremos o algarismo 3 para as dezenas do quociente.

Multiplicando as tres dezenas do quociente pelo divisor e subtrahindo esse resultado do 1º resto, o 2º resto representará a 3ª parte que, dividida pelo divisor, dará as unidades do quociente.

Pelo que fica exposto, podemos estabelecer a seguinte

Regra para dividir um numero inteiro por outro. - Separam-se no dividendo, para a esquerda, tantos algarismos quantos forem necessarios para que o numero formado por elles contenha uma vez o divisor no minimo e nove no maximo, e teremos assim o primeiro dividendo parcial, que, dividido pelo divisor, dará o primeiro algarismo do quociente. Multiplica-se esse quociente pelo divisor, e o producto subtrahe-se do primeiro dividendo parcial. A' direita do resto escreve-se o algarismo seguinte do dividendo e forma-se assim o segundo dividendo parcial, que, dividido pelo divisor, dará o segundo algarismo do quociente. Assim se continúa sempre até ter considerado todos os algarismos do dividendo.

As multiplicações dos diversos quocientes parciaes pelo divisor e as subtracções d'esses productos dos respectivos dividendos parciaes, podem ser effectuadas ao mesmo tempo, como se vê no exemplo seguinte:

475832	3284
14743	144 ${\textstyle {\frac {2936}{3284}}}$
16072
2936

Não sendo neste exemplo a divisão exacta, o quociente consta de duas partes: – uma de um numero inteiro 144; e outra, de uma fracção ${\textstyle {\frac {2936}{3284}}}$ que tem para numerador o resto da divisão e para denominador o divisor.

Principios relativos á divisão dos numeros inteiros

51. 1º Principio. – Se a divisão de um numero inteiro por outro fôr exacta, multiplicando ou dividindo o dividendo por um numero inteiro, o quociente fica multiplicado ou dividido por esse numero.

Com effeito, sendo a divisão exacta, o dividendo é um producto de dous números inteiros ou uma somma que se trata de dividir; o divisor é o multiplicador ou o numero de parcellas de que se compõe a somma, e o quociente é o multiplicando ou o valor de cada parcella (31 e 44); e se a somma a dividir torna-se duas, tres, etc., vezes maior ou menor, sem que o numero de parcellas seja alterado, o valor de cada parcella, isto é, o quociente fica duas, tres, etc., vezes maior ou menor.

52. 2º Principio. – Sendo a divisão de um numero inteiro por outro exacta, multiplicando ou dividindo o divisor por um numero inteiro, o quociente fica dividido ou multiplicado por esse numero.

Com effeito, se o dividendo não muda, isto é, se a somma não soffre alteração alguma, e se o divisor ou o numero de parcellas torna-se duas, tres, etc. vezes maior ou menor, cada parcella ou o quociente fica duas, tres, etc. vezes menor ou maior.

53. 3º Principio. – Sendo a divisão de um numero inteiro por outro exacta, multiplicando ou dividindo o dividendo e o divisor ao mesmo tempo por um mesmo numero inteiro, o quociente não muda.

Com effeito, multiplicando ou dividindo o dividendo por um certo numero inteiro, o quociente fica esse numero de vezes maior ou menor; e multiplicando ou dividindo o divisor por esse mesmo numero inteiro, o quociente fica esse mesmo numero de vezes menor ou maior, e portanto não póde mudar, por haver compensação.

54. 4º Principio.— Não sendo a divisão de um numero inteiro por outro exacta, multiplicando ou dividindo o dividendo e o divisor por um mesmo numero inteiro, a parte inteira do quociente não muda; mas o resto da divisão apparece multiplicado ou dividido por esse numero.

Com effeito, sendo o resto da divisão a diferença entre o dividendo e o producto do divisor pela parte inteira do quociente, tornando-se o dividendo e o divisor um certo numero de vezes maior ou menor, o producto do divisor pela parte inteira do quociente fica tambem esse numero de vezes maior ou menor. Ora, se o dividendo e o producto do divisor pela parte inteira do quociente ficam um certo numero de vezes maiores ou menores, sua diferença ou o resto da divisão fica maior ou menor esse mesmo numero de vezes.

Provas da multiplicação e divisão

55. Da definição de divisão se deduz o meio de provar estas duas operações, porquanto, se na divisão se dá um producto de dous factores e um d'elles para determinar o outro, é claro que, todas as vezes que dividirmos um producto de dous factores por um d'elles, o quociente será sempre o outro factor; e que, se multiplicarmos o divisor pelo quociente, o producto será o dividendo.

Assim, pois, a prova da multiplicação dos numeros inteiros consiste em dividir o producto por um dos factores; o quociente será o outro factor; e a da divisão consiste em multiplicar o divisor pelo quociente, e o producto será o dividendo.

MUDANÇA DE BASE NOS SYSTEMAS DE NUMERAÇÃO

Sendo conhecidas as quatro operações sobre os numeros inteiros, completaremos o estudo da numeração, resolvendo os tres problemas seguintes:

1º

Um numero sendo escripto no systema de numeração decimal, escrevel-o em um outro systema de base dada. Seja o numero 8756, representado no systema decimal, para escrever no systema cuja base é 7.

Como no systema de base 7 as unidades das differentes ordens formam-se de sete em sete, o numero conterá tantas unidades de segunda ordem, quantas vezes o numero 7 fôr contido nelle, e o resto da divisão representará o numero de unidades de primeira ordem.

O quociente, representando unidades de segunda ordem, conterá tantas unidades de terceira ordem, quantas vezes o numero 7 fôr contido nelle, e o resto d'essa segunda divisão representará o numero de unidades de segunda ordem.

Assim continuando, teremos as unidades das outras ordens do numero dado, representado no systema cuja base é 7.

Effectuando as divisões successivas, temos:

8756	7
6	1250	7
	4	178	7
		3	25	7
			4	3	7
				3	0

e a representação do numero dado nesse systema será 34346.

Do que fica estabelecido deduz-se a seguinte:

Regra.— Divide-se successivamente o numero dado pela base do systema até achar para quociente zero. Os restos, escriptos da direita para a esquerda e na ordem em que forem achados, formarão o numero pedido.

2º

Um numero sendo escripto em um systema de numeração de base dada, escrevel-o no systema decimal.

Seja o numero 34346, representado no systema cuja base é 7, para escrever no systema decimal.

As 3 unidades de quinta ordem correspondem a $3\times 7$ ou 21 unidades de quarta ordem, que, reunidas as 4 do numero dado, perfazem 25 unidades de quarta ordem.

As 25 unidades de quarta ordem correspondem a $25\times 7$ ou 175 unidades de terceira ordem, que, reunidas ás 3 do numero dado, acha-se 178 unidades de terceira ordem.

As 178 unidades de terceira ordem correspondem a $178\times 7$ ou 1246 unidades de segunda ordem, que, reunidas ás 4 do numero dado, perfazem 1250 unidades de segunda ordem.

Finalmente, as 1250 unidades de segunda ordem correspondem a $1250\times 7$ ou 8750 unidades de primeira ordem, que, reunidas ás 6 do numero proposto, dão como resultado 8756.

Do exposto devemos concluir a seguinte:

Regra.— Multiplicam-se as unidades representadas pelo primeiro algarismo á esquerda pela base do systema, e somma-se o producto com as unidades representadas pelo algarismo seguinte; a somma multiplica-se pela base do systema e reune-se o producto com as unidades representadas pelo algarismo seguinte, e assim successivamente, até ter juntado as unidades representadas pelo algarismo da direita.

3º

Um numero sendo escripto em um systema de base dada, escrevel-o em um outro systema de base também dada, sendo porém as bases dos dous systemas differentes de 10.

Seja o numero 2534, escripto no systema de base 6, para escrever no systema de base 7.

Consegue-se resolver directamente esta questão, dividindo successivamente o numero dado por 7, fazendo, porém, as divisões no systema de base 6.

Efectuando, pois, as divisões, acha-se

2534	7
4	230	7
	6	20	7
		5	1	7
			1

e a representação do numero será 1564.

O processo indirecto consiste em escrever o numero dado no systema decimal, e depois escrever o resultado no systema cuja base é 7.

No systema septimal, 7 unidades de uma ordem formam uma de ordem immediatamente superior; portanto, dividindo o numero 2534 por 7, o quociente será expresso em unidades de 2ª ordem, e o resto dará as unidades de 1ª ordem. Para ter as unidades de 2ª ordem, deveremos, pelo mesmo principio, dividir por 7 o quociente achado; esse novo quociente será expresso em unidades de 3ª ordem, e o resto dará as unidades de 2ª ordem e assim por diante. Este processo é semelhante ao do problema 1º, pois de facto elle constitue o caso mais geral. As operações devem se effectuar, porém, no systema de base dada, conforme é fácil comprehender.

Para effectuar as divisões applica-se a mesma regra da divisão no systema decimal, convenientemente modificada, como é fácil comprehender pelo desenvolvimento abaixo:

Seja a dividir 2534 por 7

2'	5'	3	4	7
$2\times 6=$	12			0230
	17
	$3\times 6=$	18
		21
		$0\times 6=$	0
			4

CAPITULO II

PROPRIEDADE GERAES DOS NUMEROS

56. Expostos os processos para effectuar as quatro primeiras operações sobre os numeros inteiros, vamos nos occupar do estudo das propriedades geraes d'esses números; e, sendo necessario, não só para esse fim, como tambem para o desenvolvimento das outras partes da arithmetica, o conhecimento das principaes operações algebricas, trataremos antes de tudo de deduzir as regras para cada uma d'essas operações, começando pela exposição dos signaes que a algebra emprega.

Os principaes signaes empregados na algebra são dez:

1º Letras do alphabeto.

2º $+$ que se lê mais.

3º $-$ que se lê menos.

↑ Nota do revisor: existe pelo menos uma ordem com unidades pois supõe-se que o minuendo é maior que o subtraendo.

[1] Nota do revisor: existe pelo menos uma ordem com unidades pois supõe-se que o minuendo é maior que o subtraendo.

[1]