D'estas fórmulas a mais importante é a ultima, porque é empregada na resolução do seguinte problema, que, pelas suas applicações, é considerado como um dos mais importantes d'esta theoria :
Inserir entre ãous termos quaesquer ãe uma progressão por ãifferença um numero qualquer ãe meios ãifferenciaes.
Antes de tratar d-'esta questão, notemos que sendo m o numero de meios que se quer inserir entre os termos ael de uma progressão, o numero de termos da progressão será m+2, e como esse numero é representado nas fórmulas por n, segue-se que m+2=n 0u m+l=:n—1, e fazendo nas ultimas fórmulas a substituição, teremos
1 — a a — 1
r =- • r =-
m + l m 4-1
Estas duas fórmulas se traduzem na seguinte
Regra.—Para inserir meios ãifferenciaes entre ãous termos quaesquer ãe uma progressão por ãifferença, subtrae-se o menor ão maior e ãiviãe-se o resto pelo numero ãe meios que 'se quer inserir, augmentaão ãe uma uniãaãe. O quociente ê a razão ãa progressão.
1.° Exemplo : Inserir entre d e 32, 13 meios ãifferenciaes.
1 — a
Applicando a fórmula r = m ^; temos
_ 32 — 4_28 _ r-Í3~+i-Ti-2
A progressão será
-í- 4. 6.8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 30. 32.
2o. Exemplo : Inserir 14'meios ãifferenciaes entre 50 e 5.
a— 1
Applicando a fórmula r = , temos 50 — 5 45
r —_— — — a
14+ 15
A progressão será
-s-50. 47. 44. 41. 38. 35. 32. 29 . 26. 23 . 20. 17. 14. 11. 8. 5.
Yianna — Arithmetica 15
