Quadratura do círculo

by Srinivasa Ramanujan

Quadratura do círculo

(Jornal da sociedade indiana de matemática, v, 1913, 132)

Seja $PQR$ um círculo com centro $O$, cujo diâmetro é $PR$. Bisseccione $PO$ em $H$ e seja $T$ o ponto da trisecção de $OR$ mais próximo a $R$. Desenhe $TQ$ perpendicular a $PR$ e coloque a corda $RS=TQ$.

Junte $PS$, e desenhe $OM$ e $TN$ paralelos a $RS$. Coloque a corda $PK=PM$, e desenhe a tangente $PL=MN$. Junte $RL$, $RK$ e $KL$. Corte $RC=RH$. Desenhe $CD$ paralelo a $KL$, encontrando $RL$ em $D$.

Entâo, o quadrado em $RD$ será igual ao círculo $PQR$ aproximadamente.

Para

$RS^{2}={\frac {5}{36}}d^{2}$,

onde $d$ é o diâmetro do círculo.

Portanto

$PS^{2}={\frac {31}{36}}d^{2}$.

Mas $PL$ e $PK$ são iguais a $MN$ e $PM$ respectivamente.

Portanto

$PK^{2}={\frac {31}{144}}d^{2}$, e $PL^{2}={\frac {31}{324}}d^{2}$.

	Logo	$RK^{2}=PR^{2}-PK^{2}={\frac {113}{144}}d^{2}$,
e		$RL^{2}=PR^{2}+PL^{2}={\frac {355}{324}}d^{2}$.

	No entanto	${\frac {RK}{RL}}={\frac {RC}{RD}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {113}{355}}}$,
e		$RC={\frac {3}{4}}d$.

Portanto

$RD={\frac {d}{2}}{\sqrt {\frac {355}{113}}}=r{\sqrt {\pi }}$ muito aproximadamente.

Nota.—Se a área do círculo for $140.000$ milhas quadradas, então $RD$ é maior do que o comprimento real em cerca de uma polegada.