Quadratura do círculo

Quadratura do círculo
por Srinivasa Ramanujan, traduzido por Gilson Ronchi, licenciado nos termos da CC-by-2.5 br

Edição de referência: página 1.
Publicado no Journal of the Indian Mathematical Society, vol. V, 1913, página 132.

(Jornal da sociedade indiana de matemática, v, 1913, 132)

Seja $P Q R$ um círculo com centro $O$ , cujo diâmetro é $P R$ . Bisseccione $P O$ em $H$ e seja $T$ o ponto da trisecção de $O R$ mais próximo a $R$ . Desenhe $T Q$ perpendicular a $P R$ e coloque a corda $R S = T Q$ .

Junte $P S$ , e desenhe $O M$ e $T N$ paralelos a $R S$ . Coloque a corda $P K = P M$ , e desenhe a tangente $P L = M N$ . Junte $R L$ , $R K$ e $K L$ . Corte $R C = R H$ . Desenhe $C D$ paralelo a $K L$ , encontrando $R L$ em $D$ .

Entâo, o quadrado em $R D$ será igual ao círculo $P Q R$ aproximadamente.

Para

R S^{2} = \frac{5}{36} d^{2}

,

onde $d$ é o diâmetro do círculo.

Portanto

P S^{2} = \frac{31}{36} d^{2}

.

Mas $P L$ e $P K$ são iguais a $M N$ e $P M$ respectivamente.

Portanto

P K^{2} = \frac{31}{144} d^{2}

, e

P L^{2} = \frac{31}{324} d^{2}

.

	Logo	$R K^{2} = P R^{2} - P K^{2} = \frac{113}{144} d^{2}$ ,
e		$R L^{2} = P R^{2} + P L^{2} = \frac{355}{324} d^{2}$ .

	No entanto	$\frac{R K}{R L} = \frac{R C}{R D} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{113}{355}}$ ,
e		$R C = \frac{3}{4} d$ .

Portanto

R D = \frac{d}{2} \sqrt{\frac{355}{113}} = r \sqrt{π}

muito aproximadamente.

Nota.—Se a área do círculo for $140.000$ milhas quadradas, então $R D$ é maior do que o comprimento real em cerca de uma polegada.