Tratado de Algebra Elementar/Livro 5/Capítulo 2

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Tratado de Algebra Elementar por José Adelino Serrasqueiro
CAPITULO II
Livraria Central de J. Diogo Pires (1906). páginas 370-381

5 —10 11 0 -10 —11 12 4 11 12 —11 2

0 4 2 —6

3 —10 —10 —11 11 12 1 5

11 0

12 4

-11 2

3 0

= — 2

5

— 32 1

• 10 11

-35 34 5 3

(n.° 384, 1.°) = —10

7 — 2 17 1 7 17 = — 10 — 25 0 — 7 1 55 —10 o 1 -25 55

5 —10 ■]32 35 |il 12

i 1 5

i

5 - — 32 - 1

I

369 li o

34 0 -11 2

3 0

-2 11 j -7 34 I 1 3

= 8^00.

16 24 33

25 35 45

27 36 55

38 51 78

= 20

3 16 24 33

15 7 9

5 27 36 55

7 38 51 78

= 20

0 ll 3

1 0 0

6

a 7 9 l 1 10

3 2 15

1 3 6 1 1 3 6 2 1 10 = — 201 0 — 5 — 2 = — 20 3 2 15 1 o — 7 — 3 i

1 1 1 1 |

a b c d |

«2 c2 d2'

a3 b'A c3 rP

0 0 0 1

a —d b —d c —d d a2—d2f>2—d2cJ—d2d2

a>

-d* b* —rP c?—rP d5

5 2 7 3

a —|d b —d c —d a*—d? tf—d* c2—fP a3-|d3 IP—d* tf—d*

1 1 i 1

a -f d b -j-<? c +d aP+ad-j-d* P-^bd+d? c^+cd^d2

0 0 1 a —c b —c i c 4-d

a2—cH d(a—c) b'1—c2-|-fí(6+—<■■) c2+<-d+d*

a — c b -f c

a2 — e5 + d(a — c) V- -J- c2 + d(b - c)

1 1

a + c + <jí ò + c-f d

= — (a — d) (6 — <?)(c — d) (a — c)(b — c){b — a) = (a — b)(a — c) (a — d) (b — c) (6 — d) (c—d).

=(n-° 384, 1.»)=—(a—d)(5—d)](c— d)

= — (a-d) (6—d) (c—d)

= — (a — d) (6 — d)(c — d) = — (a — d) (b—d) (c— d) (a —c)(b — c)

l iílh, CAPITULO II

Applicação dos determinantes á resolução e discussão de um systema de equações do primeiro grau

§ 1.° Resolução de um systema d.e equações tio primeiro grau.

395. Supponhamos o systema de n equações a n incógnitas:

axx + % + Ciz -\-----+ ht= Pi

azx + % + Czz + • •+ IJ = Pz


a„x + b„y + c„z -)-----+ l„t = p„

Os coefficientes das incógnitas formam um determinante do grau », chamado determinante do systema de equações. Designando este determinante por A, temos

«i bx ci—lt

«2 bz Ci- . . .li

Cln bn Cu... .In

determinante que, ordenado em relação aos elementos de cada columna, toma as fórmas seguintes:

A = A ,04 + A2«2 +----+ A,,((,,

A =6,6,4-2262+.-..4- B„í>„

it Cn

A = L,/, +LzZ2 H-----+ L„Z„

Substituindo no primeiro valor de A os elementas da primeira columna pelos elementos de cada uma das outras, serã (n.° 391)

A A + A zbz + A1C1 + A2c2 +

Aih +Aik+

.. .4- A„6„ = 0 . ..+A„c„==0

...+ A»/„ = 0

(2).

Do mesmo modo, substituindo no segundo valor de A os elementos da segunda columna pelos elementos de cada uma das outras virá

Bi«, -t- B2a2 4----4-B„«„ = 0 \

B,c, + B 2c, + BuC,, = 0 (3)_

B1/1 + B2/2-f.... + B„íil-=0 )

e assim em relação aos outros valores de A.

Posto içto, multiplicando as equações propostas respectiva- mente por Ai, As - . . .A„, e sommando os resultados, vem

(Ai aj 4- Ag ag +... + A„ an) x + (Ai bx + A2 b<z +. . . 4 A„ bn)y + (AjCi -hA2C2-lr...+A,íí'll)2 4...4 (Ai/]+A2/2+.. .+Anl,^t = Ai px 4 A2/>2 + • • • + ;

mas, attendendo a (2), vemos que os coefficientes de todas as . incógnitas, excepto o de x, são nullos: logo

(Ai at 4- A2 «2 + . . • + Anan)x = Axpx + A2/?2 + - . .Anpn.

Multiplicando as equações propostas respectivamente por Bt, B2. . . ., e sommando, temos

(Bi ai 4 B2 a2 + • ■ ■ + «íi) ^ 4 (Bi ii 4 B2 4. . . 4 B„ bn)y 4 (Bi ct 4B2c2...4B>lcí!)z4...4-(BiZ1 4 B2/24...+ B?1Zn)í = Bi px 4 B24. . . 4 B„p„,

ou, attendendo a (3),

(Bi bt 4B2Í)2 + - ■ ^Bn^i/^xBi/ii 4B2pa + - • • + B„^„,

e assim por deante. Finalmente, multiplicando as equações pro- postas por Li, L2,. - .L„ e sommando, obtem-se

(Li lx + Lfc 1% 4. . . L„ ln)t — Lx px 4 L2P2 + • • ■ L„p%.

Ora, suppondo que os determinantes menores Af. A2. . pelos quaes se fizeram as multiplicações não são todos nullos, o systema proposto é equivalente ao systema

= Atpt 4 -\-----4-A„jp„

A y = Bj^i -f B?p2 -|-----4- l!„j»„

A t = L^j 4- L2p2 4----+ e por consequencia, suppondo o determinante A differente de zero, as raizes do systema proposto sào dadas pelas fórmulas

oc-.

Aijpi-f A2p2+...+&nPn

y==

Bj pi+B2P2+... + Bnp,i

Destas fórmulas deduz-se a seguinte regra para resolver um systema qualquer de equações do primeiro grau:

O valor de uma incógnita qualquer tem por denominador o de- terminante do systema de equações, e por numerador o determi- nante que se deriva d aquelle, substituindo os coefficientes da incó- gnita, de que se tracta, pelos segundos membros das equações respectivas.

Esta regra, que demonstrámos para um systema qualquer de equações, é conhecida com o nome de regra de Cramer; pois que este geometra a estabeleceu por inducçâo, fundando-se nas for- mulas que resolvem um systema de duas e tres equações.

3DO. Exemplos: 1Resolver o systema

4a; — % = — 28 7a; — 4 18.

Temos

A _ 4 — 5 I A = 7 — 4 1 N.= 25 — 18 — 5 4 N„ = 4 — 25 7 18 190 X~l9 = 10 y

= 100 + 90= 190,

= 247.

Logo:

2.° Resolver o systema

5a;+3^ —2z = 9, 3a? — 4y + hz ■■ Temos

247

' 19

= 13.

= 14, kx+Sy— 3z = 8.

5 3—2 5 3 1 5' 3 1 A = 3—4 4 = 3 —4 0 = 3—40 = 4 5—3 4 5 0 —6—1 0 9 3—2 9 3 1 9 3 1 N* = 14 —4 4 = 14 —4 0 == 14 —4 0 = 8 5 —3 8 5 2 —10 —1 0

3 4 —6 —1

14—4 —10—1

= — 27 Ai


N* =

5 9 —2

3 14 4

4 8—3

5 3 9

3 —4 14

4 5 8

1 1 1

3 14 4

4 8—3

1 —2 1

2 —4 14 4 5 8

1 O O

3 11 1 =

4 4 —7

1 O O

3 13 11 =

4 17 4

11 1

4 —7

13 11 17 4

= — 81

-135

Logo

x -

■54

— 27

í/ =

— 81 -27

1 „ ~135 1 5 = —27= 5"

3.° Resolver o systema


1 1-

N» =

1- -1 2 1 — 1 2 1- -1 2 1 1 1 _2 3- -1 3 0 1 = 1 0- -2 8 1 — 1 2 9- 1 2 1 2 2 1- 1 11 1 1 1

£ + 2/— z + 2í= 8 a;— í/ + 2z + t = 9 — a; 4-22/+ z — / = 1 2 a; + y + z+ t=ll.

1 0 0 0

1—2 3—1 -13 0 1

2—1 3—3

3—1 0 1

3 — 3

= — 3

3 1

1 — 2

= 21,

N„


-13 — 7 — 5 10 7 3 0 0 — 1

1 8—1

1 9 2 -12 1

2 11 1

1 3 — 1 10 0 1 — 6 0 — 2 1 1 8 1 — 1 9

— 1 2 2 — 2 1 11

— 3

-10 3 — 5 0

9—1 2 1

11 1 3 0

2 2—1 0

■13 — 7 10 7

18 12

0 1 3—1

0 10 0 1

0—5 3 — 3

10 1 — 6 — 2

118 2 0—2 1—1 0 3 10 1 0—1—5—3

10 3 — 5

11 1 3 2 2—1

1 3 — 1 10 0 1

— 5 3 — 3

— 2 1 — 1 3 10 1

-1-5—3 Jí =

i 11 o

3 10 1 8 25 O 1 1-

11

25

= 63,

1 — 1

1 l

— 2 3 3 O 10 1 0 — 6

1 8

2 9 2 12 1 1 11 1

1 1

0 — 2 O 3 0—1

= — 3

, 21

logo ®= j =

= 1,

3 ■1 -

H2

10

-6

8

3 1 O 10

3 — 5

= 84:

z — "

3 1 O 10

3—5

m

21"

| 2." Discussão do sjstema de n equações do primeiro grau a n incógnitas

393. Quando o determinante A do systema não é nullo, as fórmulas geraes dão para o systema proposto uma solução única e determinado.

Com effelto, substituindo na primeira equação proposta os valores das incógnitas, dados pelas fórmulas geraes, e desemba- raçando do denominador commum A, a equação converte-se em

«1 (AlPl + + - • • + A„Pn) + h (Bi+ +. .. + B„_p„)

l-C!(C]+C2P2 i-...-r(]npll)+. .+L„^,)=Aj91:

ordenando o primeiro membro em relação aos termos indepen- tes p\, j»2 • • -» vem

(Aiai+3i6]4Cicj+...4 LiZ^)/}1+(A2«i+B2Í't-1-C2Ci+.

+ (Ana\ + 4- Cmr, 4-. . . + LJi}pn = Ap,.

C coefficiente de p\ é o deter ninante A ordenado segundo os elementos da prime:ra li.iha; e como os coefficientes de p<i,p$. . são nulios (n.°39í); a primeira equação proposta reduz-se á identidade A^ = kpl; e o mesmo tem logar em relação âs outras equações.

Quando o. determinante A e nullo, o systema proposto é impossível, se nenhum dos numeradores das fórmulas geraes for nullô; porém, se algum dos numeradores for nullo, o systema é indeterminado.

Em geral os determinantes menores de primeira ordem não são todos nullos, e seja o determinante Aj differente de zero. Então, substituindo a primeira equação proposta que foi multi- plicada por A| pela equação resultante

Ax — Aipi + A2P2 + .. .+ Anp,„ teremos um systema equivalente ao proposto.

Se o segundo membro d'esta equação for differente de zero, como por bypothese é A —0, a equação é impossivel; e por con- sequencia também é impossivel o systema proposto de que ella faz parte. Porém, se o segundo membro for nullo, esta equação reduz se a uma identidade; e então o systema proposto, redu- zindo se a n — 1 equações com n incógnitas, é indeterminado (n.° 175).

Advertkncja. Se os determinantes menores de primeira ordem forem todos nullos, e se alpum menor de segunda ordem não for nullo; como um determinante menor de uma ordem qualquer se desenvolve segundo os seus menores pela mesma fórma que A, conclue-se que o systema proposto é também impossivel ou inde- terminado; e neste caso o systema reduz-se a n — 2 equações com n incógnitas.

Em geral, se forem nullos todos os determinantes menores até ô ordem k exclusive, o systema, se for indeterminado, fica redu- zido a n — k equações com n incógnitas.

3f)f>. Quando os segundos membros das equações são nullos excepto um, pt por exemplo, os valores das incógnitas são respe- ctivamente proporcionaes aos determinantes menores correspondentes aos coefficientes da equação não homogenea. Porém, se A for nullo, o systema è impossivel ; e indeterminado se aquelles determinantes menores forem nullos.

Sendo nullos os segundos membros excepto pi:, o systema (4), equivalente ao proposto, reduz-se a

Aa- == Al(pk, Ay = Bkpk, Az = Ckpk,----

A kPk KkPk C lcpk Se for A = 0, o systema, reduzindo-se a

0.# = A kpn, 0.y = Bkpk, 0. z = C/£p/c,----

ê impossível. Porém, se for A/c —0, B/{ = 0,. . . o systema, reduzindo-se a

0. a; = 0, 0 .y ■= 0, 0.^ = 0,____

é indeterminado.

-AOO. Quando os segundos membros das equações são lodos nullos, islo ê, quando as equações são homogéneas, o syslema so- mente admitte a solução zero, se A não for nullo; e no caso con- trario o systema é indeterminado.

Sendo nullos os segundos membros das equações, o systema proposto reduz-se a

Aa; = 0, Ay = 0, Az=0,____

d'onde se vê que, se A não for nullo, o systema sómente fica satisfeito pondo x = 0, y — 0,. . . Porém, se for A = 0, o sy- stema, reduzindo-se a 0.íc = 0, 0 y — 0. . . é indeterminado.

Advertencia. Neste ultimo caso, os relações das incógnitas, em geral, são determinadas.

■ Dividindo por I as n — 1 primeiras equações do systema pro- posto, resultam as equações

aif + àif + c,f + - ..+li = 0 j

+ .....+ /„_!=() 1

Ora, sendo o determinante A nullo, ordenando-o em relação aos elementos da linha k temos

A fcO/t + B kbk + C+----Lklk — 0;

e substituindo os elementos da linha k pelos elementos de cada uma das outras, obtem-se (n.° 391)

A/, ai -f B* b, + C(í ^ +. .. + í| lt ]te:'0 As az -f Ba ti2 -\ ■ C,< cz -f ...4- h< k = 0

Aa a„-i -j- Bft 6„_i -f Cít c„-i -f----=0,

ou div; rindo por L/t,

A h ■ , B/c . Cft - . , r\ fo-prWWf +ci r + = 0

JUí Mi Jj/í

Fstes resultados mostram que as equações (5) ficam satisfeitas, pondo

t L h t ■' t -I

D'onde se vê que as relações das ..fcognitas sào determi >adas, excepto no caso de serem nullos todos os determinantes menores de primei-a o: dem

Como k pode tomar todos os valores -nteiíos desde 1 até n, os resultados antecedentes mostram que: as relações das incógni- tas são propor cionaes aos determinantes menores correspondentes aos coefficientes das incógnitas cm qualquer das equações propostas.

Jt. Em, vm systema de n + ( equações do primeiro grau a n incógnitas, o resultado da elir,unação das incógnitas obtem-se egualando a zero o determinante formado pelos coefficientes aas in- cognvas e pelos termos conhecidos transpostos para o primeiro membro. Seja

atx +bly + c,z +-.-■+ ht =pt

a%x tojMtf 4" ..-\-kt =-pi

aKx +b„y + c„z* 4----+l»t = p„

a»+i ®4- y 4- tów "-+■•• -f Mf p»+>

tim systema de n + 1 equações a n incógnitas. Para tlim; íar as incógnitas, basta resolver as n primeiras equações, e substituir os valores de ac, y, z,. . na ultima equação. Fazendo as substi- tuições e desembaraçando do denominador commum, o resultadc da substituição é

a„_i

m


Pi ■h ftt Pí ■■ ■ h ft bi.. • 2 + 0! Pt • ■■h Pn In-- . In a„ P« . ./„ «l ..lt «í ■ h M .. .k bi,. ■h — P»+l a„ ■ In ft„ bn.. ..In


= 0.

Trocando em cada um dos determinantes que entram nesta equação, a columna dos p com cada uma das seguintes até lhe lazer occupar o ultimo logar, cada um dos determi lantes, excepto os dois últimos, fica multiplicado por uma certa potencia de — 1. Além d isto, como o numero das trocas diminue de uma unidade de um deteni.inante para o seguinte, os signaes d'estes determi- nantes são alternadamente + e —. Finalmente, mudando os si- gnaes nas columnas dos p, cada determinante, excepto o ultimo, muda de signal: podemos pois escrever o resuitado ds eliminação do modo seguinte:

bi ct. •—P1 at ct.. — V, V . — p, 0„-|-i h Ca. • —Pi ai c%.. — Vt b,2. •—Pt bn Cn ■—Pv a„ Cn- • —Pi aH b,„. ■—Pn


ai I\

Ch h

.(t).

Tosto isto, des'gnando por A o "determinante formado peíos coefficiertes das incógnitas e pelos termos co.ihecicios depois de transpostos, temos

at bi Ci

On bn Cn On+1 In-(-1 Cn+l

h

, <2

— Pi —p%

In

■ ln+i

Pn

-.Pn+i ■Ml

Comparando (I) com A, vemos que o primeiro membro de (1) é precisamente o determinante A ordenado em relação aos ele- mentos da ultima linha ; e por consequencia temos demonstrado que o resultado da eliminação das incógnitas é A = 0.

Á equação A = 0 chama-se resultante do systema, e exprime a condição de possibilidade de um systema de n +1 equações a n incógnitas.

EXERCÍCIOS

652. Determinar a classe a que pertencem as permníações seguintes: bcdae, dacbe, acedb.

Desenvolver os determinantes seguintes, applicando a regra de Sãrrus aos que têm nove elementos :

653.

656.

658.

66D.

a b I c d I

— 9 8

— 4 6

654.

3 7 1 6

3 2

11 7 !

5 2

(83).

8 12 3

ma m,b a- b*

657.

659.

(— 89) 661.

3

5

5 IS

655.

1 2 3 4 S 6 7 8 9

4

ó

3 20 8 50

(14).

(0).

(-112,1).

Fazer occupar o primeiro logar ao elemento sublinhado nos determi- nantes seguintes:

6 8 5 15 10 8 3 5 7 662. 7 9 2 663. 9 12 13 664. 2 4 6 11 3 1 7 5, 4 7 8 9

Simplificar os determinantes seguintes:

665.

3a! 126 5«* 1562

x3 x

yZ yi

667.

9 15 10 25 668.

15 12 3 18 27 9 21 14 7

669.

35 56 63 75 84 18 60 64 54

670.

15 24 33 28 32 44 35 56 77

Transformar os determinantes seguintes, de modo que os elementos de uma linha ou de uma columna se reduzam á unidade:

671.

2 3 9 4 17 16 6 15

672.

yz x x? xz y ?/•• xy z &

673.

m x y m* x1 yl mn x3 y3

Desembaraçar dos elementos fraccionados os determinantes seguintes:

674.

3 A

á 2

675.

14- 24-

3^ 4

3 A 1 7 d14

676.

1 1

4 3 3 5

l|lO

Calcular, pela regra do n.° 390, os determinantes seguintes:

9 8 6 5 1

677.

6 6 11

4 7 2 3 9 8

(199)

678.

2 4 10 12 1 7

5 13 2

(7411).

Calcular, pela regra do n.° 394, os determinantes seguintes :

679.

681.

15 12 3 18 27 9 21 14 7

(756)

680.

683.

9 13 17 4 18 28 33 8

40 40 54 13 24 37 46 11

3 2 0 0 17

41 6 9 8 43 0 0 0 0 16

9 14 7 1 12 0005

(— 15). 682.

. (-11904). 684.

15 24 33 20 32 44 35 56 77

13 11 2 8

7 8 9 5 5 3 10 2

4 11 6 13

(0).

1 6 12 15 8 16 9 14 132 8 1711 17 12 7

2 10 27 31 5 4 3 18 21 41

(2582).

.(—107077).

0 a b c a 0 c b b c 0 a c b a 0

— (a-f 6 + c) («—6 + c) («+&—c) (6+c—«). ou, desenvolvendo directamente,

a* + b* + c4 - 2— 2«V-