Página:Elementos de Arithmetica.djvu/131

Wikisource, a biblioteca livre
Saltar para a navegação Saltar para a pesquisa


Supponhamos m<Cp

Multiplicando ambos os termos da fracção ~ por 2p_In,eat-ndendo a que 2pX5p=10p, acha-se

a _ a __ a _ aX2p~m _

b —2X2X2X.......5X5X • - .. ~2mX5p~2»'X2p-mX5p~~

__aX2p-m_aX2p-m

Alebot 2p X í>p 10p

O denominador da ultima fracção sendo uma potencia de 10, essa fracção é decimal e de numero limitado de algarismos.

162. 2° Principio—Se o denominador ãe uma fracção orãinaria irreãuctivel tiver um ou mais factores primos differentes ãe 2 e 5, a fracção converte-se em fracção decimal de numero infinito ãe algarismos. Essa fracção ãecimal é periódica

Seja a fracção irreductivel e supponhamos que o denominador b tenha um factor primo c diiferente de 2 e 5.

Para converter a fracção em fracção decimal, devemos escrever zeros á direita do numerador.

Suppondo que o numero necessário de zeros para convertel-a em

—ayiOm

decimal seja m, ella tomará a seguinte fórma —-—:

O denominador sendo por hypothese divisível por c, o quociente da divisão é numero inteiro, que representaremos por Q, e teremos

Q ou b=cQ.

Substituindo na fracção em logar de b o seu valor cQ,

resulta

a X 10m cQ

Se provarmos que a divisão não é exacta, seja qual fôr o valor de m, isto é, seja qual fôr o numero de zeros que se escreva á direita do numerador, teremos demonstrado a primeira parte do principio.

O numerador não é divisível pelo denominador, porque se aX10ffi fosse divisível por cQ, seria também divisivel por c (n. 69); mas c, sendo numero primo e dividindo aX10m,tem de dividir a ou 10m (n. 89) ; ora, c não pôde dividir a I0m, porque para isso era necessário que dividisse 10, o que não é possível porque os factores primos de 10 são 2 e 5 ; não