214. O cubo ãe qualquer potencia ãe um numero se acha triplicando o expoente.
Com effeito, ( am )3 == am X am X am = a3m.
215. Para que um numero seja cubo de outro, ê necessário que ambos tenhamos mesmos factores primos, e que o expoente ãe cada factor no primeiro seja o tripulo ão mesmo factor no segunão.
Supponhamos a = b3.
Os números a e b são compostos dos mesmos factores primos, porque se assim não fosse, dividindo ambos os membros da igualdade por um factor primo, somente de um d'esses números teríamos um numero inteiro igual a um numero fraccionario, o que não é possivel.
Representando por m,nep esses factores primos, por x, y e z os seus expoentes em a, e por x',y' e z' os expoentes emb, teremos mxXnyX XPZ= (mx'Xny'XPz')3 = m3x'Xn3y'Xp3z'; e portanto x=3x', y=3y' ez = 3z'.
216. A ãifferença ãos cubos ãe ãous números inteiros consecutivos ê igual ao triplo ão menor, mais o triplo ão seu quaãraão, mais um.
Sendo a -f-1 e a os dous números, seus cubos são «3-J-3a2-|-3«-|--{- 1 e a3, e a diferença dos cubos ê a3-\-3a2-\-3a -]- 1 — a3 ou 3 a2 -)-+3 o+l, resultado que demonstra a proposição.
217. Não sendo possivel á primeira vista saber se um numero inteiro é cubo, podemos no entretanto conhecer algumas vezes se não é cubo por meio dos seguintes caracteres :
1? O numero par não divisivel por 8 não ê cubo.
Porque, sendo 2n a fórmula geral dos números pares, elevando 2n ao cubo, acha-stf 8n3, fórmula geral dos números pares que são cubos, e como todos elles são divisíveis por 8, segue-se que os números pares que não satisfizerem a esta condição não serão cubos.
2? O numero que terminar por zeros não ê cubo, se o numerò ãe zeros não fôr Ires ou multiplo ãe tres.
Porque um numero terminado por zeros só pôde ser cubo de um outro terminado também por zeros, e já vimos que um numero terminando por zeros, o seu cubo terminava pelo triplo do numero de zeros.
