Página:Elementos de Arithmetica.djvu/72

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Um numero inteiro formado por um algarismo significativo, seguido ãe um numero qualquer ãe zeros, ê igual a um múltiplo ãe 11 mais ou menos o numero formado por esse algarismo significativo» mais, se o-numero ãe zeros fôr par; e menos, se fôr impar.

Assim

20=m. 11—2 300=m. 11+3 4000=m. 11—4 5000Q=m. 11+5

Sabendo-se que

72856=70000+2000+800+50+6

e sendo

70000=m. 11+7 2000=311. 11—2 800=m. 11+8 50=m. 11—5 6= 6

resulta, sommando as igualdades ordenadamente,

72856=M. 11+ (7+8+6) — (2+5)

Fica, pois, o numero 72856 decomposto em duas partes, a primeira é divisível por 11, por ser múltiplo d'esse numero ; se a segunda-parte não fôr divisível por 11, a somma não será também divisível por esse numero, e os restos das divisões da somma e da parte não divisível por esse mesmo numero são iguaes ; o que demonstra a proposição primitiva.

Consequência.—Para que um numero seja divisível por 11, ê necessário que seja divisível por esse numero o excesso ãa somma ãos valores absolutos ãos algarismos ãe ordem impar, a contar ãa ãireita, sobre a somma ãos valores absolutos ãos algarismos ãe orãem par.

Se a somma dos valores absolutos dos algarismos de ordem impar fôr menor que a somma dos valores absolutos dos algarismos de ordem par, junta-se á primeira somma o numero 11 ou um múltiplo d'esse numero.

Provas dos noves das qnatro operações

Pelo principio estabelecido no o. 76, podemos sempre achar o resto da divisão de um numero inteiro qualquer por 9, sommando os