Página:Elementos de Arithmetica.djvu/71

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Consequência.— Para que um numero seja divisivel por 9, ê necessário e sufficiente que a somma ãos vedores absolutos ãos algarismos d'esse numero seja um. numero divisivel por 9.

77. 7o Principio.— O resto ãa ãivisão ãe um numero inteiro qualquer por 3 ê igual ao resto ãa ãivisão ão numero formado pela somma ãos valores absolutos ãos algarismos ão numero dado, por esse mesmo numero 3.

Demonstração.— Sendo 9 múltiplo de 3, podemos dizer que um numero inteiro pôde sempre ser decomposto em duas partes, sendo uma d'ellas um múltiplo de 3, e a outra a somma dos valores absolutos dos algarismos. A primeira parte sendo divisivel por 3, o resto da divisão do numero dado por 3 é igual ao resto da divisão da segunda parte por esse mesmo numero.

Consequência.— Um numero ê divisível por 3, se a somma ãos valores absolutos ãos algarismos d'esse numero fôr um numero divisivel por 3. Esta condição é necessaria e sufficiente.

78. 8o Principio.— O resto ãa ãivisão ãe um numero por 11 ê igual ao resto ãa ãivisão ão excesso ãa somma ãos valores absolutos ãos algarismos ãe ordem impar, a partir ãa ãireita, sobre a somma ãos valores absolutos ãos algarismos ãe orãem par, por esse mesmo numero 11.

Esta proposição é dependente das seguintes:

Uma potencia qualquer ãe 10 é igual a um múltiplo ãe 11 mais ou menos 1: mais, sé a potencia fôr par; e menos, se fôr impar.

10=11—1

100=99+1=90+9+1=9 (11—1) +9+1= =9X11—9+9+l=m. 11+1 1000=999+1=900+90+9+1=9 (m ll+l)+

+9 (11—l).+a^l=9*m. 11+9+9X11— —g+9+l=9Xm. 11+9.^11+ , +10—m. 11—1 10000=9999+1=9000+900+90+9+1= =9 (m. 11—1) +9 (m. 11+1) +9 (11—1) +9+ +l=9Xm. 11—9+9Xm- H+9+ +9X11—9+9+l=m. 11+1 e assim successivamente.

Do principio demonstrado, deduz-se que :