76. 6o Principio.— O resto da divisão de um numero inteiro qualquer por 9 é igual ao resto da divisão do numero formado pela somma dos valores absolutos dos algarismos do numero dado, pelo mesmo numero 9.
A demonstração d'este principio depende das seguintes proposições:
Primeira.— Uma potencia qualquer de 10 é um múltiplo de 9 mais um.
Porque, seja qual fôr o numero que se considere composto sómente de noves, elle é evidentemente divisível por 9, e juntando a esse numero uma unidade o resultado será uma potencia de 10.
Segunda.— Um numero sendo formado de algarismo significativo seguido de um numero qualquer de zeros, é igual a um múltiplo de 9 mais o numero representado por esse algarismo.
Com effeito, o numero dado, seja qual fôr, póde ser decomposto em tantas parcellas, potencias de 10, quantas forem as unidades do numero representado pelo algarismo significativo; e como cada uma das parcellas é um múltiplo de 9 mais 1, segue-se que o numero dado é igual a um múltiplo de 9 mais um numero composto de tantas unidades quantas forem as parcellas ou quantas forem as unidades do numero representado pelo algarismo significativo.
Terceira.— Um numero inteiro qualquer é igual a um múltiplo de 9 mais a somma dos valores absolutos de seus algarismos
Com effeito, 78654=70000+8000+600+50+4
Mas
70000 = m . 9 + 7
8000 = m . 9 + 8
600 = m . 9 + 6
50 = m . 9 + 5
4 = 4
Sommando as igualdades ordenadamente, temos 78654 = m . 9 + (7+8+6+5+4),
ou ainda
78654 = m . 9 + 30
sendo 30 a somma dos valores absolutos dos algarismos do numero 78654.
Se um numero inteiro qualquer póde sempre ser decomposto em duas partes, uma d'ellas sendo um múltiplo de 9 e a outra a somma dos valores absolutos de seus algarismos, e se a primeira parte é divisível por 9, é claro que o resto da divisão do numero dado por 9 é igual ao resto da divisão da segunda parte por esse mesmo numero.
