2? Toão numero que divide o menor ãe ãous numeros ãaãos e o resto ãa ãivisão ão maior pelo menor, divide também o maior.
3? Toão numero que ãiviãe ãous numeros dados, também divide o resto ãa divisão ão maior ã' elles pelo menor.
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84. Tratemos, pois, de estabelecer a regra para achar o máximo divisor commum a doas numeros.
Sejam A e B esses dous numeros e supponhamos A>B.
Se B dividir A, será B o maior divisor commum dos dous números dados.
Com effeito, B dividindo A e a si mesmo, fica dividindo aos dous numeros dados e portanto sendo divisor commum. Ê o maior, porque um numero maior que B poderá quando muito dividir A, mas não B, por não poder ser o dividendo menor que o divisor, na hypothese de ser a divisão exacta. Vejamos, pois, se B divide A.
Supponhamos que a divisão não seja exacta, e represente-se por Q a parte inteira do quociente e por R o resto da divisão. D'essa hypothese resulta a igualdade.
(1) A=BQ-fR
Se R dividir B, será R o maior divisor commum aos dous números dados.
Com effeito, R dividindo B. divide BQ, por ser um múltiplo de B, e dividindo a si mesmo, fica dividindo as parcellas de uma somma e portanto divide a somma A ; dividindo A e B, é divisor commum aos dous numeros dados. Ê o maior ; porque se um numero maior que R dividisse A e B, esse numero tinha de dividir BQ, e dividindo uma somma composta de duas parcellas e uma d'ellas, tinha de dividir a outra R ; mas um numero maior que R não podendo dividir R exactamente, o maior divisor commum a A e B não pôde exceder de R. Será R, se R dividir B.
Supponhamos que a divisão não seja exacta, e representemos
por Q' a parte inteira do quociente e por R' o resto da divisão. D'essa hypothese resulta a igualdade
(2) B=RQ'+R'
Se R' dividir R, será R' o maior divisor commum aos dous numeros dados.
