Página:Elementos de Arithmetica.djvu/82

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THEORIA DOS NÚMEROS PRIMOS

88. Do grande numero de princípios pertencentes a esta theoria consideraremos sómente os indispensáveis para a continuação d'este curso.

Os princípios mais importantes da theoria dos números primos

são:

89.1? Principio.— Um numero dividindo a um producto ãe dou» factores e senão primo com um d'elles, divide necessariamente o outro factor.

Seja AB o producto e D o numero que divide a esse producto e é primo com o factor A.

Se D é primo com A, on se A e D são primos entre si, procurando o maior divisor commum de A e D, acharemos uma série de quocientes e uma série de restos, dos quaes o ultimo é a unidade. Sejam os restos snccessivos :

R, R', R"............. 1

Multiplicando os dous numeros A e D por B e procurando o maior divisor commum dos numeros AB e BD, acharemos os mesmos quocientes e os restos apparecerão multiplicados por B e serão BR, BR', BR"................. B

Mas D divide AB, por hypothese, e BD por ser múltiplo de D, e dividindo os dous numeros AB e BD, divide também o máximo divisor commum B a esses dous números.

Se um numero ãiviãir um producto ãe tres ou mais factores e fôr primo com um ãf elles, ãiviãe o producto ãos outros factores.

D'este principio resultam os seguintes corollarios :

1? Um numero primo dividindo um producto ãe ãous ou mais numeros, ãiviãe um ã'esses numeros.

Seja D o divisor do producto ABC.

Se D não dividisse A, seria primo com A, e por isso teria de dividir BC; se dividisse BC e não B, seria primo com B e portanto teria de dividir o factor C.

2o. Um numero primo ãiviãinão qualquer potencia ãe outro numero, ãiviãe também esse outro numero.

Seja Am uma potencia de A, e D e numero que divide Am.

Sabemos que Am=AXAXAX..........X^-.