Página:Elementos de Arithmetica.djvu/81

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A B C , D ...

aos números-^-» e —- sera — = 1j logo esses quocientes sao

números primos entre si.

A reciproca também é verdadeira e enuncia-se do seguinte modo : Se dividirmos ãous.ou mais números por um outro numero tal que os quocientes respectivos sejam números primos entre si, o ãivisor empregado será o maior ãivisor commum aos números dados.

3? O máximo ãivisor commum a dous ou mais números ê o proãucto ãos factores primos communs a esses ãous ou mais números affeclaãos ãos menores expoentes que nelles existirem.

Sejam os números 1800 e 3780.

O numero 1800=2SX32X52 O numero 3780=22X33X5X7.

Trata-se de demonstrar que o máximo divisor commum é 22X32X5 oh o numero 180.

Com effeito, o numero 180 é divisor do numero 1800 por não conter divisores primos differentes dos queentram na composiçãod'esse numero, não tendo os factores primos do numero 180 expoentes maiores que os expoentes dos factores primos respectivos do numero 1800 ; sendo pela mesma razão o numero 180 divisor de 3780, segue-se que esse numero é divisor commum aos números 1800 e 3780.

É o maior divisor commum, porque sendo

1800_2® X32 X52_

180 22X32X& '

3780_22X33X5X7_s 180 22X32X5 "

os quocientes das duas divisões são números primos entre si.

Esta propriedade, vulgarmente designada—Composição do maior ãivisor commum, fornece um novo processo para achar o maior divisor commum a dous ou mais números. Basta, para isso, decompôr os uumeros dados em seus factores primos, e effectuar o producto de todos aquelles que fôrem communs aos números dados, dando a cada um d'esses factores eoctmuns o menor expoente que tiver.

Na theoria dos números primos aprenderemos a decompôr um numero qualquer em seus factores primos.