Página:Elementos de Arithmetica.djvu/84

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q" por d , segue-se que o primeiro membro é numero inteiro, isto ê, que o numero N é divisível por ábcd.

90. 2? Principio.—Um numero múltiplo tem pelo menos %m factor

primo.

Se o numero N é múltiplo, tem um ou mais divisores differentes de N e da unidade. Seja a o menor divisor de N; a questão reduz-se a demonstrar que a é primo. Se a não fosse primo, teria pelo menos um factor b differente de a e da unidade ; mas b dividindo a, tinha de dividir a N, por ser N múltiplo de a, o que não é possível, por termos supposto ser a o menor divisor de N.

91. 3? Principio.— Um numero múltiplo pôde ser sempre decomposto em factores primos, e ê igual ao producto d'elles.

Se o numero N é múltiplo, tem pelo menos um factor primo. Chamando a a esse factor primo e B o outro factor, será

N=aXB

Se B fôr primo, fica N igual ao producto de dons factores pri-sos ; mas se B fôr múltiplo, tem pelo menos um factor primo. Representando por 6 esse factor primo e o outro por C, teremos

B=bXC

substituindo, na igualdade N=aXB,B pelo seu valor, resultà

N=aXbXC

Se C fôr primo, fica N igual ao producto de tres factores primos ; mas se C fôr múltiplo, tem pelo menos um factor primo. Chamando c esse factor primo e D o outro factor, vem

C=cXD.

substituindo, na igualdade N=aXbXC, C pelo seu valor, temos

N=aXbXcXD

e assim por diante.

Os factores B, C, D, etc., sendo numeros inteiros que vão diminuindo successivameijte, não podemos deixar de chegar a um que seja numero primo, e portanto o numero N será igual ao producto de um certo numero de factores primos.

92. 4? Principio.—Senão ãous numeros inteiros primos entre si, as potencias ãe quaesquer grãos d'esses ãous numeros sâo também primos entre si.

Sejam A e B os dons números primos entre si.