Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/30

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x^+a x + ab +b xH-ab x +abe +b + ac -fc +bc xl+a xk+ab x^+abc +b -f ac -\-abd +c -\-ad +acd, +d +bcd +bd fcd

Examinando estes productos, reconhece-se em cada um d'elles a seguinte lei:

1O expoente dc x no primeiro termo é egual ao numero dos binomios multiplicados; e nos termos seguintes vae diminuindo de uma unidade até ser zero no ullitno.

2.° O coeficiente do primeiro termo é a unidade; o do segundo ê a somma dos segundos termos dos binomios; o do terceiro é a somma dos productos distinctos dos segundos termos dos binomios tomados dois a dois; e, em geral, o coeficiente de um termo qualquer é a somma dos productos distinctos dos segundos lermos dos binomios tomados tantos a tantos, quantos são os lermos antecedentes.

3O ultimo termo é o producto dos segundos lermos dos bino- mios multiplicados.

4.° O numero dos lermos do producto é egual ao numero dos binomios multiplicados, mais um.

Para generalisar esta lei, vamos demonstrar que, se ella tiver logar para o producto de m factores, terá também logar para o producto de m + 1 factores.

Supponhamos que a lei é verdadeira para m factores: teremos

(x + a) (x + b) (x + c).. . [x +1) = xm 4- Axm-i + Íiíc—2 + ... +abe. . .1,

sendo A = a Vc +... + Í

B = ab + ac + ad +.....

C = abe 4- abd + abe +.....