Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/31

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Multiplcando os dois membros da egualdade pelo lacior x I i, teremos o producto de m+ l factores, e vem

(x 4- a) (x +b) (x-\-c)...(x + l) [x + i)

xm—2 -f. ,-f al)Ci; Jx f- abe.. li,

xm+i + ^ xm- -i + C + i 4-Aí + Rí

producto em que se observa finda a mesma lei Porque

O expoente de x vae dirr.imrndo de uma unidade desde m + 1 até zero.

2.° O coefficente do primeiro termo é a unidade. Além d'isto, sendo k a somma dos segundos termos dos m primeiros binormes, será A + í, que é o coefficiente do segundo terme, a somma dos segundos termos dos m + i biriomios, que formam o ultimo pro- ducto.

O coeffic-ente do terceiro termo é B + Aí. Ora, por uma parte, B é a somma dos productos dos segundos lermos dos m primairos bmorrios, tomados dois a dois; e, por outra parte, Aí é a somma dos productos dos segundos termos dos m primeiros biiomios pelo segundo termo i do novo binomio introduzido logc B + Aí é a somma dos productos dos segundos termos dos m + 1 bi mmios, que formam o ultimo producto. O Inesmo a respeito dos mais coefficieutes,

A 3," e 4.a parte da le também evidentemente têm logar no u'timo producto.

Temos, portanto, demonstrado que, se a le tiver logar para o producto de m factores, tem também Ioga* para o producto de ir, + 1 factores. Mas reconhecemos que a lei é verdadeira para dois, tres e quatro factores; logo é lambem verdadeira para cinco, e assim por dearite.

TTieor^mks demonstrados pela multiplicação Eugebrica

1.° O quadrado da somma de duas quantidades ê egval ao quadrado da primeira, mais dois productos da primeira pela segunda. mai° o quadrado da segunda