Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/305

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3flS. 1.° Uma quantidade incommensuravel, desenvolvida em fracção continua, produz uma fracção continua illimitada.

Porque, se esta fosse limitada, a ultima reduzida representaria exactamente a quantidade geradora, a qual por consequência seria commensuravel.

2.° Reciprocamente: Uma fracção continua illimitada cones- ponde a uma quantidade incommensuravel.

Porque, se esta fosse commensuravel, o seu desenvolvimento

seria uma fracção continua limitada, contra a hypothese.

§ 4.° fiopricdadc.s das reduzidas

316. A differença entre duas reduzidas consecutivas é egual a um quebrado que tem por numerador ± 1, e por denominador o producto dos denominadores das duas reduzidas: tendo logar o signal +, quando a reduzida que serve de diminuendo for de ordem par; e o signal —, quando for de ordem impar.

Supponhamos a fracção continua

X — a, b, c, d,.. > .

A C E

Sejam —, —, — tres reduzidas consecutivas, e seja p o quo- ciente incompleto que corresponde á terceira: será

E Cp 4 A F ~Dp + B'

Subtrahindo cada reduzida da seguinte, vem

C A__BC —AD

í) li BD •

E C + A C ..JAÓ —BC_AEfr—BC F U ~" Df + B D (Dp + BjD — DF 5

d'onde se vê que os numeradores de duas differenças consecutivas são eguaes e de signaes contrários, e que o denominador de cada differença é o producto dos denominadores das duas reduzidas consideradas.