Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/304

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deza geradora de uma fracção continua periódica. Exemplos: 1 ° Seja dada a fracção continua

x = 3, 1. 2, 3, 1, 2,. ..

1

Temos « = 3 4- — 1

1 x

Formando as reduzidas consecutivas, temos

3 4 11 11®-)- 4 . ila; 4- 4 „ „ 5l , A

~á T> r apV logo # 3Í+ ■ou 4 = o.

Resolvendo a equação, e aproveitando a raiz positiva,'/^,

l/2S+lá 5+\/37

_ 3 'J;

2." Supponhamos a fracção contínua

a; =-2, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4,....

Designando por y o valor da parte periódica, temos 1 1

TM 4 + i JL {

4 ■ |- — V

Formando as reduzidas de y,

J_ 2 _3 14 % -H3 l3 1' 2' 9' % + S

logo y = M^J ou 9^ - 12?/ — 3 = 0, ou W- ky -1 = 0, d'onde , = =

l.° Lma quantidade commensuravel, desenvolvida em fracção continua, produz uma fi acção continua limitada.

Porque, para desenvolver uma quantidade commensuravel em fracção continua, empregc-se o processo do ma-or dwisoT com- mum;; e este conduz sempre a um numero limpado de ope-açôes.

2 0 Reciprocamente: JJma fracção continua limitado corres- ponde a uma quantidade commensuravel

Porque, formando as reduzidas consecutivas, a ultima repre' senta exactamente a quantidade garadora da fracção continua.