Página:Tratado de Algebra Elementar.djvu/303

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3." Toda a fracção continua periódica é uma das raizes d'uma equação do segundo grau de coefficientes racicmaes. Seja, em primeiro logar, a fracçãc eontinua periódica simples

x = a,b, c,... n, a, b, c,____n,----

1

Temos x = a 4- r~r—

6+ •

1 X

fl 7Yí

Formando as reduzidas consecutivas, e designando por ^ e as duas penúltimas, a ultima, que represelita o valor da fracção continua, é

x = r"f 1"- ^, d'onde m!x8 4- M — n)x — n — 0, m'x-\-n' i \ / >

e portanto x, valor da fracção continua, é raiz de uma equação do segundo grau de coefficientes racionaes. Como esta equação tem as raizes de signaes contrários, rejeita-se a raiz negativa, e toma-se a raiz positiva para valor da fracção continua.

Supponhamos agora uma fracção continua periódica mixta

x = p, q,. ■. .t, a, b,... .n, a, &,....«,.... Designando por y o valor da parte periódica, temos

" • 1 ■ 1

+1+1 +n"+i,

y y

V

Designando por — a reduzida que dá o valor da parte nao periódica e

u ^

por a reduzida antecedente será

x= vy + u ; v'y + u

n

além d'isto, designando por —j a reduzida que dá o valor do período, e poi

f 271 ^

—r a reduzida antecedente, é m

ny+m

d'este modo temos duas equações, uma do primeiro grau em y e outra do segundo grau Resolvendo a primeira equação em ordem a y, e substituindo o valor de y na segunda, resulta uma equação do segundo grau em x, de coefficientes racionaes.

313. Por meio d'estes princípios, podemos achar facilmente a gran-