3." Toda a fracção continua periódica é uma das raizes d'uma equação do segundo grau de coefficientes racicmaes. Seja, em primeiro logar, a fracçãc eontinua periódica simples
x = a,b, c,... n, a, b, c,____n,----
1
Temos x = a 4- r~r—
6+ •
1 X
fl 7Yí
Formando as reduzidas consecutivas, e designando por ^ e as duas penúltimas, a ultima, que represelita o valor da fracção continua, é
x = r"f 1"- ^, d'onde m!x8 4- M — n)x — n — 0, m'x-\-n' i \ / >
e portanto x, valor da fracção continua, é raiz de uma equação do segundo grau de coefficientes racionaes. Como esta equação tem as raizes de signaes contrários, rejeita-se a raiz negativa, e toma-se a raiz positiva para valor da fracção continua.
Supponhamos agora uma fracção continua periódica mixta
x = p, q,. ■. .t, a, b,... .n, a, &,....«,.... Designando por y o valor da parte periódica, temos
" • 1 ■ 1
+1+1 +n"+i,
y y
V
Designando por — a reduzida que dá o valor da parte nao periódica e
u ^
por a reduzida antecedente será
x= vy + u ; v'y + u
n
além d'isto, designando por —j a reduzida que dá o valor do período, e poi
f 271 ^
—r a reduzida antecedente, é m
ny+m
d'este modo temos duas equações, uma do primeiro grau em y e outra do segundo grau Resolvendo a primeira equação em ordem a y, e substituindo o valor de y na segunda, resulta uma equação do segundo grau em x, de coefficientes racionaes.
313. Por meio d'estes princípios, podemos achar facilmente a gran-
