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Vamos agora demonstrar que as regras do calculo algébrico têm logar para estas especies de expoentes.

105. Expoentes negativos. 1.^o Multiplicação.

$a^{m}\times a^{-n}=a^{m}\times {\frac {1}{a^{n}}}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}\,$,

$a^{-m}\times a^{-n}={\frac {1}{a^{m}}}\times {\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{m+n}}}=a^{-m-n}\,$,

2.^° Divisão.

$a^{-m}:a^{n}={\frac {1}{a^{m}}}:a^{n}={\frac {1}{a^{m+n}}}=a^{-m-n}\,$,

$a^{m}:a^{-n}=a^{m}:{\frac {1}{a^{n}}}=a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\,$,

$a^{-m}:a^{-n}={\frac {1}{a^{m}}}:{\frac {1}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{m}}}\times {\frac {a^{n}}{1}}={\frac {a^{n}}{a^{m}}}=a^{n-m}=a^{-m+n}\,$,

3.^° Elevação a potencias.

$(a^{-m})^{n}=({\frac {1}{a^{m}}})^{n}={\frac {1}{a^{mn}}}=a^{-mn}\,$,

$(a^{-m})^{-n}=({\frac {1}{a^{m}}})^{-n}={\frac {1}{({\frac {1}{a^{m}}})^{n}}}={\frac {1}{\frac {1}{a^{mn}}}}=a^{mn}\,$,

4.^° Extracção oe raízes.

${\sqrt[{n}]{a^{-m}}}={\sqrt[{n}]{\frac {1}{a^{m}}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}={\frac {1}{a^{\frac {m}{n}}}}=a^{-{\frac {m}{n}}}\,$,

106. Expoentes fraccionarios. 1.^° Multiplicação.

$a^{\frac {m}{n}}\times a^{p}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}\times a^{p}=(n^{o}96,2^{o})={\sqrt[{n}]{a^{m}\times a^{np}}}\,$

$={\sqrt[{n}]{a^{m+np}}}=a^{\frac {m+np}{n}}=a^{{\frac {m}{n}}+p}\,$