Relações algébricas entre certos produtos infinitos

by Srinivasa Ramanujan

RELAÇÕES ALGÉBRICAS ENTRE CERTOS PRODUTOS INFINITOS

(Proceedings of the London Mathematical Society, 2, xviii, 1920, Registros para 13 de março de 1919)

Foi provado pelo Prof. L. J. Rogers^[1] que

${\begin{aligned}G(x)&=1+{\frac {1}{1-x}}+{\frac {x^{4}}{(1-x)(1-x^{2})}}+{\frac {x^{9}}{(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})}}+\ldots \\&={\frac {1}{(1-x)(1-x^{6})(1-x^{11})}}\ldots \times {\frac {1}{(1-x^{4})(1-x^{9})(1-x^{14})\ldots }},\\\end{aligned}}$

e	${\begin{aligned}H(x)&=1+{\frac {x^{2}}{1-x}}+{\frac {x^{6}}{(1-x)(1-x^{2})}}+{\frac {x^{12}}{(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})}}+\ldots \\&={\frac {1}{(1-x^{2})(1-x^{7})(1-x^{12})\ldots }}\times {\frac {1}{(1-x^{3})(1-x^{8})(1-x^{13})\ldots }}.\\\end{aligned}}$

Provas mais simples foram encontradas posteriormente pelo Prof. Rogers e por mim^[2].

Agora encontrei uma relação algébrica entre $G(x)$ e $H(x)$, permitindo-se ver:$H(x)\{G(x)\}^{11}-x^{2}G(x)\{H(x)\}^{11}=1+11x\{G(x)H(x)\}^{6}$.

Outra fórmula digna de nota é

$H(x)G(x^{11})-x^{2}G(x)H(x^{11})=1$.

Cada uma dessas fórmulas é a mais simples de uma grande classe.

---

1. Proc. London Math. Soc., Ser. 1, Vol. xxv, 1894, pp. 318–343.
2. Proc. Camb. Phil. Soc., Vol. xix, 1919, pp. 211–216. Uma breve relação histórica dos teoremas é dada pelo Sr Hardy em uma nota anexada a este artigo. [Para a prova de Ramanujan ver Nº 26 deste volume: as de Roger e a nota de Hardy referentes, são reproduzidas nas notas no Nº 26 no Apêndice.]