Tratado de Algebra Elementar/Livro 1/Capítulo 2

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Tratado de Algebra Elementar por José Adelino Serrasqueiro
CAPITULO II
Livraria Central de J. Diogo Pires (1906). páginas 17-47

grandezas susceptiveis de se tomarem em dois sentidos oppostos, taes são: os ganhos e perdas de um jogador, as distancias medidas sobre uma recta a partir de um ponto fixo, o tempo con tado a partir de um instante dado, etc.

É pois necessario que a algebra indique por meio de signaes os dois sentidos oppostos, segundo os quaes certas grandezas se podem tomar. Para isso, faz-se a seguinte convenção: quando uma grandeza é susceptível de se tomar em dois sentidos oppostos, considera-se como positiva em um dos sentidos, e como negativa no sentido opposto.

Assim, se representar um tempo futuro a partir de um instante dado, representará um tempo passado; se representar um ganho, representará uma perda, etc.


EXERCICIOS

1. Calcular, para e , o valor numerico de

.

2. Calcular, para ,o valor nunierico de

6a^4-4a^3+3a^2-2a-3</math>.

3. Calcular, para a = 5, b — 3, c = 2, o valor numérico de

abe — (a-j-b+c) a -{-b — c

4. Calcular, para a — 1, b — 4, ó valor numérico de

3a2— 4a + S63 — ja*b\ i

5. Calcular, para «;== 2 e 6 = y, o valor numérico de

<òcW — 4 aW -f — 3.

6. Calcular, para x = 2, a = 3, b = 2, o valor numérico do

10a;3 — Saa,2 + Mx + Sa? 9

8{a-\-b)(a — b)

7. Reduzir a expressão

4«6a + 2 a?b — ab~ + Wb — Wb + KaR

8. Reduzir a expressão

Sa*b — 3(dfi + 7a2 -f- 4ab* — 6a*b - 12a2 Wb - alP. t

9. Reduzir a expressão

atf + VaW + aW \- 'ia"^ + 4ai5 — 'Mfib" — -filfl — Saé6 -+-

10. Reduzir a expressão

11. Reduzir a expressão

12abx f L2aW — 5íifce — Hfe + — aW

12. Reduzir a expressão

| (a — — 2 (.13 — a)* + 7 (a - 6)2 - J (se — «j3.

CAPITULO I Calculo algébrico das expressões 'liteiras

| 1.° Somma algébrica

83. Somma algebuia ,tT a operação pelo qual, sendo dadas duas ou mais expressões algébricas, se deternvna uma oulra, cujo valor numérico seja egual ô somma dos valores numéricos das primei ras.

ít <f-, Para somivar expressões algébricas, cscrevem-se os lermos, adeanle uns dos outros, com os signaes que l>verem; e, se houver lermos similhanles, faz se a redacção. Supponhamos que ao poly- nomio P queremos ajunctar o polynom;o

a_fc+c —<í=(n.< 20) = A— B,

cujo valor suppomos positivo, caso em que podemos applicar os prneipios da arithmeíica.

Como a somma não se altera, quando a uma das parcellas se ajuncta e a outra se t>ra a mesma quantidade, temos

P + (A — B) P — B -f (A — B + B) P — J3 + A = P — (6 4 d) + (a + c);

e como para ajunctar ou tirar uma somma, basta ajunctar ou

2 tirar successivamente cada uma das parcellas, temos

P + (A— B) = P — 6— eí + a + c = P + a — 6 + c — d,

resultado que se obtém, escrevendo em seguida do primeiro po- lynomio os termos do segundo com os signaes respectivos.

Na pratica, quando ha termos similhantes, faz-se a reducção nas parcellas, e escreve-se o resultado já reduzido. Exemplo:

íx3 — 6ax* + 7aH + 3c2 "

8ím2— 5X3 -5C2 + 3a%

7c2 + 3x* — lax* — 12as6 — - 2aH + 5r2

<85. GenbiialisaçÃo da regra. Supponhainos os polynomios P = a — b, Q — c — d.

Na hypothese dos polynomios terem valores positivos, demons- trámos a fórmula

^ _ b) + (c -d) = a - b i!f c - d i"(n.° 20) = (a + c) - (6 + d).

Supponhamos, para generalisar, que a fórmula é independente dós valores altribuidos ás leiras. Então a fórmula

para 6 — 0, d = 0, dá (+ a) + (+ c) = + (a + c), ,, a — O, c = 0, » {-b) + (-d)=-(b + d), » 6 = 0, c = 0, » (+ a) + (— d) — o — d.

Neste ultimo caso, se for a>d, o resultado a — d è positivo, isto é,

(+«) + (■—cl) = + (a — d)t

porém, se for a < d, o resultado é negativo, isto é,

(+ a) + (—d) = — (d — a).

Portanto da generalisação da regra da somma conclue-se que: Sommar quantidades do mesmo signal é sommar os seus valores, abstrahindo dos signaes, e dar ao resultado o signal commum; e sommar quantidades de signaes contrários é subirahir a menor da maior, abstrahindo dos signaes, e dar ao resultado o signal da maior. D'este modo temos

(+8) +(+8) — + 13, (— 8) + (_ 5) = — 13 (+ 8) + (— 5) = + 3, (— 8) + (+ 5) = — 3.

26. A somma algébrica não produz sempre um augmento, como a somma arithmetica: ha augmento, quando a quantidade que se ajuncta é positiva; e pelo contrario ha diminuição, quando essa quantidade é negativa.

| 2.° Subtracção algebi'ica

371. Subtracção algébrica é a operação pela qual, sendo dadas duas expressões algébricas, se determina uma outra, cujo valor numérico seja egual á difíerença dos valores numéricos das pri- meiras.

88. Para subtraliir expressões algébricas, mudam-se os signaes aos lermos do diminuidor, e somma-se este com o diminuendo.

Supponhamos que do polynomio P queremos tirar o polynomio

a — b + c — d = (n.° 20) = A — B,

cujo valor suppomos positivo.

Como o resto não se altera, quando ao diminuendo e diminui- dor se ajuncta a mesma quantidade B, temos

P — (A —B) = P+ B — (A — Bf B)=P + B — A

= P + (Hd)-(a+c)=P+ò + d-a-c = P — a + b — c + d,

resultado que se obtém, mudando os signaes aos termos do dimi- nuidof, e sommando este com o diminuendo. Exemplo:

&aa? + 3ab'ix-3alx +c3 2c3 + 3ax% + hab^x_5 aix

2ax3 — aWx +2 aSx — c3.

3®. Esta regra' tem logar também para as quantidades ne- gativas.

  • Coin eífeito, seja x a differenç» que ha entre —a t — b te-emos

— a — (—b)—x;

e como o resto sommado com o di.ninuidor produz o cFminuendc

veii

— b 4 x——a, ou, ajunctando b a ambos os membros,

a, — — a 4- b. Substituindo este valor na primeira egualdade, temos

— a — (—b) = — a + b,

resultado que se obtém, mudando o signal ao d ninuidor. e som- mando-o com o diminuendo

IO. a subtracção algébrica não produz sempre uma dim - niição, como a subtracção arthmetica: ha i-:minuição, quando o diminnidor é posit'vo; e ha augmento, quando o diminuidor é negativo.

exercícios

13. Sommar os polynomios

6x-y — 8i,3 - 3a;3 — xif 5a;3 — 'Sy1 -f %xf —

14. Sommar os polynomios

3a3ò — 'mW 4- Lub* 1 ">ab" — b«3l> —mW 2a?.p — lo-J + m<W IriW — hfib --tnVK

15. Sommar os polynomios

mjfa 4 MV — :iu'-'b'- + 3a*t' — UaW> 3es 4 2a664 4- Sa*65 — 'M' 8«e/)34- 3aii5 ■ |- - W Baifi' - - lluW -f 3«~67 — 4a«63.

16. Sommar os polynomios,

3a;3 — 2xhj -I- '-xt/- — 5?/3

— Ixf + 2jA/ - - gjjj + tíx- &x'y — 8?;1 — Sa,3 — -xyl Sa-3 —3.v3 + Zxif — >u*y. 17. Sommar os polynomios

—'.').,:hj — 'íxhf + Ixif

2y} 4- 5a ,3 gjfly _ fyXÍyi — lx l:r?y — Wm — fcft/t — hf 3x'< + + 2x3?/ — 'Jxif — 1 í»/i.

18. Sommar os polynomios

2

3 am — 26" — 5 —ci»

O

7-2-0"+ 2 | í», 4- 44 «m

4 1 6 1 5 — 5 ar + 26- — 4c

19. Sommar os polynomios

lam ~ - 7a"-2&2 — !iam-sb" -f- 6»

— Sa01-16 + 2fK — 7a"1 -f- 26' — Sa» 36' 86' — C,"m — 7B""-2fcJ + 3a'"~ 4 o o

2E. Do polynomio 8a;; -■'òaa? ka^ — Sa36 tirar os polynomios 2aos2 + 5J> - 3o36 4&V 2a36 - 3«ar -{ 3.-3.

?,6. De 3a3 — 4a26—-7a62 -|-63 tirar a somma dos polynomios 2 - a7b

—4a62—2a3—363,8«6H 463-»a26+6a3,4- »26—oafc2 f-6y&J—2-3-a>.

3.° JM aTtlplicaça;o algébrica

31. Multiplicação algébrica 6 a operação pela qual. sendo dadas duas expressões algébricas, se determina uma outra, cuju valor numerco seja egual ao producto dos valores numéricos, das primeiras.

Na multiplicação consideramos tres casos: multiplicação de monomios; multiplicação de um poljnomio por um monon io; multiplicação de doi? polynom os. Multiplicação cie monomios

33. A multiplicação de monomios funda-se nos seguintes prin- cípios, demonstrados na arithmctica: í.° A ordem dos factores é arbitraria: 2.° Para multiplicar potencias do mesmo numero som- mam-se os seus expoentes

Posto isto, temos

pambn x qarcs—pqamarbncs =pqam+rbncs.

D'onde se conclue que:

Para multiplicar monomios, mulliplicam-se os coeficientes; som- mwn-se os expoentes das leiras communs; e escrtvem-se as que não são communs com os seus respecávos expoentes. Assim temos 3a%c]> x íaWd3 = linW, 'iaWx* x 7alby = 3 BaWafy

Multiplicação cie um polynomio por um monomio

34. Para multiplicar um poiynomio por um monomio positivo, multiplicam-se todos os termos do polynomio pelo monomio, con- servando os seus signaes.

Supponhamos que queremos multiplicar o polynomio a + b — c pelo mcnom-o poci'ivo m

Temos de considerar dois casos, segundo m for inteiro ou frac- ciouario.

1m ê inte-ro. Neste caso, pela definição de multiplicação, temos

(a + b — c)m — a + b — c + a + 6 — c + a + 6 — c +. . .

= a + a + a+ ..+ 0 + 6 + 6+ . — t—c—c—.,, = am + bm — K + c + c..-.) = am + bm — cm.

V

2,° m é fraccioncrio, isto é. m === —>, j sendo p e q números inteiros. Temos m

a 6 c /a ,6 c\

a + b — c=—. 0 + — -q---Q — , ----) Ç>"

q 4 q \q q qj d;vidindo poi q, vem

vl a b c

{a + h— c. — =---|---,

q q q q e, multiplicando por p,

(a + b — + ~ — -^xo = (n.c 34, 1.°)

q \q q qj

ap ^ bp cp q q q'

Multiplicação de dois polynomios

3â. Representemos o primeiro polynomio por a — b, o se- gundo por c — d, e supponhamos que os valores d'estes polyno- mios sào positivos. Temos

(a — b) (c — d) = (a — b)p = (n.° 34) — ap — bp = a(c — d) — b(c — d) — ac — ad— (bc — bd) - (n.° 28) = ac — ad — bc-\- bd — ac — bc —• ad + bd.

Examinando este resultado, vemos que contém os productos de a e b por c, e de a e b por d: logo

1Devemos multiplicar lodos os lermos do multiplicando por cada termo do multiplicador.

Além d'isto, ac e bd, que têm o signal +, provêm de factores que têm o mesmo signal: e bc e ad, que têm o signal —, provêm de factores que têm signaes differentes: logo

2.° Um producto tem o signal +, quando os factores têm o mesmo signal; e tem o signal—, quando os factores têm signaes differentes.

Esta regra dos signaes pode exprimir-se mais concisamente, dizendo: + x +, ou — x — dá + ; + x —, ou — x + dá —.

Portanto: para multiplicar polynomios, mulliplicam-se successi- vamente lodos os termos do multiplicando por cada termo do multi- plicador, attendendo á regra dos signaes e á da multiplicação dos monomios; e, se houver termos similhanles, faz-se a reducção.

36. Generalisaçào da regra. Na deducção da regra antece- dente supposemos que os polynomios a—b e c—d tinham valores

positivos; e nesta hypothese demonstrámos a fórmula

(a — b) (c — d) — ac — bc— ad + bd. Supponhamos ajjora, para generalizar, que esta fórmula é n- dependente dos valores dados «s letras. Então a fórmula

para 6 = 0, d = 0, dá (4 a) x (+ c) = 4 ac,

» a — 0, c = 0, » (-■ b, x {- d} = + bd,

d 6 = 0, c = 0, d (4 a)x(—á) — — ad,

» (l = 0, d = (>, » (- 6) x (4 c) = -bc

Portanto,generalisando a regrada multinlicação, conclue-se que:

1Duas quantidades isoladas do mesmo signal dão um pro duelo positivo, e duas quantidades isoladas de signaes contrarios dão um producto negativo.

2.° Um producto muda de signal, quando se troca o signal de um tlos factores; e conserva o mesmo signal, quando se trocam os signaes dos dois fac'ores.

Na pratica da multiplicação ordenam-se os polynomios em relação a uma letra, e, para facilitar a reducção, escrevem-se os productos parc.aes de modo que fiquem debaixo uns dos outros os termos que contêm a mesma potencia da letra principal.

Exemplos: 1.°

3a5- Gx'* 4 4x3 — 3éfi? 4 §x 1 x' |- 2&c® +

- Sa;7 4 18a;6 —2ixs— 6a;4

+ 18a;6 - 36a;3 4 42a;4 + Wfô

\-pj I-tJ4ãT6-4f 4 Í2

2.°

6a* - aib+ + 363

5as— lab f 26'2

30o^- Si/'16 + 20r362 + fefc»

- 42c46 f 7a362 - - 2 la64

-J-lZaW- 8a6í + 665

30a3 - 47a" 6 4 SÕa1^' -15a2í3 - + (>6:i.

38. Quando a letra principal entra com a mesma potencia em muitosT,termos,,,escreve-se essa potencia somente uma v,éz, e á sua esquerda e em l>'nha IKStitaí escrevem-se os differentes muitiplicadores. Neste caso a regra da multiplicação é a mesma; porém, como os coeflicientes dos differentes termos são polyno- mios, temos de fazer multiplicações parciaes.

Exemplo: multiplicar

a4 _ /Ac _ 3 6%2 + 3 abhs — 26* + 2ah? por — (kibh: + 264 + 3«ftc* + a4 — 21? x f 262a;2.

Ordenando os dois [)olynomios em relação a x, damos ao cal- culo a seguinte disposição

2 a2 x2 + 3o62 x + a -3 - fc3 - 26» 3 a2 — 6a62 x + a4 + 26® - 263 + 264 6a« *4 + 9<i:f62 3ac — (ia:i62 .» + a8 — 9a4ò2 - 3a»ê» — 6afy4 +12«66 — 2a564 + haW + C«7/' + 2a462 - 2,1*03 + 2a464 — G64 - 26ri - W 4- 467 - 468 — 12a3ò2 — 18<t264 +■ 3 éb9- + 18a64 + Ca6s - a463 - 4a263 - 6a6s + 6 abG + 66 + 2òc - 2b1 + 2a« - 3a462 + 4a264 _ t>6c 6a4 3a36a 5a6 3a562 X+ fl8 - 5a2ô9 _ 7a263 — 20a264 + 18aò6 — 468 _664 4- 24a64 - at/ - 3a463 + U:i - 8 ¥ + 2Í>7

O producto de factores negativos é positivo ou negativo, segundo o numero dos factores fôr par ou impar.

Se o numero dos factores for par, multiplicando os factores dois a dois, cada producto parcial é positivo; e por consequência, multiplicando estes productos parciaes, o producto final será tam- bém positivo. Se o numero dos factores for impar, o producto de todos os factores, que precedem o ultimo, é positivo; e por consequência, multiplicando este producto pelo ultimo factor,, virá o producto final negativo.

40. Se dois polynomios e o seu producto estiverem ordenados segundo as potencias decrescentes da mesma letra, o primeiro termo do producto provém sem reducção da multiplicação do primeiro termo do multiplicando pelo primeiro termo do multiplicador.

Com effeito, na multiplicação de dois termos quaesquer, som- mam-se os expoentes da letra principal: logo multiplicando entre si os dois primeiros termos dos factores, isto é, aquelles que con- têm a letra principal com os maiores expoentes, obteremos o termo do producto que contém essa letra com o expoente maior do que todos os outros. Portanto, este termo, não sendo simi- lhante a nenhum dos outros, será irreductivel; e além d'isto será o primeiro termo do producto, porque suppomos este também ordenado segundo as potencias decrescentes da mesma letra.

Do mesmo modo se prova que: o ultimo termo do producto provém sem reducção da multiplicação do ultimo termo do multi- plicando pelo ultimo termo do multiplicador.

Daqui conclue-se que o producto de dois polynomios é neces- sariamente um polynomio. Porque, orctenando os dois polynomios, ha no producto pelo menos dois lermos irreductiveis; e por con- sequência este consta pelo menos de dois termos.

Como exemplo de um producto que se reduz a dois termos, temos o seguinte:

(x8 + axl + a^x + a;f) (x — d) — xl — a4.

41. Para multiplicar muitos polynomios entre si, multiplica-se o primeiro pelo segundo, o resultado ohtido pelo terceiro, e assim por deante.

Appliquemos este processo á formação do producto de m fa- ctores binomios

(a + a)(íc + &)(£c + c)(íc + <í). . .(« + ), que têm o primeiro termo commurn. x^+a x + ab +b xH-ab x +abe +b + ac -fc +bc xl+a xk+ab x^+abc +b -f ac -\-abd +c -\-ad +acd, +d +bcd +bd fcd

Examinando estes productos, reconhece-se em cada um d'elles a seguinte lei:

1O expoente dc x no primeiro termo é egual ao numero dos binomios multiplicados; e nos termos seguintes vae diminuindo de uma unidade até ser zero no ullitno.

2.° O coeficiente do primeiro termo é a unidade; o do segundo ê a somma dos segundos termos dos binomios; o do terceiro é a somma dos productos distinctos dos segundos termos dos binomios tomados dois a dois; e, em geral, o coeficiente de um termo qualquer é a somma dos productos distinctos dos segundos lermos dos binomios tomados tantos a tantos, quantos são os lermos antecedentes.

3O ultimo termo é o producto dos segundos lermos dos bino- mios multiplicados.

4.° O numero dos lermos do producto é egual ao numero dos binomios multiplicados, mais um.

Para generalisar esta lei, vamos demonstrar que, se ella tiver logar para o producto de m factores, terá também logar para o producto de m + 1 factores.

Supponhamos que a lei é verdadeira para m factores: teremos

(x + a) (x + b) (x + c).. . [x +1) = xm 4- Axm-i + Íiíc—2 + ... +abe. . .1,

sendo A = a Vc +... + Í

B = ab + ac + ad +.....

C = abe 4- abd + abe +..... Multiplcando os dois membros da egualdade pelo lacior x I i, teremos o producto de m+ l factores, e vem

(x 4- a) (x +b) (x-\-c)...(x + l) [x + i)

xm—2 -f. ,-f al)Ci; Jx f- abe.. li,

xm+i + ^ xm- -i + C + i 4-Aí + Rí

producto em que se observa finda a mesma lei Porque

O expoente de x vae dirr.imrndo de uma unidade desde m + 1 até zero.

2.° O coefficente do primeiro termo é a unidade. Além d'isto, sendo k a somma dos segundos termos dos m primeiros binormes, será A + í, que é o coefficiente do segundo terme, a somma dos segundos termos dos m + i biriomios, que formam o ultimo pro- ducto.

O coeffic-ente do terceiro termo é B + Aí. Ora, por uma parte, B é a somma dos productos dos segundos lermos dos m primairos bmorrios, tomados dois a dois; e, por outra parte, Aí é a somma dos productos dos segundos termos dos m primeiros biiomios pelo segundo termo i do novo binomio introduzido logc B + Aí é a somma dos productos dos segundos termos dos m + 1 bi mmios, que formam o ultimo producto. O Inesmo a respeito dos mais coefficieutes,

A 3," e 4.a parte da le também evidentemente têm logar no u'timo producto.

Temos, portanto, demonstrado que, se a le tiver logar para o producto de m factores, tem também Ioga* para o producto de ir, + 1 factores. Mas reconhecemos que a lei é verdadeira para dois, tres e quatro factores; logo é lambem verdadeira para cinco, e assim por dearite.

TTieor^mks demonstrados pela multiplicação Eugebrica

1.° O quadrado da somma de duas quantidades ê egval ao quadrado da primeira, mais dois productos da primeira pela segunda. mai° o quadrado da segunda Multiplicando a + b por a 4 b, temos

a +b a +b_ a2 4 ab 4 ab + b* (a + bf = a2 4 2ab 4 iK

2.° O quadrado da differènça de ditas quantidades é egual ao quadrado da primeira, menos dom productos da primeira pela segunda, mais o quadrado da segunda.

Multiplicando a — b por a — b, temos

a —b a —b a* — ab — ab + b2 (a — í>2) = a2 — 2ab 4 ifc

3.° O cubo da somma de duos quantidades é egual ao cubo da primeira, mais tres productos do quadrado da primeira pela se- gunda, mais Ires productos da primeira peio quadrado da segunda, mais o cubo da segunda. Temos

(a 4 fc)3=(a + bf {a + b) = (a2 4- 2ab 4 Ir) (a 4 b);

e effectuando a multiplicação indicada, vem

ar 4 2ab 4 í>2 a +b

flH2aTí) fab* + a2ò4 2aò24P

(« 4 6)» = u3 + 3«-6Jr3a6â4 63.

4.° O cubo da differença de dum quantidades é egual ao cubo da primeira, menos tres productos do quadrado da primeira pela segunda, mais tres productos da primeira pelo quadrado da se- gunda, menos o cubo da segunda. Ternos -

(a — bf — (a — bf (a — b) = (a2— 2 ab 4 Ifi) (a — b); e effectuandc a muUhlieação, vem

a2 — & + b* a —b

^ — -léb + am

4___

(a — bf = W ■ M^b + 3abJ — R

S.° A scmma de duas quantidades multiplicada pela suadijfe~ rença é egual á differença dos quadrados das mesmas quantidades. Multiplicando a + b por a — b, vem

a + b a —b

a? + ab - -ab-o3

(a +b)(a — b)=*à

Advektejsclv. Sendo («+ b) (a—b) — a2—bc\ será recipro- camente

a* — bz = (a + b)ía — b).

Logo • A diffprença dos quadrados de duas quantidades è egual á somma d'estas quant>4ades multiplicada pela sua Jiffe»ença. Além a'isto, temos

a — b=(/a ■*_(v/m2 == (✓ a|\/b)(^ã— s/b).

Logo: A differença de duas quantidades é egual somma das suas raízes quadradas multiplisada pela ii/ferençu das mesmas raizes.

exercícios

27. Effectuai as multiplicações

6cWx x x 5a36cs X 4acM* X MbWf.

28. Effectuar as multiplicações

0,4oa'í>3 X M<;'>; 3cm X 4- m? í 4fl~'6* x 3 V fl?çc3 o 7

2fl Effectuar as multiplicações

0,â<rtcb. X 8ÍÍ/ : X ; oòt2 X y a»2. 30. Effeciuar as multiplicações

3 4- ax* X 2 i- cWlv; 4 % (fibc? X 0/>SaVhj*. 8 4- 8

31. EITectuar as multiplicações

3a"C X âoV-1; /)■»+» X y Ir--1; 3 j am~3 X y a2»-'.

32. EITectuar as multiplicações

2 3

kaxm±" X 'Ax"">f abT X y- 4c!C-,d4X3c2-*d4- -».

33. Effectuar as multiplicações (3'«3-f 2a26 — 4o6«) ga3^; (kx^-Sxy -4 7í/-!) 3 cixa.

34. Effectuar as multiplicações

(4 aW — -I- ifilfi — «'A X a26e; (8a2 — 3//3 -f 4c2) 3a b"C. \ í) o o / 4

O 4 O

35. Multiplicar y a"—y «'"-'<; — y a"<->b*-\-ka"' -W por -- a3'"-1?)2"-3.

36. Multiplicar 3aa* +2a*—Ík%2—6«3a:+7íe« por 16'oíb2—3a2a5+4aj3.

37. Multiplicar sr — a;'"-1»/ + — a;»1-3?/3-! w4 por x-\~y.

38. Multiplicar 2a» + 3x\/ — — hxy* por txJy — 'Axtf -f if.

39. Multiplicar MW—luW | - por 7o36s—3a26«—7a&?.

40. Multiplicar 5a2aj4—3«4as3 —7a36»-2 4-2a262a:—7«36 por %a'a?—6abx2 | 3a2?)2.

41. Multiplicar 4a.r3 — Sara? -4- 4a3x — 8a -4- 1 por 7ax2 — ;!a?a: -f ia — 5a+ 8.

42. Multiplicar a2.'t2 4 ■ ai 4 26a;3 - f- Ikibx- — 363 — li-x* por 2o®2 4- Wx — 3«3 — bofi + b2x -f 63.

43. Multiplicar ate3 + aW—a*x— a6-r-6?a-3 + bW — aWx -f 66-f b*x por ax2 -f- a*sc — a3 + bx~— 6% 4 bs.

44. Transformar a expressão (a2 4 fc2) (c2 cP) lia somma. de dois qua- drados.

Result. («c4hdf'-\ (ad — bc)*, ou ac—bdy^-(ad4-6c}2.

45. Achar o producto de (ít;-|-3)(a; + 4)(aj-)-2)(ar-f 5)(®47) pela lei do n.° 41.

46. Achar, sem fazer a multiplicação,, os productos

(a?2— ÍK^+I); (2®+l)(2®-l); (3a53-l)(3»-3+lj; (íax—iáj)(iúx+iab).

47. Decompor em dois factores cada uma das expressões:

25«2—b2; (u+cf -W; l/—(a~-cf<

48. Effectuar o producto (o 4 64 6—c) (a —6-|-c) (64-c—a)- (Producto = %m 4 2o-'c2 -f Ibh* — a" — b

49. Desenvolver as expressões (3a2a; -j- Tbhf)2, (5a4w —(3«26?e + ía3bc2)3. *

| 4.° Divisão algébrica

43. Divisão algébrica é a operação pela qual, sendo dadas dLas expressões algébricas, se determina uma outra cujo valor numeiico soja egual ao quociente dos valores numéricos das pri- meiras

14 Uma expressão algébrica cirí-se dhiswel por outra, quando o quocii nteuma expressão algébrica rnteíra.

A divisão algébrica coinprebende tres casos: divisão de mo- nomios; divisão de um polynomio por um monom;o; d-visão de do:' polynomios.

Antes, porém, de estudarmos cada um d estes casos, vamos determinar o signal do quociente. Para isso, temos

+ ux + b — + ab, -fax—b—— ab, —ax — b — -\ab.

e como um producto dividido por um factor dk em quociente o outro factor, temos

4-ab —ab . —ab 1 + ab

+ fl' -- — + a, — - — — b, — — m

+ b — b + a — a

D'onde s'p; conclue a segu-nte regra dos signaes: O quociente tem o signal +, quando o dividendo e o div'sor têm o mesmo signal; e Um o signal —, quando o dividendo e o divzsor têm signaes diffcrentes

\

Divisão de mcnotuios

4 5. Pela regra da multiplicação de monom.os temos

pa'"<b'" x qarcs =pqam+rbncs,

e como um producto di<idido por um factor dá eir quociente o outro factor, vem

---—-=• oaV.

pambn 1

O exame d'este resultado mostra qué1:!"

l.° O coefficumle q do quociente obtcm-se dividindo pq por p ALG.itJ.IA ELEMENTAR 33

sto é, d_viti!nJo o coefficiente do uiadendo peio coefficiente do div:sor.

2.° A letra a, existente no dividendo e no divisor com diífe- rentes expoentes, apparece no quociente com o expcente r, que é a differença dos seus expoentes no ui' idendo e divisor

3.° A letra /^existente no dividendo e divisor com o mesmo expoente, nào apparece no quociente

4.° A letra c, existente somente no dividendo, appauce no quociente com o seu respectivo expoente. Logo:

Para dividir ,áonondos, dh'ide-se o coefficiente do rivíde,ido pelo coeffic/mle do divisor; escrevem-se as letras communs, que i.t'm differentes expoentes, com um expoente egual n differença dos vxpoentes no dividendo e divisor; supprimem-se as leiras communs que léni os mesmos expoentes; e escrevem-se as que existirem no

dividendo sem existirem no d visor com os seus respectivos expoentes,

• • *

4.C». A regra da divisão relativa ás letras communs, que têm differentes expoentes, fo deduzida do caso particular de ser o expoente da letra no dividendo maior do que no divisor. Vejamos se podemos generalisar esta regra, isto é, tornal-a aoplifavel a lodos os casos am

Supponhamos a exnressão —, e consideremos os casos<rde ser

m ma'or, egual ou menor do que n.

i ° m > n. Neste caí o, àa regra demonstrada deduz-se imme- ihatamente

am

- = am~h, an

2.° m —n. Applicando a regra da divisão, achamos

am

= a«i-"=a<\

an

resultado que nada exprime; porque,.em virtude de defiuição, o menor expoente, que pode haver, é a unidade.

Mas, por outra parte,, sendo m =n, é a'"1 — o"; e como uma quantidade dividida por s mesma dá em quociente a unidade, temos

am _

<l>1 ' verdadeiro valor do quociente. Logo, para a regra ter appleação neste caso. basta convencionar que aP — 1, isto é, que ur,ta quati lulade, affecta do expoente zero, representa a unidade.

3.° m<n, e por consequência n — m-{-p, Appl.^ando a re- gra, vem

am

- = am~n — am ~m~P = a~P, an

resultado que também nada exprime; porque, por definirão, o expoente é um numero inteiro e positivo

Mas, como podemos d:vidír o dividendo e o divisor pela mesma qLaníidade, segue-se que o verdadeiro valor do quociente é

am am am J

a" ~ UpAf ~ ,í«> x o'i>' ' ~av '

Logo, pcra a regra ser applicavel neste caso, hasta convencionar

que a~P — —, i to é, que uma quantidade, affecta de expoente

negativo, é egucd a um quebrado que tem pon numerador a w.ii dade, e por denominador a mesma quaniiaade com o mesmo ex- poente. tornado positivo.

Portanto, por meio d'estas convenções, a regra da divisão é applicavel a todos os casos, em que os expoentes seja-n inteiros e positivos.

\3. Da ultima convenção conclue-s,e que podemos passar um factor do numerador para o denominador, ou reciprocamente, mudando o signal ao seu expoente. Com etfeito, temos

1 ar-» 1 a~P = —, ou

av 1 aP

48. Este ultimo principio permitte dar a iórma 5rte;-a ôs expressões fraccionarias. Assim

3 ao2

5c<P

^.S-tabk-id-K

O mesmo principio fornece também o meio de ordenar um polynomio em relação a uma leira, que entra em denominadores. 49 Exemplos da divisão de monon.ios:

néhsc1 r . 0 3a//'c a~%hd-v Ih

3a% ' 9a3M2 3 3aW

Divisão de UiH polynomio por um munomio

50. Pam dividir um polynomio por um monohiio, divide-se separadamente cada termo do dividendo pelo divisor, attendendú á regra dos signaes e á da divisão dos mommios.

Com e deito, temos (íi.° 34)

(a+b — c) v — ap + bp — cp: e como um producto dividido por um factor dfi em quociente o outio factor, vem

ap + bp— cp

—---- —- = a + b — c,

P

resultado que se oblem, dividindo separadamente cada termo do dividendo por p

D jsta regra resulta que, para um polynomio ser oivbivel por Um monomio, é necessaiio que cada termo do dividendo seja di- visível pelo monomio di isor.

Quando esta condição não tr er logar, indicam-se as divisões debaixo da fórrna fraccionaria.

Exemplos:

-—- 1Q----= 5 ab!í — íuW + 2a*b>— 3 éb,

Scrb6

Ha% — Cac2 + 2ft9c + 4a2c3 Ub n IP

-^---_--3c + - + 2ac8.

zac c a

Divisão de dois polynomios

líf. Sejam A e B deis polynomios ordenados segundo as po- tencias decrescentes da mesma letra, e Q o quociente da divisão de A por B, que supporemos ordenado do mesmo modo.

Como o diviaendo w* egual ao di* isor muhi|> içado pelo quo- ciente, será

A = E xQ.

  1. Mas, se dois polynomios e o seu producto estiverem ordenados

segundo as potencias decrescentes da mesma letra, o primeiro termo do producto provém sem reducçào da multiplicação do pri- meiro termo do multiplicando pelo primeiro termo do multipli- cador: logo, designando por a o primeiro termo de A, por b o prirheiro termo de B e por q o primeiro termo de Q, teremos

, - a

a = bxq, e por consequência q= -~.

IVonde se conclue que: para obter o primeiro termo do quo- ciente, devemos dividir o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor.

Designando agora por Q' a reunião dos termos desconhecidos do quociente, temos

Q = q + Q',

e por isso A — B (</ + Q') ~ Bg -t- BQ',

ou, tirando Bç aos dois membros,

A —Bg = A' = BQ',

sendo 0 resto A' um polynomio conhecido.

Ordenando este resto A' segundo as potencias decrescentes da mesma letra, o seu primeiro termo resultará sem reducçào da multiplicação do primeiro termo de B pelo primeiro termo de Q': logo, designando por a' o primeiro termo de A', por b o primeiro termo de B e por q' o primeiro termo de Q', que é o segundo termo do quociente, teremos

a1 — bxq1, e por consequência q' ■

a'

D'onde se conclue que: para obter o segundo termo do quo- ciente, multiplica-se o primeiro termo do quociente pelo divisor; subtrahe-se o producto do dividendo, e divide-se o primeiro termo do resto resultante pelo primeiro termo do divisor. , tor, um raciocínio similhante se acham os mais termos do q uocien te., Portanto:

. Para dividir polynomios, ordenam-se os polynomios segundo as potencias crescentes ou decrescentes da mesma leira; divide-se o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, e assim se obtém o primeiro termo do quociente, que se multiplica pelo divisor, e o producto se subtrahe do dividendo.

D'este modo obtem-se um resto, cujo primeiro termo, dividido pelo primeiro termo do divisor, dá o sei/undo termo do quociente; e assim por deante até chegarmos ao resto zero, ou a um resto, cujo primeiro termo contenha a letra principal com um expoente inferior ao da mesma letra no primeiro termo do divisor, caso em que a divisão é impossível em quantidades inteiras.

Neste ultimo caso não se obtém quociente inteiro exacto; por- que, continuando a divisão, os termos seguintes do quociente contêm a letra principal com expoente^ negativos, e por conse- quência esses termos são fraccionarios.

SS. Para fazer a multiplicação e a subtracção que corresponde a cada termo do quociente, escrevem-se debaixo do dividendo respectivo os productos parciaes obtidos com os signaes trocados, e depois faz-se a reducção.

Além d'isto, sendo o primeiro termo de cada dividendo egual ao primeiro termo do divisor multiplicado pelo termo respectivo do quociente, a subtracção faz sempre desapparecer o primeiro termo de cada dividendo. E por esta razão que na prática se não escreve o producto parcial que destroe o primeiro termo do divi- dendo, e se começa a multiplicação pelo segundo termo do divisor.

53. Exemplos da divisão de polynomios:

6a:l — fiV> + 'latfl + 3b*

30a6 — 47 a4 6 + 39a3&* — UmW — 13a&< + 6 65 4- oa"b — IOhW — Itirt^3

- 4 ±t'b + 19o362 — 30asfc3 — 13«f>4 + 665

• — 7 aW 4- c28aVP + 21 alfi

12aW — 2a*6? + 6f>5

+ 2a2fc3 — 8abl — <>6S

tio2 — 7ab -f

0

15a;5 4- Uix" — \ 5a-3 + -f 3x--f fi 6:»* — 3a;3

5.X'2 — 2a- -f 1

3a:3+4a?-2a:

20a; — 18a* + 8a;2 + 3a: + 6

8a;3 —4a;2 _

— 10x3 + 4a;2 + 3a: + 6

— %x'- + 2a: _

5a; + 6

Como chegamos a um resto, cujo primeiro termo contém a letra principal com um expoente inferior ao da mesma letra no primeiro termo do divisor, a divisão é impossível.

Neste caso podemos completar o quociente, ajunctando á parte inteira urn quebrado, quC tenha por numerador o resto da divisão e por denominador o divisor. Assim o quociente completo é

3z3 + 4a;9 — 2x +

5a:+ 6

— 2®+i'

51. Quando a letra principal entra com a mesma potencia em muitos termos, a regra da divisão é a mesma; porém, como os coefficientes dos differentes termos são polynomios, temos de fazer divisões parciaes.

Exemplo: dividir 6a4a54 — 3a362a:3+5ra6a;2—3a5fc2a: + a8 _ BaW — 7aV)W — 20a*b*x* + 18abGx — M* — 6¥xl + 24afc4a:3—a462x2—3a46 W 465;e3— HbW+Wx por 3a2x2 — 6 ab*x + a4 + 2 — 2 tfx + 2 bl.

Ordenando os dois polynomios em relação a x, damos ao cal- culo a seguinte disposição

Cm" —SaW —6a4

x'>— :híw

— 7a263 -j-24 a64 + 46:> +12a362 -f 4 a263 —18a64

— 665

a?»+ 5a«

—mm

— a46*

— 86G — 2«c - ha'bl + 3a'62 + 666

a2— 3a662 +18a6» — 3o463 267

9 aW~

+ .6 ab* — 2Í)5

a;3_L 3a11 -24 a'64 + 2a462 — 2ô« +18a264 + Cafc5

— 6a 65

— 26c

íc-h «8

—46»

3a2 a;2—6a62 b a4 + 262 —263 -26* 2a2 a;2+3a62 x- - a" — 362 — 63 -264

a;2— 3a562|a;+ +18a6«

— 3a'63 + 267

— 3a562

— 6a6«

a'<b5 + 26'

-468

3a«

a;2— 6as62

+

a?-(- n8

6a26' 4~12a66 —46" 2a462 — 2«463 466 + 467 + 6as62 — a8 + 2a463 —2a464 —12a6c +2a464 — 46' +46» > Primeira divisão parcial

3a2+ 26*

— 4a262

2a2 • - 362

9a262 - 664 + 6 tf

0

Segunda divisão parcial

9a«62 —3a2634 6a64 —265 3a2 + 262 — 6a 64 3a62-63

-3a263-26§ + 2 65

O

Terceira divisão parcial

3a6 -+ 2a462 — 6a264 -2a462

466

3a2 4 262 a4 — 26*

6a264-46® 4- 466 0

55. Caracteres de impossibilidade da divisão. Vimos já que a divisão 6 impossivel em quantidades inteiras, quando se obtém um resto, cujo primeiro termo contém a letra principal com um expoente inferior ao da mesma letra no primeiro termo do divisor. Muitas vezes, porém, reconhece-se a impossibilidade antes de se chegar a este resto.

Com eífeito, quando a divisão se faz exactamente, o primeiro termo do dividendo resulta sem reducção da multiplicação do primeiro termo do divisor pelo primeiro termo do quociente, e o ultimo termo do dividendo resulta sem reducção da multipli- cação do ultimo termo do divisor pelo ultimo termo do quociente. Portanto, a divisão é impossivel: 1.° Quando o primeiro termo do d.videndo nao é divisível f eio prime'ro termo do Jiv.sor.

2.° Quando o ultimo termo do di.idendo não é divisi^el pelo ultimo termo do difisor.

3.° Quando, sendo o ulfimo termo do dividendo divisível pelo ul'imo termo do d;visor, apparece no quociente i:m terrr.o que contém a letra pr :icipal com um expoente inferior ao que provém da divisão daquelles deis termos-

4.° Quando, sendo o ultimo termo do dividendo divisível pelo uliimo termo do divisor, apparece nc quoc:ente um termo do mesmo grai. em relação í< letra principal, mas differente d'aquelle que deiia ser o ultuno Exemplo .

5a;7 —- 6a;6 4- a;s + 3a;4 xÁ + a;2 + x — 5a;G — 5a;s

5a;4-lla-.3

— 1 la;6 - íxò + 3a;5.

Se a divisão se fizesse exactamente, o ultimo termo do quo- ciente devia ser 3x3; porém, como o calculo conduziu ao termo 11a3 do mesmo grau, mas diiferente d aquelle, a d;,,isão é im- possível.

5 ° Quando, sendo o uUimo termo do dividendo ciivisivel pelo ultjmc do divisor, apparece no quoc:ente exactamente o termo que devh ser o ult:mo, sem que o resto correspondente seia nullo. Exemplo:

5 -2®+ 16a;2 — 9a;3

1 — x — 3a;9

5 + 3*

3a; + 31a;a-9a;3 + 3ac2 + 9a;3

smÈ»

Divisibilidade de um polynomio inteiro em relação a x por x — a

O resto da divisão de um polynomio irdçino em relação a x por x — a é egual ao resuuado da substituição de x por a nesse polynomio. Supponhamos o polynomio inteiro em relação a x f[x) — A(,zm 4 A, xm ~1 + A^x™-'* 4. . . -f Am _ íx + Am.

Como o divisor x—a é do primeiro grau em x, a divisão po- der-se-ha continuar em quanto o resto obtido contiver x; e por consequência o resto final da operação, se o houver, ha de ser independente de x. Seja pois R esse resto, e Q o quociente in- teiro cm x: teremos

f\x) — [x — a)Q + R,

egualdade que tem logar para todos os valores de x. Além d'isto, sendo R independente de x, podemos dar a x um valor qualquer sem alterar o valor de R: fazendo portanto x — a, o valor de R não muda, e vem

isto é, o resto R egual ao resultado da substituição de x por a no polynomio proposto.

D'este tbeorema conclue-se que: um polynomio inteiro em x ê divisível por x—a, quando for nullo o resultado da substituição de x por a nesse polynomio. Porque este resultado é precisamente o resto da divisão.

Assim, o resto da divisão do polynomio

&xs — 3a;2 4- 4a; — 8 por x — 3 é

R = S.33 — 3.3244.3 — 8 = 112.

Do mesmo rnodo, o resto da divisão do polynomio

3xl — 2a;3 4 4a;2 — 5a; — 38 por x — 2 é

R = 3.24— 2.23 4 4.2®— 5.2 — 38 = 0$

e por consequência o polynomio é divisível por x — 2.

57. Lei dos lermos do quociente da divisão de >m ■polynomio inteiro em x por x — a. Dividamos por a; —a um polynomio inteiro em x do grau m:

Ani:n4 Ai,af*-t+ ■A2|as»,-2fí A3|a;m-34-...4- Km-\\x-\ A„

+«A0| 4-«Bi! 4-' «1*2! 4-«Bm—2| -f-«B„_i

A{pen-i+ híxm'iJrB-ix'n- -j-. . --j— Bm—i sendo

Bi — Ai + ff A,, = A2 + «li,

B3 = Aa -j-

Km—j = Am—1 4" «Hm 1 R = A™ + fllSm-1-

m

Examinando os termos do quociente e o rcslo, reconhece-se a seguinte lei :

O expoente de x no primeiro termo do quociente é m — l, e nos ternos seguintes vcw diminuindo de uma unidade até ser zero no ultimo.

O coefficiente do primeiro terno é o coeficiente do primeiro termo do divi- dendo, e o coefficiente de um termo qualquer é egual ao coefficiente da mesma ordem no dividendo, mais a multiplicado pelo coefficiente do termo antecedente do quociente.

Finalmente o resto da divisão é egual ao ultimo termo do dividendo mais a multiplicado pelo ultimo termo do quociente.

Advehtencia. Das egualdades antecedentes podemos deduzir o theorema do n.° 56. Com effeito, multiplicando aquellas egualdades respectivamente por a1"-1, am -\ am~3,.. .a1, a°, vem

Bia™-1 — A, n'»-1 -f- A0am B2a"*—5 = A-jim~'2 + Bia™—1 B3am-3 = A3am-3 4- ltó'"-'2

Bm-ia = A„_i a + B„_2a~ R = Ara -j- Bm_iff.

O primeiro membro de cada uma d'estas egualdades., excepto o da ultima, é termo do segundo membro da seguinte : portanto sommando as egual- dades e tirando os termos communs, vem

R = A(lam -f-Aia"-1 + A-m™-'2 -f... + A„_i a + Am .

58. Para generalisar a lei antecedente, vamos demonstrar que se ella tiver logar para um termo qualquer do quociente, terá também logar para o termo seguinte- Seja Pa?"-* o termo do quociente da ordem 1c: o primeiro termo do rgsto correspondente é

(A/t + nP) xm~", e por cousequencia o termo seguinte do quociente é

(At + «P) x'—^,

termo em que se observa ainda a mesma lei. Tendo, pois, a lei logar para os tres primeiros termos do quociente, terá lambem logar para o quarto, e assim por deante. 59. Exemplos: 1." Achar o quociente e o resto da divisão de 4a5 — KIt'1 + Ca:3 — 7x* + 9a; — 11 por x — 2.

Temos Q = 4a;1 + Aa;3 + Tia-2 + Ca; + D,

em que é

A = —10 + 2.4 = — 2, 6 = 6 + 2.-2=2, C = — 7 + 2.2 = —3,D = 9 + 2.-3 = 3, e por consequência

Q = 4^ — 2a;3 + 2as2 — 3x + 3, R = — 11 + 2.3 = — 5.

2.° Achar o quociente e o resto da divisão de

4a® — 2a;2 + 8 por x + 2 = x — ( — 2).

Temos Q = 4a:4 + Aa:3 + Ba;2 + Ca; + D,

em que é

A = 0-2.4 = — 8, B = 0 — 2.-8 = 16, C = —2 —2.16 = —34, D =0-2.-34= 68, e por consequência

Q = kx" — 8a;3 + 16a;2 — 34a; + 68, R = 7 — 2.68 = — 129.

€»©. Prova-se como no n.° 56 que:

O resto da divisão de um polynomio inteiro em x por x + a é egual ao resultado da substituição de x por — a nesse polynomio. L'aqui conclue-se que:

Um polynomio inteiro em x è divisível por x + a, quando for mdlo o resiátado da substituição de x por — a nesse polynomio.

61. A differenças das potencias do mesmo grau de duas quan- tidades é divisível pela differença das mesmas quantidades, isto é, xm — am é divisível por x — a.

Com effeito, o resto da divisão de xm—am por x—a é egual ao resultado da substituição de x por a no polynomio dividendo, isto é, o resto é

Ií=rt™ — am = 0,

o que prova o principio enunciado.

Isto mesmo se prova, effectuando directamente a divisão, como se vè do seguinte modo:

xm—am x—a + axm~1 xm~1 + a®'"-2 + aV>-3+... am~H + a"»-1

axm-i—am

+ aV»-2

aV"-2—am

+ a3ícm-3 ^

a3£Cm-3_am

a™~V2—am

+ a'»-1®

flm-lgj _ am

+ am 0

u>

Examinando os differentes restos, reconhece-se nelles a se- guinte lei:

1O primeiro lermo de cada reslo contém a com um expoente egual ao numero de divisões effectuadas, e x com um expoente egual ao excesso de m sobre esse mesmo numero de divisões.

2.® O segundo termo de cada resto é constante e egual ao se- gundo termo do dividendo.

3.° A somma dos expoentes em cada termo é m.

Em virtude d'esta lei, depois de m — 2 divisões, leremos o resto a"1-2®2 — am. Continuando com a divisão, chegamos ao resto zero, o que mostra que xm — am é divisível por x — a.

Examinando os termos do quociente, reconhece-se nelles a seguinte lei:

1.° Todos os lermos são positivos, e em numero egual a m.

2.° Todos os lermos têm por coefficiente a unidade.

3.° O expoente de x no primeiro termo em— 1, e nos lermos se- guintes vai diminuindo de uma unidade até ser zero no ultimo; pelo contrario, o expoente de a no primeiro termo é zero, e nos termos seguintes vae augmenlando de uma unidade até ser m—1 no ultimo.

4.° A somma dos expoentes em cada termo em — \ .

69. A lei do quociente e dos restos foi deduzida dos tres primeiros termos do quociente e dos tres primeiros restos; e por hducçfio concluimos que ella tinha logár para todos os termos do quociente e para todos os restos.

Vamos agora generalisar a lei, demonstrando que, se ella tiver logar para um lermo qualquer do quociente e para o resto cor- respondente, terô também logar para o termo oo quociente e resto seguintes.

Supponhamos que a lei tem logar para o termo do quociente da ordem k, e para o res'o correspondente: será a/:_1.-r,n—o lermo do quociente e ahxm—h'— a'"' o resto. Dividindo esle resto por x—a, temos

al,xm—l'_am x — a + Cfc+1£Cm—7c—1 alíxm—k—\

ah+\xm-h-l—a»,i

Ora, passa-se do termo ak~,x'ni~k para o termo seguinle akxr»—k— augmentando de uma unidade o expoente de a e di- minuindo o expoente x tombem de uma unidade: o que mostra que a lei do quociente tem a.nda logar. Além 1 isto, reconhece-se facilmente que se verifica tamóem a le. dos restos.

Temos pois demonstrado que, se a lei tiver Jogar para um termo do quociente e para o resto correspondente, tem também logar para o termo do quociente e resto seguintes. Mas reconhecemos que a lei è verdac^ira para os tres primeiros termos do quociente c para os tres primeiros restos: logo é também verdadeira para o quarto te>-mo do quociente e para o quarto resto e assf:n por deante.

Pi. Exemplos:

/.«_h6

—— = a5 -t- a46 + íi362 + a%3 t alA 4 <i — b rm— 1

-= Xn f + Xm~2 + Xm~3 + . . . + X + 1,

X-1

sjqÒ ,, „., qÔ ^jií _ ^já

=4' (x3) 4 + (a3) 1 (x3) 3 + (a3; 2jgft 2 4- (a3)3 (x;t)1 +■ (a3)* = rn'+ a3:-'* + aW + a ...

1.° xm—am sãmente ê dhis*vel por x + a quando m for par; e quando m Mf impar, dá o resto—2am.

O resto ds divisão de xm —am por cc -j-a è egual ao resultado da substit tição de x por — a no polj nomivi dv-dendo, isto é, o resto é

R=(— a)Bl — aBl. Posto isto, se m for par, temos (n.° 89) (— a)"> — a , e por consequência R—am—am — 0. Se m for ,npar temos peio mesmo p-incipio (—a)m — — am, e poríanto R= — a™ — am = — cIam.

I>o mesmo modo se prova que:

2_° xm + am não é u"vlsivel por x — a, e dá o resto 2am. 3.° xm+am somente é àíoisivel por x + a, quando m for im- par; e quando m for par dá o resto 2am.

exercícios

50. !íffectuai as divisões

mnMhj . WmtP; I8x"y'°z3 ~ f>«-aV*:

51. Effectuar as divisões

4 , , S „ r 4 _ „ . 2

"5 W1 % ' íl" 9" ; 7 J ' li" :

52. Effectuar as divisões

Sa W : — 4 a2è3cs; 3j fim : % c%.

8 4 3

53. Effectuar as divisões

íi

54. Effectuar as divisões

9 ^

I2Í»"' r<if : ~Aa-xY'\ '4 «"i-%<+< «ÉS .

o 4

55. Effectuar as divisões

4 3

7 8

56 Effectuar as divisões

£ (m-j-w)' : 3 (m-l-n)*-3; M (x* — a)""1: — ~ (a-2 — «)2»>+3