Tratado de Algebra Elementar/Livro 1/Capítulo 3

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Tratado de Algebra Elementar por José Adelino Serrasqueiro
CAPITULO III
Livraria Central de J. Diogo Pires (1906). páginas 48-56

57. Effectuar a di visão

o

58. ErfeCiuar a divisão

1 2

5 a3 (6 — c)m (a; — : — a4(& — c)m~'- (x — í/'»2

59. Effectuar a divisão

- mpi-W (ç — hy** (r -«)"+*: | j»2'-'»3 (g — fóàâ (r— 7 o

oO. Dividir 12«2a;y' — 24ax^i/' — -\ ■ 6xy por — 6xy.

61. Dividir 8aW — \oaW — 12a667 8aW por — 8«?'A

C2. Dividir 5 (a-+ fy — 4 (a + ffl — [a + bf< por — y (a + bf.

63. Dividir — 18mV' (p- — <jr) -,- 8»i%1 (p — <j)s — 4nfin3 (p —p) por

3

(p- q).

•k

.64. Dividir 3a26(m+M) — 4a3&*(m— n) -|-7a26(m2—n2) por Sao(ms—n!).

2 5 2

65. Dividir lxny'^ 'z3 -}- — í^jmw — br por — x2"-lys—nzs-f.

O O O

6t>. Eiviair (ktkJ - -f u-x^ -L 37aa;6 — 24a;6 por 2ax — 3a;2. 37. Divid'r — yx,'iyi -'-1 \xhfl — Ca% — Sm por jScjí • - x2. C8. D'viá.r 7a10 — SSaW»2 - Í8a<j*~rw>bf> + 5a2o8 por Icfi—kcW 'A C9. Dividir 2 - 3a;2 |- 22a3 — tftfl per 2 4-4a; —3a;2

70. Dividir 16eC — 8 ia* po • 2a2 — 3a-y,

71. DWiuir a" + 2«3a;3 -4 foi' a1 — ax 4■ a?2-

72. Dividir 6a* — 17a;3 -) lífe2 — 23a; 4- S por 3a* - 4a; + 5.

73. Dividir— —t-^Ai-Sya^fc3—96af6 lor—3u63—MW

4 IkM,

74. Oiv.dr 23xhf -f 2if —13xy* 4 ■ 6a;5 + 12a>V — 23tfy por y3 + 3a;3

— h'vyl — S

75. Dividir fá'» — h?b'> 4- 2at* __ fcfi _ !ÍU*bc — ZaWc 4 2a&4c + aíc*

— a,bicl por 2«!6 - ab* 4- f)3 — u'r, — abe,

76. Dividír 4tt • 13a3x2 -f 'ÍWx — 32a6 4- 16a"6 — 8«%c -f- 4a2ua;2

— fc*a;3 + %ab-x2 — 4a-6*a; 4 8a362 — 263o? + 2afchj; — a263 — Itó po. õax ■ ía3b2bx,

7T. Acha , pela lei dc u." S7, o quociente e o resto da divisão de

— 3a* + 4a/' + 7x3 — 3a;2 -J - 8a? — 12 por o — S

7í Achar, pela mesma lei, o quociente e o resto áa divisão de 7a;8—3x> | 4a;3 — 2a; 8 por x + 4.

79 t char. sem fazer a operação, o quociente da divisão de a19 — &10 pur i — 6.

80 Achar, sem fazer a operação, o quociente da divisão de a8 — 1 por

x — i.

81 Achar, sem fazei' a operação, o quociente da divisão de 1 — a;8 por

1 — X.

K? Achar, sem fazer a operação, o quociente de a-° — //"' poi a6 — &5.

83 Achar, sem fazer a operação, o quociente da divisão de —l por

„•» _ i CAPITLLO JII Fracções algébricas

| 1.° Propriedade^ tias fracções al gebric as

G5, Quando uma expressão algsbrica A não é divisível por outra expressão algébrica 3, o quociente de A por B escreve-se A

do segu nte modo: — Esta exnressão chama-se fracção algebiica, e portanto:

Fracção algébrica é o quociente indicado da di.isão de doas

- í-f . 3aV expressões algébricas. Exemplo:

O difiJendo e o divisoi chamam-se termos da fracção; além è sto, o div:dendo chama-se numerador e o d.vieor denominador.

tr>1». Os termos de uma fracção arithmetica são números in- teiros e posiuvos; em algebra os termos de uma fracção são quantidades quaesquer inteiras ou fraccionarias, positivas ou ne- gativas; e portanto as fracções algébricas são ma:s geraes do que as fracções arithmeticas. Vamos porém demonstrar qu3 gosam das mesmas propriedades

ti 1. O vaéor de uma fracção algebi Ica não se altera, quando os seus aois lermos se muhiplicam ou dividem pela mesma quan- tidade.

  • tt

Seja a fracção e representemos por q o quociente da di- visão de a por b: teremos

- =q, ou a = bq . . .........(1),

pois que o dividendo é egual ao div'sor multiplicado pelo quociente. Multiplicando os dois membros d'esta egualdade por m, temos

am — bqtn, ou dividindo por bm, = q;

bm

e substituindo este valor de q na primeira egualdade, resulta

a am b bm'

o que prova a primeira parte do theorema.

Dividindo agora por m os dois membros de (1), temos

a

a bq , . b m

— = —; ou dividindo por—, -— = q;

m m m b

m

a

a \m

e por consequência ———,

m

o que prova a segunda parte.

Corollario. O valor de uma fracção algébrica não se altera, quando se mudam os signaes aos seus dois lermos. Porque isto equivale a multiplicar os dois termos pòr —1.

©8. Simplificação das fracções. Simplificar uma fracção algébrica è convertel-a em outra equivalente, mas que tenha os lermos primos entre si.

Duas expressões algébricas dizem-se primas entre si, quando não têm factor commum, differente da unidade.

Para simplificar uma fracção algébrica, basta supprimir os factores communs aos seus dois termos.

Quando os dois termos do quebrado são monomios, é fácil re- conhecer os factores communs, pois que estão postos em evidencia. Assim

15 aWc _ 3 a9r. Wa W ~ U¥' Quando os dois termos do quebrado são polynomios, é ainda fácil reconhecer os factores communs monomios, se os houver: para isso, basta tirar para fóra de um parenthesi^ os factores communs a todos os termos do numerador, e fazer o mesmo no denominador. D'cste modo, temos

1 ZaW — 1 2«265 _ 12a2//' (a — b) 28as£»s — 56 a«63 + 28a364=28a362 (a2 — 2a6 + ò2)

3 b\a—b) 362

7 a{a—bf 7a (a — b)

Em quanto aos factores communs poljnomios, para os reco- nhecer, é neceessario, em geral, recorrer ao maior divisor com- mum algébrico.

Reducçào ao mesmo denominador. Para reduzir fra- cções ao mesmo denominador, multiplicam-se os dois termos de cada uma pelo producto dos denominadores de todas as mitras.

Quando, porém, os denominadores forem monomios, e estes nâo forem todos primos entre si, podemos empregar o processo do menor múltiplo. Para isso, procura-se o menor múltiplo de lodos os denominadores; divide-se este por cada um dos denomi- nadores; e os quocientes, que resultarem, multiplicam -se pelos dois lermos do quebrado correspondente.

O menor múltiplo de muitos monomios é egual ao menor múl- tiplo dos seus coellicientes, seguido de todos os factores literaes, afíectado cada um com o ínaior expoente. Exemplos:

1.° As fracções.....-j-,

tornam-se em.

b' â' f adf bcf bde

bdf' bdf Jdf'

a2 + 2aò + /;3 aZ — Zab + b* algebra elementar 81

3.° Reduzir ao jnesmo denominador as fracções

fl — b a + b <i2 + 62 3 (a + b)' 2 (a—b)' 6(rt2 —Pj'

Como a2 — b^ — (a+b)(a— b), o menor múltiplo commum dos denominadores é 6 (a2 — ò2); e por consequência as fracções propostas tornam-se em

2(a — Vf 3 (a + b)* a^+m 6 (à* — í>2)' 66(08-6)»'

4.° Reduzir ao mesmo denominador as fracções

3 a2 5 bs 7c4

2068c 18a2c3 45aty2

9a2c2 1062 4c3

27aíc2 50òri 28 c1

180 aW 180a W 180aW~

20 — 22 x 5 )

18 = 2 x 32[. . . x 32 x 8aW = 180a2ò2c3. 45 = 32 x 5 )

| 2.° Calculo tias fracções

Somma. Para sommar fracções, que têm o mesmo deno- minador, sommam-se os numeradores, e dá-se ao resultado o de- nominador tommum. Com elíeito, temos (n.° 50).

a + b+c a ^ b ^ c a ^ b ^ c a + b + c d d d d' d d d d

Se as fracções não tiverem o mesmo denominador, reduzem se a elle, e depois applica-se a mesma regra.

91. Subtracção. Para subtrahir fracções, que têm o mesmo

denominador, sublrahem-se os numeradores, e dá-se ao resultado

  • o denominador commum. Porque temos (n.° 50)

ou

Se as fracções não tiverem o mesmo denominador, reduzem-se a elle, e depois applica-se a mesma regra.

72. Multiplicação. Para multiplicar fracções, multiplicam-se os numeradores e do mesmo modo os denominadores. Supponhamos as fracções

a c , .

— — q, —- — q : serí a = bq, c= l j b il

Multiplicando estas duas egualdades, vem ac — bdqq'; e dividindo por bd, vem

ac a c ac

^"kT 0U 1 ':~d=ljd'

'«8. Divisão. Para dividir fracções, multiplica-se o dividendo pele divisor com os lermos invertidos. Sejam as fracções

a c

- = q, — = q': será a — bq, c — dg.

D Cl

Divdindo a primeira egualdade pela segunda, vem

> L

a bq

c dq

, d ad bdq q

ou multiplicando por—, ————- — —.

b bc bdq q1

Separando o primeiro quebrado em dois, eT,§screvendo em pii- meiro logar o segundo membro, lemos

q a d a c a d

-==- x-a, ou — : ---= —x—. q b c b d o c

9 S. 1Para elevar uma fracção a uma potencia, elevci-se em separado cada um dos seus lermos a essa potencia. Porque ' a\n a a a a.a.a... a'1

b b b b.b.b... bn Reciprocamente:

2.° Para exlrahir a raiz de qualquer grau a uma fracção, extrahe-se a raiz do mesmo grau a cada um dos &us termos. IVeste modo temos

»"/a_

b ~ Vb

s/\

§ 3.° Theoremas sobre as fraòeões

5 &. Se tivermos dois ou mciis quebrados eguaes, e os sommar- mos termo a lermo, o quebrado resultante é egual a qualquer dos propostos. Seja

a c e b^ d^j

designando por q o quociente de cada um d'estes quebrados, como o dividendo é egual ao divisor multiplicado pelo quociente, teremos

a = bq, c = dq, e~fq;

sommando estas egualdades membro a membro, vem

a + c + e a

e dividindo por b 4- d + f,

b+d+f J b

9©. Quando dois ou mais quebrados são eguaes, se multipli- carmos os dois termos de cada um por uma quantidade qualquer e sommarmos os quebrados resultantes lermo a termo, teremos ainda um quebrado egual a cada um dos propostos.

Seja q o valor commum de dois ou mais quebrados eguaes, isto é,

| a c e como o valor de um quebrado não se altera, quando os seus dois lermos se multiplicam pela mesma quantidade, será lambem

am cn ep ^ bm dn fp ' e applicando a estes quebrados a propriedade antecedente, leremos

am + cn + cp a

bm + dn -f fp ~ b

ff. Quando dois ou mais quebrados são eguaes, o quebrado, que tem por numerador a raiz quadrada da somma dos quadrados dos numeradores e por denomina or a raiz quadrada da somma dos quadrados dos denominadores, é egual a cada um dos pro- postos. Seja

cice c2 e2

J^d-J' ou quadrando,

Temos (n.° 75)

ct2 + c2 + e2 ai

+ Ir'

quadrada aos dois

\f+ c% + # a

e extrahindo a raiz quadrada aos dois membros d'esta egual- dade, vem

+ d* + f* b ' A

HiX I±S JBtO IO I OS

84. Simplificar as fracções seguintes:

12_2 ()5/«W' fr2mkiW>xhf 8a3x* ' Í23mr'py' "5344tfbxhf '

85. Simplificar as fracções

a(q + M 4a(a — b) x* + %c +1 a" — b'> 2(a2 — b*j' 6 (a1 — íab -j- fc2)3 x- — 1 '

86. Simplificar as fracções

4a;3 —12 xhj -f 1 — 4y3 "2a~b + 2a»e — 3fr2 — 3 bc ~ 6a;- — iixy + ' Bãb -f — 7fc2 — 76c ' 87. Effectuar a somma

m , n , p

12a62 6«'fc 1 9 tiW

88. Effectuar a somma

a + fc ! a c- — 2a "o 1 ã— a2 — 62'

89. Effectuar a somma

262 - 12a2 2a - b 7a / _7\ -~ r 0_6 +3(-a+6)+*

90. Effectuar as subtracções

a-\-b a—b a + b _ 1

ã^b ~ «Tb' a3 —63 a2 — 62"

91. Effectuar as multiplicações *

, . . 7a;2!/ 2a x. 56 3a*® _ funli- X "36 4Õ2' C^""

92. Effectuar as multiplicações

' 10(ft — 6)' 1 9(0-6)' v 1 (<r+?/)1

93. Effectuar as multiplicações

(a — 6)2 ^ _ 6_ a^a — ai)_ q(a + a)

a + 6 a(a—b)' a2 + 2aa; + a;2 o2—2aa;+a£'

94. Effectuar a multiplicação

95. Effectuar as divisões

3a<6 6a^2 14xtyz*. 2c2rf3: SaWc : lSa3c '

96. Effectuar a divisão

a3 + 3a-b + 3a6- + 63. 2(a + 6)2 / __£__\

-ÕÍZTp V +

97. Simplificar a expressão

. 6 — a

1 l + a6 ,,


, -—, (Result. = b),

ab — d~ ^

~ r+ ãb