Tratado de Algebra Elementar/Livro 1/Capítulo 4
87. Effectuar a somma
m , n , p
12a62 6«'fc 1 9 tiW
88. Effectuar a somma
a + fc ! a c- — 2a "o 1 ã— a2 — 62'
89. Effectuar a somma
262 - 12a2 2a - b 7a / _7\ -~ r 0_6 +3(-a+6)+*
90. Effectuar as subtracções
a-\-b a—b a + b _ 1
ã^b ~ «Tb' a3 —63 a2 — 62"
91. Effectuar as multiplicações *
, . . 7a;2!/ 2a x. 56 3a*® _ funli- X "36 4Õ2' C^""
92. Effectuar as multiplicações
' 10(ft — 6)' 1 9(0-6)' v 1 (<r+?/)1
93. Effectuar as multiplicações
(a — 6)2 ^ _ 6_ a^a — ai)_ q(a + a)
a + 6 a(a—b)' a2 + 2aa; + a;2 o2—2aa;+a£'
94. Effectuar a multiplicação
95. Effectuar as divisões
3a<6 6a^2 14xtyz*. 2c2rf3: SaWc : lSa3c '
96. Effectuar a divisão
a3 + 3a-b + 3a6- + 63. 2(a + 6)2 / __£__\
-ÕÍZTp V +
97. Simplificar a expressão
. 6 — a
1 l + a6 ,,
, -—, (Result. = b),
ab — d~ ^
~ r+ ãb 98.. Simplificar a expressão x
a
x — a x^-a
(Resull. = 1).
x
a
x-\-a- x—a
99. Verificar a egualdade
a~\--r~r b —-rr , ,
' a-{-b a—b __« + b
a —b a-\-b a — b'
CAPITULO IV
Potencias e raizes d»s monomios. Calculo dos radicacs. (jalcuto das quantidades imaginarias
11.° Potencias o raízes cios monomios
98. 1.° Para elevar a uma potencia o producto de muitos factores, eleva se a essa potencia cada um dos factores. Porque
Reciprocamente:
2.° Para extralúr a raiz de qualquer grau ao producto de muitos factores, extrahe-se a raiz do mesmo grau a cada um dos factores. Assim .
9 O. l.° Para elevar a uma potencia uma quantidade affecta de expoente, multiplica-se o çxpoente pelo grau da potencia. Com eííeito
(am)« = a'" x a'" x am x. . . = am+m+m+- = a"m. Reciprocamente:
3.° Para extrahir a raiz de qualquer grau a uma quantidade
(iabe.. . )n — abe. . . x abe. . . x abe. . . x. . .
= aaa. . . x bbb. . . x ccc. . . x. . . = a"b"cn. . .
Vabe. . .—Vax Vbx í;/e
c x.. a/fccía de expoente, divide-se o expoente da quantidade pelo Índice da raiz.
Assim \/as — a'í.
8®. Quando o expoente não for divisivel pelo Índice da raiz, convencionou-se indicar a divisão, escrevendo o expoente debaixo da forma fraccionaria. D'este modo, temos
^__J»_ __m_
y'rt:i= 3, em geral 7am — a".
A extracção de raizes dó, pois, origem a uma nova especie de expoente, o expoente fraccionario, que se não deriva da definição. Porém, a egualdade antecedente mostra a significação de tal expoente: o expoente fraccionario denota que a quantidade, que elle affecta, se tem de. elevar a uma potencia designada pelo nume- rador, e que do resultado se tem de extrahir uma raiz designada pelo denominador.
Hii. 1.° Para elevar a uma potencia um monomio, eleva-se a essa potencia o coeficiente numérico, se o houver, e multiplica-se cada expoente pelo grau da potencia. Porque
(pambn«==(i).° 78) = pi(amyíbn)i = (n.° 79) = pWW.
Assim (/,.a36'y<==6WS.
Reciprocamente
2.° Para extraliir a raiz de qualquer grau a um monomio, extrahe-se essa raiz ao coeficiente numérico, se o houver, e divi- de-se cada expoente pelo índice da raiz. l)'este modo
\/5T2flW = 8
83. Signaes das potencias e raízes. 1." Uma potencia do grau par de qiudqUer quantidade, positiva ou negativa, é sempre positiva.
Se a quantidade for positiva, a potencia é evidentemente po- sitiva ; e o mesmo tem logar se a quantidade for negativa, porque então a potencia é o producto de um numero par de factores negativos.
2.° Uma potencia do grau impar de qualquer quantidade é . ,,r„ ., , ... ,1 — ' ™ i Vi
rr
88 ÁLGEBRA .iLEMLiYIAIt
positiva ou negativa, cor,forme esta quantidade for positiva ou negativa.
Se a quantidade for positiva, a potencia é e' identemente po sinVak porém, se a quanti lade for negativa, a potencia, sendo o producto de um numero impar de factores negativos, será tam- bém negativa.
3.° Uniu rciz do grau par de urna quantidade positiva tem sempre dois valores reaes e cguaes, %im positivo e outro negalii'0. Com effeito, lemos (n.° 82, 1.°)
Í*W afn = + A, ou + A =-- (+ afm; extrahindc a ptiii do grau tm, vem
2 m!-
/+ A = ±a.
4-.° As raizes do grau par das quantidades negativas não têm existenc-a numérica, e por isso se lhes dá o nome de quantidades imaginarias. Taes são as expressões
/__4. Ví—3fl2
Estas ra>zes não têm existencia numérica, porque não ha nu- .mero nenhum que, entrando um numero par de vezes por'factor, produza um resultado negativo.
Em opposição ás quan,:dades imaginarias, dô-se o nome de quantidades reaes às quantidades positivas e negativas.
5.° Uma rciz dv grau impar de qualquer quantidade é positiva ou negativa, conforme esta quantidade for positiva ou negativa. Porque temos (n.° 82,
(± afM'- ' = tA, ou ffi A = (t af" '<1
extrahinao a raiz do grau 2m+ 1, .aLem
Sta-H/- .
/ ± A = ± a
| 2.° Oalonlo dos radicaes
A
8 3. Vimos que se chama radical o signal •/ , coin que se indica a extracção de raizes; porém, damos aqu: este nome a
qualquer raiz :ndicada, por exemplo, á expressão Na aritlimetica, em que se consideram somente os numeros positivos, um radical tem um único valor real e positivo. Assim
t/4 =2, ^27 =*= 3.
Na algebra porém, cm que, além das quantidades positivas, se consideram as quantidades negativas e imaginarias, um radical tem mais do que um valor.
Prova-se que viu radical lem íanlos valores, quantas são as unidades do seu indice. Ao valor real e positi\o dá-se o nome de valor arithmclico, c a todos os outros o nome de vedores al- gébricos.
Radicaes equivalentes são aquelles que têm o mesmo valor ari-
tlimetico. Taes são t/9 e v/ 27.
Em tudo. o que vamos dizer, consideramos somente os valores ienes e positivos dos radicaes, isto é, os valores arithmeticos.
1.° O valor de um radical não se altera, quando se multiplica o seu indice e os expoentes dos factores, que elle affecla, pela mesma quantidade. Porque temos
m /
(lV)m==a«;
elevando ambos os membros á potencia ri, vem (n.° 79)
("^aq)mn — anq, e extrahindo a raiz (lo grau mn, temos
m/ wh/
\Janq.
2.° O valor de. um radical não se altera, quando se divide o seu indice e os expoentes dos factores, que elle affecla, pela mesma quantidade. Com effeito, pelo principio antecedente, temos
m / mn!
VaQ—Çá"9;
i' escrevendo em primeiro logar o segundo membro, vem
mu/ l/i /
Vanrj—/a®.
3.° Dois radicaes são equivalentes, quando a quantidade col- locada debaixo dos radicaes é a mesma, e a razão dos índices ê egual á razão dos expoentes. ■ ' e s
Designando por q o valor commum d'eslas razões, teremos
85. Para reduzir radicaes ao mesmo índice, multiplica-se o indice de cada radical e os expoentes dos factores, que elle affecta, pelo producto dos Índices de todos1' os outros radicaes.
Este processo funda-se em dois princípios: a ordem dos fa- ctores é arbitraria; e o valor de um radical não se altera, quando se multiplica o seu indice e os expoentes dos factores, que elle affecta, pela mesma quantidade. O primeiro principio mostra que os radicaes ficam reduzidos ao mesmo indice; e o segundo mostra que o processo não altera o valor de cada radical.
Quando os indic.es dos radicaes não forem todos primos entre si, podemos empregar o processo do menor múltiplo. Para isso, procura-se o menor múltiplo de todos os índices: divide-se este numero por cada um dos índices; e os quocientes, que resultarem, multiplicam-se pelo índice dn radical correspondente e pelos ex- poentes dos factores, que elle affecta.
Exemplo 1.°:
Os radicaes...... Vsiaò8, V3a%h
tornam-se em.......y/ Í6a168, ^/27a6òV!.
Exemplo 2.°:
Os radicaes. . . ... .yjab*, v'%a2b, l'V/j;i
m = m'q, n = n'q;
e por consequência
v an— Vanq^= Va"
tornam-se cm
8©. i.° Para tirar para fóra de um radical um factor, que está debaixo delle, basta esetrahir-lhe uma raiz, designada pelo grau do rqdicMk Porque temos
Var" x l pj (n.° 78, 2.°) = "/«™x Vò = °Ví
2.° Para escrever debaixo de um radical um factor, que está fóra, basta elevál-on uma potencia, designada pelo grau do radical.
Porque, pelo principio antecedente, temos
'/aMb = a'Vu: i ec. proccmente aVb = Viá"'b.
8$. O primeiro principie do numero antecedente forneee-nos o meio para simplificar um radical, isto è, para o transfcrmar em outro equivalente, de modo que os Expoentes dos factores que elle affecla, sejam menores do que o seu i.idice.
Para isso, decompõe-se o coefficiente numérico em factores pri- mos, e decompõe-se cada expoente em duas parcellas, uma das auaes sem o maior múltiplo do indice do radical contido no ex- poente, e a outra o excesso cio expoente solre este muhiplo. Feito islo, tiram-se para fóra do i adical os factores, que têm raiz exacta. As"im
teí^à e ví,
3/64Sai V'23x33X3 BWW
= 1 x 3iVò *òc* = 6a36V3^ bê,
fetf- S + -= /3(«2-2Õ6 J6*)= /\\a -bX*=(a - 6)/*í.
§8. Hadicaes similhantes são os radicaes do mesmo grau, que affectam as mesmas quantidades, ou que se podein tornar as mesmas, depois de simplificados os radicaes.
8*». Para sommar on sublruhir radicaes, indicam-se estas opei ações por meio dos signaes respectivos, e, se howfer radicaes sin dhuntes, faz-se a reducção. Exemplos:
7/2a +3 /2a = 10 /2a; 3n" b - - Sc= - (3a — »c) Vb;
\Ubaii' + b mã= /â5 x 3ãjà + 6/3 x 82a
= 46/3 a 4 56 /3a = 9b /3a \ g2 ai.r.tiiiiA eleíbiíktah
l/75Õ3p —. 41/ 3a862 = v/3l7Pã2õP—4
= 5flò /3a — 4aò /3a = aí» /3a;
a2 /a3 — a2
= a3 /tt — 3a26 s/ a + 3aW \Ta—bs / a = (a3 — 3a2fc + 3ab* — bs) /« =(a-ò) Vã.
íí©. 1.° Para multiplicar radicaes do mesmo grau, multipli- cam-se as quantidades que estão debaixo d'elles, e affecta-se o producto com um radical do mesmo grau. „ Porque temos (n.° 78, 2.°)
Va xbxcx .. . —"/ axVíix*/cx..., ou, escrevendo em primeiro logar o segundo membro,
m/ m /. mi mi , 1
v a x vbx v cx. . . ==\' a x bx c x. . .
Se os radicaes não tiverem o mesmo grau, reduzem-se a elle, e depois applica-se a mesma regra. Exemplos:
/3aP x ¥íaHr< i 2a3ò7; 3 \fíkfibx 4 /2ÕP=12 /fitoty»: 3 /2a63 x 8 = 3 °/8a3i9 x 5 \/<JaW = 15^72?1P3.
2.° Para dividir radicaes do mesmo grau, dhidem-se as quan- tidades, que estão debaixo d'ellcs, e affecta-se o quociente com um radical do mesmo grau. Porque temos (n.° 74, 2.°)
m y— mf— mJ— m
a Va . i /a / a
V i: reC,PTm e*V6= |/ 6 ■
Se os radicaes não tiverem o mesmo grau, reduzem-se a elle, e depois applica-se a mesma regra. Exemplos:
VZuW 3 ^ 3 f é _
VTÚa*Wc = 12a-bsc V kbc'
fSab* V9aW
fáÕH'
'OaW _ yw _ 6/ 96 V 8aW~~V 8a?'
VS a%
OS. 1.° I':ira elevar um radical a uma potencia, eleva-se a quantidade que elle affecla a essa potencia; ou divide-se, quando for possível, o indice do radical pelo grau da potencia. Com effeito temos
(Vã/=7 a X 7 a X 7 « x ■ • - -= (90, 1
Va
xaxax
o que prova a primeira parte do theorema.
Supponliamos agora que m é divisível por p: teremos m—pq; e substituindo este valor, vem
(7«y<=7V==(n.<> 84, 2.°) = v/a, o que prova a segunda parte. Exemplos:
)/(2aò4)3=(/2aò4)3 = ^32^0; (fâtaÃ*)* =V3ÕP.
Reciprocamente:
2.° Para cxtrahir a raiz de um grau qualquer a um radical, muUiplica-se o indice do radical pelo grau da raiz; ou extrahe-se, quando for possível, a raiz do me.-mo grau á ciuantidade que elle affecla. Exemplos:
y/ = 7'MP; \] VS)o W;== v M*.
©8. Na avaliação numérica dos radicaes ha uma transformação muito importante, que consiste em tornar racional o denominador <le uma fracção.
Esta transformação é sempre possível, quando o denominador contém um, dois, tres ou mesmo quatro radicaes quadrados, com- (anto que neste ultimo caso não contenha termos racionaes. a
l.° Seja a fracção : multiplicando os dois termos pela
\/1), temos
<Vb
\/b a
2.° Seja a fracção-multiplicando os dois termos poi
b—)/ c, vem b+[/c
a a(b — V7) _a(b—Vó)
b + ^c (ò + {b — /c) W — c Do mesmo modo
a _ a(b + \/7) _a{b+</7)
b — \íc (6-/c) (6 f l/c) ~~ fc2 —c '
3.° Seja a fracção —=—multiplicando por Vb— t/c, vem Vb + Vc
a ^ a^b — y/7) _ a{\fb—\íc)
Vb-fVc ~~ (/b + Vê)(Vb — \/c)~ b — c
a
4.° Seia a fracção —7=-7=—• multiplicando por
s/b + s/7—tíd; vem ^c^d
a ^ a(/b + ^—\/d)_
\/b + i/c + Vd~~ (✓& + V7+ /</)(\fb + s/c—Vd)
_a(vrb+/c-\/ã)_a(\/ b + \íc — )/d)
(l/b + \/cf—d Alebot b\+c-d + 2Vbc fracção cujo denominador contém somente um radical,
a
5.° Seia a fracção -7——7=—1=-;*>=— : multiplicando por
_ _ V6 + l^c+|/d+ )/e
l/b + l/c—(/(H \fe) vem
a u
\/b + v c + Vã-f /e (Vb+\/c + \/ã + \/é)[\/b+ \Tc-(\íd ■+ /e)]
a( + Vfc"— l/d — /e) a( \'b 1 /c — /tí—t/ê)
~ (/ò-t/c)5—(/cí-lVe)2 ~~ 61 c-d-e+ZVbc-Wde' fracção cujo denominador somente contém dois radicaes.
Podemos também tornar o denominador racional, quando a
a
fracção é da fórma —sendo m > n, hypothese sempre ad-
/ bn ____
missivel. Para isso, multiplicando os dois termos por ,vem
a aVbm~n aVbm~n Yb" "y'ln # fra—n b
7 7^3* 7 ^3*
Exemplo: ^--j—---—.
Como applicaçâo, calculemos com um erro menor que 0,01
o valor da fracção ——__.
Vil + V 3
Temos
7VV _ 7V/5(V/ll-,V/ã) _ 7/58—7/18
71T+W™ (/TT + /"3)(/ÍT— \Í3) ~ 11—3
/269B—/73B 81,91—27,11 24,80
1 u, 1 u.
8 8 8
§ 3.° Quantidades imaginarias cio segundo grau
Quantidades imaginarias do segundo grau são as expres- sões que contêm raízes quadradas de quantidades negativas.
As expressões da fórma /—a são symbolos algébricos, que não têm significação numérica: conservam-se porém nos cálculos com o fim de generalisar, e convencionou-se applicar a estas expressões as regras do calculo das quantidades reaes.
SJ4. O calculo das expressões imaginarias do segundo grau l'unda-se nos seguintes princípios :
1Toda a expressão imaginaria se pode decompor em dois 5 factores, representados por dois radicaes do segundo grau, cfft- ciando um a mesma quantidade torrada positiva, e o outrc a uni- dade negativa. Com efíeito, temos
V7- 0-= /õx^l. =(n.° 78, 2.°)= \ía^-l.
Portanto, o único symbolo dos imaginaros, que entra nos cál- culos, é c factor '/— 1, que se costuma representar pela letra i. Reunindo pois num só grupo todos os termos reaes, e noutro
os que têm por factor o symbolo 1, qualquer quantidade imaginaria se pode representar pela fórma geral
a-l- é -1, ou a + bi,
em qje a 3 b são quantidades reaes.
2.° ris potencias de ^ — 1 reproduzem-se periodicamente, redu- zhido-se ás quatro primeiras, a partir da potencia zero. lemos
(j.-iy=+✓-!.
__ _ _
(V/-l)3=(\/_l)2x(/_l)J==_lx + V/_1=_ 1,
(✓-í 1*0 [ y/-i f x (*/—i) -1 x -1J +1.
Posto u;to, representando por n um numero qualquer inteiro, temos
(vtj)4« K w pgjfa== +1, _
(• V l)in+l=f Egl)«" x(/~ 1)^+1 X +/- 1 = +/- 1,
■ ( !)<>!+»=(✓— 1 fn x ( M = + 1 x _ 1 1,
(t/_ l)4,+3 = l)4n x f)3 = + lx_v/_ 1==_ ]
Ora, fazendo sucessivamente n —O, 1, 2, 3 . , estas fór- mulas dão todas as potencias de \/—' ; logo todas ellas se re> duzem a
+ i, + -i, -— i, - Y^i,
que são as quatro primeiras, a par'ir da potencia zero,
\ D'este principio conclue-se que, para formar uma potencia qualquer de V7—1, divide-se o grau da potencia por 4, e ele- va-se /—1 à potencia designada pelo resto da divisão. Assim (t/~i)*3 (_ _ i/Zi.
®5. Calculo das expressões imaginarias do segundo grau. Para operar sobre expressões imaginarias, decompôe-se primeiramente em factores, e depois applicam-se-lhes as regras do calculo das quantidades reaes. Assim temos 1.°:
ifãx \/—b = fã \!b V'—Í = V7—!,
x l/~W7 \/_i v/l l/Hl =^ab x - t = - /aò,
v/Z7 x v/ZTfc x v/ZTc=i/_Zi V/Ò v7—í v/7 v/^i
- - \/~ãbc{ i)3=—\Zãbc
2.°
/—a /a l/-
v/fr Vb V b
a ,-
V—1,
3.°
\f—a_/ a v—j _ vra
v/—6 V^V—I V~b
(=(v/7 í)«=(\f~ãy (v/TTijn; (t/Hã)6 = (v/3 v—i)« = (/ã)«(v/31)6
= v/36( = 33 x — 1 = — 27.
$>®. Duas expressões imaginarias a + òv'—1 eo'l òV—i dizem-se eguaes, quando for separadamente a —a', b = b'.
Duas expressões imaginarias chamam-se conjugadas, quando differem somente pelo signal do coefficiente de * 1. Taes são as expressões 4+3 V—1, 4 — 3v—1.
Chama-se modulo de uma expressão imaginaria a + 6V/—1 0 valor numérico de /a2 + Assim o modulo de 7 + 3 V7—1 ó V/72 + 32. Dois imaginarios conjugados têm o mesmo modulo.
99. 1 ° A somma cie dois imaginarios conjugados é real. Com efíeito
a + b Vdí + a — b vCHl = 2«.
2.° O producto de dois imaginarios conjugados é real e egual ao quadrado do seu modulo. Temos
(a+fcl)(a—6l)=(n.° 42, 5.°)=a2—b*x—l=aHò2.
Advelitencia. Ensinámos no n.° 42, 5.° o processo para de- compor em factores uma expressão binomia, com tanto que essa expressão seja uma difíerença. Consideremos agora o caso de ser a expressão binomia uma somma. Temos
a+6—a — (—b) — (n.° 42, adv.)==(/a"+V/Hò) {fã— \í-b)
==(/ã+ \/ b /Hl) (/ã— \'rb /—l).
Logo: A somma de duas quantidades é egual á somma das suas raizes quadradas multiplicada pela differença das mesmas raizes, mas multiplicado o segundo termo de cada factor pela \/
Sabemos pois decompor qualquer expressão binomia em facto- res. Assim
3 aò2—5a3c= (/3a62+ /5a3c) ( /3ab*-~ /Sa^c)
a^' 5ac) 3a — a /Sac). 7a% + 2ac3 = ( Vl„%\ /2ac3 V—1) (/7aB6 — V^ae3 V^íj = (as / 7a6+c/ 2ac1) {a»/7Õ6_cV^/I^j.
Se combinarmos expressões da fórma
a + b/
—1 por
meio da somma, subtracção, multiplicação ou divisão, os resul- tados são imaginarios da mesma fórma. Com efíeito
(a+ 6 /^l)—(a'+U V—i)=a + b /Hl 6' V d]
= 'a—a') + (6—b')/—I =A + B /Hl, (a + 6V^T)(«' + = aa' 4 ha'\Z~i 4 a6'l^T-f 66'x-l
= (aa' - 66') 4 (6a' 4 a?/) \/: \ = A 4 B T!
a 4 6 t/~T + '6 /^(a' — 6V- 1) a'46' ~~ (a'4 b' )(«' _ 6't/=lj
_ aa' + 6a' l/j:T-q6f t7—1 x-1 _ (a«'4 bb')+{ba!- ab')\/-\
a'i ■— (>'* x — 1 aa+bb' ba' — ab'
o'« 4 6'2
a'2 + 6'2 a'2 4 6'â
1 = A 4 B /—l.
9i). Representação ítEomethioa das quantidades imagikamas. Uma quantidade imaginaria pode sempre representar-se pela fórma seguinte :
. 4- W-1 _ ^ + b^™ 4
6®
Ora, sendo ((_JL^Y= + = 1,
podemos por
= cos a,
■ sen a;
+T2
i! pondo, por outra parte, m = \/tíx -f- b2
teremos a -f- b[/■— l=m (cos cc -f- sen o.. j/ — 1).
A quantidade m chama-se modulo do imaguiario a + fcy/^Tl, e o an- gulo o. é o seu argumento. Posto isto, tracem-se dois eixos rectangulares oca;1, y?/: â partir do ponto
O, que chamaremos origem dos imaginários, marque-se sobre o eixo dos x um compri- mento OP = a; sobre o eixo dos y, e tam- bém a partir do ponto O, marque-se um com- primento OQ = b; e sobre as rectas OP e OQ construa-se um rectângulo.
O ponto M fica determinado, quando se derem as quantidades a o b, ou quando se der o imagina rio aj-btf—1; e reciproca- mente, sendo dado o ponto M, corresponde- nte sempre um imaginario determinado, cuja parte real é representada pela abscissa e o coefflciente de /—1 pela ordenada d'esse ponto.