Tratado de Algebra Elementar/Livro 2/Capítulo 1
127. Tornar racional o denominador da fracção
V^M
128. Verificar a egualdade
Rcsull. =
b ,-t
Í/a* - 1 — — 1
\Jxl +1 —sjx' — 1 129. Verificar a egualdade
ta:2 | 1
■ 2»'
__/ .__' -
i \jxs Tyínjff \ /_
4 a;2 — 3P «V T. x~
1 +
ter
130. Effectuar as operações
2/—16 + 8 /— 4 — \/~ 23, 41/—8 + 3
! -2/—2-
131. Effectuar as operações
3a"62 X \f— ab's X jAZiSa25, (/— m% y
132. Dividir 6a4—23a21/^ — i3afc—20+22®-'6./—'7+ 6«-262 por 2 — SV^T — 3«-'6. (Quociente = 3o- — if+J — 2 cr 'è).
133. Extrahir a raiz quadrada dos polynomios
r4 — 2íííc3 -f oo?a;2 — \o?x + ha'.
(Raiz = x2 — ax -f 2«2)
r» — 12a;5 + 60a;4—160íe3+240a;2—192a;+64. (Raiz
- Pa;2 H 12a;—8).
r;n -f 4aa;6 — 1 Oh3?;' -f rtãèX + a6. (Raiz == a;3 -] 2ia;2—2«2a;—«3).
134. Extrahir a raiz quadrada do polynomio
i2aV-___2«^2-3v/—2)+4«l/2—2. Raiz=3a2-2al/-l f2],
135. Extrahir a raiz quadrada do polynomio
IH2 — 12«6 + % + 12 — 18a-i6 s-f<
(Raiz íi 2a — 36 +2a~l) LIVRO SEGUNDO
EQUAÇÕES E DESEGUALDADES DO PRIMEIRO GRAU
CAPITULO I Equações e problemas do primeiro grau a uma incógnita
| 1.° Definições
Y 107. Egualdade è a expressão de duas quantidades da mesma grandeza, separadas pelo signal —.
As egualdades dividem-se em identidades e equações.
Identidade é a egualdade evidente. Taes são as egualdades
5 = 5, 8 + 9 = 8 + 9.
Chama-se também identidade a egualdade entre quantidades literaes, que tem logar para todos os valores das letras que ella contém.
Equação é a egualdade que contém uma ou mais incógnitas, e que somente tem logar para certos e determinados valores das incógnitas.
108. Dada uma egualdade entre quantidades literaes, reco- nhece-se pela simples inspecção que é uma identidade, quando ambos os membros contêm exactamente as mesmas quantidades. Taes são, por exemplo, as egualdades
Porém, em geral, para reconhecer se uma egualdade, ern que entram incógnitas, é uma identidade ou uma equação, temos de verificar se a egualdade subsiste ou não para os uifferentes va- lores das incógnitas.
Exemples: 1.° Verificar se a egualdade
(5a? + 2) jlp — 2} = 2Sx2 — 4
é uma identiuade ou uina equação. Fazendo x — I, vem
(5 -+- 2)(5 — 2) = 25 — 4, ou 7x3 = 21, ou 21 =21;
fazendo a; = 2, temos
(10 + 2)(Í0 — 2) = 100 — 4, ou 12x8 = 96,ou 9(5 = 96;
do mesmo modo se reconhetíe que a egualdade tem logar para outro qualquer valor de x: logo é uma identidade
2.° Verificar se é uma identidade ou uma equação a egualdade
3aP —8 —:2a.
Fazendo x— 1, Vem 3 — S = 2, ou — 5 = 2; logo a egual- dade, não tendo logar para todos os valores de x, é uma equação
a Í>S>. As equações dividem se em algébricas e transcendentes. Equação algébrica é a que contém as incógnitas submeltidas somente ás seis operações algébricas: somma. subtracção, mult" p^cação, divisão, e!e\açâo a potenc»as e extracção de ra zes. Taes são as equações
3a;2 + 4íc—12 = 0, 5^ + 3^ = 18, _ \fx* + 9 + 3x = ~V 2x + 1.
Equação transcendente que contém expoentes desconhe- ciilos, ou logarithmos, ou senos, tangentes, etc. Tae^são as equações
as' b, log(a + x) -t log(a — x) — b,
IMO. As equações algébricas dividem-seiem racionaes e irra- ■ionaes; e umas e outras subdividem se em numéricas e literaes.
Uma equação algébrica diz-se racional, quando não contém incogniias debauo de radicaes; e no caso contrario diz-se :rra- cional. 6 Uma equação algébrica diz-se numérica, quando as quantidades conhecidas são representadas por números; e literal, quando as quantidades conhecidas são representadas por letras. Assim, as equações
5 4
3a; t 4a;4 ——— --x, ax^ + bx + c — 0
/ «7
são racionaes: a primeira numérica, e a segunda literal. Pelo contrario as equações
Vx^Ã + /^Tí = 8, \fãx* + b = \J~c
são irracionaes.
089. Depois de desembaraçada uma equação dos denomina- dores desconhecidos e dos radicaes que aflectam as incógnitas, chama-se grau de uma equação algébrica a somma dos expoentes das incógnitas no termo em que essa somma for a maior,
I)'ésta definição conclue-se que, quando uma equação contém somente uma incógnita, o seu grau é o maior expoente da incó- gnita.
Exemplos: 1A equação
g 4
é do terceiro grau a uma incógnita. 2.° Supponhamos a equação
4
3®s + —T = 8.
xó
Para avaliar o seu grau, temos primeiro de desembaraçar do denominador desconhecido a;3. Para isso, multiplicando os dois membros por ce3, vem
o que mostra que a equação é do quinto grau a uma incógnita. , 3.° Supponhamos a equação
a?- + / ^ = 2.
Para avaliar o seu grau, temos de a desembaraçar do radical, que affecta a incógnita. Para isso, tirando oâ1 a ambos cs mem- bros, vem
l/ã=2 — a?,
e, elevando ao quadrado, resulta
x — 4 — 4x2 + x4:
logo, a equação é do quarto grau a uma incógnita. 4.° A equação
5.x2»/ 4- 3 xh = 8 — 2xy>
é do sexto grau a tres incógnitas.
As equações algébricas racionaes classificam-se também pelo seu grau e pelo numero das incógnitas.
182. Resolver uma equação é é determinar todos os valores, que, subslituidos pelas incógnitas, reduzem a equação a uma iden- tidade. Neste caso, diz-se que estes valores satisfazem á equação: e dâ-se-lhe o nome de soluções ou raizes da equação.
Duas ou mais equações dizem-se distinctas, quando têm raizes differentes. Pelo contrario, dizem-se equivalentes as equações, que têm as mesmas raizes.
| 3.° 1*1 *i nclpios geraes em que se funda, a resolução cl© uma equação
113. 1.° As raizes de uma equação não se alteram, quando aos dois membros se ajuncla ou tira a mesma quantidade. Supponhamos a equação
A =B,
em que A e B contêm uma ou mais incoguitas. Ajunctando aos dois membros a mesma quantidade m, resulta a equação
A + m = B + m.
Ora, as raizes da primeira equação, substituídas no logar das incógnitas que ella contém, reduzem a equação a urna identidade: isto é, se A se converter em A', B converte-se lambem em A'. Substituindo estas raizes na segunda equação, e designando por m' o resultado d'esta substituição em m, a segunda equação con- verte-se em
A' 4 m' = A1 +m',
que é uma identidade. Logo ns raizes da primeira equação são também raizes da segunda.
Reciprocamente ns raizes da segunda equação, substituídas no logar das incógnitas que ella contém, reduzem a equação a uma identidade; isto é, se A se converte em A' e m em m', B converte-se também em A'; o que mostra que as raizes da segunda equação são também raizes da primeira, pois que a reduzem á identidade A'..il-ortanto as duas equações, tendo exactamente as mes- mas raizes, são equivalentes.
A segunda parte do theorema fica egualmente demonstrada, porque ajunctar—m,a ambos os membros equivale a tirar m.
if2.D Em uma equação pode transpor-se um termo de um membro para outro, comtanto que se supprima naquelle em que eslava, e se escreva no outro com o signal contrario. Supponhamos a equação
axl A- b — c — dx'\
A -QK.
" Tirando b a ambos os membros, resulta a equação equivalente axl — c — (kc' — b:
assim, o termo b, que estava no primeiro membro com o signal +, apparece no segundo com o signal—.
Ajunctando dx;i aos dois membros da primeira equação, resulta
ax2 + b 4 dx? — c;
d'onde se vê que o termo -—dx3, que estava no segundo membro com o signal—, apparece no primeiro com o signal K
3.° As raizes de uma equação não se alteram, quando se mudam os signaes a todos os seus lermos. Supponhamos a equaçao
a.r2 4 b — c — dxs.
Transpondo os termos do primeiro membro para o segundo e os do segundo para o primeiro, temos de mudar os signaes, e resulta a equação equivalente
— c 4- dxs = — cuP — b,
ou, escrevendo em primeiro logar o segundo membro,
— «a2 — b = — c + dx9. é
AGI. 1As raizes de uma equação não se alteram, quando os dois membros se multiplicam ou dividem pela mesma quantidade differente de zero, comtanto que esta quantidade não contenha incógnitas. Stipponhamos a equação
A = B, ou A — B = 0, que, multiplicada por m, se torna em
(A — B) m = 0.
As raizes da primeira equação, substituídas no logar das in- cógnitas, que ella contém, tornam A—B nullo: e por consequência são também raizes da segunda equação, pois que a reduzem á identidade 0 = 0. Além d isto, sendo m uma quantidade conhe- cida, differente de zero, as raizes da segunda equação, substituídas no logar das incógnitas que ella contém, tornam A—B índio: e por consequência são também raizes da primeira. Portanto, as duas equações são equivalentes.
Se o factor m for nullo, a segunda equação é uma identidade que fica satisfeita por tod<s os valores das incógnitas, embora esses valores não sejam raizes da primeira. Portanto neste caso as duas equações não são equivalentes.
Além d'isto, se o factor m contiver incógnitas, também não se pode affirmar que a equação resultante seja equivalente á pro- posta. Com efíeilo, para um producto ser nullo é necessário que pelo menos uni dos factores o seja: logo a equação resultante fica satisfeita pondo
A — B = 0, ou m = 0;
isto é, a equação resultante fica sn!i-feita não só pelas raizes da equação proposta, mas também pelas raizes dá equação que se obtém, egualando a zero o factor por que se fez a multiplicação; e estas ultimas raizes podem ser extranhas á equação proposta. Portanto se, para resolver unia equação, multiplicarmos os seus dois membros por iun factor que contenha incógnitas, devemos, depois de resolvida a equação resultante, substituir as suas raizes na equação proposla e rejeitar as que lhe forem extranhas.
A segunda parte do theorema estô também demonstrada, por- 1
que multiplicar por — equivale a dividir por p.
Advertiremos que o factor, pelo qual se faz a divisão, não deve conter incógnitas, aliás diminue-se o numero das raizes da equa- ção; e as raizes supprimidas são precisamente as da equação que se obtém, egualando a zero esse factor.
2.° Reducção de uma equação á fórma inteira. Pelo principio antecedente podemos sempre desembaraçar uma equação dos seus denominadores. Com efíeito, supponhamos a equação
ax d
— c = y+<F.
Reduzindo os quebrados ao mesmo denominador, vem afx bd
Tf—c=Tf'+gx'
e multiplicando os dois membros por bf, resulta a equação equi- valente
afx — bcf = bd + bfgx.
Comparando esta equação com a proposta, conclue-se que:
Para desembaraçar uma equação dos denominadores, multi- plica-se o numerador de cada quebrado pelo producto dos deno- minadores dos outros quebrados; e mulliplica-se cada inteiro pelo producto de lodos os denominadores.
Advertencia. Esta regra pode simplificar-se, quando os que- brados têm o mesmo denominador; então basta multiplicar os dois membros da equação pelo denominador commum.
Pode também simplificar-se a regra, quando os denominadores não são todos primos entre si. Neste caso, reduzem-se os quebrados ao mesmo denominador pelo processo do menor múltiplo; e depois mulliplicani-se os dois membros da equação pelo denominador commum.
\ | 3.° Resolução dias» equações
cio primeiro grau a uma incógnita
115. Supponhamos que queremos resolver a equação
ax d i u\ — —C = j + (JX......(1).
Como se opéra mais facilmente sobre inteiros do que sobre quebrados, o que primeiro lembra fazer é desembaraçar a equação dos denominadores; e vem (n.° 11 í, 2.°)
afx — bcf = bd + bfçjx,
equação equivalente á proposta.
Reduzida a equação a esta fórma, como lemos de isolar a in- cógnita em um dos membros, transpomos os termos conhecidos para um membro e os desconhecidos para o outro; e resulta (n.° 113, 2.°)
afx — bfgx = bd + bcf.
Se esta equação, equivalente á proposta, fosse numérica, fa- zíamos as operações indicadas pelos signaes; e então o coefficiente da incógnita e o segundo membro reduziam-se a dois números únicos: porém, sendo a equação literal, tiramos o factor commum x para fóra de um parenthesis, e vem
(af— bf(j) x — bd + bcf.
Finalmente, resta desembaraçar a incógnita do seu coefficiente: para isso, hasta dividir por elle os dois membros da equação, e temos a equação equivalente
bd + bcf X~af—bfg
Como esta equação sómente fica satisfeita, substituindo x pela
a bd — bcf , . ,
quantidade- —é esta também a única raiz da equação
proposta. «f—Wíl
Do que dissemos conclue-se o seguinte processo para resolvei uma equação do primeiro grau a uma incógnita:
H Desembaraça-se a equação dos denominadores; transpõem-se os termos conhecidos para um membro e os lermos desconhecidos pára o outro; fazem-se as operações ,ndicadas pelos signaes, e desembaraça-se a inrognila do seuL coefficiente
•iLtí, Para ^verificar se o valor de x estã ou não bem achado, substitue-se este valor na equação em logar da incógnita, e se o resultado for uma ident.dude, o valor de a-^stá exacto.
Fazendo a substituição do valor de'íp na equação proposta re- sulta
obd + abcf
af— bfg d ^ bdg + bcfg
b f af bfg
fazendo as operações :ndicadas, vem
ad + acf adf— bdfg + bdfq + bcpg
c-—
ou
af — bfg ar2 — bfhj
aã + acf — acf + bcfg adf + bcpg
aã +- bcfg aa + befg íá • Jka
ou —- -7-^- = - —t ou ad+ bcfg-=ad~\ bcfg,
af—°fg af — b/g que é uma identidade.
flí9w Exemplos: 1.° Resolver a equação
3 2
«SP- x — 9 = — x + 4.
- I 7
Desembaraçando dos denominadores, vfim
21» —262 = 8a: + 112;
transpondo os termos desconhecidos para o primeiro membro e os conhecidos para o segundo, temos
21» —-8» = í 12 r 232,
reduzindo, vem 13» = 364,
r e desembaraçando a incógnita do seu coefficiente, temos
364
2.° Resolver a equação
2 „ í „ !
-p+8—-« = 8*—j„.
Desembaraçando dos denominadores, temos
40» + 900 —45» = 14 Y0» — 252,
ou, transpondo e reduzindo,
1152
1152=1445», donde x— .,,„■
1445
3.° Resolver a equação
3 1 2 11
— x —- — » — 20 = t+ » -f -— ® -— - jt= x — 8.
4 12 3 2 6
Como os denominadores não são todos primos entre si, desem- baraçamos dos denominadores pelo processo do menor mulliplo, e vem
dx — x—-240 = 83+6a 2» —96, transpondo e reduzindo, vem
— 144
— 144 = 4», donde» = - = — 36.
4
4.° Resolver a equação
»+l "jX-1 2» ■- I
v Hi «
Àpplicando a regra, vem succ.essivumente
4» + 4 — 3» + 3 f 48»= 144 + 4» — 2,
1 3^3
45a: = <38, » =-= 3.
45
5.° Resolver a equação
X 1 .» 1 » 1 x i
T— 3" A T^ ô ~T + ~6' Applicando a regra, vem
20a; — 20 — 15a;4- 15= 12a;— 12—lOx + IO, 3oc ■ 3i oc -■ 1 •
6.° Resolver a equação
ax + 62 >= a2 — bx.
Applicando a regra, temos
a2_
(« + b)x — a2 — ò2, <r=--— = a — fc.
a 4 b
7.° Resolver a equação
ax + b bx — a a b b a b a'
Applicando a regra, vem
cfix + ab — tAx + ab = «2 4 b\ (a2 — W)x = a2 4 62 — 2ab, (a — b)* _ a — b a2 —ft2- a + b '
8.° Resolver a equação
a: 4- a ^ a; — a x+b 2a: — 2 b a—b a + b a + b a — b
Desembaraçando dos denominadores, como o menor múltiplo d'elles é (a + b) (a — b), vem
(x + a)(a + b) + (x- a) (a-b) = (x+b) (a-b) 4- (2x-2b) (a + b),
transpondo para o primeiro membro os termos que contém o factor a + b, e para o segundo os termos que contêm o factor a — b, temos
(x + a) (a + b) - (2x-2b) (a + b) = (x 4- b) (a-b) - (x-a) (a-b), ou (a + b)(x + a — 2x+-26) = (a — b)(x + b — a; 4-a), • ou (a + b) (a + 2b—x) — (a — b) (a 4- b),
ou, dividindo por a 4- b,
a + 2b — x = a — b, donde x = 3b. 118. A equação mais geral do grau m a uma incógnita é
axm -f te"1-1 + f . . . 4- rx + s — 0,
pois que uma equação rio grau m -a uma incógnita somente pode conter termos conhecidos, e termos que contenham as differentes potencias da incógnita desde a primeira até A que marca o grau da equação.
Quando a equação contém estas differentes especies de lermos, diz-se completa; e, quando falta algum, diz-se incompleta.
As operações, que temos de fazer para reduzir uma equação do grau m áquella fórma, são: desembaraçal-a dos denomina- dores; transpor todos os termos para o primeiro membro; re- duzir e ordenar segundo as potencias decrescentes da incógnita.
Conhecida assim a fórma geral da equação do grau m a uma incógnita, fica egualmente conhecida a fórma geral da equação de um grau qualquer.
D'este modo, a equação mais geral do terceiro grau a uma incógnita é
ax3 + bx2 + cx +d — 0: a equação mais geral do segundo grau a uma incógnita é
ax2 + bx + c — 0: a equação mais geral do primeiro grau a uma incógnita é ax + b = 0, ou ax — b.
§ 4.° Estudo de algumas formas notáveis que podem apresentar as expressões algébricas
m
HO. Interpretação do symbolo —. Esta expressão provém
de um quebrado, cujo denominador se tornou nullo em virtude de cerlas hypotheses. Para a interpretar, consideremos um que-
brado —, cujo numerador é constante e cujo denominador pode
TH
tornar-se menor do que qualquer grandeza: será o valor • m
limite para que tende —, quando n tende para zero. Suppo- nhamos qiie n toma os valores decrescentes
0,1 0,01, 0,00í, 0,000í,____:
rri
ò quebrado — tomará os valores crescentes n
m m m m
0,1 0,01 0,001 0,000! ou lOwi, lOOw, 1000/», lOOOOm,...
Donde s<v vê que, á medida que o denominador n tende para zero, o valor do quebrado augmenta continuamente de modo a exceder toda e qualquer quantidade. E esta a razão, por que ao
jjj
valor limite - se dá o nome de valor infinito, pois que elle è
maior do que toda a grandeza dada.
Para exprimir o infinito emprega-se o signal oo ; e d'este modo m
tenios — = oo .
O valor infinito de\e-se fazer preceder do signal t- ou do si- gnal —, para indicar o signal que tinha a grandeza, antes de tomar aquelle valor.
Adverteivcia. Um quebrado tem um valor infinito, quando o seu numerador 6 infinito, ou quando o seu denominador é nullo. Assim
oo a a =0° '
Um quebrado tem o valor nullo, quando o seu numerador é nullo, ou quando o seu denominador 6 infinito. Assim
0 * a ^ a oo 1 8®. ínlerpreiação do symbolo - Esta expressão provém
de um quebrado, cujos deis lermos se aniqu-laram em virtude de uma ou mais hjpotlieSes. Para a interpretar, notaremos que o quociente mullipbcado peln diviso/reproduz o dividendo; e como um numero qualquer', multiplicado» por zero, dá sempre zero, segue-se que o quociente pode ser qualquer, quando o di\idendo
e o divisor forem nullos. Portanto —tem um^afor indeterminado,
■sto ê admitte uma infinidade de valores.
L 2 9. Quando os dois lermos de um quebrado se aniquilam em virtude de uma só hypcihese, - - não é sempre symbolo dt in- determinação; mas pode ser 'ndicio de um factor commum, que nessa kypolliese aniquila ambos os lermos.
ao—m o
^upponnamos o quebrado —--—, que se (orna em -
1) yJC ' Cíj U
na hypotliese particular de ser^ç=a Tres casos poíicm apre- sentar-se:
1.° m^>n. Neste caso, (x— a)n é factor commum aos dais termos do quebrado. Supjiriinindo pois este factor commum, e introduzindo depois a hypolhese de>-ser x— a, o quebrado tor- na-se em
A(x— a)m~n 0 $ ~ B ~
valor nulio.
2.° m — n. Neste caso, (x— a)m —(x — ap; e supprimindo
A
o factor commum, o quebrado torna-se em—, ,e por consequência tem um valor finito.
3.° m<^n. Então o factor commum aos deis tçrmos do que- brado é (x—a)m: supprimmdo-o e introduzindo depois, a hjpo- these considerada, vem
A A
--r—= — = 00 .
C(as — a)m~n O Portanto, para reconhec o verdadeiro vabr de um quebrado, cujos dois lermos se aniquilam em virlude de uma sò hypothese, devemos examinar se ha alr/um faclor commum, que se aniquile em virlude d'essa hypothese. No caso de existir esse faclor, de- vemos primeiro supprimil-o, e depois é que se introduz a hypo- these particular. »*_6»H8»-3
Exemplos: 1 Determinara valor do quebrado—-—-—,
q x2 — Sx + 2
que, para x = 1, se lorna em,—.
Como a substituição de x por 1 torna nullos os termos do quebrado, é cada um dos termos divisível por x— 1 (u.° 86). Dividindo pois os dois termos do quebrado por»— 1, e fazendo em seguida x=i, vem
»*_6»« + 8»_3 »3-b»s-5» + 3 0
x1
-3» + 2 »_2 -1
, , , ,»3—5» + 2
2.° Determinar o valor do quebrado —a——-—que, para
q x* + 2x — 8
x = 2, se torna cm —.
Neste caso os dois termos do quebrado são divisíveis por x — 2 (n.° 56). Dividindo pois os dois termos por x — 2, e fazendo depois » = 2, vem
»3 — 5»+ 2__»2 + 2x— 1 _ 7 »2 + 2» —8~ » + 4 6'
3»'2 — 5» + 2
3.° Determinar o valor do quebrado — -5-—---
q hfX — o»' — 2» "f- o
que, para x = 1, se torna em —.
Os dois termos do quebrado são divisíveis por»—1: efte- ctuando a divisão, e fazendo depois x—l, vem
3»® — 5» + 2 3» —2 1
4x3 — 5»2 — 2» + 3 4»'2— x — 3 0
133. Interpretação do symbolo 0 x oo . Temos
1 a
a><-b=V fazendo a — 0, b=0, resulta
1 0 0 0x-=-, ou 0 x oo = —,
e por consequência 0 x oo deve considerar-se como symbolo de indeterminação. *
Esta indeterminação pode ser apparente, como a indicada por
e por isso temos ainda de procurar o verdadeiro valor da
expressão que, numa hypothese particular, se torna em 0 x oo . Exemplo: 2 Determinai o valor da expressão (x2—4a:-f-3)x—5--—
que, para x = 3, se torna em 0 x oo . Temos
2 _2(ík2 — 4®+3) (x + +
e agora estamos reduzidos á fórma—, para x = 3. Dividindo os dois termos do quebrado por x — 3, e fazendo depois o; = 3, vem
- hx + 3) x , \ a = = 4.
v ; x2— 5íb 6 x — 2
12 3. Interpretação do symbolo oo— oo . Temos
1 1 —b~a. a b ab
fazendo a = 0, 6 = 0, vem
110 0
e por consequência oo — oo deve considerar-se como symbolo de indeterminação.
Esta indeterminação pode ser apparente, e por isso temos ainda de procurar o verdadeiro valor da expressão.
Exemplo: Determinar o valor da expressão V x'1 + 1 — x 96 ALGEKÍtA EJLEMENTAIs
que, para x*= co , se torna em oc — oo . Multiplicando e divi- dindo pela quantidade l/tf/' -f 1 4 x*, e fazendo depois <r=co , vem
,-z—- . Wxi + Í—x'i)(\/xl + l + x'i) xl+l—xl
V X, T" 1_X — ___■ _^__________
Vxl + i+x* \íxl + 1
1 1
= 0.
Vx'L + 1 + X2
00
1'<£<!. Interpretação do symVolo,—Temos 1 1
a ' b a fazendo a — Q, 6 = 0, vem
110 0
--: — == —, ou o© : oo = —,
0 0 0 o
e portanto oo : oo é um symbolo de indeterminação.
Esta indelerminação pode ser apparente; e a expressão pode ter um valor nulto, finito ou infinito. Porque suppoiíliamos o quebrado
p axm + bx"'~~1 4-. . . + rx + s q = Aa» + B»«=rí+ . . . +Rtf;+S'
que se torna em-—, para x — efo: Tres casos podem apresen- ta r-se :
1." m>n. Dividindo os dois termos do quebrado por xm, e fazendo depois x = <x , o quebrado torna-se em
b b OH---1-, . . a + - +. .
p x oo a
A B A , B O
+ - . . 4-. — + — 4-...
xm—n 'gm—n-Yi c© CO
2.° m—n. Dividindo os dois termos do quebrado por e fazendo depois x = o©, resulta
b
a t— + . . .
p x a
q^ ~ B -A" H A+ —+ ... ^
x
3.° m < n. Dividindo os dois termos do quebrado por x'\ e fazendo depois x — cc, vem
b
p_xn -m xn-m+i 0 _
T B = A
v A + -■- + ...
x
Portanto: Um quebrado, que se toma em — para x = oo, tem
oo
um valor nullo, quando o grau do numerador em relação a x é menor que o grau do denominador; tem um valor infinito no caso contrario; e quando os dois lermos são do mesmo grau, o quebrado tem um valor finito e egual ao quociente da divisão dos coefficientes dos termos de mais alto grau. Assim, para x—cc, é
x* — x + l n 4íc3 + — 1 4 2xl—x* + 6
<rõ-r~ã—» -7T o ■ r.-. = co.
3®3—4a2 +2 ' 3x* — âx* + 5 3 ' 3x2 + 2® — 1
§• 5.° Equações que têm a Incógnita cm denominadores
135. O processo para desembaraçar uma equação dos deno- minadores pode introduzir raizes extranlias, quando os denomina- dores contiverem incógnitas. Vamos poi§_ considerar este caso.
Seja P = 0 uma equação que contém a incógnita em denomi- nadores. Transpondo todos os termos para o primeiro membro, e reduzindo-os ao mesmo denominador, a equação toma a fórma
A=„,
em que A e B são polynomios inteiros em x.
Resolver esta equação é achar os valores de x, que tornam nullo o quebrado —. Ora um quebrado sómente tem um valor
nullo nos casos seguintes:
1Quando o numerador é nullo sem que o denominador o seja.
2.° Quando o denominador é infinito, sem que o numerador o seja.
3.° Quando os dois termos são nullos ou infinitos, comtanto que o verdadeiro valor d'estas fórmas seja zero.
Em primeiro logar B, sendo um polynomio inteiro em x, só- mente se pode tornar infinito para valores infinitos de x. Ora estes valores tornam também infinito o numerador A; e como o
oo
verdadeiro valor da fórma — é zero só quando o grau do nume- rador for menor que o grau do denominador, é este o único caso em que a equação proposta admitte raizes infinitas.
Em segundo logar, o numerador torna-se nullo pelas raizes da equação A = 0; e d'estas raizes satisfazem á equação proposta as que não tornam B nullo. Quanto ás raizes que annullam B,
temos de procurar o verdadeiro valor da fórma —: se esta fórma
for zero, essas raizes satisfazem ainda ; e no caso conlrario devem rejeitar-se como extranhas á equação proposta. Portanto:
Para resolver uma equação que contém a incógnita em denomi- nadores, desembaraça-se d'estes pelo processo ordinário, d'onde resulta uma equação A = 0. Resolvendo esta equação, aprovei- tam-se as raizes que. não annullam o denotninadfír commum B; e quanto ás que tomam B nullo, temos ainda de procurar o
A
verdadeiro valor do quebrado —.
136. Exemplos: 1.° Resolver a equação
x— 1--_ #+3.
x — 2
Applicando a regra, vem
3
xi^2x-— x + 2 — 2 = ^ + 3» — 2x — 6, 6 = 4a;, , raiz que satisfaz, pois que não reduz a zero o denominador x — 2; e além d'isto não ha raizes infinitas, porque o grau da equação resultante é egual ao grau do denominador. 2.° Resolver a equação
1 H —r~—-—7 — 6- V
X—- 1 X- 1
Applicando a regra, vem
x— 1 + 1=*» —6® + 6, x* — 7x + 6 = 0. Resolvendo esta equação, achamos, como adeante veremos, x== 6, x = 1 ;
a raiz ® = 6 satisfaz, porque não torna nullo o denominador commum; e como a raiz x — 1 reduz a zero o denominador,
_ 7$/ "4" 6
temos de procurar o verdadeiro valor da fracção — — para
x— I
x = t. Para isso, dividindo os dois termos do quebrado por a;—1, e fazendo depois x = I, vem
—oc ■—> o = — 5,
x — 1
resultado que mostra que a raiz x>— 1 é extranha <i equação proposta.
3.° Resolver a equação
(a — 2)\x — 3)(»+ 1) = 0, .
que proveio de desembaraçar dos denominadores uma equação P=0, que tinha por denominador commum
d = (x — 2\x — 3)20 + 2j2.
A nova equação tem as raizes
x — 2, x — 3, x=—1
A raiz x— — 1 satisfaz ã equação P = 0, porque não annulla o denominador commum.
A raiz x — 2 annulla o denominador commum; e por isso
- temos de procurar o verdadeiro vaior dá fracção
[x — 2)*{x — 3)(a+l) (x — 2) (»--3)s(íc + 2)s
para x = 2. Para isso, dividindo os dois termos da fracção por x — 2, e fazendo depois x — 2, resulta
(a;—2)(a —3)(ai + 1)_ (x— 3)*(x + 2)2
logo x = 2 satisfaz.
A raiz x = 3 annulla também o denominador commum; e por isso temos de procurar o verdadeiro valor da fracção para x = 3. Dividindo os dois termos da fracção por x — 3, e fazendo depois a; = 3, temos
(x—2)\x+ 1) _ (x— 2)(x — 3)(x + 2)* ~~ 00'
e por consequência a raiz x —3 não satisfaz.
Finalmente, sendo o grau da equação resultante inferior ao grau do denominador commum, ha uma raiz infinita. Portanto as raizes da equação P = 0 são — 1,2, oo.
| 6.° Discussão da equação geral do primeiro grau a uma incógnita
139. Uma equação do primeiro grau a uma incógnita não admitle mais do que uma raiz. Supponhamos que a equação geral
ax—b
admilte duas raizes differentes : x — n, x — Substituindo cada um d'estes valores na equação, temos
a* — b, a$ — b.
Sendo » ef duas raizes differentes, podemos suppor que é a>jj; e subtrahindo neste caso a segunda egualdade da priine a, resulta *
ai« — (3^ = 0;
«y dividindo por c— (i, o que é permifido, visto a — p não ser nullo, vem
a = 0.
Então a egualdade aa = 6 dá 6 = 0; ea equação proposta converte-se em \
0 ® = 0,
que é uma icentiJade, e não uma equação; e o mesmo tem logar para mais de duas raizes.
tas. Temos a equação geral
ax= o
que, resolvida, dá
b
-rfP =--
a
Vamos discutir esta fórmula, considerando os diiFerenies casos que se pc^em apresentar.
1.° a e ó não são nullos Neste caso a fórmula dá para x um valor pos;,ivo ou negativo, que satisfaz á equação, como se
reconhece substituindo na equação em logar de x a expressão —.
2.° 6=0, sendo a^O. Neste caso a fórmula dá
a
£
única sc I lição que satisfaz á equação. Com o ff eivo na hypothe?1} considerada a equação converte-se^em
a ,a; = 0;
e como a não é nullo, esta equação só pode ser satisfeita pelo valor ,"3 = 0.
3.° a = 0, sendo 6^0. Neste caso a fórmula dá solução algébrica que satisfaz % equação. Com ePeito, fazendo a — 0 na equação, temos
e o svmbolo =© satisfaz a esta equação, porque O.oc , sendo um symbolo de indeterminação, pode representar a quantidade b.
Aíém d'isto, o infiniio é neste caso a única solução da equação, porque qualquer valor finito de x multiplicado por zero dâ sempre zero, e não b. Portanto uma solução infinita satisfaz á equação, e ao mesmo tempo mostra a impossibilidade da equação para valores finiuis da incogniia.
4.° a = 0, 0 = 0. Neste caso a fórmula dá
e como os dois termos do quebrado se aniauilaram em virtude de duas liypotheses dífierentes, segue-se que a equação é inde- terminada, isto é,l adnrtte uma infinidade de soluções. Isto mesmo se cor.clue da equação: pois que, nas hypotheses consideradas, a equação torna-se em 0.,ç = 0, que é uma Identidade
| 7.° Problemas do primeiro grari a uma incógnita
I
i't9. Ajrcsolução dos problemas por meie da algebra consta de Ires partes: 1.° pôr o problema em equação; 2." resolver a ou as equações; 3." discutir o problema.
Pôr um problema em equação é exprimir por uma ou rnair equações as relações que ligam entre si as quantidades conhecidas e desconhecidas, que entram no enunciado do problema
Para pôr um problema em equação não ha regras fixas e v.ariaveis, como para resolver as equações; temos porém o seguinte processo, pelo qual muitas vezes se consegue estabelecer a ou as equações do problema :
Representam-se as quantidades desconhecidas por meio de letras; e depois indicam se por meio dos signaes as operações que faria mos para verificar os valores das incognnas, se elles fossem conhe- cidos. Discutir um -problema é examinar os valores que tomam as raizes da ou das equações nos differentes casos que podem apre- sentar-se, quando os dados são literaes; e comparar esses valores com as condições do problema.
1 'SO. Problema I. Qual é o numero, cujas terça e quinta partes sommam 40?
Designando por x o numero procurado, pela condição doypro- blema temos
1 1
+ - = 40.
o 5
Resolvendo esta equação, aclia-se successivamente 5a;+3® = 600, 8® = 600, íc = 75.
131. Problema II. Qual é o numero que, sendo dividido por S e por 7, dá dois quocientes cuja differença é 1 '2?
cc
Designando por x o numero procurado, será — o quociente
x .
que resulta da sua divisão por 5, e — o quociente da divisão por 7. Teremos pois
5 7
Resolvendo esta equação, vem
7x — í>x=420, 2a; = 420, « = 210.
132. Problema III. Dois indivíduos, que designaremos por A e I) começaram a jogar com entradas eguaes; e, tendo A per- dido i000 réis e B 57$000 réis, ficou o primeiro com quatro vezes mais dinheiro do que o segundo. Pergunta-se qual foi a entrada de cada um d'elles?
Seja x a entrada procurada. Como A perdeu 12$000 réis, ficou com x—12000; e como B perdeu 57#000 réis, ficou com x — 57000. Temos pois pela condição do problema
x— 12000 = 4 [x — 57000). Resolvendo esta equação, vem
a: — 12000 = 4® —228000, 216000 = 3a;, « = 72000.
133. Problema IV. Dada a somma s e a differença d de dois números, determinar cada um d'elles.
Seja x o menor dos números procurados. Como a differença que ha entre elles é d, será x + d o numero maior; e como a somma dos dois números é s, teremos
x + x + d = s.
Resolvendo esta equação, temos
1 I
2x — s — d, x = — s —• —- cí,
que é o numero menor. Para obtermos o numero maior, basta ajunctar d: e vem
11 11
x+d — — s-~- — d+d = — s-*-—- d.
2 2 2 2
Estes resultados mostram que: dada a somma e a differença de duas quantidades, a maior ê egual á semisomma mais a semi- differença, e a menor c c ml á semisomma menos a semidifferença.
134. Problema 7. Tendo um pae 40 annos, e um seu filho 12, passados quantos annos será a edade do primeiro tripla da edade do segundo ?
Seja x o numero procurado de annos. No fim d'este tempo será 40 + ® a edade do pae, e 12 +a: a do filho; e pela condi- ção do problema teremos
40 +a?=3(12 +a?)
que é a equação do problema. Resolvendo-a, vem 40 + a? = 36 + 3a;, 4 = 2x, ® = 2.
135. Problema VI. 32 kilogrammas de agua do mar con- tém um kilogramma de sal. Quantos kilogrammas de agua pura se devem ajunctar a esles 32 kilogrammas, para que 52 hilogram-
i
mas da mistura contenham sómente — de kilogramma de sal? Como 32 kilogrammas de agua do mar contêm um kilogramma
Ikg-
de sal, cada kilogramma de agua tio mar conterá de sal.

Posto isto, designando por x o numero de kilogrammas de agua pura que é necessário ajunctar, será 32 + » o numero de kilo- grammas da mistura; e como esta quantidade de mistura contém
um kilogramma de sal, segue-se que cada kilogramma da mistura |kg.
conterá ---de sal. Mas, pela condição do problema, cada kilo-
32 + x
gramma de agua do mar contém oito vezes mais sal do que cada
kilogramma da mistura: logo
1 « 1
= 8 x
32 32 + »'
que é a equação do problema. Resolvendo a, achamos 32 + » = 256, »=224.
436. Probi.ema VII. Um individuo fez descontar duas letras: uma de 200$000 réis a prazo de 3 mezes, e outra de 450$000 réis a prazo de 7 mezes; e recebeu ao lodo 359$000 réis. Per- gunla-se qual foi a laxa do desconlo?
Seja x a taxa do desconto ao mez. O valor actual de cada letra é dado pela fórmula
nit 100 n — nit n( 100 — it)
a==n~~ loo = ÍÕÕ = ÍÕÕ '
Portanto o valor actual da primeira é 200000(100 — 3»)
100
e o da segunda é
150000(100 — 7»)
= (100 —3») 2000,
==(100 —7») 1800; 106
ALGEbRA ElEIONTAR
e como o ndividuo recebeu 339$000 réis pelas duas letras, teremos .
(100 — 3®)2000 + (ICO — 7®) 1500 = 339000, ou, dividindo por 100,
(100 —3®)20 + (100 —7®)£5=339u. ,
Resolvendo esta equação achamos ® = -
ia®. Pbdblrma VIII. A distancia de Coimbra a Lisboa pelo caminho de ferro é de S km. Dois trens partem ao mesmo tempo: um de Coimbra para Lisboa, e outro de Lisboa para Coimbra. O primeiro percorre AO km. por hora, e o segundo 28 km. A que distancia de Coimbra lerá logar o encontro?
Seja cif a distancia de Coimbra ao ponto de encontro: será 218 — x a distancia de Lisboa ao mesmo ponto.
Como os espaços, percorridos no mesmo tempo, são propor- cionaes ás velocidades, temos
. Problema IX. Um galgo corrtu atraz de uma lebre, levando lhe esta 60 saltos de dianteira. A lebre dá 9 saltos em quanto o galgo dá 6: pergunta-se quantos saltos deve dar o galgo para agarrar a lebre, sabendo-sc que 5 saltos do galgo valem 7 da lebre.
Seja x o numero de saltos que o gaigo tem de dar para agar- rar a lebre.
Se o galgo dá 6 saltos, emquanto a lebre dá 9, quantos saltos dará a lebre, emquanto o galgo dá ®?
x 40
218 — ;; 28'
Resolvendo esta equação vem
2S® = 8720 — 40®, oS® = 8720, k
6 •
dá, pois, a lebre saltos, em quanto o galgo dá x. Ora, como
A
a lebre já tinha dado 60 saltos, quando o galgo começou a correr,
3»
segue-se que os x saltos do galgo valem 60 +— saltos da lebre.
Além d'isto, se 3 saltos do galgo valem 7 da lebre, x saltos do galgo quantos valerão da lebre?
3---7) , 7x
,3 :x::7 :s' =—,
x--— s ) o
7x
isto é, os x saltos do galgo valem — saltos da lebre; e como
3 gx
vimos que os x saltos do galgo valem também 60 + — saltos
da lebre será
7x 3x
3=60 + --.
Resolvendo esta equação, vem
Ux = 360 + 9x, = 360, ® = 72.
| 8.° Deseguatdacles cio primeiro grau a uma incógnita
139. Desegaaldade é a expressão de duas quantidades de difFerente grandeza, separadas entre si pelo signal > ou <•
140. Diz-se que a quantidade A é maior do que B, quando a differença A — B é positiva; e diz-se que A é menor do que B, quando a differença A — B é negativa.
D'esta definição resulta que: ioda a quantidade positiva é maior do que zero; toda a quantidade negativa é menor do que zero, e tanto menor quanto maior for o seu valor absoluto. Com efíeito temos
5 — 0 = 5, —5 — 0 = —5, — 5_(_7) = — 5 + 7 = 2; logo, em virtude d'aquella definição, é
5 >0, — 5<0, — 6> — 7. Portanto as grandezas reaes formam uma ser: o crescente que vae desde — oo até + oo :
— oo.....— 2, —1,0, 1,2, . . + oo .
141. 1.° I ma desegunldade conserva-se no mesmo sentido, guando aos seus dois membros se ajnncla ov lira a mesma quan- tidade. Seja a desegualdade
a^> b:
será pos.t'va a differença a — 6, isto é,
a_J>0:
e como a differença a — b não se altera, quando ao diiminuendo e diminuidor se ajuncta ou tira a mesma quantidade m, virá ai ida
(a =fc m) — (b ± m) _';> O :
sendo pois esta differença pos ava, será a primeira quantidade ma.or que a segunda, isto é,
a ± m ± m.
2." Em uma desegualdade pode transpor-se um termo de um rpembro para outro, comtanto que se lhe mude o siqnal.
Porque seja
ax + b^> cx + d. Toando d aos dois membros, vem
ax + b — d j> cíc.
3.° Uma desegualdade muda de senado, quando se tioccm os signaes a todos os seus termos. Seia
ax + b cx 4- d.
Transpondo os termos do primeiro membro para o segundo e os do segundo para o primeiro, temos de lhes mudar os signaes; e resulta
— cx — d — ax — b,
ou, escrevendo em prime»ro logar o segundo memoro,
— ax — l <i — cx — d. Adveutencia. Vimos que da definição, dada no n.° 140, re- sulta que: uma quantidade negativa é menor que zero, e tanto menor quanto maior for o seu valor absoluto.
Não se deve d'aqui concluir que existem quantidades menores que nada : pois que a desegualdade, que parece significal-o, é uma simples fórma algébrica, que tem por fim generalisar o calculo das desegualdades e que podemos modificar pela transposição dos termos. Assim, por exemplo, — 5<0 equivale a 5>0, e — 5>—7 equivale a 7 > 5.
148. 1.° Uma desegualdade conserva-se no mesmo sentido, quando se multiplicam ou dividem os dois membros pela mesma quantidade positiva. Seja a desegualdade
a>b:
será a differença a — b positiva; e multiplicando esta differença pela quantidade positiva m, o producto será também positivo, isto é
(a — b)m > 0, ou am — bm > 0, ou, transpondo bm, am > bm.
A segunda parte do theorema fica também demonstrada, por- que multiplicar por — equivale a dividir por p.
2.° Uma desegualdade muda de sentido, quando se multiplicam ou dividem os dois membros pela mesma quantidade negativa. Seja a desegualdade
a > b:
será a differença a — b positiva; e multiplicando esta differença pela quantidade negativa —m, o producto será negativo, isto é,
(a — b) x — m <0, ou — am 4- bm < 0, ou, transpondo bm, —am < — bm.
3.° Para desembaraçar uma desegualdade dos denominadores, mulliplica-se o numerador de cada quebrado pelo producto dos denominadores dos outros quebrados, e cada inteiro pelo producto de todos os denominadores. Seja a desegualdade
ax d —--c>— +gx.
Reduzindo os quebrados ao mesmo denominador, vem
afx bd
"bf~C> Jf+9X'
e multiplicando os dois membros por bf, resulta v
afx — bcf> bd + bfgx.
143. Sommando membro a membro, duas ou mais desegual- ■ dades no mesmo sentido, o resultado é uma desegualdade no sen- tido das propostas. Sejam as desegualdades
a>b, a' > b', a">b"-,
serão positivas as differenças a — b, a' — b' a"—b": e como a somma de quantidades positivas 6 também positiva, será
a — b + a' — V + a!' — b'1 > 0,
ou, transpondo os termos negativos,
a + a'+«">& + &' + &".
anvertencia. Não é permittido sommar desegualdades em sentido contrario, pois que então não se pode determinar a priori o sentido do resultado.
144. Subtrahindo, membro a membro, duas desegualdades em sentido contrario, o resultado é uma desegualdade no sentido da' que serviu de diminuendo. Sejam as desegualdades
a > b, a' < b', equivalentes a a>b, b' > a'.
Sommando estas desegualdades no mesmo sentido, vem
a+ b'>b +a'. -
algbftra elementar 111
ou, transpondo os termos b' a',
a—a' >b— V.
Advertencia. Nâo é permittido subtrahir desegualdades no mesmo sentido.
145. Multiplicando, membro a membro, duas desegualdades no mesmo sentido e de membros positivos, o resultado é uma des- egualdade no sentido das propostas. Seja
o > b, a' > b'.
Multiplicando a primeira desegualdade por a! e a segunda por b, resultam as desegualdades no mesmo sen lido
aa' > ba', ba' > bb';
e substituindo na primeira desegualdade a quantidade ba' por bb' que é menor, com mais razão será
aa' > bb'.
Este principio tem também logar para mais de duas desegual- dades.
Suppondo que as desegualdades têm os primeiros membros eguaes entre si, e lambem os segundos, conclue-se que:
Uma desegualdade de membros positivos cnnscrva-se no mesmo sentido, quando os dois membros se elevam á mesma potencia.
Advertencia. Não podemos multiplicar desegualdades em sentido contrario, ou no mesmo sentido quando os membros não forem todos positivos.
146. Dividindo, membro a membro, ditas desegualdades cm sentido contrario e de membros positivos, o resultado é uma des- egualdade no sentido da que serviu de dividendo. Sejam as des- egualdades
a>b, a'<b', equivalentes a a > fc, b' > a'.
Multiplicando estas desegualdades no mesmo sentido, vem
ab' > ba', 112 algebra elementar
e dividindo os dois membros pela quantidade positiva a'b',
ab' ba! a b
TjT > TjT> ou "T >Tr*' a b a b a' b
14?. Por meio (Vestes princípios prova-se facilmente o theo- rema seguinte:
Se tivermos dois ou mais quebrados deseguaes e de denomina- dores positivos, e os sommarmos termo a lermo, o quebrado resul- tante fica comprehendido entre o maior e o menor dos qubrados propostos. Seja
a c e b d f
Designando por q o valor de —, teremos
a c e
d'onde (n.° 142, l.°) a=bq, c>dq, e>fq.
Sommando a egualdade e as desegualdades membro a membro, resulta uma desegualdade no sentido cVeslas (n.os 143 e 141); e vein -
a + c + e > (b + d + f) q; dividindo por b + d + f, resulta
a + c + e a + c + e a
b + d+-f>q' 0116 + d+7>Tt
£
Do mesmo modo, designando por q' o valor de —, temos a , c e
d'onde, a < bq\ c < dq', e = fq',
ou sommando, a + c + e < (6 + d + f)q', e dividindo por b + d + f,
a+efe fl+cfc e
hTãTJ<q "" (.•(+/"=•,•• 148. Resolver uma destgualdaâe é achar um limite superior ou inferior dos valores que a incógnita pode receber.
Para resolver uma desegualdade do primeiro grau a uma in- cógnita temos o seguinte processo:
Desembaraça-se a desegualdade dos seus denominado, es; ftans- põe<n~se os termos conhecidos para um membro e os termos desco- nhecidos para o outro; fazem -se us operações indicadas velos signaes, e deseinoaraça-se a incógnita do seu coefficiente.
Exemplo: resolver a desegualdade
3 2
— x— 9 < -»+ 4.
4 7
Desembaraçando dos denominadores, temos 21» — 252<8» + 112, transpondo e reduzindo,
Q p K
13»<364, donde »<-',--=28
1 o
Portanto satisfaz á desegualdade qualquer valor de » menor que 28.
US . Quando a mesma ncognita entra em duas ou mais des- egualdades, cada desegualdade dá um limite superior ou inferior dos valores que c ijicognita pode receber; e temos de considerar dois casos, segundo os limites sao no mesmo sentido ou em sen- tido contrario.
1.° Limites no mesmo sentido. Neste caso, se os li nites forem todos superiores, basta aproveitar somente o menor, poiti que este involve todos os outros. Assim, sendo
4 < 'P »<c 9,
a condícão »<4 involve c,s outras,
Se os limites forem todos inferiores, basta aproveitar sómente o maior, pou que este inclue todos os outros. Assim, se for
»> 4, »> 5, »> 9, a conòicão x > 9 inclue as outras. 2.° Limites em sentido contrario. Se o limite superior for maior que o limite inferior, os limites não são contradictorios; e indicam então os limites entre os quaes se acham comprehen- didos todos os valores que satisfazem ás desegualdades. Taes são os limites x < 8, x > 5.
Porém, se o limite superior for menor que o limite inferior, os dois limites são contradictorios; e indicam que as desegual- dades são impossíveis, isto é, que não ha valor da incógnita que satisfaça ás desegualdades. Taes são os limites x>8, x <6.
Como applicação d'estes princípios, resolvamos alguns pro- blemas.
»
fãO. Achar um numero tal que, do seu triplo tirando 2 dê um resto maior do que 7; e que, do seu decuplo tirando dê um resto menor que 7 mais seis vezes o mesmo numero.
Designando por x o numero procurado, temos
3x — 2 > 7, 10.*? —1 <7 + 6.*?.
Resolvendo estas desegualdades, achamos
3x> 9, ou x> 3, hx < 8, ou x < 2,
limites em sentido contrario e contradictorios: logo o problema é impossivel.
151. Achar um numero, cujo triplo mais 4 seja maior do que o seu dobro mais 20; e, ao qual tirando 4 e ajunctando 3,
í
a differença dividida pela somma dê um quociente maior que ■
Designando por x o numero procurado, temos
x + o 5
Resolvendo as desegualdades, achamos
3^ —2á?>20 — 1, ou x> 19, — 5 > hx + 12, ou x> 17. /
Como estes ,:mites são no mesmo sentido e i.iferí^res, basta aproveifar o ma:or, e por consequenca qualqrer numero maior do que 19 saíisfaz.
exercícios
Resolver as equações seguintes: '
v v r Ç ' Mb
Í 36. JHI^Íil
i37 f-r=S+40-
'38. B* 7® 29 íc=50.
3 5 4
•x39. jJLjjfi
4 13 J
14C. 13a;—^-fy = 15^22. a; = 36.
3 i x 2 3a; 34
.,„ 3a; a x 3 , 5» 136
142. -8_2fl=_+i-,.
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x—az —b2. 171. Dois indivíduos têm um 45 annos, e o outro 15: quantos annos de- correram desde que a edade do segundo foi um quarto da do primeiro? (5).
172. Tres irmãos têm jiinctameuje 24 aunos, e ha dois annos de diffe- rença entre cada uni e o seguinte. Qual é a edade de cada um? (6, 8,10).
173. Um individuo comprou a um livreiro 3 livros por certo preço, 5 por preço duplo e 4 por preço triplo, e deu por todos 13$500réis. Quanto custou o livro de cada categoria? (340, 1$080 e 1 j(320 réis).
174- Achar um numero tal, que a somma da sua metade e terça parte seja egual a — do resto, mais 600. (840).
175. Um individuo ajustou um obreiro por 48 dias. O obreiro recebe 500 reis por cada dia em que trabalha, e perde 200 réis por cada dia em que não trabalha; e 110 lim de 48 dias recebeu 11M00 reis. Pergunta-se quantos dias trabalhou, e quantos deixou de trabalhar. (30, 18).
176. Prometten um homem 8 moedas a outro, com a condição de lhe dobrar este o dinheiro que elle trazia; e tendo ainda repetido o ajuste duas vezes (ir,ou sem dinheiro algum. Que dinheiro trazia o homem, quando fez a primeira promessa? (7 moedas).
177. Um numero é composto de tres algarismos, cuja somma é 18. O algarismo das unidades é o dobro do das centenas, e o das dezenas é egual á somma do algarismo das unidades com o das centenas. Qual é este nu- mero? (396).
178. No meio de um tanque, que tem a fórma de um quadrado de 10 palmos de lado, está uma roseira que se eleva um palmo acima do nivel do tanque; <: que, quando se inclina para o meio de um lado, toca exactamente
0 bordo do tanque. Qual é a altura d'este? (12 palmos).
179. Um bambu, que t'»m 10 palmos de alto, está quebrado a uma certa altura; e quando a parte superior se inclina para a terra e a toca, o seu vertice fica a 3 palmos do pé. A qoe altura está o bambu quebrado? (4,55).
180. Prometteu-se 500 réis a um caçador por cada tiro que acertasse em caça, com a condição de receber d'elle 120 réis por cada um que errasse. Depois de 34 tiros conheceu-se que o caçador tinha a receber 1$500 réis. Quantos tiros acertou? (9).
181. Um individuo jogou tres vezes: na primeira vez perdeu metade do seu dinheiro menos 5 .000 réis: na segunda perdeu a quinta parte do resto mais 7|000 réis; e na terceira ganhou o triplo do que lhe restava ultima- mente menos 8*3000 réis. Quanto tinha o individuo quando começou a jogar, sabendo-se que elle ganhou 40$000 réis? (100^000 réis).
182. Uma mulher tem gallinhas e coelhos, ao todo 14 cabeças e 38 pés. Qual é o numero das gallinhas e qual o dos coelhos? (9, 5).
183. Dividir 36 em tres partes taes que dividindo a primeira por 2, a segunda por 3 e a terceira por 4, os quocientes sejam eguaes. (8, 12, 16).
184. Duas mulheres foram á praça, levando ambas quantias eguaes. A primeira veudeu fructas por 1,5200 réis, e a segunda fez compras por 1$600
1 éis. Quanto tinha cada uma, sabendo-se que a segunda voltou para casa ■■.ora a terça parte da quantia com que voltou a primeira? (31000 réis).
185. Dois pastores, A e 13, dividiram entre si um rebanho. A ficou com 132 cabras; B ficou com 158 cabras e 9 cabritos dos quaes 3 valem tanto como uma cabra, e deu a A 177 .480 réis. Qual c o valor de cada cabra? (6;ãl20 réis). 186. Dividir 39 em quatro partes taes que, ajunctando 1 à primeira, ti- rando 2 á segunda, mnltiplicando a terceira por 3 e dividindo a quarta por 4, os resultados sejam eguaes. (5, 8, 2, 24).
187. Um pescador agarrou um peixe, do' qual a cauda pesava 2 kilo- grammas, a cabeça tanto como a cauda e metade do corpo, e o corpo tanto como a cauda e a cabeça junctamente. Quanto pezava o peixe? (16 kilogr.).
188. Um numero é composto de dois algarismos, dos quaes o segundo é o dobro do primeiro; e além d'isto, quando se lhe ajuncta 36, obtem-se esse numero escripto cm ordem inversa. Qual é esse numero? (18).
189. Um homem e sua mulher bebem um piptf de vinho em 12 dias. Quando o homem está ausente, a mulher tem vinho para 30 dias. Quantos dias gastará o homem só para beber o pipo de vinho? (23).
190. Dividir 451 em duas partes taes que a primeira, augmentada de 14, dd o mesmo resultado que a segunda dividida pelo mesmo numero. (17, 434).
191. Um individuo empregou um operário com a condição de lhe dar por 10 mezes de trabalho 130$000 réis e um porco gordo, avaliado a 240 réis o kilogramma. No fim do oitavo mez o operário adoeceu e recebeu pelo seu salario 99$200 réis e o porco. Quanto pezava este ultimo? (100 kil.).
192. Um individuo prometteu dar a um creado 3C$000 réis por anno e um fato. No fim de 10 mezes despediu o creado e deu-lbe 28^800 réis e o fato. Qual era o preço d'este? (7$200 réis).
193. Um individuo, gastando metade do que tinha e mais um terço do resto, ficou ainda com 2 libras a mais do que a quarta parte do que pos- suía primitivamente. Quanto tinha o individuo? (24 libras).
194. Achar dois números, sabendo-se que a sua somma é 58, c que o excesso da metade do primeiro sobre um sexto do segundo é 15. (37, 21).
195. Um capital, descontado por fóra a 4 % ao anuo durante 9 mezes, produziria mais 360 réis se fosse descontado por dentro à mesma taxa. Qual é esse capital? (412$000).
196. Um individuo encontrou dois dos seus credores, A e B. Deu a A 3/iu do dinheiro que tinha, e a B 6/7 do resto, e ficou ainda com 11 libras. Quanto tinha o individuo primitivamente? (1J0 libras).
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197. Um rapaz deu a seu irmão-^-das nozes que tinha e mais tres nozes;
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e a sua irmã deudo resto e mais 6 nozes. Depois achou que ^ das nozes
restantes eram más, e que as nozes boas, com que ficou, formavam os-|- do numero primitivo. Quantas nozes tinha o rapaz? (105). 7
198. Um individuo tem tres vasos, dois pequenos e um grande. A capa-
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cidade de um dos pequenos é ^ da do grande, e a do outro é Enchendo
o primeiro e despcjando-o no segundo, faltam ainda 10 litros para encher este ultimo. Qual é a capacidade dè cada vaso? (90, 100, 480).
199. Um capital de 4800 francos, com os seus juros simples durante um
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certo numero de annos, achou-se elevado a 6972 francos. Durante tt do