Tratado de Algebra Elementar/Livro 2/Capítulo 1

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Tratado de Algebra Elementar por José Adelino Serrasqueiro
CAPITULO I
Livraria Central de J. Diogo Pires (1906). páginas 80-119

127. Tornar racional o denominador da fracção

V^M

128. Verificar a egualdade

Rcsull. =

b ,-t

Í/a* - 1 — — 1

\Jxl +1 —sjx' — 1 129. Verificar a egualdade

ta:2 | 1

■ 2»'

__/ .__' -

i \jxs Tyínjff \ /_

4 a;2 — 3P «V T. x~

1 +

ter

130. Effectuar as operações

2/—16 + 8 /— 4 — \/~ 23, 41/—8 + 3

! -2/—2-

131. Effectuar as operações

3a"62 X \f— ab's X jAZiSa25, (/— m% y

132. Dividir 6a4—23a21/^ — i3afc—20+22®-'6./—'7+ 6«-262 por 2 — SV^T — 3«-'6. (Quociente = 3o- — if+J — 2 cr 'è).

133. Extrahir a raiz quadrada dos polynomios

r4 — 2íííc3 -f oo?a;2 — \o?x + ha'.

(Raiz = x2 — ax -f 2«2)

r» — 12a;5 + 60a;4—160íe3+240a;2—192a;+64. (Raiz

- Pa;2 H 12a;—8).

r;n -f 4aa;6 — 1 Oh3?;' -f rtãèX + a6. (Raiz == a;3 -] 2ia;2—2«2a;—«3).

134. Extrahir a raiz quadrada do polynomio

i2aV-___2«^2-3v/—2)+4«l/2—2. Raiz=3a2-2al/-l f2],

135. Extrahir a raiz quadrada do polynomio

IH2 — 12«6 + % + 12 — 18a-i6 s-f<

(Raiz íi 2a — 36 +2a~l) LIVRO SEGUNDO

EQUAÇÕES E DESEGUALDADES DO PRIMEIRO GRAU

CAPITULO I Equações e problemas do primeiro grau a uma incógnita

| 1.° Definições

Y 107. Egualdade è a expressão de duas quantidades da mesma grandeza, separadas pelo signal —.

As egualdades dividem-se em identidades e equações.

Identidade é a egualdade evidente. Taes são as egualdades

5 = 5, 8 + 9 = 8 + 9.

Chama-se também identidade a egualdade entre quantidades literaes, que tem logar para todos os valores das letras que ella contém.

Equação é a egualdade que contém uma ou mais incógnitas, e que somente tem logar para certos e determinados valores das incógnitas.

108. Dada uma egualdade entre quantidades literaes, reco- nhece-se pela simples inspecção que é uma identidade, quando ambos os membros contêm exactamente as mesmas quantidades. Taes são, por exemplo, as egualdades

Porém, em geral, para reconhecer se uma egualdade, ern que entram incógnitas, é uma identidade ou uma equação, temos de verificar se a egualdade subsiste ou não para os uifferentes va- lores das incógnitas.

Exemples: 1.° Verificar se a egualdade

(5a? + 2) jlp — 2} = 2Sx2 — 4

é uma identiuade ou uina equação. Fazendo x — I, vem

(5 -+- 2)(5 — 2) = 25 — 4, ou 7x3 = 21, ou 21 =21;

fazendo a; = 2, temos

(10 + 2)(Í0 — 2) = 100 — 4, ou 12x8 = 96,ou 9(5 = 96;

do mesmo modo se reconhetíe que a egualdade tem logar para outro qualquer valor de x: logo é uma identidade

2.° Verificar se é uma identidade ou uma equação a egualdade

3aP —8 —:2a.

Fazendo x— 1, Vem 3 — S = 2, ou — 5 = 2; logo a egual- dade, não tendo logar para todos os valores de x, é uma equação

a Í>S>. As equações dividem se em algébricas e transcendentes. Equação algébrica é a que contém as incógnitas submeltidas somente ás seis operações algébricas: somma. subtracção, mult" p^cação, divisão, e!e\açâo a potenc»as e extracção de ra zes. Taes são as equações

3a;2 + 4íc—12 = 0, 5^ + 3^ = 18, _ \fx* + 9 + 3x = ~V 2x + 1.

Equação transcendente que contém expoentes desconhe- ciilos, ou logarithmos, ou senos, tangentes, etc. Tae^são as equações

as' b, log(a + x) -t log(a — x) — b,

IMO. As equações algébricas dividem-seiem racionaes e irra- ■ionaes; e umas e outras subdividem se em numéricas e literaes.

Uma equação algébrica diz-se racional, quando não contém incogniias debauo de radicaes; e no caso contrario diz-se :rra- cional. 6 Uma equação algébrica diz-se numérica, quando as quantidades conhecidas são representadas por números; e literal, quando as quantidades conhecidas são representadas por letras. Assim, as equações

5 4

3a; t 4a;4 ——— --x, ax^ + bx + c — 0

/ «7

são racionaes: a primeira numérica, e a segunda literal. Pelo contrario as equações

Vx^Ã + /^Tí = 8, \fãx* + b = \J~c

são irracionaes.

089. Depois de desembaraçada uma equação dos denomina- dores desconhecidos e dos radicaes que aflectam as incógnitas, chama-se grau de uma equação algébrica a somma dos expoentes das incógnitas no termo em que essa somma for a maior,

I)'ésta definição conclue-se que, quando uma equação contém somente uma incógnita, o seu grau é o maior expoente da incó- gnita.

Exemplos: 1A equação

g 4

é do terceiro grau a uma incógnita. 2.° Supponhamos a equação

4

3®s + —T = 8.

Para avaliar o seu grau, temos primeiro de desembaraçar do denominador desconhecido a;3. Para isso, multiplicando os dois membros por ce3, vem

o que mostra que a equação é do quinto grau a uma incógnita. , 3.° Supponhamos a equação

a?- + / ^ = 2.

Para avaliar o seu grau, temos de a desembaraçar do radical, que affecta a incógnita. Para isso, tirando oâ1 a ambos cs mem- bros, vem

l/ã=2 — a?,

e, elevando ao quadrado, resulta

x — 4 — 4x2 + x4:

logo, a equação é do quarto grau a uma incógnita. 4.° A equação

5.x2»/ 4- 3 xh = 8 — 2xy>

é do sexto grau a tres incógnitas.

As equações algébricas racionaes classificam-se também pelo seu grau e pelo numero das incógnitas.

182. Resolver uma equação é é determinar todos os valores, que, subslituidos pelas incógnitas, reduzem a equação a uma iden- tidade. Neste caso, diz-se que estes valores satisfazem á equação: e dâ-se-lhe o nome de soluções ou raizes da equação.

Duas ou mais equações dizem-se distinctas, quando têm raizes differentes. Pelo contrario, dizem-se equivalentes as equações, que têm as mesmas raizes.

| 3.° 1*1 *i nclpios geraes em que se funda, a resolução cl© uma equação

113. 1.° As raizes de uma equação não se alteram, quando aos dois membros se ajuncla ou tira a mesma quantidade. Supponhamos a equação

A =B,

em que A e B contêm uma ou mais incoguitas. Ajunctando aos dois membros a mesma quantidade m, resulta a equação

A + m = B + m.

Ora, as raizes da primeira equação, substituídas no logar das incógnitas que ella contém, reduzem a equação a urna identidade: isto é, se A se converter em A', B converte-se lambem em A'. Substituindo estas raizes na segunda equação, e designando por m' o resultado d'esta substituição em m, a segunda equação con- verte-se em

A' 4 m' = A1 +m',

que é uma identidade. Logo ns raizes da primeira equação são também raizes da segunda.

Reciprocamente ns raizes da segunda equação, substituídas no logar das incógnitas que ella contém, reduzem a equação a uma identidade; isto é, se A se converte em A' e m em m', B converte-se também em A'; o que mostra que as raizes da segunda equação são também raizes da primeira, pois que a reduzem á identidade A'..il-ortanto as duas equações, tendo exactamente as mes- mas raizes, são equivalentes.

A segunda parte do theorema fica egualmente demonstrada, porque ajunctar—m,a ambos os membros equivale a tirar m.

if2.D Em uma equação pode transpor-se um termo de um membro para outro, comtanto que se supprima naquelle em que eslava, e se escreva no outro com o signal contrario. Supponhamos a equação

axl A- b — c — dx'\

A -QK.

" Tirando b a ambos os membros, resulta a equação equivalente axl — c — (kc' — b:

assim, o termo b, que estava no primeiro membro com o signal +, apparece no segundo com o signal—.

Ajunctando dx;i aos dois membros da primeira equação, resulta

ax2 + b 4 dx? — c;

d'onde se vê que o termo -—dx3, que estava no segundo membro com o signal—, apparece no primeiro com o signal K

3.° As raizes de uma equação não se alteram, quando se mudam os signaes a todos os seus lermos. Supponhamos a equaçao

a.r2 4 b — c — dxs.

Transpondo os termos do primeiro membro para o segundo e os do segundo para o primeiro, temos de mudar os signaes, e resulta a equação equivalente

— c 4- dxs = — cuP — b,

ou, escrevendo em primeiro logar o segundo membro,

— «a2 — b = — c + dx9. é

AGI. 1As raizes de uma equação não se alteram, quando os dois membros se multiplicam ou dividem pela mesma quantidade differente de zero, comtanto que esta quantidade não contenha incógnitas. Stipponhamos a equação

A = B, ou A — B = 0, que, multiplicada por m, se torna em

(A — B) m = 0.

As raizes da primeira equação, substituídas no logar das in- cógnitas, que ella contém, tornam A—B nullo: e por consequência são também raizes da segunda equação, pois que a reduzem á identidade 0 = 0. Além d isto, sendo m uma quantidade conhe- cida, differente de zero, as raizes da segunda equação, substituídas no logar das incógnitas que ella contém, tornam A—B índio: e por consequência são também raizes da primeira. Portanto, as duas equações são equivalentes.

Se o factor m for nullo, a segunda equação é uma identidade que fica satisfeita por tod<s os valores das incógnitas, embora esses valores não sejam raizes da primeira. Portanto neste caso as duas equações não são equivalentes.

Além d'isto, se o factor m contiver incógnitas, também não se pode affirmar que a equação resultante seja equivalente á pro- posta. Com efíeilo, para um producto ser nullo é necessário que pelo menos uni dos factores o seja: logo a equação resultante fica satisfeita pondo

A — B = 0, ou m = 0;

isto é, a equação resultante fica sn!i-feita não só pelas raizes da equação proposta, mas também pelas raizes dá equação que se obtém, egualando a zero o factor por que se fez a multiplicação; e estas ultimas raizes podem ser extranhas á equação proposta. Portanto se, para resolver unia equação, multiplicarmos os seus dois membros por iun factor que contenha incógnitas, devemos, depois de resolvida a equação resultante, substituir as suas raizes na equação proposla e rejeitar as que lhe forem extranhas.

A segunda parte do theorema estô também demonstrada, por- 1

que multiplicar por — equivale a dividir por p.

Advertiremos que o factor, pelo qual se faz a divisão, não deve conter incógnitas, aliás diminue-se o numero das raizes da equa- ção; e as raizes supprimidas são precisamente as da equação que se obtém, egualando a zero esse factor.

2.° Reducção de uma equação á fórma inteira. Pelo principio antecedente podemos sempre desembaraçar uma equação dos seus denominadores. Com efíeito, supponhamos a equação

ax d

— c = y+<F.

Reduzindo os quebrados ao mesmo denominador, vem afx bd

Tf—c=Tf'+gx'

e multiplicando os dois membros por bf, resulta a equação equi- valente

afx — bcf = bd + bfgx.

Comparando esta equação com a proposta, conclue-se que:

Para desembaraçar uma equação dos denominadores, multi- plica-se o numerador de cada quebrado pelo producto dos deno- minadores dos outros quebrados; e mulliplica-se cada inteiro pelo producto de lodos os denominadores.

Advertencia. Esta regra pode simplificar-se, quando os que- brados têm o mesmo denominador; então basta multiplicar os dois membros da equação pelo denominador commum.

Pode também simplificar-se a regra, quando os denominadores não são todos primos entre si. Neste caso, reduzem-se os quebrados ao mesmo denominador pelo processo do menor múltiplo; e depois mulliplicani-se os dois membros da equação pelo denominador commum.

\ | 3.° Resolução dias» equações

cio primeiro grau a uma incógnita

115. Supponhamos que queremos resolver a equação

ax d i u\ — —C = j + (JX......(1).

Como se opéra mais facilmente sobre inteiros do que sobre quebrados, o que primeiro lembra fazer é desembaraçar a equação dos denominadores; e vem (n.° 11 í, 2.°)

afx — bcf = bd + bfçjx,

equação equivalente á proposta.

Reduzida a equação a esta fórma, como lemos de isolar a in- cógnita em um dos membros, transpomos os termos conhecidos para um membro e os desconhecidos para o outro; e resulta (n.° 113, 2.°)

afx — bfgx = bd + bcf.

Se esta equação, equivalente á proposta, fosse numérica, fa- zíamos as operações indicadas pelos signaes; e então o coefficiente da incógnita e o segundo membro reduziam-se a dois números únicos: porém, sendo a equação literal, tiramos o factor commum x para fóra de um parenthesis, e vem

(af— bf(j) x — bd + bcf.

Finalmente, resta desembaraçar a incógnita do seu coefficiente: para isso, hasta dividir por elle os dois membros da equação, e temos a equação equivalente

bd + bcf X~af—bfg

Como esta equação sómente fica satisfeita, substituindo x pela

a bd — bcf , . ,

quantidade- —é esta também a única raiz da equação

proposta. «f—Wíl

Do que dissemos conclue-se o seguinte processo para resolvei uma equação do primeiro grau a uma incógnita:

H Desembaraça-se a equação dos denominadores; transpõem-se os termos conhecidos para um membro e os lermos desconhecidos pára o outro; fazem-se as operações ,ndicadas pelos signaes, e desembaraça-se a inrognila do seuL coefficiente

•iLtí, Para ^verificar se o valor de x estã ou não bem achado, substitue-se este valor na equação em logar da incógnita, e se o resultado for uma ident.dude, o valor de a-^stá exacto.

Fazendo a substituição do valor de'íp na equação proposta re- sulta

obd + abcf

af— bfg d ^ bdg + bcfg

b f af bfg

fazendo as operações :ndicadas, vem

ad + acf adf— bdfg + bdfq + bcpg

c-—

ou

af — bfg ar2 — bfhj

aã + acf — acf + bcfg adf + bcpg

aã +- bcfg aa + befg íá • Jka

ou —- -7-^- = - —t ou ad+ bcfg-=ad~\ bcfg,

af—°fg af — b/g que é uma identidade.

flí9w Exemplos: 1.° Resolver a equação

3 2

«SP- x — 9 = — x + 4.

I 7

Desembaraçando dos denominadores, vfim

21» —262 = 8a: + 112;

transpondo os termos desconhecidos para o primeiro membro e os conhecidos para o segundo, temos

21» —-8» = í 12 r 232,

reduzindo, vem 13» = 364,

r e desembaraçando a incógnita do seu coefficiente, temos

364

2.° Resolver a equação

2 „ í „ !

-p+8—-« = 8*—j„.

Desembaraçando dos denominadores, temos

40» + 900 —45» = 14 Y0» — 252,

ou, transpondo e reduzindo,

1152

1152=1445», donde x— .,,„■

1445

3.° Resolver a equação

3 1 2 11

— x —- — » — 20 = t+ » -f -— ® -— - jt= x — 8.

4 12 3 2 6

Como os denominadores não são todos primos entre si, desem- baraçamos dos denominadores pelo processo do menor mulliplo, e vem

dx — x—-240 = 83+6a 2» —96, transpondo e reduzindo, vem

— 144

— 144 = 4», donde» = - = — 36.

4

4.° Resolver a equação

»+l "jX-1 2» ■- I

v Hi «

Àpplicando a regra, vem succ.essivumente

4» + 4 — 3» + 3 f 48»= 144 + 4» — 2,

1 3^3

45a: = <38, » =-= 3.

45

5.° Resolver a equação

X 1 .» 1 » 1 x i

T— 3" A T^ ô ~T + ~6' Applicando a regra, vem

20a; — 20 — 15a;4- 15= 12a;— 12—lOx + IO, 3oc ■ 3i oc -■ 1 •

6.° Resolver a equação

ax + 62 >= a2 — bx.

Applicando a regra, temos

a2_

(« + b)x — a2 — ò2, <r=--— = a — fc.

a 4 b

7.° Resolver a equação

ax + b bx — a a b b a b a'

Applicando a regra, vem

cfix + ab — tAx + ab = «2 4 b\ (a2 — W)x = a2 4 62 — 2ab, (a — b)* _ a — b a2 —ft2- a + b '

8.° Resolver a equação

a: 4- a ^ a; — a x+b 2a: — 2 b a—b a + b a + b a — b

Desembaraçando dos denominadores, como o menor múltiplo d'elles é (a + b) (a — b), vem

(x + a)(a + b) + (x- a) (a-b) = (x+b) (a-b) 4- (2x-2b) (a + b),

transpondo para o primeiro membro os termos que contém o factor a + b, e para o segundo os termos que contêm o factor a — b, temos

(x + a) (a + b) - (2x-2b) (a + b) = (x 4- b) (a-b) - (x-a) (a-b), ou (a + b)(x + a — 2x+-26) = (a — b)(x + b — a; 4-a), • ou (a + b) (a + 2b—x) — (a — b) (a 4- b),

ou, dividindo por a 4- b,

a + 2b — x = a — b, donde x = 3b. 118. A equação mais geral do grau m a uma incógnita é

axm -f te"1-1 + f . . . 4- rx + s — 0,

pois que uma equação rio grau m -a uma incógnita somente pode conter termos conhecidos, e termos que contenham as differentes potencias da incógnita desde a primeira até A que marca o grau da equação.

Quando a equação contém estas differentes especies de lermos, diz-se completa; e, quando falta algum, diz-se incompleta.

As operações, que temos de fazer para reduzir uma equação do grau m áquella fórma, são: desembaraçal-a dos denomina- dores; transpor todos os termos para o primeiro membro; re- duzir e ordenar segundo as potencias decrescentes da incógnita.

Conhecida assim a fórma geral da equação do grau m a uma incógnita, fica egualmente conhecida a fórma geral da equação de um grau qualquer.

D'este modo, a equação mais geral do terceiro grau a uma incógnita é

ax3 + bx2 + cx +d — 0: a equação mais geral do segundo grau a uma incógnita é

ax2 + bx + c — 0: a equação mais geral do primeiro grau a uma incógnita é ax + b = 0, ou ax — b.

§ 4.° Estudo de algumas formas notáveis que podem apresentar as expressões algébricas

m

HO. Interpretação do symbolo —. Esta expressão provém

de um quebrado, cujo denominador se tornou nullo em virtude de cerlas hypotheses. Para a interpretar, consideremos um que-

brado —, cujo numerador é constante e cujo denominador pode 

TH

tornar-se menor do que qualquer grandeza: será o valor • m

limite para que tende —, quando n tende para zero. Suppo- nhamos qiie n toma os valores decrescentes

0,1 0,01, 0,00í, 0,000í,____:

rri

ò quebrado — tomará os valores crescentes n

m m m m

0,1 0,01 0,001 0,000! ou lOwi, lOOw, 1000/», lOOOOm,...

Donde s<v vê que, á medida que o denominador n tende para zero, o valor do quebrado augmenta continuamente de modo a exceder toda e qualquer quantidade. E esta a razão, por que ao

jjj

valor limite - se dá o nome de valor infinito, pois que elle è

maior do que toda a grandeza dada.

Para exprimir o infinito emprega-se o signal oo ; e d'este modo m

tenios — = oo .

O valor infinito de\e-se fazer preceder do signal t- ou do si- gnal —, para indicar o signal que tinha a grandeza, antes de tomar aquelle valor.

Adverteivcia. Um quebrado tem um valor infinito, quando o seu numerador 6 infinito, ou quando o seu denominador é nullo. Assim

oo a a =0° '

Um quebrado tem o valor nullo, quando o seu numerador é nullo, ou quando o seu denominador 6 infinito. Assim

0 * a ^ a oo 1 8®. ínlerpreiação do symbolo - Esta expressão provém

de um quebrado, cujos deis lermos se aniqu-laram em virtude de uma ou mais hjpotlieSes. Para a interpretar, notaremos que o quociente mullipbcado peln diviso/reproduz o dividendo; e como um numero qualquer', multiplicado» por zero, dá sempre zero, segue-se que o quociente pode ser qualquer, quando o di\idendo

e o divisor forem nullos. Portanto —tem um^afor indeterminado,

■sto ê admitte uma infinidade de valores.

L 2 9. Quando os dois lermos de um quebrado se aniquilam em virtude de uma só hypcihese, - - não é sempre symbolo dt in- determinação; mas pode ser 'ndicio de um factor commum, que nessa kypolliese aniquila ambos os lermos.

ao—m o

^upponnamos o quebrado —--—, que se (orna em -

1) yJC ' Cíj U

na hypotliese particular de ser^ç=a Tres casos poíicm apre- sentar-se:

1.° m^>n. Neste caso, (x— a)n é factor commum aos dais termos do quebrado. Supjiriinindo pois este factor commum, e introduzindo depois a hypolhese de>-ser x— a, o quebrado tor- na-se em

A(x— a)m~n 0 $ ~ B ~

valor nulio.

2.° m — n. Neste caso, (x— a)m —(x — ap; e supprimindo

A

o factor commum, o quebrado torna-se em—, ,e por consequência tem um valor finito.

3.° m<^n. Então o factor commum aos deis tçrmos do que- brado é (x—a)m: supprimmdo-o e introduzindo depois, a hjpo- these considerada, vem

A A

--r—= — = 00 .

C(as — a)m~n O Portanto, para reconhec o verdadeiro vabr de um quebrado, cujos dois lermos se aniquilam em virlude de uma sò hypothese, devemos examinar se ha alr/um faclor commum, que se aniquile em virlude d'essa hypothese. No caso de existir esse faclor, de- vemos primeiro supprimil-o, e depois é que se introduz a hypo- these particular. »*_6»H8»-3

Exemplos: 1 Determinara valor do quebrado—-—-—,

q x2 — Sx + 2

que, para x = 1, se lorna em,—.

Como a substituição de x por 1 torna nullos os termos do quebrado, é cada um dos termos divisível por x— 1 (u.° 86). Dividindo pois os dois termos do quebrado por»— 1, e fazendo em seguida x=i, vem

»*_6»« + 8»_3 »3-b»s-5» + 3 0

x1

-3» + 2 »_2 -1

, , , ,»3—5» + 2

2.° Determinar o valor do quebrado —a——-—que, para

q x* + 2x — 8

x = 2, se torna cm —.

Neste caso os dois termos do quebrado são divisíveis por x — 2 (n.° 56). Dividindo pois os dois termos por x — 2, e fazendo depois » = 2, vem

»3 — 5»+ 2__»2 + 2x— 1 _ 7 »2 + 2» —8~ » + 4 6'

3»'2 — 5» + 2

3.° Determinar o valor do quebrado — -5-—---

q hfX — o»' — 2» "f- o

que, para x = 1, se torna em —.

Os dois termos do quebrado são divisíveis por»—1: efte- ctuando a divisão, e fazendo depois x—l, vem

3»® — 5» + 2 3» —2 1

4x3 — 5»2 — 2» + 3 4»'2— x — 3 0

133. Interpretação do symbolo 0 x oo . Temos

1 a

a><-b=V fazendo a — 0, b=0, resulta

1 0 0 0x-=-, ou 0 x oo = —,

e por consequência 0 x oo deve considerar-se como symbolo de indeterminação. *

Esta indeterminação pode ser apparente, como a indicada por

e por isso temos ainda de procurar o verdadeiro valor da

expressão que, numa hypothese particular, se torna em 0 x oo . Exemplo: 2 Determinai o valor da expressão (x2—4a:-f-3)x—5--—

que, para x = 3, se torna em 0 x oo . Temos

2 _2(ík2 — 4®+3) (x + +

e agora estamos reduzidos á fórma—, para x = 3. Dividindo os dois termos do quebrado por x — 3, e fazendo depois o; = 3, vem

- hx + 3) x , \ a = = 4.

v ; x2— 5íb 6 x — 2

12 3. Interpretação do symbolo oo— oo . Temos

1 1 —b~a. a b ab

fazendo a = 0, 6 = 0, vem

110 0

e por consequência oo — oo deve considerar-se como symbolo de indeterminação.

Esta indeterminação pode ser apparente, e por isso temos ainda de procurar o verdadeiro valor da expressão.

Exemplo: Determinar o valor da expressão V x'1 + 1 — x 96 ALGEKÍtA EJLEMENTAIs

que, para x*= co , se torna em oc — oo . Multiplicando e divi- dindo pela quantidade l/tf/' -f 1 4 x*, e fazendo depois <r=co , vem

,-z—- . Wxi + Í—x'i)(\/xl + l + x'i) xl+l—xl

V X, T" 1_X — ___■ _^__________

Vxl + i+x* \íxl + 1

1 1

= 0.

Vx'L + 1 + X2

00

1'<£<!. Interpretação do symVolo,—Temos 1 1

a ' b a fazendo a — Q, 6 = 0, vem

110 0

--: — == —, ou o© : oo = —,

0 0 0 o

e portanto oo : oo é um symbolo de indeterminação.

Esta indelerminação pode ser apparente; e a expressão pode ter um valor nulto, finito ou infinito. Porque suppoiíliamos o quebrado

p axm + bx"'~~1 4-. . . + rx + s q = Aa» + B»«=rí+ . . . +Rtf;+S'

que se torna em-—, para x — efo: Tres casos podem apresen- ta r-se :

1." m>n. Dividindo os dois termos do quebrado por xm, e fazendo depois x = <x , o quebrado torna-se em

b b OH---1-, . . a + - +. .

p x oo a

A B A , B O

+ - . . 4-. — + — 4-...

xm—n 'gm—n-Yi c© CO

2.° m—n. Dividindo os dois termos do quebrado por e fazendo depois x = o©, resulta

b

a t— + . . .

p x a

q^ ~ B -A" H A+ —+ ... ^

x

3.° m < n. Dividindo os dois termos do quebrado por x'\ e fazendo depois x — cc, vem

b

p_xn -m xn-m+i 0 _

T B = A

v A + -■- + ...

x

Portanto: Um quebrado, que se toma em — para x = oo, tem

oo

um valor nullo, quando o grau do numerador em relação a x é menor que o grau do denominador; tem um valor infinito no caso contrario; e quando os dois lermos são do mesmo grau, o quebrado tem um valor finito e egual ao quociente da divisão dos coefficientes dos termos de mais alto grau. Assim, para x—cc, é

x* — x + l n 4íc3 + — 1 4 2xl—x* + 6

<rõ-r~ã—» -7T o ■ r.-. = co.

3®3—4a2 +2 ' 3x* — âx* + 5 3 ' 3x2 + 2® — 1

§• 5.° Equações que têm a Incógnita cm denominadores

135. O processo para desembaraçar uma equação dos deno- minadores pode introduzir raizes extranlias, quando os denomina- dores contiverem incógnitas. Vamos poi§_ considerar este caso.

Seja P = 0 uma equação que contém a incógnita em denomi- nadores. Transpondo todos os termos para o primeiro membro, e reduzindo-os ao mesmo denominador, a equação toma a fórma

A=„,

em que A e B são polynomios inteiros em x.

Resolver esta equação é achar os valores de x, que tornam nullo o quebrado —. Ora um quebrado sómente tem um valor

nullo nos casos seguintes:

1Quando o numerador é nullo sem que o denominador o seja.

2.° Quando o denominador é infinito, sem que o numerador o seja.

3.° Quando os dois termos são nullos ou infinitos, comtanto que o verdadeiro valor d'estas fórmas seja zero.

Em primeiro logar B, sendo um polynomio inteiro em x, só- mente se pode tornar infinito para valores infinitos de x. Ora estes valores tornam também infinito o numerador A; e como o

oo

verdadeiro valor da fórma — é zero só quando o grau do nume- rador for menor que o grau do denominador, é este o único caso em que a equação proposta admitte raizes infinitas.

Em segundo logar, o numerador torna-se nullo pelas raizes da equação A = 0; e d'estas raizes satisfazem á equação proposta as que não tornam B nullo. Quanto ás raizes que annullam B,

temos de procurar o verdadeiro valor da fórma —: se esta fórma

for zero, essas raizes satisfazem ainda ; e no caso conlrario devem rejeitar-se como extranhas á equação proposta. Portanto:

Para resolver uma equação que contém a incógnita em denomi- nadores, desembaraça-se d'estes pelo processo ordinário, d'onde resulta uma equação A = 0. Resolvendo esta equação, aprovei- tam-se as raizes que. não annullam o denotninadfír commum B; e quanto ás que tomam B nullo, temos ainda de procurar o

A

verdadeiro valor do quebrado —.

136. Exemplos: 1.° Resolver a equação

x— 1--_ #+3.

x — 2

Applicando a regra, vem

3

xi^2x-— x + 2 — 2 = ^ + 3» — 2x — 6, 6 = 4a;, , raiz que satisfaz, pois que não reduz a zero o denominador x — 2; e além d'isto não ha raizes infinitas, porque o grau da equação resultante é egual ao grau do denominador. 2.° Resolver a equação

1 H —r~—-—7 — 6- V

X—- 1 X- 1

Applicando a regra, vem

x— 1 + 1=*» —6® + 6, x* — 7x + 6 = 0. Resolvendo esta equação, achamos, como adeante veremos, x== 6, x = 1 ;

a raiz ® = 6 satisfaz, porque não torna nullo o denominador commum; e como a raiz x — 1 reduz a zero o denominador,

_ 7$/ "4" 6

temos de procurar o verdadeiro valor da fracção — — para

x— I

x = t. Para isso, dividindo os dois termos do quebrado por a;—1, e fazendo depois x = I, vem

—oc ■—> o = — 5,

x — 1

resultado que mostra que a raiz x>— 1 é extranha <i equação proposta.

3.° Resolver a equação

(a — 2)\x — 3)(»+ 1) = 0, .

que proveio de desembaraçar dos denominadores uma equação P=0, que tinha por denominador commum

d = (x — 2\x — 3)20 + 2j2.

A nova equação tem as raizes

x — 2, x — 3, x=—1

A raiz x— — 1 satisfaz ã equação P = 0, porque não annulla o denominador commum.

A raiz x — 2 annulla o denominador commum; e por isso

  • temos de procurar o verdadeiro vaior dá fracção

[x — 2)*{x — 3)(a+l) (x — 2) (»--3)s(íc + 2)s

para x = 2. Para isso, dividindo os dois termos da fracção por x — 2, e fazendo depois x — 2, resulta

(a;—2)(a —3)(ai + 1)_ (x— 3)*(x + 2)2

logo x = 2 satisfaz.

A raiz x = 3 annulla também o denominador commum; e por isso temos de procurar o verdadeiro valor da fracção para x = 3. Dividindo os dois termos da fracção por x — 3, e fazendo depois a; = 3, temos

(x—2)\x+ 1) _ (x— 2)(x — 3)(x + 2)* ~~ 00'

e por consequência a raiz x —3 não satisfaz.

Finalmente, sendo o grau da equação resultante inferior ao grau do denominador commum, ha uma raiz infinita. Portanto as raizes da equação P = 0 são — 1,2, oo.

| 6.° Discussão da equação geral do primeiro grau a uma incógnita

139. Uma equação do primeiro grau a uma incógnita não admitle mais do que uma raiz. Supponhamos que a equação geral

ax—b

admilte duas raizes differentes : x — n, x — Substituindo cada um d'estes valores na equação, temos

a* — b, a$ — b.

Sendo » ef duas raizes differentes, podemos suppor que é a>jj; e subtrahindo neste caso a segunda egualdade da priine a, resulta *

ai« — (3^ = 0;

«y dividindo por c— (i, o que é permifido, visto a — p não ser nullo, vem

a = 0.

Então a egualdade aa = 6 dá 6 = 0; ea equação proposta converte-se em \

0 ® = 0,

que é uma icentiJade, e não uma equação; e o mesmo tem logar para mais de duas raizes.

tas. Temos a equação geral

ax= o

que, resolvida, dá

b

-rfP =--

a

Vamos discutir esta fórmula, considerando os diiFerenies casos que se pc^em apresentar.

1.° a e ó não são nullos Neste caso a fórmula dá para x um valor pos;,ivo ou negativo, que satisfaz á equação, como se

reconhece substituindo na equação em logar de x a expressão —.

2.° 6=0, sendo a^O. Neste caso a fórmula dá

a

£

única sc I lição que satisfaz á equação. Com o ff eivo na hypothe?1} considerada a equação converte-se^em

a ,a; = 0;

e como a não é nullo, esta equação só pode ser satisfeita pelo valor ,"3 = 0.

3.° a = 0, sendo 6^0. Neste caso a fórmula dá solução algébrica que satisfaz % equação. Com ePeito, fazendo a — 0 na equação, temos

e o svmbolo =© satisfaz a esta equação, porque O.oc , sendo um symbolo de indeterminação, pode representar a quantidade b.

Aíém d'isto, o infiniio é neste caso a única solução da equação, porque qualquer valor finito de x multiplicado por zero dâ sempre zero, e não b. Portanto uma solução infinita satisfaz á equação, e ao mesmo tempo mostra a impossibilidade da equação para valores finiuis da incogniia.

4.° a = 0, 0 = 0. Neste caso a fórmula dá

e como os dois termos do quebrado se aniauilaram em virtude de duas liypotheses dífierentes, segue-se que a equação é inde- terminada, isto é,l adnrtte uma infinidade de soluções. Isto mesmo se cor.clue da equação: pois que, nas hypotheses consideradas, a equação torna-se em 0.,ç = 0, que é uma Identidade

| 7.° Problemas do primeiro grari a uma incógnita

I

i't9. Ajrcsolução dos problemas por meie da algebra consta de Ires partes: 1.° pôr o problema em equação; 2." resolver a ou as equações; 3." discutir o problema.

Pôr um problema em equação é exprimir por uma ou rnair equações as relações que ligam entre si as quantidades conhecidas e desconhecidas, que entram no enunciado do problema

Para pôr um problema em equação não ha regras fixas e v.ariaveis, como para resolver as equações; temos porém o seguinte processo, pelo qual muitas vezes se consegue estabelecer a ou as equações do problema :

Representam-se as quantidades desconhecidas por meio de letras; e depois indicam se por meio dos signaes as operações que faria mos para verificar os valores das incognnas, se elles fossem conhe- cidos. Discutir um -problema é examinar os valores que tomam as raizes da ou das equações nos differentes casos que podem apre- sentar-se, quando os dados são literaes; e comparar esses valores com as condições do problema.

1 'SO. Problema I. Qual é o numero, cujas terça e quinta partes sommam 40?

Designando por x o numero procurado, pela condição doypro- blema temos

1 1

+ - = 40.

o 5

Resolvendo esta equação, aclia-se successivamente 5a;+3® = 600, 8® = 600, íc = 75.

131. Problema II. Qual é o numero que, sendo dividido por S e por 7, dá dois quocientes cuja differença é 1 '2?

cc

Designando por x o numero procurado, será — o quociente

x .

que resulta da sua divisão por 5, e — o quociente da divisão por 7. Teremos pois

5 7

Resolvendo esta equação, vem

7x — í>x=420, 2a; = 420, « = 210.

132. Problema III. Dois indivíduos, que designaremos por A e I) começaram a jogar com entradas eguaes; e, tendo A per- dido i000 réis e B 57$000 réis, ficou o primeiro com quatro vezes mais dinheiro do que o segundo. Pergunta-se qual foi a entrada de cada um d'elles?

Seja x a entrada procurada. Como A perdeu 12$000 réis, ficou com x—12000; e como B perdeu 57#000 réis, ficou com x — 57000. Temos pois pela condição do problema

x— 12000 = 4 [x — 57000). Resolvendo esta equação, vem

a: — 12000 = 4® —228000, 216000 = 3a;, « = 72000.

133. Problema IV. Dada a somma s e a differença d de dois números, determinar cada um d'elles.

Seja x o menor dos números procurados. Como a differença que ha entre elles é d, será x + d o numero maior; e como a somma dos dois números é s, teremos

x + x + d = s.

Resolvendo esta equação, temos

1 I

2x — s — d, x = — s —• —- cí,

que é o numero menor. Para obtermos o numero maior, basta ajunctar d: e vem

11 11

x+d — — s-~- — d+d = — s-*-—- d.

2 2 2 2

Estes resultados mostram que: dada a somma e a differença de duas quantidades, a maior ê egual á semisomma mais a semi- differença, e a menor c c ml á semisomma menos a semidifferença.

134. Problema 7. Tendo um pae 40 annos, e um seu filho 12, passados quantos annos será a edade do primeiro tripla da edade do segundo ?

Seja x o numero procurado de annos. No fim d'este tempo será 40 + ® a edade do pae, e 12 +a: a do filho; e pela condi- ção do problema teremos

40 +a?=3(12 +a?)

que é a equação do problema. Resolvendo-a, vem 40 + a? = 36 + 3a;, 4 = 2x, ® = 2.

135. Problema VI. 32 kilogrammas de agua do mar con- tém um kilogramma de sal. Quantos kilogrammas de agua pura se devem ajunctar a esles 32 kilogrammas, para que 52 hilogram-

i

mas da mistura contenham sómente — de kilogramma de sal? Como 32 kilogrammas de agua do mar contêm um kilogramma

Ikg-

de sal, cada kilogramma de agua tio mar conterá de sal.



Posto isto, designando por x o numero de kilogrammas de agua pura que é necessário ajunctar, será 32 + » o numero de kilo- grammas da mistura; e como esta quantidade de mistura contém

um kilogramma de sal, segue-se que cada kilogramma da mistura |kg.

conterá ---de sal. Mas, pela condição do problema, cada kilo-

32 + x

gramma de agua do mar contém oito vezes mais sal do que cada

kilogramma da mistura: logo

1 « 1

= 8 x

32 32 + »'

que é a equação do problema. Resolvendo a, achamos 32 + » = 256, »=224.

436. Probi.ema VII. Um individuo fez descontar duas letras: uma de 200$000 réis a prazo de 3 mezes, e outra de 450$000 réis a prazo de 7 mezes; e recebeu ao lodo 359$000 réis. Per- gunla-se qual foi a laxa do desconlo?

Seja x a taxa do desconto ao mez. O valor actual de cada letra é dado pela fórmula

nit 100 n — nit n( 100 — it)

a==n~~ loo = ÍÕÕ = ÍÕÕ '

Portanto o valor actual da primeira é 200000(100 — 3»)

100

e o da segunda é

150000(100 — 7»)

= (100 —3») 2000,

==(100 —7») 1800; 106

ALGEbRA ElEIONTAR

e como o ndividuo recebeu 339$000 réis pelas duas letras, teremos .

(100 — 3®)2000 + (ICO — 7®) 1500 = 339000, ou, dividindo por 100,

(100 —3®)20 + (100 —7®)£5=339u. ,

Resolvendo esta equação achamos ® = -

ia®. Pbdblrma VIII. A distancia de Coimbra a Lisboa pelo caminho de ferro é de S km. Dois trens partem ao mesmo tempo: um de Coimbra para Lisboa, e outro de Lisboa para Coimbra. O primeiro percorre AO km. por hora, e o segundo 28 km. A que distancia de Coimbra lerá logar o encontro?

Seja cif a distancia de Coimbra ao ponto de encontro: será 218 — x a distancia de Lisboa ao mesmo ponto.

Como os espaços, percorridos no mesmo tempo, são propor- cionaes ás velocidades, temos

. Problema IX. Um galgo corrtu atraz de uma lebre, levando lhe esta 60 saltos de dianteira. A lebre dá 9 saltos em quanto o galgo dá 6: pergunta-se quantos saltos deve dar o galgo para agarrar a lebre, sabendo-sc que 5 saltos do galgo valem 7 da lebre.

Seja x o numero de saltos que o gaigo tem de dar para agar- rar a lebre.

Se o galgo dá 6 saltos, emquanto a lebre dá 9, quantos saltos dará a lebre, emquanto o galgo dá ®?

x 40

218 — ;; 28'

Resolvendo esta equação vem

2S® = 8720 — 40®, oS® = 8720, k

6 •

dá, pois, a lebre saltos, em quanto o galgo dá x. Ora, como

A

a lebre já tinha dado 60 saltos, quando o galgo começou a correr,

segue-se que os x saltos do galgo valem 60 +— saltos da lebre.

Além d'isto, se 3 saltos do galgo valem 7 da lebre, x saltos do galgo quantos valerão da lebre?

3---7) , 7x

,3 :x::7 :s' =—,

x--— s ) o

7x

isto é, os x saltos do galgo valem — saltos da lebre; e como

3 gx

vimos que os x saltos do galgo valem também 60 + — saltos

da lebre será

7x 3x

3=60 + --.

Resolvendo esta equação, vem

Ux = 360 + 9x, = 360, ® = 72.

| 8.° Deseguatdacles cio primeiro grau a uma incógnita

139. Desegaaldade é a expressão de duas quantidades de difFerente grandeza, separadas entre si pelo signal > ou <•

140. Diz-se que a quantidade A é maior do que B, quando a differença A — B é positiva; e diz-se que A é menor do que B, quando a differença A — B é negativa.

D'esta definição resulta que: ioda a quantidade positiva é maior do que zero; toda a quantidade negativa é menor do que zero, e tanto menor quanto maior for o seu valor absoluto. Com efíeito temos

5 — 0 = 5, —5 — 0 = —5, — 5_(_7) = — 5 + 7 = 2; logo, em virtude d'aquella definição, é

5 >0, — 5<0, — 6> — 7. Portanto as grandezas reaes formam uma ser: o crescente que vae desde — oo até + oo :

— oo.....— 2, —1,0, 1,2, . . + oo .

141. 1.° I ma desegunldade conserva-se no mesmo sentido, guando aos seus dois membros se ajnncla ov lira a mesma quan- tidade. Seja a desegualdade

a^> b:

será pos.t'va a differença a — 6, isto é,

a_J>0:

e como a differença a — b não se altera, quando ao diiminuendo e diminuidor se ajuncta ou tira a mesma quantidade m, virá ai ida

(a =fc m) — (b ± m) _';> O :

sendo pois esta differença pos ava, será a primeira quantidade ma.or que a segunda, isto é,

a ± m ± m.

2." Em uma desegualdade pode transpor-se um termo de um rpembro para outro, comtanto que se lhe mude o siqnal.

Porque seja

ax + b^> cx + d. Toando d aos dois membros, vem

ax + b — d j> cíc.

3.° Uma desegualdade muda de senado, quando se tioccm os signaes a todos os seus termos. Seia

ax + b cx 4- d.

Transpondo os termos do primeiro membro para o segundo e os do segundo para o primeiro, temos de lhes mudar os signaes; e resulta

— cx — d — ax — b,

ou, escrevendo em prime»ro logar o segundo memoro,

— ax — l <i — cx — d. Adveutencia. Vimos que da definição, dada no n.° 140, re- sulta que: uma quantidade negativa é menor que zero, e tanto menor quanto maior for o seu valor absoluto.

Não se deve d'aqui concluir que existem quantidades menores que nada : pois que a desegualdade, que parece significal-o, é uma simples fórma algébrica, que tem por fim generalisar o calculo das desegualdades e que podemos modificar pela transposição dos termos. Assim, por exemplo, — 5<0 equivale a 5>0, e — 5>—7 equivale a 7 > 5.

148. 1.° Uma desegualdade conserva-se no mesmo sentido, quando se multiplicam ou dividem os dois membros pela mesma quantidade positiva. Seja a desegualdade

a>b:

será a differença a — b positiva; e multiplicando esta differença pela quantidade positiva m, o producto será também positivo, isto é

(a — b)m > 0, ou am — bm > 0, ou, transpondo bm, am > bm.

A segunda parte do theorema fica também demonstrada, por- que multiplicar por — equivale a dividir por p.

2.° Uma desegualdade muda de sentido, quando se multiplicam ou dividem os dois membros pela mesma quantidade negativa. Seja a desegualdade

a > b:

será a differença a — b positiva; e multiplicando esta differença pela quantidade negativa —m, o producto será negativo, isto é,

(a — b) x — m <0, ou — am 4- bm < 0, ou, transpondo bm, —am < — bm.

3.° Para desembaraçar uma desegualdade dos denominadores, mulliplica-se o numerador de cada quebrado pelo producto dos denominadores dos outros quebrados, e cada inteiro pelo producto de todos os denominadores. Seja a desegualdade

ax d —--c>— +gx.

Reduzindo os quebrados ao mesmo denominador, vem

afx bd

"bf~C> Jf+9X'

e multiplicando os dois membros por bf, resulta v

afx — bcf> bd + bfgx.

143. Sommando membro a membro, duas ou mais desegual- ■ dades no mesmo sentido, o resultado é uma desegualdade no sen- tido das propostas. Sejam as desegualdades

a>b, a' > b', a">b"-,

serão positivas as differenças a — b, a' — b' a"—b": e como a somma de quantidades positivas 6 também positiva, será

a — b + a' — V + a!' — b'1 > 0,

ou, transpondo os termos negativos,

a + a'+«">& + &' + &".

anvertencia. Não é permittido sommar desegualdades em sentido contrario, pois que então não se pode determinar a priori o sentido do resultado.

144. Subtrahindo, membro a membro, duas desegualdades em sentido contrario, o resultado é uma desegualdade no sentido da' que serviu de diminuendo. Sejam as desegualdades

a > b, a' < b', equivalentes a a>b, b' > a'.

Sommando estas desegualdades no mesmo sentido, vem

a+ b'>b +a'. -

algbftra elementar 111

ou, transpondo os termos b' a',

a—a' >b— V.

Advertencia. Nâo é permittido subtrahir desegualdades no mesmo sentido.

145. Multiplicando, membro a membro, duas desegualdades no mesmo sentido e de membros positivos, o resultado é uma des- egualdade no sentido das propostas. Seja

o > b, a' > b'.

Multiplicando a primeira desegualdade por a! e a segunda por b, resultam as desegualdades no mesmo sen lido

aa' > ba', ba' > bb';

e substituindo na primeira desegualdade a quantidade ba' por bb' que é menor, com mais razão será

aa' > bb'.

Este principio tem também logar para mais de duas desegual- dades.

Suppondo que as desegualdades têm os primeiros membros eguaes entre si, e lambem os segundos, conclue-se que:

Uma desegualdade de membros positivos cnnscrva-se no mesmo sentido, quando os dois membros se elevam á mesma potencia.

Advertencia. Não podemos multiplicar desegualdades em sentido contrario, ou no mesmo sentido quando os membros não forem todos positivos.

146. Dividindo, membro a membro, ditas desegualdades cm sentido contrario e de membros positivos, o resultado é uma des- egualdade no sentido da que serviu de dividendo. Sejam as des- egualdades

a>b, a'<b', equivalentes a a > fc, b' > a'.

Multiplicando estas desegualdades no mesmo sentido, vem

ab' > ba', 112 algebra elementar

e dividindo os dois membros pela quantidade positiva a'b',

ab' ba! a b

TjT > TjT> ou "T >Tr*' a b a b a' b

14?. Por meio (Vestes princípios prova-se facilmente o theo- rema seguinte:

Se tivermos dois ou mais quebrados deseguaes e de denomina- dores positivos, e os sommarmos termo a lermo, o quebrado resul- tante fica comprehendido entre o maior e o menor dos qubrados propostos. Seja

a c e b d f

Designando por q o valor de —, teremos

a c e

d'onde (n.° 142, l.°) a=bq, c>dq, e>fq.

Sommando a egualdade e as desegualdades membro a membro, resulta uma desegualdade no sentido cVeslas (n.os 143 e 141); e vein -

a + c + e > (b + d + f) q; dividindo por b + d + f, resulta

a + c + e a + c + e a

b + d+-f>q' 0116 + d+7>Tt

£

Do mesmo modo, designando por q' o valor de —, temos a , c e

d'onde, a < bq\ c < dq', e = fq',

ou sommando, a + c + e < (6 + d + f)q', e dividindo por b + d + f,

a+efe fl+cfc e

hTãTJ<q "" (.•(+/"=•,•• 148. Resolver uma destgualdaâe é achar um limite superior ou inferior dos valores que a incógnita pode receber.

Para resolver uma desegualdade do primeiro grau a uma in- cógnita temos o seguinte processo:

Desembaraça-se a desegualdade dos seus denominado, es; ftans- põe<n~se os termos conhecidos para um membro e os termos desco- nhecidos para o outro; fazem -se us operações indicadas velos signaes, e deseinoaraça-se a incógnita do seu coefficiente.

Exemplo: resolver a desegualdade

3 2

— x— 9 < -»+ 4.

4 7

Desembaraçando dos denominadores, temos 21» — 252<8» + 112, transpondo e reduzindo,

Q p K

13»<364, donde »<-',--=28

1 o

Portanto satisfaz á desegualdade qualquer valor de » menor que 28.

US . Quando a mesma ncognita entra em duas ou mais des- egualdades, cada desegualdade dá um limite superior ou inferior dos valores que c ijicognita pode receber; e temos de considerar dois casos, segundo os limites sao no mesmo sentido ou em sen- tido contrario.

1.° Limites no mesmo sentido. Neste caso, se os li nites forem todos superiores, basta aproveitar somente o menor, poiti que este involve todos os outros. Assim, sendo

4 < 'P »<c 9,

a condícão »<4 involve c,s outras,

Se os limites forem todos inferiores, basta aproveitar sómente o maior, pou que este inclue todos os outros. Assim, se for

»> 4, »> 5, »> 9, a conòicão x > 9 inclue as outras. 2.° Limites em sentido contrario. Se o limite superior for maior que o limite inferior, os limites não são contradictorios; e indicam então os limites entre os quaes se acham comprehen- didos todos os valores que satisfazem ás desegualdades. Taes são os limites x < 8, x > 5.

Porém, se o limite superior for menor que o limite inferior, os dois limites são contradictorios; e indicam que as desegual- dades são impossíveis, isto é, que não ha valor da incógnita que satisfaça ás desegualdades. Taes são os limites x>8, x <6.

Como applicação d'estes princípios, resolvamos alguns pro- blemas.

»

fãO. Achar um numero tal que, do seu triplo tirando 2 dê um resto maior do que 7; e que, do seu decuplo tirando dê um resto menor que 7 mais seis vezes o mesmo numero.

Designando por x o numero procurado, temos

3x — 2 > 7, 10.*? —1 <7 + 6.*?.

Resolvendo estas desegualdades, achamos

3x> 9, ou x> 3, hx < 8, ou x < 2,

limites em sentido contrario e contradictorios: logo o problema é impossivel.

151. Achar um numero, cujo triplo mais 4 seja maior do que o seu dobro mais 20; e, ao qual tirando 4 e ajunctando 3,

í

a differença dividida pela somma dê um quociente maior que ■

Designando por x o numero procurado, temos

x + o 5

Resolvendo as desegualdades, achamos

3^ —2á?>20 — 1, ou x> 19, — 5 > hx + 12, ou x> 17. /

Como estes ,:mites são no mesmo sentido e i.iferí^res, basta aproveifar o ma:or, e por consequenca qualqrer numero maior do que 19 saíisfaz.

exercícios

Resolver as equações seguintes: '

v v r Ç ' Mb

Í 36. JHI^Íil

i37 f-r=S+40-

'38. B* 7® 29 íc=50.

3 5 4

•x39. jJLjjfi

4 13 J

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x—az —b2. 171. Dois indivíduos têm um 45 annos, e o outro 15: quantos annos de- correram desde que a edade do segundo foi um quarto da do primeiro? (5).

172. Tres irmãos têm jiinctameuje 24 aunos, e ha dois annos de diffe- rença entre cada uni e o seguinte. Qual é a edade de cada um? (6, 8,10).

173. Um individuo comprou a um livreiro 3 livros por certo preço, 5 por preço duplo e 4 por preço triplo, e deu por todos 13$500réis. Quanto custou o livro de cada categoria? (340, 1$080 e 1 j(320 réis).

174- Achar um numero tal, que a somma da sua metade e terça parte seja egual a — do resto, mais 600. (840).

175. Um individuo ajustou um obreiro por 48 dias. O obreiro recebe 500 reis por cada dia em que trabalha, e perde 200 réis por cada dia em que não trabalha; e 110 lim de 48 dias recebeu 11M00 reis. Pergunta-se quantos dias trabalhou, e quantos deixou de trabalhar. (30, 18).

176. Prometten um homem 8 moedas a outro, com a condição de lhe dobrar este o dinheiro que elle trazia; e tendo ainda repetido o ajuste duas vezes (ir,ou sem dinheiro algum. Que dinheiro trazia o homem, quando fez a primeira promessa? (7 moedas).

177. Um numero é composto de tres algarismos, cuja somma é 18. O algarismo das unidades é o dobro do das centenas, e o das dezenas é egual á somma do algarismo das unidades com o das centenas. Qual é este nu- mero? (396).

178. No meio de um tanque, que tem a fórma de um quadrado de 10 palmos de lado, está uma roseira que se eleva um palmo acima do nivel do tanque; <: que, quando se inclina para o meio de um lado, toca exactamente

0 bordo do tanque. Qual é a altura d'este? (12 palmos).

179. Um bambu, que t'»m 10 palmos de alto, está quebrado a uma certa altura; e quando a parte superior se inclina para a terra e a toca, o seu vertice fica a 3 palmos do pé. A qoe altura está o bambu quebrado? (4,55).

180. Prometteu-se 500 réis a um caçador por cada tiro que acertasse em caça, com a condição de receber d'elle 120 réis por cada um que errasse. Depois de 34 tiros conheceu-se que o caçador tinha a receber 1$500 réis. Quantos tiros acertou? (9).

181. Um individuo jogou tres vezes: na primeira vez perdeu metade do seu dinheiro menos 5 .000 réis: na segunda perdeu a quinta parte do resto mais 7|000 réis; e na terceira ganhou o triplo do que lhe restava ultima- mente menos 8*3000 réis. Quanto tinha o individuo quando começou a jogar, sabendo-se que elle ganhou 40$000 réis? (100^000 réis).

182. Uma mulher tem gallinhas e coelhos, ao todo 14 cabeças e 38 pés. Qual é o numero das gallinhas e qual o dos coelhos? (9, 5).

183. Dividir 36 em tres partes taes que dividindo a primeira por 2, a segunda por 3 e a terceira por 4, os quocientes sejam eguaes. (8, 12, 16).

184. Duas mulheres foram á praça, levando ambas quantias eguaes. A primeira veudeu fructas por 1,5200 réis, e a segunda fez compras por 1$600

1 éis. Quanto tinha cada uma, sabendo-se que a segunda voltou para casa ■■.ora a terça parte da quantia com que voltou a primeira? (31000 réis).

185. Dois pastores, A e 13, dividiram entre si um rebanho. A ficou com 132 cabras; B ficou com 158 cabras e 9 cabritos dos quaes 3 valem tanto como uma cabra, e deu a A 177 .480 réis. Qual c o valor de cada cabra? (6;ãl20 réis). 186. Dividir 39 em quatro partes taes que, ajunctando 1 à primeira, ti- rando 2 á segunda, mnltiplicando a terceira por 3 e dividindo a quarta por 4, os resultados sejam eguaes. (5, 8, 2, 24).

187. Um pescador agarrou um peixe, do' qual a cauda pesava 2 kilo- grammas, a cabeça tanto como a cauda e metade do corpo, e o corpo tanto como a cauda e a cabeça junctamente. Quanto pezava o peixe? (16 kilogr.).

188. Um numero é composto de dois algarismos, dos quaes o segundo é o dobro do primeiro; e além d'isto, quando se lhe ajuncta 36, obtem-se esse numero escripto cm ordem inversa. Qual é esse numero? (18).

189. Um homem e sua mulher bebem um piptf de vinho em 12 dias. Quando o homem está ausente, a mulher tem vinho para 30 dias. Quantos dias gastará o homem só para beber o pipo de vinho? (23).

190. Dividir 451 em duas partes taes que a primeira, augmentada de 14, dd o mesmo resultado que a segunda dividida pelo mesmo numero. (17, 434).

191. Um individuo empregou um operário com a condição de lhe dar por 10 mezes de trabalho 130$000 réis e um porco gordo, avaliado a 240 réis o kilogramma. No fim do oitavo mez o operário adoeceu e recebeu pelo seu salario 99$200 réis e o porco. Quanto pezava este ultimo? (100 kil.).

192. Um individuo prometteu dar a um creado 3C$000 réis por anno e um fato. No fim de 10 mezes despediu o creado e deu-lbe 28^800 réis e o fato. Qual era o preço d'este? (7$200 réis).

193. Um individuo, gastando metade do que tinha e mais um terço do resto, ficou ainda com 2 libras a mais do que a quarta parte do que pos- suía primitivamente. Quanto tinha o individuo? (24 libras).

194. Achar dois números, sabendo-se que a sua somma é 58, c que o excesso da metade do primeiro sobre um sexto do segundo é 15. (37, 21).

195. Um capital, descontado por fóra a 4 % ao anuo durante 9 mezes, produziria mais 360 réis se fosse descontado por dentro à mesma taxa. Qual é esse capital? (412$000).

196. Um individuo encontrou dois dos seus credores, A e B. Deu a A 3/iu do dinheiro que tinha, e a B 6/7 do resto, e ficou ainda com 11 libras. Quanto tinha o individuo primitivamente? (1J0 libras).

2

197. Um rapaz deu a seu irmão-^-das nozes que tinha e mais tres nozes;

1 3

e a sua irmã deudo resto e mais 6 nozes. Depois achou que ^ das nozes

restantes eram más, e que as nozes boas, com que ficou, formavam os-|- do numero primitivo. Quantas nozes tinha o rapaz? (105). 7

198. Um individuo tem tres vasos, dois pequenos e um grande. A capa-

3 ' 5

cidade de um dos pequenos é ^ da do grande, e a do outro é Enchendo

o primeiro e despcjando-o no segundo, faltam ainda 10 litros para encher este ultimo. Qual é a capacidade dè cada vaso? (90, 100, 480).

199. Um capital de 4800 francos, com os seus juros simples durante um

1

certo numero de annos, achou-se elevado a 6972 francos. Durante tt do