Tratado de Algebra Elementar/Livro 2/Capítulo 2

by José Adelino Serrasqueiro

186. Dividir 39 em quatro partes taes que, ajunctando 1 à primeira, ti- rando 2 á segunda, mnltiplicando a terceira por 3 e dividindo a quarta por 4, os resultados sejam eguaes. (5, 8, 2, 24).

187. Um pescador agarrou um peixe, do' qual a cauda pesava 2 kilo- grammas, a cabeça tanto como a cauda e metade do corpo, e o corpo tanto como a cauda e a cabeça junctamente. Quanto pezava o peixe? (16 kilogr.).

188. Um numero é composto de dois algarismos, dos quaes o segundo é o dobro do primeiro; e além d'isto, quando se lhe ajuncta 36, obtem-se esse numero escripto cm ordem inversa. Qual é esse numero? (18).

189. Um homem e sua mulher bebem um piptf de vinho em 12 dias. Quando o homem está ausente, a mulher tem vinho para 30 dias. Quantos dias gastará o homem só para beber o pipo de vinho? (23).

190. Dividir 451 em duas partes taes que a primeira, augmentada de 14, dd o mesmo resultado que a segunda dividida pelo mesmo numero. (17, 434).

191. Um individuo empregou um operário com a condição de lhe dar por 10 mezes de trabalho 130$000 réis e um porco gordo, avaliado a 240 réis o kilogramma. No fim do oitavo mez o operário adoeceu e recebeu pelo seu salario 99$200 réis e o porco. Quanto pezava este ultimo? (100 kil.).

192. Um individuo prometteu dar a um creado 3C$000 réis por anno e um fato. No fim de 10 mezes despediu o creado e deu-lbe 28^800 réis e o fato. Qual era o preço d'este? (7$200 réis).

193. Um individuo, gastando metade do que tinha e mais um terço do resto, ficou ainda com 2 libras a mais do que a quarta parte do que pos- suía primitivamente. Quanto tinha o individuo? (24 libras).

194. Achar dois números, sabendo-se que a sua somma é 58, c que o excesso da metade do primeiro sobre um sexto do segundo é 15. (37, 21).

195. Um capital, descontado por fóra a 4 % ao anuo durante 9 mezes, produziria mais 360 réis se fosse descontado por dentro à mesma taxa. Qual é esse capital? (412$000).

196. Um individuo encontrou dois dos seus credores, A e B. Deu a A 3/iu do dinheiro que tinha, e a B 6/7 do resto, e ficou ainda com 11 libras. Quanto tinha o individuo primitivamente? (1J0 libras).

2

197. Um rapaz deu a seu irmão-^-das nozes que tinha e mais tres nozes;

1 3

e a sua irmã deudo resto e mais 6 nozes. Depois achou que ^ das nozes

restantes eram más, e que as nozes boas, com que ficou, formavam os-|- do numero primitivo. Quantas nozes tinha o rapaz? (105). 7

198. Um individuo tem tres vasos, dois pequenos e um grande. A capa-

3 ' 5

cidade de um dos pequenos é ^ da do grande, e a do outro é Enchendo

o primeiro e despcjando-o no segundo, faltam ainda 10 litros para encher este ultimo. Qual é a capacidade dè cada vaso? (90, 100, 480).

199. Um capital de 4800 francos, com os seus juros simples durante um

1

certo numero de annos, achou-se elevado a 6972 francos. Durante tt do tempo esteve a 3 72%; durante 7-, esteve a 3 3/4 %> e durante o resto do tempo, esteve a 4 %. Quantos annos esteve o capital a render? (12).

200. Um individuo possue propriedades que llie rendem a 3 1/2% ao anijo, e titulos de 5%. Se as propriedades, que formam um terço da sua fortuna, rendessem a 5 %, o rendimento annual seria augmentado de 400 francos. Qual é a sua fortuna tolal e o seu rendimenta annual? (80000 fr., 3000 fr.).

201. Um capitão, querendo formar a força do seu commando em qua- drado, achou que lhe faltavam 25 homens para completar o quadrado. Poz então 2 homens de menos em cada lado do quadrado, e achou que lhe cres- ciam 31 homens. Qual era o numero de homens de que dispunha o capi- tão? (200).

202. Muitos socios repartiram entre si o producto de uma especulação de modo que: pertenceram ao primeiro 10 moedas, e a sexta parte do resto que ficou depois de tiradas as 10 moedas; ao segundo 20 moedas e a sexta parte do resto; ao terceiro 30 moedas, e a sexta parte do resto; e assim até ao ultimo, a quem pertenceu o ultimo resto. Achando-se no fim da par- tilha que a todos coube egual parte, pergunta-se: qual foi a quantia repar- tida, qual o numero dos socios, e qual a parte de cada um? (A quantia repartida foi 250 moedas, o numero dos socios 5, e a parte de cada um 50 moedas).

203. Uma fonte enche um tanque em 12 horas, outra em 15 horas, e outra em 18 horas. As tres fontes, correndo junctas, em que tempo enehe-

f 32\

rão o tanque? í4h^ j-

204. Dois poslillíões partiram um de A e outro de B para o ponto C, sendo a distancia AC = 110 kilometros e a distancia BC = 50 kilouietros: a velocidade de A é de 10 kilometros e a de B de 6. Pergunta-se quantos kilometros percorrem os dois postilhões desde o ponto C até ao ponto de encontro. (40).

205. Um negociante deve uma letra de 6000 francos a praso de 8 mezes, e uma outra de 8000 francos a praso de 9 mezes. Retira estas duas letras, e põe em seu logar uma letra de 15000 francos a praso de um anno. Qual

foi a taxa do desconto? (l

206. Um negociante desconta uma letra de 8000 francos a praso de 9 mezes, e uma outra de 7000 francos a prazo de 8 mezes; e dá pela primeira

/ 5 \

mais 900 francos do que pela segunda. Qual foi a laxa do deêcouto? J.

207. Um tanque cheio de agua pode ser despejado por duas torneiras. Primeiro abre-se uma d'ellas, e deixa-se correr a quarta parte da agua: depois abre-se a outra e deixam-se correr ambas; e estas para despejar o

5

resto do tanque gastam mais — de hora do que a primeira em despejar um

4

quarto do tanque. Se as duas torneiras fossem ahertas no principio, o tan- 1

que teria sido despejado -g de hora mais cedo. Em que tempo despejaria o tanque a primeira torneira, correndo sempre só? (41]). CAPITULO II Equações e problemas (lo primeiro grau a muitas iucopitás

| 1.® Definições e prinçipics geraes em que se fanda a resolução d-3 muitas equações á muitas ircogcí bas

153. Chamam-se equações simultâneos as que são satisfeitas pelos mesmos valores das ncognitas, tê, a reurião destas equações constiíue um systema de equações.

Resolver um systema de equações é Schar os valores das incó- gnitas que satisfazem ao mesmo tempo a todas as equações.

Solução de um systema de equa;ôes & a reunião de valores da3 ncogni!as que satisfazem ao mesmo tempo a Iodas as equa- ções-

Na resolução de muitas equações a muitas incógnitas podem apresentar-se tres casos, segundo o numero das equações for egual, maior ou menor õo que o numero das ncogritas

153. As raizes de mi systema de equações não se alteram, quanao se resolve uma das equações em ordem a uma das inco- gn Itas, e se suhstitue o valor obuio em todas as outras equações do systema.

Supponhemos as equações

„ A = J], C = D, E = F......(1)

em que entram as incogiitas x, y, z.

Hesolvendo a primeira equação em ordem a x, seja x = B', sendo B' uma expressão que contém y e z; e substituindo este valor nas outras equações, supponhamos que ellas se convertem em C'=D', E'=E' Digo que o systema proposto é equivalenfe ao systema

= B' C' = D', E =F'......(2). As equações A = B e x = B' são equivalentes: porque pas- sa-se da primeira para a segunda, transpondo os termos em y e z para o segundo membro e dividindo pelo coefficiente de x, o que não altera as raizes da equaçã >. Além d'isto, as raizes do syslema (1) tornam idênticas as quantidades x e IV: logo podemos substituir x por B' nas outras equações do syslema (1); e como então resultam as equações do svstema (2), segue-se que as raizes do primeiro syslema são também raizes do segundo.

Reciprocamente, as raizes do segundo systema tornam idên- ticas as quantidades x e B': logo podemos substituir B' por x nas outras equações d'este systema; e corno então resultam as equações do systema fl), segue-se que as raizes do segundo sjs- tema são também raizes do, primeiro. Portanto os dois systemas são equivalentes.

1 «ã fl. As raizes de um syslema de equações não se alteram quando se substitue urna d'ellas pela equação que se nblem, com- binando-a por meio da somma ou subtracção com uma ou mais equações do mesmo syslema. Supponhamos as equações

A =B, C = D, E = F......(1).

Digp que o syslema A = B, C = D, A + C — E = B + D — F.. . (2)

é equivalente ao proposto.

As raizes do systema (1) são também raizes das duas primeiras equações do syslema (2), pois que estas equações são communs aos dois systemas. Além d'isto, as raizes do systema (1) tornam idênticos os dois membros de cada equação: A idêntico a B, C a D e E a F: logo tornam A + C — E idêntico a B + D — F, e por consequência são também raizes da terceira equação do systema (2).

Reciprocamente, as raizes do systema (2) são também raizes das duas primeiras equações do syslema (1), pois que estas equa- ções são communs aos dois sy stemas. Além d'isto, as raizes do systema (2) tornam idênticos os dois membros de cada equação: A idêntico a B e C a 1): logo tornam A + C idêntico a B + D; e como lambem fazem A + C — E idêntico a B +1) — F, necessariamente tornam E idêntico a F, e por consequência sào tam- bém raizes da terceira equação do systema (1). Portanto os dois systemas são equivalentes.

| 2." Resolução de um systema «le equa- ções do primeiro grau em numero eguãl ao das incógnitas

155. Para resolver um systema de equações do primeiro grau em numero egual aos das incógnitas ha vários processos chamados metliodos de eliminação; e dá-se-lhês este nome, por- que todos consistem em eliminar sucessivamente as equações e as incógnitas até resultar somente uma equação com uma incó- gnita, a qual jâ sabemos resolver.

Eliminar uma incógnita é transformar um systema de equa- ções em outro equivalente, e no qual essa incógnita entre sómente numa equação.

Antes de applicarmos qualquer dos methodos de eliminação a um systema de equações, teremos o cuidado de as preparar, isto é, de as desembaraçar dos denominadores, transpor os termos conhecidos para um membro e os desconhecidos para o outro e reduzir.

154». MeTHODO DE eliminação por comparação. SuppO- nhamos o systema

3x— 4í/+5z=10, 7x — 3y + 6z=19, 5x + %y — 2s = 3.

Tirando de cada equação o valor de x, como se y e z fossem conhecidos, vem

X— 3 ' X— 7 —' 5 *••( )'

systema equivalente ao proposto; porque passa-se do primeiro systema para o segundo, transpondo os termos em y e z para o segundo membro e dividindo pelo coefficiente de x, o que não altera as raizes de cada equação.

Substituindo o valor de x, dado pela primeira equação, em cada uma das outras, não alteramos as raizes do systema (n.° 153): e resulta o syslema equivalente

10 + 4» —5z

-3-•

10 + 4» — 5z_19 + 3» — 6z

3 —— 7 '

10 + 4» — 5z_ 3 — 2» + 2z _ 3 5 •

Como a incógnita íc entra sómente na primeira equação, sepa- ramos esta equação, que depois servirá para achar o valor d'esla incógnita; e estamos reduzidos ãs duas equações-

104-4» —B z 19+3» — 6z 10+4» — 5z 3 —2»+2z

que se podem obter immediatamente, egualarido ou comparando os valores de x dois a dois.

Applicando a estas equações o mesmo methodo, temos pri- meiro de as preparar. Para isso desembaraçando dos denomina- dores, vem

70+28»—35z = 57+9»—18a, 50 420»—25z=9—6»+6z, e transpondo e reduzindo,

19» — 17z = — 13, 26»—31z = — 41.

Tirando de cada uma d'estas equações o valor de », resulta o systema equivalente

_—13 + 17z —414-312

y 19 ' y— 26 :

substituindo na segunda equação o valor de » dado pela primeira, não alteramos as raizes do systema; e resulta o systema equi- valente

_—13 + 17s — 13 + 17z_ —41 + 31z V~ 19 ' 19 ~~ 26 e estas ouas equações junctamente com ama das equações fl), constituem um systema equivalente ao proposto.

Ora, como y entra sómente na primera das duas ultimas equa- ções, separamos essa equação, que depois sèi-virá para achar o valor de y; e estamos assim^fceduzidos somente a uma equação com uma ircogrita

— 13+17* — 41 +31a

19 26

que se pode obter immedií-tamente egualando os dou valores de y. Resolvendo esta equação, [vem suècá^vamente

— 338 + 442* = — 779+ 589*, 441 = 147a, =3.

147

Substituindo o valor de z na segunda equação que puzemos de parte, vem

— 13 + 51

y=y-19—2;

§ substituindo os valores de y e z na primeira equação separada temos

10 + 8—15

,as» —-=i.

Pcrtanto a solução do systema',proposto fax—l, «,'=2, a=3.

IS1?. Reduz-se portanto o methodo de comparação ao se- guinte:

Tira-se de cada equação o valor àa mesma incógnita, como se as outras fossem conhecidas, egualam-se estes valores dois a dois, e assim temos de menos uma equação e de menos uma incógnita.

Sobre as equações restantes opera -se do mesmo modo, e assim por deante até termos sómente uma zquc.ção com uma incógnita, a qual resolvemos.

O vclor d'esta incógnita substitue-sc no valor daquella, em que não entrar senão a que já èçlá conhecida; e o mesmo se faz cm relação ás incógnitas restantes. Exemplo : resolver as equações 5® + 3y—-22 = 9, 3®-^4y + 4z = 14, 4r + 5» —3z = 8. Tirando cie cada equação o valor de x, vem 9 — 3m + 2z 14 + 4»-4s 8-5»+3z

5 • —' 4 .....(1);

égua laudo estes valores dois a dois, por exemplo, o primeiro ao segundo e o primeiro ao terceiro, resulta

9-3» + 2z_141f4»-4z 9 — 3» + 2z 8-5»+ 3x

~ 5 ~~ 3 ~ 5 ~ 4 '

e d'este modo temos de menos uma equação e de menos uma incógnita.

Applicando a estas equações o mesmo methodp, temos primeiro de as preparar. Para isso desembaraçando-as dos denominadores, temos

27 - 9»+6z=70+20» -£0z, 36 -12y+ 8z=40-2% +16*, e transpondo e reduzindo, vem

•—29?/+262 = 43, 13» —7z = 4. Tirando agora de cada uma d'estas equações o valor de z, vem _43 + 29» _13» — 4

2- 26 ' Z~~T '

ou, egualando estes dois valores,

43 + 29» __13» — 4 26 ~ 7 '

e estamos assim reduzidos sómente a uma equação com uma in« cognita, que resolvemos. Para isso desembaraçando dos denomi- nadores, temos

301 +203» = 338»— 104, ou, transpondo e reduzindo,

SOS

405 = 135», donde Substituindo este valor em qualquer dos valores de z, por exemplo no segundo, temos

39—-4

• 7

e substituindo os valores de y e z em qualquer dos valores de x, por exemplo no primeiro, vem

9 — 9 + 10

Portanto, a solução do systema proposto é x — 2, y = 3, z = 5.

158. MeTHODO DE ELIMINAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO. Slippo- nhamos o systema

8® + 3y - 2z 9, 3x - 4y + 4a = 14, 4«,+ % - 3a = 8.

Tirando da primeira equação o valor de x, vem

9 — 3y + 2z

x-

5

substituindo este valor em cada uma das outras equações, não alteramos as raizes do systema (n.° 153); e resulta o systema equivalente

9 — 3y + 2z

x-

5

27— 9y + 6a

5

36 — 12y+8a

4^ + 4z—14,

+ 5«/ — 3a = 8.

Como a incógnita x entra sómente na primeira equação, sepa- ramos esta equação que depois servirá para achar o valor d'esta incógnita ; e estamos reduzidos ás duas ultimas equações.

Applicando a estas equações o mesmo methado, temos primeiro de as preparar. Para isso desembaraçando dos denominadores, temos

27—9y+ 6a—20^+20* = 70, 36_ 12y+8« +25«/_15a = 40, e transpondo e reduzindo

— 2%+ 26* = 43, 13» —7z = 4. Tirando da segunda equação o valor de z, vem

13»— 4

substituindo este valor na outra equação, não alteramos as raizes do systema ; e resulta o systema equivalente

13» —4 , 338?/—104 ro z = —i--, — 29» + —----= 43;

e estas duas equações, junctamente com a equação separada, constituem um systema equivalente ao proposto.

Ora, como z entra somente na primeira das duas ultimas equa- ções, separamos essa equação, que depois servirá para achar o valor de z; e estamos reduzidos sómente a uma equação com uma incógnita. Resolvendo esta equação, vem successivamente

405

— 203»+ 338»— 104 = 301, 135» = 405, y= — = 3.

A OO

Substituindo o valor de » na segunda equação separada ob- tem-se

39-4 z— - —o,

e substituindo os valores de » e z na primeira equação que puzemos de parte, resulta

9 — 9+10 „ ---= 2.

Portafito a solução do systema proposto é x — % y = 3, z = 5.

159. Consiste pois o methodo de substituição no seguinte: Tira-se de uma das equações o valor ãè qualquer incógnita, como se as outras fossem conhecidas; substitue-se este valor em todas as outras equações, e d'este modo temos de menos uma equa- ção e de menos uma incógnita. *

Sobre as equações restantes opera-se do mesmo modo, e assim por deante até termos sómente uma equação com uma incógnita, a qual resolvemos.

O valor d'esta incógnita substitue-se no valor d'ciquella, em que não entrar senão a que já está conhecida, e faz-se o mesmo em relação ás incógnitas restantes. Exemplo: resolver as equações

3^ — 4^+52= 10, 7® — 3y + 6z= 19, 5® + 2y — 2* = 3.

Tirando da primeira o valor de x, temos

10 + %— 5*

« =-3—;

substituindo este valor nas outras equações, resulta

70+28»/—38* 0 , 60 + 20y_2B* , „ a 0 --- _ 3 y + 6z= 19,--+ 2 y - 2* = 3,

e d'este modo temos de menos uma equação e de menos uma incógnita.

Applicando a estas equações o mesmo methodo, temos primeiro de as preparar. Para isso desembaraçando-as dos denominadores, temos

70 +.28y_35z-$y +18* = 57, 50 + 20?/~25z + 6y-6*=9, ou, transpondo e reduzindo,

19y —17* = —13, 26y — 31* = — 41. Tirando agora da primeira d'estas equações o valor de y, vem

17* —13

substituindo este valor na segunda, resulta 442z — 338

31z =—41,

19

e assim estamos reduzidos sómente a uma equação com uma in- cógnita, que resolvemos Para isso desembaraçando do denominador, temos

U2z — 338 — 589z =—779, ou, transponoo e reduzindo,

441

441 = 147z, dorde »=#= = 3.

147

Substituindo o valor de z no veloi de », temos

51 —13 A

y==~ '

e substituindo os valores de y e z no valor de x, vem

10 + 8 — 15 x== 3 ff

Portanto a solução do systema proposto é #=1, »~2, z=3.

3 ©O. METHOnO UE ELIMJN«ÇÃO PELA REDUCÇÃO AO MESMO

ooiíFFiCiENiE. Supponhamos o syátema

6»-3» + 4z=í2, 5íc + 5» —2z = y, -8» + 8y — 3x=— 1.

Considerando as duas primeras equações e querendo eliminar x, reduzimos á egualdade os coefficientes 8 e 5. Para isso, basta multiplicar a pi imeira equação por 5 e a segunda por 6, c que é permr tido (n.° 114); e vem

30» — 15»+ 20*, = 60, 30» + 30» — I2z= 54,

e subtrahindo a segunda da primeira,

— 45»+ 32z = 6,

equação que se pode substituir á segunda equação proposta sen alterar as ra-zes do systema (1S4). Temos po;s eliminado «entre as duas p~'meiras equações.

Considerando agora a pri.neira equação e a terceira, como os coefficientes de x não são primos entre si, para os reduzi- â egualdade procura-se o menor múltiplo commum dos doij coeffi- cientes, e muliiplicam-se as duas equações pelos quocientes que resultam da divisão d esse menor muliiplo por cada um dos coef- 9 ficientes. Ora o menor múltiplo de 6 e 8 é 24: logo basta mul- tiplicar a primeira equação por 24: 6 ou 4, e a terceira por

24 : 8 ou 3; e resultam as equações

24a;— 12jf + 16z = 48, — 24* + 24j/ — 9z = — 3 ;

equação que se pode substituir á terceira proposta, sem alterar as raizes do systema. Portanto, em logar do systema proposto, temos o systema equivalente

6® —3y + 4z=12, — 4% + 32z = 6, 12Í/ + 7z=45.

Como a incógnita x entra sómente na primeira equação, sepa- ramos esta equação, que depois* servirá para achar o valor de x; e estamos reduzidos ás duas equações

Para eliminar z entre estas duas equações, temos de tornar éguaes os coefficientes de z; e como os coefficientes 32 e 7 são primos entre si, basta multiplicar a primeira equação por 7 e a segunda por 32, e resulta

— 315y + 224z = 42, 38% + 224s = 1440.

Suhtrahindo a primeira equação da segunda, vem

equação que pode substituir uma das duas ultimas, sem alterar as suas raizes; e portanto temos as equações

que com a equação separada, constituem um systema equivalente ao- proposto.

Como z entra sómente na primeira das duas ultimas equações, separamos essa equação, que depois servirá para achar o valor de z; e ficamos reduzidos sómente â ultima equação que, resol- vida, dá immediatamente

e sommando

12y + 7* = 46,

45i/ + 32z = 6, I2y + 7Z = 45.

699y = 1398,

12y + 7z = 45, 699?/= 1398, Substituindo o valor de y na segunda equação separada, vem

45 — 24

24 + 7s = 45, donde z =---= 3;

substituindo os valores de, y e z na primeira equação, que puzemos de parte, temos

12 + 6—12

6» — 6 + 12 = 12, donde x =---= 1.

6

Portanto a solução do systema proposto é »=1, y—2, z=3.

161. Consiste portanto o methodo de reducção ao mesmo coefficiente no seguinte :

Comparam-se as equações duas a duas, transformando-as de modo que se tornem eguaes os coefficientes da incógnita, que se quer eliminar.

Para isso, se os dois coefficientes forem primos entre si, mul- tiplica se cada equação pelo coefficiente da incógnita na outra; e, se não forem primos entre si, procura-se o menor mtdtiplo dos dois coefficientes, e multiplicam-se as duas equações pelos quocien- tes que resultarem da divisão d'esse menor múltiplo por cada um dos dictos coefficientes.

Feito isto, sommam-se ou subtrahem se as duas equações, segundo os termos, em que entra a incógnita de que, se irada, tiverem differentes ou os mesmos siljnaes; e d'este modo temos de menos uma equação e de menos uma incógnita.

Sobre as equações restantes opera-se do mesmo modo, até termos sãmente uma equação com uma incógnita, que resolvemos.

O valor d esta incógnita substilue-se naquella equação, em que não entrar senão uma outra incógnita; e o mesmo se faz para achar as incógnitas restantes.

Exemplo: resolver as equações

bx — 3y f 2z = 9, 5» + 7y — 5z = 6, 7» — 2y + hz = 28.

Para eliminar x entre a primeira equação e a segunda, como os coefficientes 4 e 5 são primos entre si, temos de multiplicar a primeira por 5 e a segunda por 4, o que dã

20»—15y+ 10z = 45, 20» + 28j/— 20z = 24 ; e como os termos, em que entra ®, têm os mesmos signaes, devemos subtrahir as duas equações; e, subtrabindo a segunda da primeira, resulta

— 43j/ +30* = 21.

Eliminando do mesmo modo x entre a primeira equação e a terceira, temos de multiplicar a primeira por 7 e a terceira por 4; e vem

28* —2 li/+14* = 63, 28® — 8i/+ 16*= 112;

e como os termos, em que entra x, têm os mesmos signaes, devemos subtrahir as duas equações; e resulta

13t/ + 2* = 49.

D'este modo estamos reduzidos sómente ãs duas equações

— 43^ + 30* = 21, 13«/ + 2z = 49______(1).

Eliminando y entre ellas, temos de multiplicar a primeira por 13 e a segunda por 43; o que dâ

— 559j/ + 390* = 273, 559»/+ 86z = 2107;

e como os termos em y têm signaes dilFerentes, devemos sommar as duas equações:

2380

476*=2380, dionde z = —— = 5.

4-iu

Substituindo o valor de z em qualquer das equações (1), por exemplo, na segunda, temos

49_io

13j/+10 = 49, donde «/ = ——— = 3;

lo

e substituindo os valores de y e * em qualquer das equações propostas, por exemplo, na primeira, resulta

4® —9+10 = 9, donde ® = 2.

4G<9. Em cada um d'estes methodos o valor de cada incó- gnita é dado por uma equação do primeiro grau a uma incógnita, e por consequência é único. Logo: um systema de equações do A

133

primeiro grau em numero egual ao das incógnitas, em geral, é determinado, isto é, tem sómente uma solução.

14» 3. D'estes Ires methodos o mais simples é o da reducção, pois que a sua applicação conduz a equações desembaraçadas de denominadores. Porém, em geral, só â vista das equações, que temos de resolver, é que podemos decidir-nos na escolha do me- thodo que convém empregar; e até muitas vezes se empregam promiscuamente os differentes methodos, conforme as equações, que forem apparecendo, mostrarem que é mais conveniente o emprego de um ou de outro methodo.

Advertiremos que no emprego d'esles methodos devemos at- tender âs seguintes regras, que, no caso de terem applicação, simplificam muito os cálculos.

1." Quando todos os termos de uma equação tiverem algum factor commum, começaremos por simplificar a equação, dividindo os seus dois membros por esse factor commum.

2." Se o coefficiente de uma das incógnitas for a unidade em alguma das equações, ê esta incógnita que devemos eliminar em primeiro logar pelo methodo da substituição.

3." Se as incógnitas não entrarem todas em cada equação, devemos eliminar em primeiro logar a incógnita que entrar em menos equações.

4.° Se uma das incógnitas entrar sómente em uma equação devemos separar essa equação, que serve depois para achar o valor d'essa incógnita.

f<>i. Appliquemos estas regras aos seguintes exemplos:

1.° Resolver as equações

2# + 5j/ — 3z = 3, 3» — 4j/ + z = — 2, 5a —y + 2z = 9.

Tirando da segunda equação o valor de z, temos z — — 2 — 3x + fy; e, substituindo este valor nas outras equações, vem

2a + 5» + 6 + 9»—- 12j/ = 3, 5a — y— 4 —6« + Sy = 9, ou 11a — 7y— — 3, —» + 7í/=13......(1).

J Elinrinando ágara y pelo methodo da reducção, hasta sommar as duas equações; e resulta

Í0x= 10, donde §jSj2

Substituindo este valor na segunda equação (1), temos — 1 + 7y= 13, d onde y = 2; e, substituindo os valores de x e y no valor de z vem z=— 2 —3 + 8 =-3.

2.° Resolver o systema

5xi-3y — 2z = 5 4 u — 5 a; = 15 7y — 2z — 8 yy + 3w = 29

Eli ninando x entre a pritueira e1 a segunda pelo methodo da reducção, vem

3y — 2z + 4w = 20; e agora estamos reduzidos és tres equações 3y — 2z + 4m = 2G, 7y — £z = 8. 7J/+3?t=-29 ... (2).

Eliminando z entre a primeira e a segunda também pelo me- thodo da reducção, temos ^

— 4J/ + 4ií=12,

ou, dividindo por 4,

— g4-u = 3j e d este modo estamos reduz.dos és duas equações — y + u = 3, 7»/ + 3w = 29.

Da primeira d estas equações iira-se

y — u — 3: e substituindo este valor na segunda, resulta

7w — 21 + 3w = 29, ou 10w=30, d'ondew = 5.

m Substituindo este valor em y, temos ^ = 5 — 3 = 2; substituindo o valor de y na terceira equação proposta, temos

14 —2z = 8, donde z — 3; e substituindo o valor de u na segunda, vem

20 — E>íc = 15, donde x — 1.

3.° Resolver o systema

4a — 3y + 2u= 9 2a+6z = 28 hu—2y — 14 3a+4w = 26.

Podemos simplificar este systema, dividindo as duas equações intermedias por 2, e vem

4a — 3y + 2u = 9 a + 3z = 14 2 u— y= 7 3a+4w = 26.

Como a incógnita z entra sómente na segunda equação, sepa- ramos esta equação para determinar z, e consideramos as tres equações

4a— 3y + 2u—9, 2u — ij = 7, 3» + 4m = 26.

Como y tem por coefficiente a unidade na segunda equação, é y que eliminamos entre a primeira e a segunda equação. Para isso, tirando da segunda equação o valor de y, temos

y = 2u—7; e substituindo este valor na primeira, vem 4a—6w + 21 + 2w = 9, ou 4a — 4w = —12, ou x — u = — 3 ; e agora estamos reduzidos ás duas equações

x — u= — 3, 3a + 4w = 26. Da primeira tira-se x=u— 3, e a segunda, pela substituição do valor de x, torna-se em Su — 9 + 4m = 26, ou 7w = 35, d'onde u= 5; e em seguida acha-se

a: = 5 —3 = 2, j/ = 10 — 7 = 3.

Substituindo agora o valor de x na equação que separámos, resulta

»

2+ 3*= 14, donde 2 = 4.

Portanto a solução do systema é ® = 2, y = 3, 2=4, u—5.

165. Ha alguns casos, em que por meio de um artificio par- ticular se pode resolver um systema de equações mais rapida- mente do que por meio de qualquer dos methodos geraes.

1.° Seja proposto, para resolver, o systema

a:+ ;/+ z = 6, x+y+t= 8, x + z + t=9, y+z+t— 10.

Os primeiros membros d'estas equações são as sommas das in- cógnitas, tomadas tres a tres de todos os modos possíveis: logo, se tivessemos uma equação, cujo primeiro membro fosse a somma das quatro incógnitas, tirando d'ella successivamente cada uma das equações propostas, teríamos o valor das incógnitas.

Para construir essa equação auxiliar, sommem-se as equações propostas; o que dá

3«+3y + 3z + 3í=33, ou, dividindo por 3, x+y -Fz + í 11.

Tirando agora d'esta equação cada uma das propostas, resulta immediatamente í=5, 2 = 3, y= 2, x=\.

2.° Resolver o systema

11 _3 1 1 _ 4 1 + 1 1 7

x y 2 ' x z 3'íc y z 6

Desembaraçando dos denominadores, vem

2y + e2x ==;Sxy, 3z + 3x — 4xz, 6yz + 6xz — 6xy = 7xyz, e ass;m te.nos tres equações, das quaes as duas primeiras são do segundo grau, e a ultima ío terceiro: podemos porém evitar a resolução d'estas equações de grau superior ao primeiro por meio de it.cogv..tas auxiliares, Para isso, fazendo

1 1 1

= ..........(«),

x y z

as equações propostas tornam-se em

3 4 7

« + <' = —, < + <" = —, t+t' — t" = -r,

2 3 b

ou, desembaraçando dos denominadores,

2t + 2í' = 3, 3í + St" = 4, 6< + 6í' — 61" = 7.

Para resolver estas equeções, elinrnemos t' entie a pnmei a e a terceira pelo methodo da reducção. Para i sso, multiplicando a pri.ne;ra po.' 3, vem

6í + 6í' = 9; e subtrahindo d'esta a terceira, resulta et" = 2, d onde

o

SuDst:tuir.do esle valor na segunda, vem

3<+ 1 =4, donde í= 1;

e substituindo o valor de t na primeira, resulta

1

2 -f 2= 3, donde í = - .

2

Finamente, snbstitumdo os valores de t, t' e t" em (1), vem

} 1__1 1__1

x y 2' z 3

relações que dão x=i, y — 2, z<= 3. 3.° Resolver o systema

x y z t a b c ^d' x + y + z + t = m.

m / q uu\ OO y z t x + y + z + t

Temos (n.° 75 —==u*-—- =—=-i--,

v ; a b c d a+b+c+d

ou, substituindo o valor de x + y + z +1,

x y z t m

a b c d a+b+c+d

,, . am bm d onde x — ———-:—y

%

a + b + c + d' U a + b+c + d' cm dm

a + b+c + d[' a + b + c + d 4.° Resolver o systema

x V z , . —==-—=—, Ix + my + nz—p. abe

Multiplicando os dois termos do primeiro quebrado por l, os do segundo por m, e os do terceiro por n, temos (n.° 76)

x y z lx + my + nz a b c al + bm + cri

ou, substituindo o valor de Ix + my + nz,

x y z p

a b c al + bm + cri

ap bp cp d'onde x—-~—-—-—, y— --

al + bm + cri al + bm + cri al 4- bm + cn

1GB. Methodo de Bezout oo das indeterminadas. Bezout descobriu um outro methodo de eliminação, que tem a vantagem de eliminar de uma só vez todas as incógnitas, menos uma. E este methodo, que vamos expor.

167. Consideremos em primeiro logar as duas equações geraes a duas incógnitas :

ax + by — c, a'x + b'y — c'........• . . . (1);

multiplicando a primeira por um factor indeterminado m, isto é, por um factor, a que podemos dar qualquer valor, vem

max + mby — mc, e, sommando esta equação com a segunda, resulta

(ma -{- a')x .4- (mb + b')y — mc + c'........(2).

Sendo m um factor indeterminado, podemos dispor d'elle em ordem a tornar nullo o coefficiente de y, isto é, em ordem a tornar

mb + b' = 0: e então a equação (2) converte-se em

mc + c'

(ma + a') x — mc + c', d'onde x —-,:

ma + a

e substituindo nesta fórmula o valor de m, dado pela equação de

b>

condição, que é m — —- -, vem

b

b' + C —cb' + bc' cb'—bc'

ab' , —ab'+bar ab' — ba'

—T+a

e d'este modo temos x conhecido.

Para determinar y, dispomos em (2) do factor indeterminado m em ordem a tornar nullo o coefficiente de x, isto é, em ordem a tornar

-ma + a' = 0, o que converte a equação (2) em

971C "f" c'

(mb + b') y = mc + c', d'onde y = —;-r,:

v JJ * mb + b' substituindo nesta fórmula o valor de m, dado pela equação de

condirão, que é m = — —, vem

a

sa!

---+ c j ,

a ac — ca'

ba' ab1 — ha'

—■--\-b<

a

l'l "3. Consideremos agora as tres equações geraes a tres in cognitas:

ax -\-by -f -cz —d

a x ~rb'g +c'z — d' >..............(1):

ax -f b"y + c"z — d'

triult.pl'cando a pnmt ira pelo factor indeterminado m, e a segunda pelo factor indeterm nado m', temos

max + mbv + mcz = md, m'a'x 4- m'b'y + m'c'z = m'd':

sommando estas duas equações e a terceira proposta, resulta

(ma + m'a' + a")x-j- (mb4- mb1 + b')y + (mc + mV + c")z

= mã -]- m'd' -rd................(2);

dispondo dos factoies ^determinados m e m' em ordem a tornar nul!os os coefficientes de y e z, is [o é, em ordem a tornar

ml + m'b' 4- b' =0, mc-\ mV + c" = 0,

a eq Ja^ão (2) converte-se em

, , , 1 m,ã+m'd'-\-d" 1. [nia+m a'+a' )x==md4-'»i d'd onde x — — —r,,. A a

' maj-ma + a

e substitu'ndc nesta fórmula os valores de m e m' dados pelas equações de conoição, teremos x conhecido.

Resolvamos po;s em Drdem a m e m' as equações

mb + m'U = — //', mc -f- mV'= — c". Para isso multiplicando a primeira pelo faclor indeterminado h, vem

kmb + km'b' = — kb", e sommando esta equação com a segunda, teremos

(kb f c)m + (Icb' + c')m' = — kb'1 — c".......(4).

Dispondo do factor Ic em ordem a tornar kb' + c'—0, esta equação converte-se em

_hUi_c'i

(kb + c)m — — kb" — c'1, donde m — —---;

' kb + c

e substituindo nesta fórmula o valor de k, dado pela equação de

c'

condição, que é k = — —, resulta

b' S"—b'c" b'c" — c'b'

m ~~ 6? ~ —6bc' — cb' ' -T + c

Para determinar tn', dispomos em (4) do factor k em ordem a tornar

hb + c = 0,

o que reduz a equação a

_](/)!!_g"

(kb'4 c')m' = — kb" — c", donde m'= lt, , , ; 1 ' kb' + c'

e substituindo nesta fórmula o valor de k, dado pela equação de

condição, que é k —--temos

o

cb" Subst.tuindo agora os valores de m e m' em (3), vem

J6'c"— dc'b" cd'b"—bd'c" „

. -f_ _>_+ d

bc' •— cb! bc' — cb'

eu

ab'c" — ac'b" ca'b"—ba'c" bc'—cb' h^—mf

db'c" — dcV/' + cd'b"—M + bc'd'i — cVd"

ub'c' — acb" + ca'b" — ba'; + bca" — c//íi

■ ■ m

Para determinar y, podíamos em (2) egualar a zero os coeffi- ciantes de x e z, e repetir os mesmos cálculos; porém, no caso das equações propostas, podemos obter o valor de y mais rapi- damente. Com effe.to, mudando nas equações propostas x em y e y em x, a em b e b em a, conservando os accentos, as equações não sofrem alteração: e por isso o calculo, que nos dér y, sómente diííenrá do que deu x na troca das letras a e b uma na outra. Fazendo pois esta troca no valor deúc, teremos o valor de y; e vem

da'c" — dc'a" + cd'a" — ad'c" + ic'd" — ca'd"

ba'c'1 — bc'a 4- cb'a" — ab'c" + ac'b' — a b"'

ou, mudando os signaes aos dois termos do quebrado pari. que o denominador seja o mesmo que o de x,

_ ad'c — ac'd" + ca'd" — da'c" + dc a" — cd'a" ' aú'c' — ucV :a7U' --bd? ] ic' cb'a ' "

Do mesmo modo para determinar z, basta trocar em (S) as letras a e c uma na outra, conservando os accentos, e rem

db'a" — da'b" + ad b" — bd'a" + ba'd" — ab'd

cb'a" — ca'b' + ac b" — bc'a" + ba1 c" — ab' c"' ou, mudando os s'gnaes,

aVd" — ad'b" + da'b" — bu'd" + bd'a" — db'a" wM— -b ca'o" - ,Vt7'Y oc'J cbW[ ' líSSK Consiste pois o methodo de Bezout no seguinte

Multiplicam-se lodo'S as equações menos uma por factores inde- terminados, e sommam-se, membro a membro, as equações resul- tantes c a que não foi multiplicada.

Na equação asvni obtida egualam se a zero os coefficientes de Iodas as iwognitas menos uma, e d ste modo lemos uma equação, em que entra sómente unia incógnita do systema proposto, a qual resolvemos; e no valor d'essa incógnita subslituem-se os valores dos factores indeterminados, dudos pelas equações de condição.

Tendo assim determinado o valor de uma incógnita, os valores das ouhas obtêm-se repelindo os mesmos cálculos.

Applicação. Resolver as equações

2»+% 4 3s = 21, hx — 3//42s = 4, 7x 4 6y — hz = 7.

Multiplicando a primeira pelo factor indeterminado me a segunda pelo factor indeterminado m\ vem

%nx 1- 5my 4 3mz — 21 m, hnix — 3m'y 4 'Zmz = hm': sommando estas duas equações e a terceira proposta, temos

(2m 4 hm! 4 7)x 4 (Sm - - Sm' 4 6)y 4 (3m f 2m' — í)s

= = 21»» 4 hm' H- 7...............(1).

Para determinar x, pomos

Sm — 3m' = — 8, 3m 4 2m' — 4........(2),

o que converte (1) em

21m 4 hm' 4 7

(2m t hm14rf)x=%\m 44m!4 7, d'onde x—-

2m + hm' + 7 '

fórmula em que temos de suhsiituir os valores de m e m' dados pelas equações (2). Temos pois de resolver estas equações: para isso mult:pIicando a primeira pela indeterminada k, vem

S/f.7i — 3/íííi' = — o/c : ^ommando esta com a segunda, resulta

(S/ç 4 3)m — (3k — 2)m' = — 6/f 4 4.......(3). Para determinar m, pomos

— 2 = 0,

o que converte (3) em

_6A; + 4

(6*4 3)m = —6Á + 4, donde »»=———,

õ/c 4- d

e substituindo o valor de k, dado pela equação de condição, que é

12 ,

---u/,,

2 3 —12+ 12

3' vem W, = -lõ-" 10 + 9

T

Do mesmo modo para determinar m', pomos 51f+ 3 = 0,

o que converte (3) em

6 k__4

(3* — 2W = 6/c — 4, donde m' = ---,

ok — 2

e substituindo o valor de k, dado pela equação de condição, que é

3 , 5 -18 — 20 —38 k=-~, resulta -=ZZgZZTo^^T^

Substituindo agora os valores de m e ml no valor de x, temos

8 + 7

x = --= 1.

8 + 7

Tendo assim determinado o valor de x, para achar y egua- lámos em (1) a zero os coefficientes de x e z; e para achar z egualamos a zero os coefficientes de x e y. Fazendo os cálculos, achamos y — 2, 2 = 3.

ISO. Algumas vezes acontece serem conli-adiclorias as equa- ções de condição, e então parece não poder applicar se o methodo

Jk de Bezout. Remedeia-se porém esto inconveniente, voltando ôs equações propostas, e separando uma outra equação. Supponhamos, por exemplo, as equações

Zx + ty — jt = 8, f 1 Qy — 2z= 13, hz — 2y + z = 3.

Multiplicando a primeira por m e a segunda por m\ temos

Qlmx + 4 my — mz — 5m, §m'x + 10iríy — 2 tríz = 13m';

sommando estas duas equações e a terceira proposta, vem (2m+6m'+4) a+(4m+10m'_2) y^[m+2m'+-l) z=5m 113m'+3. Para determinar z, pomos

2m + 5m' = — 4, 4m + 10m = 2.

equações contradictorias, pois que a segunda, dividida por 2, reduz-se a 2m + 5m' = 1.

Para evitar este inconveniente, temos de começar de novo o calculo multiplicando a primeira equação por me a terceira por ml.

ISí. Alguns auctores têm modificado o methodo de Bezout, multiplicando todas as equações por factores indeterminados. Com esta modificação podemos sempre tornar inteiros os factores in- determinados, e além d'isto evitar as equações contradictorias, a que algumas vezes conduz o methodo, tal como foi apresentado por Bezout.

Appliqueinos o methodo assim modificado íi resolução das se- guintes equações

3» + 4y = 26, 9x — 7y = — 17. Multiplicando a primeira por m e a segunda por m', temos 3mx + 4my — 2(j/n, 9m'.r — 7m'y — — 17m', e sommando, vem

(3,n -i- 9m!)x + (4m — 7m')y — 26m — 17m'.....(1).

Para determinar x, pomos 4m — 7m! — 0, o que converte a equação (1) em

26m — 17 m'

(3m 4- 9mV = 26m — 17m', d'onde x = —----—".

3m t 9m' substituindo nesta fórmula os valores de m e m', teremos x co- nhecido.

Ora, como temos sómente uma equação de condição, resol- vemol-a em ordem a m, considerando m' conhecido: e depois dispomos de ml em ordem a tornar m inteiro. Da equação de condição tira-se

7ml m = —-; 4

d'onde se vê que, para m ser inteiro, basta fazer m' = 4, o que dá m = 7; e substituindo estes valores em x, vem

^182— 68_114

X== 21 + 36 = 57 ~~ "

Do mesmo modo se acha y = 5.

fSSS. Regra de Cramer. Resolvendo as tres equações geraes a tres incógnitas

ax + by + cz = d. a'x + l'y + cz = d!, a"x + b"y + c"z = d", achámos as fórmulas

_ db'c' — dc'b" + cd'b" — bd'c" + bc'd" — cl/d" — ab' c" — ac'b" + ca'b" — ba'c" + bc'a" — cb'a" _ ad'c" — ac'd" + ca'd" — da'c" + dca" — cd'a" V ~ ab'd' — ac'b" + ca'b" - ba'c" + bc'à" — cb'a" _ ab'd" — ad'b"+ ãa'b" — ba'd"+bd'a"— db'a" Z ~~ ab'c" — ac'b" + ca'6" — ba'c" + bc'a" — cb'a"'

O exame d'estas fórmulas mostra que:

1.° As tres fórmulas têm um denominador commum.

2.° Em cada fórmula passa-se do denominador para o nume- rador, substituindo os coellicienles da incógnita de que se tracta pelos segundos membros das equações respectivas.

Portanto a única dificuldade, que se encontra na construcção das fórmulas, reduz-se a formar o denominador commum. Ora, introduzindo cm ab a letra c em lodos os logares a partir da direita; mudando de signal na passagem de um para outro logar, e fazendo o mesmo em —• ba, temos a expressão

abe — acb + cab — bac f bca -— cba;

e applieando um accenlo ô segunda letra de cada termo e dois ô terceira, obtemos o denominador commum.

Em um termo de factores literaes diz-se que duas letras for- mam uma inversão, quando se acham dispostas em ordem con- traria ã ordem alphabetica; e diz-se que em um termo ha tantas inversões, quantos são os systemas de duas letras, que satisfazem áquella condição. Posto isto, o exame do denominador commum mostra que são positivos os termos em que ha um numero par de inversões, e negativos aquelles em que ha um numero impar.

193. Cramer, levado por estas considerações, concluiu por inducção a seguinte regra, que serve para construir sem calculo as fórmulas geraes, que resolvem um syslema qualquer de equa- ções em numero egual ao das incógnitas.

Para construir o denominador commum das fórmulas geraes, escreve-se á direita do coefficiente da primeira incógnita, o coeffi- ciente da segunda; troca-se o logar das leiras, e muda se de signal na passagem de um para outro logar.

Inlroduz-se o coefficiente da terceira incógnita em todos os lagares a partir da direita; muda-se de signal na passagem de um para outro logar, e assim successivamente até se introduzir o coefficiente da ultima incógnita.

Depois, applica-se um accenlo á segunda letra de cada termo, dois á terceira, c assim por deunle; e d'esle modo temos construído o denominador commum.

Finalmente, para construir o numerador de cada incógnita, basta substituir no denominador commum os coefficientes da in- cógnita, de que se tracla, pelos segundos membros das equações respectivas.

Esta regra applica-se com vantagem ó resolução das equações literaes; poróm nas equações numéricas o seu emprego torna-se trabalhoso, em virtude das operações que temos de fazer para calcular as fórmulas.

Para resolver pela regra de Cramer um systema de equações

• »

numéricas, devemos primeiro construir as fórmulas, que resolvem o systema geral, a que pertence o systema considerado; e depois devemos substituir nessas fórmulas as letras pelos seus valores respectivos.

Para exemplo, resolvamos pela regra de Cramer as seguintes equações:

3x + ky = 26, 7x — 2y = 4. Temos as duas equações geraes

ax 4 by = c, a!x 4 b'y = <:',

e as fórmulas

cb1 — bc' ac' — ca1

X = ab' — bd' y==ab'—~M^

Substituindo nestas fórmulas as letras pelos valores que lhes correspondem nas equações propostas, vem

_26x —2 —4x4_—52 —16_--68

3x — 2 — 4x7 — 6 — 28 —34 '

_3x4 — 26 x 7_12 — 182_— 170_f,

y~ TTu _34 — '

§ 3.u Casos em que o numero das equações não é egual ao numero tias incógnitas

i 94. 0 numero das equações é maior do que o das incógnitas. Neste caso separam-se tantas equações, quantas são as incógnitas; e, applicando a estas equações qualquer dos me- thodos de eliminação, determinamos os valores das incógnitas. Feito isto, substituem-se estes valores nas equações restantes, para verificar se ficam ou não satisfeitas: se ficarem satisfeitas, o systema ó possível, e ha realmente só tantas equações distinctas, quantas são as incógnitas; e se não ficarem satisfeitas, o systema é impossivel, isto é, não ha valores finitos das incógnitas, que sa- tisfaçam simultaneamenté a todas as equações.

A estas equações restantes dá-se o nome de equações de con- dição, porque exprimem as condições a que devem satisfazer os valores das incógnitas, para que o systema seja possível. Consideremos as seguintes equações:

3® + A» = 26, Ix— 2» = 4, 9» + 3» = 33.

Separando as duas primeiras, e resolvendo-as por qualquer dos methodos de eliminação, acha se x—2, y = 5.

Substituindo agora estes valores na terceira, resulta

18 + 15 = 33, ou 33 = 33,

que é uma ident-dade: logo ® = 2e»/ = 5éa solução do sys- tema proposto.

Consideremos em segundo logar as equações

òx — 2» = 2, 4® + 3» = 20, 8» + % = 32.

Resolvendo as duas primeiras equações, achemos »=2, y—4; e substituindo estes valores na tercei-a, resulta

16 + 20=32, ou 33 = 32, o que mostra que o systema proposto é .mpossnel.

135. O NUMERO DAS EQUAÇÕES É MENOR DO QUE O DaS incógnitas. Neste caso o systema é indeterminado, isto é, ad- mitte uma infinidade de soluções. Porque, appliiando ao systema cons derado qualquer dos methodos de eliminação, chegamos a uma equação final com mais de uma incógnita; e tirando d'esta equação o valor de uma das incógnitas, vem esse valor expresso nas incógnitas restantes, âs quaes podemos dar valores arbitrarios.

Exemplo: resolver as duas equações

3x + 4y — 5a + 2< = 12, 7x — Sy + 2a + 31 = 34.

Eliminando x, resulta a equação a tres incógnitas 52» — f'lz + 5í == — 18: tirando d'esta equação o valor de y. vem

— 18 +41a— 5<

e d'este modo temos y expresso nas incógnitas a e t, a que po- demos dar valores arbitrarios. Fazendo, por exemplo, z— 1 e í = 2, temos

_—18 + 41—10_ 13__1 v

y~ 52 ~ T;

e substituindo estes valores em uma das equações propostas, por exemplo, na primeira, temos

3sc + 1 — 5 + 4= 12, donde x = 4.

Portanto uma solução do systema proposto é

1

x = 4, y = j-, z—l, l — 2;

e dando azei outros valores, acharemos tantas soluções quantas quizermos.

196, Vimos j/i que um systema de equações do primeiro grau em numero egual aos das incógnitas é em geral determinado, isto é, admitte sómente uma solução. Advertiremos porém que:

1.° O systema pode ser indeterminado, isto é, admittir uma infinidade de soluções; e a indeterminação é indicada pelo re- sultado 0 = 0.

Exemplo: resolver o systema

5® + 3j/ + z = 12, 7x — 5y + 3z = 6, 12® — 2y + 4z= 18.

Tirando da primeira o valor de z, temos

z = 12 — 5 — 3y;

e substituindo este valor nas outras equações, resulta

7®-5?/ + 36-15®-9t/ = 6, i2x-2y + 48-20x-12y=18,

ou 30 = 8® + 1%, 30 = 8®+ líy.

Eliminando agora ®, basta subtrahir as duas equações; e vem 0 = 0, que é uma identidade; e por consequência o systema ad- mitte uma infinidade de soluções.

Islo mesmo se reconhece pelo exame das equações. Com effeito, sommando as duas primeiras equações, resulta a terceira: portanto, havendo sómente duas equações distinclas com tres incógnitas, o systema é indeterminado.

2.° O systema pode ser impossível em soluções finitas; e a impossibilidade é indicada pelo resultado 0 — m. Exemplo: resolver o systema

a + 9» + 6z=16, 2« + 3» + 2z = 7, 3x+6y + 4z = 19. Tirando da primeira o valor de x, temos x— 16 — 9 y — 6 z; e substituindo este valor nas outras equações, resulta 32 — 18» — 12z + 3» + 2z=7, 48-27»-18z + 6» + 4z = 19, ou 25 = 15» + lOz, 29 = 21» +14z.

Tirando da primeira d'estas equações o valor de z, temos _25 —15»_5 —3» 10

substituindo este valor na segunda, vem 70—42«

29=21?/+- ——ou 58 = 42»+ 70 — 42», ou 0=12,

A

resultado absurdo. Logo o systema proposto é impossivel.

| 4.° Discussão das equações geraes cio primeiro graLi a duas incógnitas

1S3. As duas equações geraes do primeiro grau a duas in- cógnitas são

ax-^rby —c, a'x\ b'y = c'.

Resolvendo estas equações por qualquer dos methodos de eli- minação, acham-se as fórmulas geraes

cb1 — bc1, ac' — ca' x = ab' — ba y = ab'—ba"

tjue vamos discutir. 1.° O denominador commum é di ferente de zero. Neste caso as fórmulas dão para x e y valores posit vos, nullos ou negativos, que evidentemente satisfazem ôs equações propostas; porque as operações, que nos conduziram áquellas fórmulas, não alteram no caso considerado as ra;zes do systema.

2.° O denominador commum é nullo por uma só hypothese, sem que algum dos numeradores o seja Neste caso as fórmulas geraes tornam se em

cb' — bc' ac' — ca'

ÉSt5—5=00'■

Estes valores infinitos de x e y são a única solução do syslema proposto.

Para o demonstrar, temos de provar em primeiro logar que neste caso o syslema não admitte solução alguma finita; e depois que os valores infin tos satisfazem, Da hypothese

ba'

ab' — ba1 — 0, tira-se V — ;

\

e subst'tuindo este valor na segunda equação, vem

í J><

a x ir u — c', a

ou, multiplicando por a, aa'x + ba:y — ac',

»

ac

ou, dividindo por a', a® + 6w = —iP

a'

Portanto, o systema proposto na hypothese considerada é ax-\~ by —c, ax-^-ly — —.'

mas, sendo ac'— caserá ac'^ca' ou ^(Sj

^ a'--

d'onde se vê que o systeina proposto se compõe de duas equações cujos primeiros membros são eguaes, em quanto que os segundos são deseguaes; e por consequência não ha valores finitos de x e y que satisfaçam ás duas equações. Vamos agora demonstrar que os valores infinitos de x e y sa- tisfazem ao systema. Para isso, supponhamos em primeiro logar

, a a' que a e o tem o mesmo signal: a hypothese —==— mostra

que a' e b' têm também o mesmo signal.

Posto isto, como nenhum dos numeradores é nullo, seja

cb' — bc' > 0, ou cb' > bc': então será x = + oc .

Multiplicando os dois membros da desegualdade cb'>bc' pela quantidade positiva-^-, resulta a desegualdade no mesmo sentido

acb' . —j— > ac ; b

ab' . . .

e como = «', será ca > ac, ou ac' — ca <0,

e por consequência y — — oo .

Substituindo estes valores de x e y no systema proposto, resulta

a. oc — b. oc —c, a!. oc — b'. oc —c',

ou 00 - 00 = c, 00 — oo = c',

o que é possível, visto ser oo — oo um symbolo de indeterminação. Supponhamos agora que a e b têm signaes contrários, e seja

a>0, b< 0: a hypothesemostra que a! e b' têm tam- bém signaes contrários. Posto isto, seja

cb' — bc' > O, ou cb' > bc!: então será x = + oo .

Multiplicando os dois membros da ultima desegualdade pela

quantidade negativa ^ , resulta a desegualdade em sentido con- trario

acb' . ab'

e como — = «', será ca<ac', ou ac—ca'> 0,

e por consequência y = -f oo .

Substituindo estes valores de x e y, vem

a. oo — b. oo = c, a!. oo ■— 6'. oo = c\ ou oo — oo = c, oo — ao =c',

—

o que é possível.

3.° 6 denominador commum é nullo por uma só hypothese, e do mesmo modo nullo um dos numeradores. Seja

ab' — ba' = y), cV— bc'0.

Neste caso o outro numerador lambem é nullo. Porque a prmeira egualdade dá

ab' = ba', e por consequência — = - : do mesmo modo a segunda egualdade dá

cb' = bc', e por consequência -j- — -y-, e a comparação d'este resultado com o antecedente mostra que é

cl c

— ou ac' = ca1, ou ac' — oa' — O,

a' c'

que é o outro numerador.

Portanto os valores de x e y tornam-se em

_0 _

e esta fórma, que 1 a da indeterminação, representa ainda a so- lução do systema.

Com efíeito, da hypothese

au —■ bc' = O, tira-se a' = ;

e da hypothese

. cb'

cb —bc' = 0, tira-se c = ~ : substituindo estes valores na segunda equação proposta, resulta

ab' ,, cb1 -j-x + ty^-j-,

ou, multiplicando por b,

ab'x + bb'y — cb', ou, dividindo por b', ax-\-by = c,

que é exactamente a primeira equação. Logo o systema, redu- zindo-se sómente a uma equação com duas incógnitas, é indeter- minado.

4-.° O denominador commum é nullo por duas liypollieses dif- ferentes, e o numerador cb' — bc' não é nullo.

Seja a = 0, a' = 0, cb' — òc'> 0.

Neste caso os valores de x e y tornam-se em

cb' — bc' 0

solução que satisfaz ao systema. Com effeito, sendo a=0, a'=0, as equações reduzem-se a

0. x + ly = c, 0. x + b'y — c', ou 0 .x=c — by,0.x=c'—b'y.

Substituindo x pelo infinito, temos

0. oo = c — by, 0. oo = c' — b'y;

e como O.oo 6 um symbolo de indeterminação, segue-se que o systema tem logar para lodos os valores de y.

Além d'isto, o systema é impossivel para valores finitos das incógnitas, forque, paro quaesquer valores finitos de x, as equa- ções reduzem-se a

by = c, b'y = c',

c c'

d'onde V^JyPortanto, para as duas equações terem logar simultaneamente, é preciso que seja

c c'

—=— ou cb' — bc', ou cb' — bc'= 0, b b

o que 6 contra a hypothese. i

5.° O denominador commum é nullo por duas hijpolhcscs, e também nidlo o numeradoj cl)' — bc'.

Seja a = 0, a! = 0, cb' — bc'= 0.

Neste caso as fórmulas geraes tornam-se em

0 0

Ora, x é realmente indeterminado, pois que os seus dois ter- mos se aniquilam em virtude de duas hypotheses differentes : porém a indeterminação de y pode ser apparente, attendendo a que os seus dois termos se reduziram a zero pela mesma hypo- these.

Para verificar, introduzamos no valor geral de y a hypothese de ser cb' — bc'— 0. ^

Cesta hypothese tira-se c' = —valor que converte y em

acb' , --ca

b acb' — bca' c(ab' — ba') c

y = ab' — ba' = b(ab' — ba')=b(ab' — bar) ^ b'

o que mostra que y tem um valor finito determinado. Temos pois

0 c

solução que satisfaz ao systema. Com effeito, sendo a—=0, a pri- meira equação reduz-se a

0 .x-\~6y = c,

ou, pela substituição do valor de y, a

0.x + c = c, egualdade que tem logar para lodos os valores de x. Além, d'isto, por ser a' = 0, a segunda equação reduz-sc a

cb'

0 .x + by — c, ou a 0. x i — - = c :

e como a hypolhese

cb' — bc' = 0, d= b

vem " 0. x +- c' = c',

egualdade que também tem logar para todos os valores de x.

6.° Os termos conhecidos c e c' são mdlos. Neste caso, os nume- radores das fórmulas geraes reduzem-se a zero. Portanto, se o denominador commum não for nullo, nquellas fórmulas dão

x = 0, y — 0;

e se for nullo o denominador commum, as fórmulas tornam-se em

0 0

Vamos agora demonstrar que, no primeiro caso, o systema proposto admitte sómente a solução zero; e que, no segundo caso, o systema é indeterminado.

Na hypolhese de serem nullos os termos conhecidos, o systema reduz-se a

ax-' by — 0, a'x-\-b'y — 0. Da primeira equação tira se

' - 'I.................o.

e substituindo este valor ua segudda, vem

— bfl + b'y = 0,ou — ba'y + ab'y=0, ou (ab' — ba')y = 0. a

Ora, se o denominador commum, que é o coefficiente de y na ultima equação, não for nullo, a ultima equação mostra que só pode ser j/ = 0; e então a fórmula (1) dá lambem x—0. Porém, se for nullo o denominador commum, a ultima equação, redu- zindo-se a O.y — O, mostra que y é indeterminado; e em seguida a fórmula (1) mostra que o mesmo tem logar em relação a x.

É notável que, sendo neste ultimo caso as incógnitas indeter- minadas, a sua relação seja determinada. Com efíeito, a fórmula

(1) dá'*=_A;

y a

| 5.° Problemas <lo primeiro grau ii muitas incógnitas

• 98. Achar tres números taes, que o triplo do primeiro com o dobro do segundo seja egual a 12; que o dobro do terceiro junctamente com o segundo seja egual a 5; e que o triplo do ter- ceiro junctamente com o primeiro e segundo seja egual a 8.

Designando por x, y e z os tres números procurados, temos

3#+2j/=12, 2z + y = s, 3z4 a + y=8, equações que temos de resolver. Da terceira tira-se

x= 8 — y — 3z: substituindo este valor na primeira, vem

24 — 3y — 9z + 2«/ = 12, ou 9z + j/=12; e d'este modo o systema fica reduzido ás duas equações 2z + y = % 9z-f y = 12.

Eliminando y, basta subtrahir as duas equações, e vem 7z = 7, donde z=l.

Substituindo este valor na segunda equação, temos 2 f y = 5, d'onde y — 3; e substituindo os valores de y e z nc^ valor de x resulta

8— 3 — 3 = 2.

Portanto os números procurados são x = 2, y — 3, s= 1. 199. Quaes são as edades de um pae e de um filho, saben- do-se que, ha 1 annos, a edade do pae era tripla da do filho; e que, d'aqui a 7 annos, a edade do pae será dupla da do filho?

Seja x a edade do pae e y a do filho. Como, ha 7 annos, era x — 7 a edade do primeiro e y — 7 a do segundo, pela primeira condição do problema teremos

x — 7 = 3(ii — 7), ou x—7=3y—21, ou x—3y =—14.

Além d'isto, d'aqui a 7 annos, será x-\-7 a edade do primeiro e y + 7 a do segundo; e por isso, em virtude da segunda con- dição, teremos

a: 4- 7 = 2 (y + 7), ou x + 7==2y+ ii, ou x — 2y = 7.

Portanto as equações do problema são

x — 3y = —14, x — 2y = 7.

Subtrahindo a primeira da segunda, vem ^ = 21; e em se- guida, a segunda equação dá aj = 49.

18©. Achar uma fracção tal que, ajunclando 4 ao numerador,

4 . 4

se torne em~z; e que, ajunclando 4 ao denominador, se torne em—.

d 4

Seia — a Iracção procurada: teremos

' y

aj+ 1 _ 1 x _ 1

~y 3"' y + l ~V

e assim temos duas equações para determinar x e y. Uesembaraçando-as dos denominadores, vem 3x 4- 3 = y, íx = y 4-1: substituindo na segunda o valor de y, dado pela primeira, vem bx = 3® + 4, d'onde x—k,

x 4

e por consequência j/==15. Portanto a fracção pedida é— — |P

181. Um individuo poz 10:000^000 réis a juros, parte a 6 % e parte a 8 %; e recebe o juro total de 740&000 réis. Qual é o valor de cada parle? Seja x a parte que rende a 6%, e y a que rende a 8 w/0: teremos x ±y = 10000000,

que é a primeira equação do problema.

Além d'isto, como os juros são proporcionaes aos capitães, para achar o juro da primeira parte, temos

6x

100i»::6:j:

100 '

e para achar o juro da segunda, temos

100 :y :'S : j =

.

100 '

e como o juro total é 740$000 réis, a segunda equação do pro- blema serã

6x

+

8 y

74 0000, ou 6»+8j/ = 74000000.

100 100 Da primeira equação tira-se

y= 10000000 — x: substituindo este valor na segunda, temos

Gx + 80000000 — 8x = 74000000. ou 6000000 = donde x = 3000000,

e por consequência y — 7000000.

188. Um correio partiu de uma estação, caminhando 5 léguas

em duas horas. Passadas 9 horas, partiu am segundo correio,

caminhando '11 léguas em 5 horas. Pergunta se a que distancia

este encontrará o primeiro ? .

Como o primeiro correio caminha 5 léguas em duas horas, será

5' . 5

— o espaço que elle caminha em uma hora, isto é, será — a sua

a A

velocidade; e como o segundo correio caminha 11 léguas em 3

11 , ,

horas, será — a sua velocidade, o

KjBBanttttJwyJKJHÍáBHi.vnfliafialfiI iú£ kll Posto isto, seja A a estação de que partiram os dois A _B_D

correios; e seja B o ponto em que se acha o primeiro correio, passadas 9 horas, isto é, no nstante em que o segrndo correio parte de A. O espaço AB determina-se facilmente; pois que, se

m

o primei/o covreit cammt.a —I em ima hora, em 9 hoias cami-

2. i 45 nha rá nove vezes ma'S; e por isso Ao = — -.

z

Seja D o ponto de encontro: designando por x o espaço AI), que o segundo correic tem de caminhar até ao ponto 3e encontro; e designando por y o espaço BD, que o p imeiro correio caminha no mesmo tempo, teremos

45

L+y...............(i).

Além <3 isto, como os espaços são proporeionaes ás velocidades, será

11 5

a;: v :: — —, ou x: y:: 22:15. y 3 2 *

15x

U esta propcrçâo ura-se y = —;

e substituindo este valor em (1), vem

16®

5

equação aue, depois de resolvida, dá x = 701- —.

X

Tres fontes correm pura um tanque. A primeira e a

g

segunda, corrmdo simultaneamente| enchem -no em òh —; a pri-

5 . '3 4

meira e a terceira em 5h -—; a segundei e a terceira em 8h—.

Cada nma das fontes correndo só, em qve ten.po encherá o ían<jv.?.? li Vejamos qual é a porção do tanque que a primeira fonte e a segunda enchem em l'1:

H_5h!)l20 , „ 23

23> 1:: 1 :a:

1

23 ....... 120"

Do mesmo modo se acha que, em uma hora,

• 7l

a 1." fonte e a 3." enchem - , a2-aea3-a...........

Posto isto, sejam x, y, z os números de horas em que cada uma das fontes, correndo só, enche o tanque. A primeira fonte

ll 1 .1

em uma hora encherá —, a segunda — e a terceira —.

x y z

Temos pois as seguintes equações

1 A_23 1 i _ 7 j,i_y

ã + 7~Í2Õ' ã + 40' y z~6Õ'

Sommando estas equações, resulta

/I 1,1

!(-+-+- y

, . . . . 58 111 29 2 - + - + - =-—, ou- +

120' x y z 120'

subtrahindo d'esta equação successivamente cada uma das pri- meiras, temos

120

= TÈF"

Portanto, a primeira fonte encherá o tanque em 8h, a segunda em 15 e a terceira em 20.

y

18i. As raizes das equações podem ser positivas, negativas,

1 29 7 15 X 120 60 120' 1 29 7 8 y 120 40 120' 1 29 23 6 «» z 120 120 120' infinitas e indeterminadas. Vamos considerar estas especies de raizes em relação aos problemas.

■ 85. As soluções positivas satisfazem sempre ós equações, mas nem sempre satisfazem ao problema, em virtude de certas condições, que se não podem exprimir por meio de equações. Assim, as soluções positivas não satisfazem ao problema, quando, admittindo este sómente soluções inteiras, as equações dão para as incógnitas valores fraccionarios; ou então, quando a natureza do problema marca certos limites para os valores das incógnitas, e os valores obtidos excedem esses limites.

18 tf. Exemplo 1.° Um numero é composto de dois algaris- mos: o dobro do algarismo das unidades excede o algarismo das dezenas em 3 unidades: e ajunclando 42 ao numero procurado, oblem-se o mesmo numero, escrípto em ordem inversa. Qual é esse numero ?

Designando por x o algarismo das unidades e por y o das de- zenas, pela primeira condição do problema temos

Além d'isto, o numero procurado é 10y + x; e o mesmo nu- mero, escripto em ordem inversa, é 10x + y: logo pela segunda condição temos

lOy+x+ÍZ= iOx+y, ou 9y-íte=-12, ou 3y-3a=-4. . .(2). Resolvendo as duas equações (1) e (2), acha-se

e como os algarismos de um numero não podem ser fraccionarios, segue-se que o problema é impossivel.

18®. Exemplo 2.° Um numero é composto de dois algaris- mos: o dobro do algarismo das unidades excede o algarismo das dezenas em 40 unidades; e tirando 9 ao numero procurado,

Soluções positivas

2® — j/==3

(t).

5

i

3 obtem-se o mesmo numero, escripto em ordem inversa? Qual é esse numero ?

Designando por a o algarismo das unidades e por y o das dezenas, pela primeira condição do problema temos

2a — j/=10................(1).

Além d'isto, o numero procurado é ÍOy + a; e o mesmo nu- mero, escripto em ordem inversa, é 10» + y: logo peia segunda condição temos

10y+x — 9=10®+», ou 9» — 9a=9, ou y—»=1.. .(2).

Resolvendo as duas equações, acha-se

a— 11, y = 12;

e como os algarismos de um numero não podem ser maiores do que 9, segue-se que o problema é impossível.

i

Soluções negativas

188. As soluções negativas satisfazem sempre ás equações. Vejamos como devemos interpretar estas soluções em relação aos problemas.

Esta interpretação funda-se nos seguintes princípios:

1Se a raiz de uma equação do primeiro grau a uma incógnita for negativa, essa mesma quantidade tomada positivamente é raiz da equação que se obtém, mudando x em — x na equação pro- posta. Seja x = — m raiz da equação

ax + b — cx + d..............(1).

Substituindo este valor de a na equação, ella fica satisfeita, e temos a identidade

— am + b = — cm + d. Mudando agora em (1) x em — a, vem

— ax + b = — cx +d.............(2);

e substituindo nesta equação a pelo valor positivo m, resulta

— am + b = — cm + d, que é uma identidade, como já vimos. Logo m é raiz da equa- ção (2).

Advertencia. Este principio mostra que: a mudança de x em — x numa equação altera sómente o signal da raiz, e não o seu valor absoluto.

2 ° Se em um systema de equações do primeiro grau os valores de algumas incógnitas forem negativos, os valores de todas as in- cógnitas tomados positivamente são as raizes do systema que se obtém, mudando no systema proposto o signal das incógnitas de valor negativo.

Seja «=* — m, y — n, z — — p a solução do systema

ax +by + cz —d \

a'x + b'y + c'z = d1 (.............(1).

a"x+b"y + c"z = d")

Substituindo os valores de x, y e z nestas equações, ellas ficam satisfeitas, e temos as identidades

— am + bn — cp — d

— a'm + b'n — c'p = d'1

— a"m + bn — c"p == d'".

Mudando agora em (1) x em — x e z em — z, vem

— ax + by — cz —d )

— a'x + b'y —c'z ==d'

— a!'x + b"y —• cz — d" )

e substituindo neste systema os valores de x, y e z tomados positi- vamente, resulta

— am +bn —cp —d

— a'm + b'n — c'p — d'

— a"m + b"n — c"p — d'

que são identidades, como já vimos. Logo, os valores y — n, z—p são raizes do systema (2).

Postos estes princípios, resolvamos os seguintes problemas:

1. 89. l.° Sendo 42 annos a edade de um pae e 42 a do filho,

em que epocha é a edade do primeiro quadrupla da do segundo?

Seja x o numero de annos, que tem de decorrer até á epocha pedida: nesse tempo será 42 + » a edade do pae e 12 + » a do filho; e pela condição do problema teremos *

42 + x = 4 (12+®),

equação que, resolvida, dá x — — 2. *

Para interpretar esla solução negativa, advertiremos que o tempo, contado a partir de um ponto fixo, pode tomar-se em dois sentidos oppostos: ou como tempo futuro, ou como tempo passado.

Ora, na resolução do problema considerámos o tempo procu- rado como futuro; e a solução negativa indica-nos que o devemos considerar como passado. Com effeito, a raiz negativa de uma equação, tomada positivamente, é a raiz da equação que se ob- tém, mudando x em—x na equação proposta: logo ® = 2 é a raiz da equação

42 — ® = 4(12 — x).

Esta equação mostra que, para a edade do pae ser quadrupla da edade do filho, é necessário da edade do pae tirar x annos; e como é ® = 2, segue-se que ha dois annos é que a edade do pae foi quadrupla da do filho.

2.° L'm individuo, querendo pagar aos seus operários, achou que, dando 360 réis a cada um, lhe cresciam 1%0 réis; e que, dando 340 réis a cada um, lhe faltavam 180 réis. Pergunta-se qual era o numero dos operários?

Seja x o numero dos operários. Dando o individuo 360 réis a cada operário, é 360» a despeza total; como porém lhe cresciam 120 réis, é 360» + 120 a quantia que elle tinha. Por outra parte dando 340 réis a cada operário, é 340» a despeza total; e como então lhe faltavam 180 réis, é 340»—180 a quantia que elle tinha. Teremos pois a equação

360» + 120 = 340z—180,

a qual, resolvida, dá »=—15.

Ora, como o numero dos operários não pode tomar-se em dois sentidos oppostos, neste casoa solução negativa denota que o problema é impossível.

Para rectificar o enunciado do problema, como a raiz negativa de uma equação, tomada positivamente, é raiz da equação que se obtém mudando® em —» na equação proposta, segue-se que 

«=15 é a raiz da equação

— 360®+ 120 = — 3Wx — 180, ou 360®-120 = 340®+180

e como esta equação sómente differe da primeira nos signaes dos termos 120 e 180, devemos enunciar o problema do seguinte modo: Vm individuo, querendo pagar aos seus operários, achou que, dando 360 réis a cada um, lhe faltavam 120 réis; e que, dando 340 réis a cada um, lhe cresciam 180 réis. Pergunta-se qual era o numero dos operários?

1WO. Das considerações antecedentes conclue-se que: Uma solução negativa denota que a grandeza, representada pela incógnita, se deve tomar cm sentido contrario d'aquelle em que se tomou; porém, se essa grandeza não for susceptível de se tomar em dois sentidos oppostos, a solução negativa denota que o problema é impossivel. Neste caso, se quizermos rectificar o enun- ciado do problema, devemos mudar x em — x na equação; e de- pois devemos transformar o enunciado do problema de modo que corresponda á nova equação.

Advertiremos que esta rectificação é puramente arbitraria.

Soluções infinitas

2

l?í I. Achar um numero, cujos — augmenlados de 4 produzam

4

um residtado igual a metade da somma de '12 com — do mesmo

numero. Designando por x o numero procurado, temos 2 1 / 4 \

Resolvendo esta equação, acha-se 2

4 (2 4\ + 4=6+—®, ou —jx—2,

X— —--- = — =00

2 4 0 única solução que admitte a equação: e como ella é uma tra- ducção fiel e completa do enunciado do problema, segue-se que nenhum valor numérico satisfaz ás condições do problema. Logo, a solução infinita indica em geral a impossibilidade das equações e dos problemas que lhe deram origem.

Advertiremos porém que, quando a grandeza representada pela incógnita é susceptível de augmentar indefinidamente, a solução infinita satisfaz ao problema.

Soluções indeterminadas

2

39 2. Achar um numero, cujos — augmentados de 4 produzam

ó 4

um resultado egual a metade da somma de 8 com — do mesmo

numero. Designando por x o numero procurado, temos

2 1 / 4 \ _.+ »__(„.,._„)............(1).

Resolvendo esta equação, acha-se

2 4 /2 4\

= 4 + ou (y-^—O,

,» i 0 0 d onde x — —---=—.

jL A 0

Ora, a equação (1), reduzindo-se á identidade 2 2

admitte uma infinidade de soluções; e como ella é a traducçâo exacta do enunciado do problema, segue-se que este é indeter- minado. Portanto, a solução — indica em geral a indeterminação dos equações e dos problemas que lhe deram origem. | 6.° Discussão tios problemas

193. Discutir um problema é, como já dissemos, examinar os valores que tomam as raizes das suas equações, nos differentes casos que podem apresentar-se. quando os dados são literaes; e comparar esses valores com as condições do problema.

A discussão dos problemas é uma parte muito importante da sua resolução, pois que é |.or meio d'ella que attendemos a certas condições dos problemas, que se não podem exprimir por meio de equações.

494. Dois correios caminham desde um tempo indefinido na mesma estrada e no sentido de M para N, com as velocidades v e v', isto é, um andando v kilometros por hora, e o outro V. Che- gam no mesmo instante, um ao ponto A e outro ao ponto B, e conhece-se a distancia AB = a. Pergunta-se qual é a distancia do ponto A ao ponto de encontro ?

M A B D N

v v'

Seja D o ponto de encontro: designando por x o espaço AD que o segundo correio tem de caminhar até ao ponto de encon- tro, o espaço, que o primeiro correio caminha no mesmo tempo, é

BI) = Al) — AB = íc — a.

Além d'isto. como os espaços, percorridos no mesmo tempo, são proporcionaes ás velocidades, temos

X V

x—a v1'

que é a equação do problema. Resolvendo-a, achamos successi- vamente

v'x — vx — av, av = (v — v )x, x=-

v

»

Discussão. 1.° Caso. u> v'. Neste caso, o valor de x é posi- tivo, e satisfaz não só á equação, mas também ao problema no sentido do seu enunciado. Com effeito, caminhando o segundo correio mais depressa do que o primeiro, vae aproximando-se cada vez mais d'elle, e acabará necessariamente por encontral-o em um ponto D á direita de B.

2.° Caso. v < v'. Neste caso, o valor negativo de x satisfaz á equação, mas não ao problema no sentido do enunciado. Com ef- íeito, caminhando o segundo correio mais devagar do que o pri- meiro, vae augmentando cada vez mais a distancia que os separa, e por isso o encontro é impossivel para a direita de A.

Poréin, como a incógnita x representa uma distancia, que pode ser contada em doiSk sentidos oppostos a partir do ponto A, a so- lução negativa indica que o ponto de encontro teve logar para a esquerda de A, o que se concebe facilmente. Pois que, o correio, que chegou a B no instante em que o outro chegou a A, devia em uma epocha anterior achar-se atraz d este, cuja velocidade é menor que a sua, e encontral-o por consequência antes da sua chegada ao ponto A.

3.° Caso. v = v'. Neste caso, o valor x — oc indica a impos- sibilidade do problema. Pois que, caminhando os dois correios com velocidades eguaes, conservam sempre entre si a mesma dis- tancia, e por consequência o encontro não tem logar. q

4.° Caso. e a=0. Neste caso, a solução indica

a indeterminação do problema. Pois que a hypothese a = 0 si- gnifica que os d<ús correios chegam simultaneamente ao ponto A; e como caminham com a mesma velocidade, nunca se separam, tendo assim logar o encontro em lodos os pontos da estrada.

5.° Caso. o = 0 e v differente de v'. Neste caso, a solução x = 0 exprime que o encontro tem sómente logar em A, o que é evidente. Com efíeito, sendo a = 0, os dois correios chegam simultaneamente a A; e como caminham com differentes veloci- dades, separam-se immediatamente.

| 7.° Resolução de duas ou mais desegualdades do primeiro grau

a duas incógnitas

• *

lOõ. Consideremos as duas desegualdades ax + by > c, a'x + b'y > c'. 1.° a e a' são positivos. Das desegualdades tira-se

c — by c'—b'y

x>-x>--

a a

Dando a y um valor qualquer, temos determinado os dois li- mites de x; e como ambos são inferiores, basta aproveitar o maior.

2.° a e a' são negativos. Então das desegualdades tira-se

c — by c'—b'y

x<-x <--r

a a

Dando a y um valor qualquer, temos determinado os dois limites de x; e como são ambos superiores, basta aproveitar o menor.

3.° a e a' têm signaes contrários, por exemplo, a>0, a'< 0. Das desegualdades tira-se

c — bit c'— b'y

x> ---, x<-j-^,

a a

c — by c'—b'y o que exige que seja --<--—;

e assim temos uma desegualdade que nos dá um limite de y. Dando a y um valor qualquer maior ou menor do que este limite, segundo elle for inferior ou superior, determinaremos em seguida os limites entre os quaes estão comprehendidos os valores de x.

Estas considerações tèm logar para mais de duas desegual- dades a duas incógnitas.

1 O©. Resolver em números inteiros as desegualdades

Hx — 3«/>ll, 7y—2®>3.

,, , • 11+ 3y 7y—3

D estas desegualdades tira-se x > —|—, x < —^—,

e por consequência ——— > ^

7y—3 11 + 3y 2 -> ~ ' Resolvendo esta desegualdade, achamos

U</-6>ll + 3y, ou 11«/> 17, ou^-^l-. Fazendo y — 2, os limites de x dão

17 ,1 11 „ 1

»> —- = 4—, —= 5—-; 4 4 2 2

logo satisfaz y = 2 com ® = Fazendo y — 3, temos

20 „ 18 n

x> — = 5, — = 9; 4 2

f

logo satisfaz y = S com x = 6, 7, 8; e assim por deante.

193. Resolver em números inteiros as desegualdades

2y — x>0, 1—3«/>2», 7 Ax + y>0.

Resolvendo-as em ordem a x, vem

1— 3y —7 — y

x<2y, x< —-—, x>---;

2 4

— 7 — y 1—3 y —7 — y

o que exige que seja 2y>----, -——— >-——.

I JL 4

Resolvendo estas desegualdades, que sómente contêm y, acha-se

7

8y> — 7 — y, ou 9y> — 7, ou —y,

9 4

e 2 —6í/> —7 —ou 9>%, ou «/<—= 1 —; e como queremos para y valores inteiros, só pode ser y=0, 1.

4'

1 7 3

Para » = 0, vem 0, x < —-, --— = —1

v 3

ou antes »<(),»>—1—.

4

Portanto com j/ = 0 sómente pôde ser x — — 1, pois que é

3

este o unic.o numero inteiro comprehendido entre 0 e--—. Para «/ = 1, vem x<% x< — 1, x> — 2, ou antes x< — 1, x> — 2;

e como entre estes dois limites não ha números inteiros, segue-se que a única solução inteira das desegualdades propostas é y — 0, x = —1. |

EXERCÍCIOS

X = 7 y = 2. X = 20 y = 21. X = 4 y = 5.

Resolver os systemas de equações:

208. 2a;+ í/= 16 5a;—^33

209. 15® — 1y —153 20x-f9«/ = 589.

210 -4- JL-71

9+7 "63

__]_

12 8 24"

2U gs-3 3a; 49 _ 3y-g «-iq! 2U- 4 "4 6 2 2a; + y 9a> — 7_3g/ + 9 4a; + 5y __

2 8 4 — 16 " y

2 1

4a; — -

5 ="1Õ-I5 6" aj = 3

y—1 . __3y _y—x , as , * «/=2.

3 2 20 15 6 ' 10'

214. 3a;—7y + 5z = 6 a; = 8 7aj — 3</ -j- 4z = 52 ^ = 4 8a;-f 5«/ — 7z=70. Z = 2.

215. T" 4a; —3í/ + 2z = 40 aj=10

5a; 4- 9 j/ — 7z = 47 «/ = 2

9a; -j- 8?/ — 3z = 97. z = 3.

216. — 15a> — 1y + 18z = 586 a; =21

6a; — — 4z = — 343 j/ = 59

5a;+22/ —7z = —288 z = 73.

217. 5a; —3?/ + 2z = 19 a; = 5 4a;-f 5?/ —3z = 31 y = 4 3a;-j- 7?/ — 4z = 31 Z=3.

218. 3a;-f2y — z = 12 a; = 3 5a; —4«/ + 3z = 16 y= 5 2a; + 3y4-2z = 35. z = 7.

213. r-"^,---1

220.

222.

223.

224.

225.

226.

227.

3a;— y-a=17 5a._|_3,/_2z = 10 7a: -j- iy — 5a = 3.

x + ky — 2z = 3 as— 82/ + 12z = 21 2a;-|- 3z — 13.

304-

X J= 2/ 7 + 2 V a ~5 = as y + 2/ 9 z i 5 + a; 9~"

a , V , s 2 3 4 = 62 ® 1 'f l 2 — 47 3 4 ^ 5 a? , y , a 4 "r" 5 ^ 6 =38. x y 2z 3 5 7 — Sft — oo 5* , £ , z 4 e"^ = 76 ® y , 7® 2 5 40 147 — 5 •

3|/—1 6 z

a T* k

4 6 2 bx , 4z .5

T + ã^ + T

3as-f-l__1 , ,

7 " 14+6 ~21+3" 2a; — 3g/ -f- 3a — 10< = 121 x+7y — z — t = 583 3a;-f. 2s/ + 5s + 2< = 255 4a; —6«/ —22— 9< = 516.

aj+ y— z -f- 2í = 8 x— í/ + 2z-f í = 9 — x-\-<È.y-\- Z— < = 2

2íc+ 2/+ * + < = 11. 7m — 13z = 87 3ÍÍ + 14® = 57 10 y— 3a; = 11 2x — Hz =50. 7a; — 2z + 3m= 17 íy — 2z+ < = 11 5«/ —3J= —2w = 8 3< + 2m= 9 3z + 8m == 33

as = 4 y=0 a = 5.

as = 1 y = 2 2=3.

« = 315 2/=630 Í = 945.

a; = 24 2/ = 60 z = 120.

aj= 12 2/= 30 a = 168.

íc = 2 ?/ = 3 2 = 1.

^ = 100 {, = 60

£ = —13

< = — 50.

as = 1 y= 2 z = 3

< = 4. a; = 3 «, = 2

z = — 4 M = 5. • as = 2 «/ = 4 z = 3 <=1 M = 3. to

CO

to

CO

o>

to

CO

ox

to

CO

to CO

to

to

CO

to to to

8 I.P-8 Iwsl-S. s s «O 53 s 8 8 8 8

+ I I + + 1 I + + I + +++++++4H" 55 + +++I++I + I

— ss?!*8" I o®^ "s l"5® l®5^ |w «s |»«s |«® *< ,«S W te oi m ^ g ««es

+ ++ +I -H + + 1+ + +++++ II B-y í n U ++ I ++

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jptCOhB cojh^fcS1"^ Ç5 IP* tí> CO ÇO Cu ^ fc® Os Ol CO P* t® pt CO bS

<1

Oc 238.

239.

240.

241.

242.

243.

A_±_LA=IB-L

bx %j V' z 10"

z =

r

7,5

2®+ 3 y 3a; 30 , 37

3a;+4z_r% + 9z 222 8

= 3

= 5.

5 y + 9z 2a; + 3 y

2.t> 3z

6 2 10_ 109

u x z ~ 6

f 1-1-1+1+1= 1S v y z u

1111

—+—+—+—= 4,7. x 1 y z 1 u

„JL__L 4 3 8 2 3ar+4y+2z=68.

x+y = 3o—26. x—y = 2o—3fc. a b

x— 1 y = 2 z = 3.

3

"ST

2/

3_

4

5

2

«=T.

a;= 8 z= 10 = 6 t = 4.

y

b +«/ o — 03

c á d — a;"c = a; + «/=o a; + z = 6 a; «/ + z = c.

244. x-\-y-\-z=a

my—nx x = pz =ga;.

2 >y 2 ■

ac+fcd d(d>- ——o(d!2—cJ)

«+ 6-

«c+6d! o + c— 6 fe + c — a

amp

mp + íí/j + mq' y mp + np + mq

anp

amq

245. ax + by + cz = c! x y z dm

tojj+«p+íílç dp

m n p' 00 am-\-bn-\-cp' ^ am-\-bn-\-cp'2 a»i+6m+cp"

246. a?a; + ««/ + z •= a3 blx + by + z = 63

&X + cy + z = c'.

a; = a + 6 + c j/ = — ab — ac — bc z — abe.

Resolver as desegualdades seguintes em números inteiros:

247. 2a; — 3y> 5

s/> 12.

248. 3a; — 1 > a; + 3y

x(l — 3») > 4a; — 3a* — 2y.

249. 2a;(2a;-3)>(2a;+l)* —3«/ 4x — y> as+ 4. 250. (2ít — yf < kJ? + yl — w* 3

-g-as — y — 1>0.

251 (a;-2)(j, + 3} >aJ2/- | 0,5a;+ 0,2j/> 0,1.

252. Achar tfjs números taes, que a sua som.na seja eguaJ í. 24; a dií- ferenca ertre o primeiro e o segur do seja 6, e entre o segundo e o terceiro seja 3*. (13,7, t)

.'.53. Um numero é composto de dois a garismos quando se lhe pjun#ta 36, obtem-se esse numer- escripto cm ordert inversa: e quando se divide poi 6, obtem-se o algarismo das unidades. Qua' é esse numero? (48).

154. Achar lois numeres, cuja difíererça 430 e que, divididos um pelo outro, dão o quociente 4 e o resto 76. "(548 e 118).

7

265 Achar uma fracçao egual a , e tal que a somma dos seus termos

seja 135. Q.

256 Achar quatro números propoi cionaes aos números í, 3, 5, 9. sa- bendo que a somma dos tres primeiros é 40. (8, 12, 20, 36).

g

257. Achar uma fracção egual a —, e tal que a diffeLença dos seus ier-

mos seja 24. (j^j.

258. Achar uma fracção tal que, ajunctíjido 3 aos seus dois termos, se

5 2 /"17N

torne em y; e que, tirando lhes 1, se loi ne eir. í ^J.

°<59. Achar uma fracção tal (|i:n, ajunclando 1 ao seu numerador, o seu valor seja 1; e que, depcis Je a dobrar, ajirictandn 1 ao seu denominador,

o seu valor seja aindí 1.

•>60. Achar dois nun.eros taes que o menor dividido pelo maior dê o

t;

quocientí , e que o maior dividido pelo menor dê o quociente 2 e o

resto 5. (25 e 55).

S61. Achar dois nrmeios taies que a sua somma 54 tenha para a sua differença a -azão 9:5. (42 e 1?)

>62 nfhar dois números, cuja differençí. é 4 e a differença los seus quadrados 144. (20 e 16).

63 Achar tr;

s números taes que, uividindo s unidade por cada um

d'elles, os quocientes satisfaçam is condições seguintes: o ultimo, sub:ra-

11

hido da somma dos outros dois, dê o reste õí ; o segundo, subtrahido da somma dos .outros dois, d< ijr. e o primeiro, subirahido da somma dos outros, dê 1 (3. 4 e 8).

2&4 Uma mulher vendeu gaM.nhas a ":8C réis e paios a l$jí|5p -eis, ao todo 19 ^ab^ças, e recebeu 12,3liO réis. Qual era o numero das gallinhas •} quai o dos patos? (12, 7). 265. Um individuo pagou 5$100 réis com 20 moedas, umas de 500 réis e outras, de 200 réis. Quantas moedas deu de cada especie? (7 e 13).

266. Tenho duas vezes a edade que tu tinhas, quando eu tinha a edade que tu tens; e, quando tu tiveres a edade que eu tenho, teremos ambos junctamente 63 annos. Quantos annos tenho? (28).

267. Achar um numero composto de quatro algarismos sabendo que: 1.° a somma dos seus algarismos é 25; 2.° o algarismo das dezenas é egual á' somriia do algarismo das centenas com o dos milhares; 3.° o dobro do algarismo das dezenas é egual á somma do algarismo das unidades com o das centenas; 4.° ajunctarido 8082 ao numero pedido, obtem-se este mesmo numero escripto em ordem inversa. (1789).

268. Achar um numero composto de quatro algarismos, sabendo que: o algarismo das centenas é egual á somma do algarismo das dezenas

com o das unidades; 2.° o algarismo das dezenas é egual ao dobro da somma do algarismo dos milhares com o das unidades; 3.° o numero pedido, divi- dido pela somma dos seus algarismos, dá o quociente 109 e o resto 9; 4.° subtrahindo o numero pedido do numero formado com os mesmos alga- rismos escriptos em ordein inversa, obtem-se o resto 719. (1862).

269. Dois indivíduos, A e B, fizeram uma espeeulaçâo e constituíram

para isso um capital, que lhes rendeu a 7 % ao anno. A teve o seu di -

M

1

nheiro na empreza 18 mezes, B annos, e cada um ganhou 72^000 réis.

Qual foi a entrada de cada um? (640^000 réis, 384£000 réis).

270- Um individuo poz a juros duas quantias, a menor a 5 % e a maior a 4,5€/o", e recebe o juro total de 141^000 réis. Qual é o valor de cada uma das quantias, sabendo-se que têm entre si a razao 2:3? (1:200$000 réis, 1:8000000 réis).

271; Um individuo contractou receber por cada tiro que acertasse, tanto quanto pagaria se o errasse: ajustou a 200 réis cada lebre, a 100 réis cada perdiz e a 80 réis cada coelho. Deu 30 tiros, sendo d'estes tantos ás lebres como de perdizes errou, e d'estas trouxe 6 Quantos tiros deu o caçador a cada especie de caça, sabendo-se que receberia 3:3500 réis, se não "errasse nenhum? (O caçador atirou 7 tiros ás lebres, 13 ás perdizes e 10 aos coelhos).

272. Um individuo, que possue 120:000 cruzados, deixa em testamento a cada um dos seus netos 12:000 cruzados, e a cada neta 9:000 cruzados. Por esta disposição nada resta d'aquella somma. Se pelo contrario cada neta tivesse 12:000 cruzados e cada neto 9:000, cresceriam 9:000 cruzados. Quantos eram os netos e as netas? (7 e 4).

273. Um individuo deu a um creado, para comprar 8k«- de assucar e 3 de café, 3$Ó00 réis; e o creado devia trazer 160 réis de troco. O creado porém enganou-se: comprou 3kg- de assucar e 8 de café, e teve de dar 540 «éis do seu bolso. Qual era o preço do assucar e qual o do café? (220 réis, 360 réis).

274. Uma mulher tomou dois creados, e ajustou dar a cada um por anno 28$800 réis, um fato e um par de sapatos. Despediu o primeiro no fim de

1

8 mezes e deu-lhe 19(8080 réis e o fato: despediu o segundo no fim de 9 -

mezes, e dèu-lhe 25$500 réis e um par de sapatos. Quanto valia o fato, e quanto os sapatos? (3$960 réis, 1 $800 réis).

275. Um vazo contém 12 litros de vinho e 18 litros de agua; e um outro