Tratado de Algebra Elementar/Livro 2/Capítulo 3

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Tratado de Algebra Elementar por José Adelino Serrasqueiro
CAPITULO III
Livraria Central de J. Diogo Pires (1906). páginas 179-207

265. Um individuo pagou 5$100 réis com 20 moedas, umas de 500 réis e outras, de 200 réis. Quantas moedas deu de cada especie? (7 e 13).

266. Tenho duas vezes a edade que tu tinhas, quando eu tinha a edade que tu tens; e, quando tu tiveres a edade que eu tenho, teremos ambos junctamente 63 annos. Quantos annos tenho? (28).

267. Achar um numero composto de quatro algarismos sabendo que: 1.° a somma dos seus algarismos é 25; 2.° o algarismo das dezenas é egual á' somriia do algarismo das centenas com o dos milhares; 3.° o dobro do algarismo das dezenas é egual á somma do algarismo das unidades com o das centenas; 4.° ajunctarido 8082 ao numero pedido, obtem-se este mesmo numero escripto em ordem inversa. (1789).

268. Achar um numero composto de quatro algarismos, sabendo que: o algarismo das centenas é egual á somma do algarismo das dezenas

com o das unidades; 2.° o algarismo das dezenas é egual ao dobro da somma do algarismo dos milhares com o das unidades; 3.° o numero pedido, divi- dido pela somma dos seus algarismos, dá o quociente 109 e o resto 9; 4.° subtrahindo o numero pedido do numero formado com os mesmos alga- rismos escriptos em ordein inversa, obtem-se o resto 719. (1862).

269. Dois indivíduos, A e B, fizeram uma espeeulaçâo e constituíram

para isso um capital, que lhes rendeu a 7 % ao anno. A teve o seu di -

M

1

nheiro na empreza 18 mezes, B annos, e cada um ganhou 72^000 réis.

Qual foi a entrada de cada um? (640^000 réis, 384£000 réis).

270- Um individuo poz a juros duas quantias, a menor a 5 % e a maior a 4,5€/o", e recebe o juro total de 141^000 réis. Qual é o valor de cada uma das quantias, sabendo-se que têm entre si a razao 2:3? (1:200$000 réis, 1:8000000 réis).

271; Um individuo contractou receber por cada tiro que acertasse, tanto quanto pagaria se o errasse: ajustou a 200 réis cada lebre, a 100 réis cada perdiz e a 80 réis cada coelho. Deu 30 tiros, sendo d'estes tantos ás lebres como de perdizes errou, e d'estas trouxe 6 Quantos tiros deu o caçador a cada especie de caça, sabendo-se que receberia 3:3500 réis, se não "errasse nenhum? (O caçador atirou 7 tiros ás lebres, 13 ás perdizes e 10 aos coelhos).

272. Um individuo, que possue 120:000 cruzados, deixa em testamento a cada um dos seus netos 12:000 cruzados, e a cada neta 9:000 cruzados. Por esta disposição nada resta d'aquella somma. Se pelo contrario cada neta tivesse 12:000 cruzados e cada neto 9:000, cresceriam 9:000 cruzados. Quantos eram os netos e as netas? (7 e 4).

273. Um individuo deu a um creado, para comprar 8k«- de assucar e 3 de café, 3$Ó00 réis; e o creado devia trazer 160 réis de troco. O creado porém enganou-se: comprou 3kg- de assucar e 8 de café, e teve de dar 540 «éis do seu bolso. Qual era o preço do assucar e qual o do café? (220 réis, 360 réis).

274. Uma mulher tomou dois creados, e ajustou dar a cada um por anno 28$800 réis, um fato e um par de sapatos. Despediu o primeiro no fim de

1

8 mezes e deu-lhe 19(8080 réis e o fato: despediu o segundo no fim de 9 -

mezes, e dèu-lhe 25$500 réis e um par de sapatos. Quanto valia o fato, e quanto os sapatos? (3$960 réis, 1 $800 réis).

275. Um vazo contém 12 litros de vinho e 18 litros de agua; e um outro vazo contém !) lilros de vinho e 3 de agua. Quantos litros se devem tomar de cada vazo, para que, misturando-os, se tenha 14 litros com partes eguaes de vinho e agua? (10, 4).

276. Um individuo possue um capital que põe a juros com uma certa taxa. Outro, que possue mais 10:000 francos do que o primeiro, e que põe o seu capitai a render mais 1 recebeu mais 800 francos de juro. Final- mente nm terceiro, que possue mais 15:000 francos do que o primeiro, e que põe o seu capital a render mais 2"/«, recebeu de juros mais 1:500 francos do que o primeiro. Qual era o capital de cada um, e qual cada uma das taxas? (30:000, 40:000, 45:000, 4 °/0) 5 %, 6 %)•

277. Um homem encarrega-se de transportar vasos de porcellana, com a condição de pagar por cada vazo que quebrasse tanto, quanto receberia se o entregasse em bom estado. Em primeiro logar, entregaram-lhe 2 vazos peqnenos, 4 médios e 9 grandes: quebrou os médios, entregou os outros inteiros e recebeu 28 francos. Depois entregaram-lhe 7 vazos pequenos, 3 médios e 5 grandes: quebrou os grandes, entregou os outros inteiros e re- cebeu só 3 francos. Finalmente entregaram-lhe 9 vazos pequenos, 10 médios e 11 grandes: quebrou estes últimos e recebeu 4 francos. Qual foi o preço do transporte de um vazo de cada grandeza? (2, 3, 4 francos).

278. Um iudivlduo tem de percorrer uma certa distancia. Depois de ler caminhado 20^'% accelerou o seu passo de um kilometro por hora. Se tivesse caminhado sempre com esta velocidade, teria gasto menos 40 minutos em fazer a viagem; e se conservasse o passo primitivo, teria chegado 20 mi- nutos mais tarde. Que distancia tinha elle a percorrer? (30 kilom.).

279. Quatro jogadores convencionaram que, no fim de cada partida, aquelle que perdesse dobraria o dinheiro de cada um dos outros. O pri- meiro perdeu a primeira partida, o segundo perdeu a segnnda, o terceiro perdeu a terceira e o quarto perdeu a quarta. No fim do jogo, cada jogador acha-se com 240$000 réis- Qual era a entrada de cada nm? (4í>5$000, 2o5$000, 135ÍOOO, 75fâ000).

CAPJTULO III Analyse indeterminada do primeiro gran

I^rineipios geraes sobre a equação ax % — c.

198. Um problema é, em geral, indeterminado, quando con- duz a um numero de equações menor do que o das incógnitas. Ha porém muitos problemas, que só admitlem soluções inteiras; e como esta condição se não pode exprimir por meio de equações, precisamos de um processo que nos ensine a achar aquellas so- luções. A parte da algebra, que se occupa d'este objecto, cha- ma-se analyse indeterminada.

  • Na analysè indeterminada podem apresentar-se dois casos prin-

cipaes: 1.° o numero das incógnitas excede o das equações em uma unidade; 2." o numero das incógnitas excede o das equações em mais de uma unidade.

O primeiro caso principal involve vários casos, segundo temos uma equação a duas incógnitas, ou duas equações a tres incó- gnitas, e assim por deante. Consideremos em primeiro logar o caso mais simples, o de uma equação a duas incógnitas.

199. A equação mais geral do primeiro grau a duas incó- gnitas é

v ax + by — c,

a qual podemos sempre suppor simplificada de modo que a, b e c sejam primos entre si. Porque, se o não forem, procuramos o maior divisor commum de a, b e c, e dividimos os dois membros da equação por elle.

300. Quando acb não são primos entre si, a equação ax + by = c não admilte solução alguma inteira.

Com efíeito, designando por d um divisor commum de a e b,

teremos

a = a'd, b = b'd,

o que converte a equação em a'dx-\- b'dy — c.

Ora, dando a x e y valores inteiros, o primeiro membro tor- na-se múltiplo de d; e como o segundo membro não satisfaz a esta condição, segue-se que a equação não admitte soluções in- teiras.

SOl. Quando acb são primos entre si a equação ax+by=c admitte uma solução inteira. Nesta equação podemos sempre con- siderar c positivo; e as combinações, que se podem obter com os signaes de a ee b, são

ax + by — c, ax — by — c,

— ax + by — c, — ax — by — c.

Para demonstrar o theorema, basta considerar sómente uma d'estas equações; porque passa-se de uma d'estas equações para cada uma das outras, mudando a: em — x, ou y em — y; e estas mudanças alteram sómente o signal das raizes e não o seu valor absoluto. Consideremos pois a equação

ax — ò«/«=c...............(1).

Resolvendo esta equação em ordem a x, vem

c + Jry a

Fazendo successivamente

y= 0, 1, 2, 3,----a — l,

resultam para c + by os valores

c, c+b, c + 2b, c + 3b,____c + (a—l)b.

Dividindo estes valores por a, digo que os restos são todos differentes. Porque sejam m e m' dois números menores que a, e por consequência c + mb e c + m'b dois dos dividendos consi- derados; e supponhamos que estes dois dividendos davam o mesmo resto: teríamos

c + mb —aq r,

c + mb — aq' 4- r.

Subtrahindo a segunda egualdade da primeira, vem ò(m — m') =a(q — q'),

a■ -a- a bím—m')

ou, dividindo por a,--— q — q .

a

Ora, sendo o segundo membro inteiro, a divide b(m — m)'; e como a é primo com b, deve a dividir m — m', o que não tem logar, por ser a > m — m'. São pois todos os restos differentes; e como são menores que a, e em numero egual a a, um d'elles ha de ser necessariamente zero.

Posto isto, seja (3 o valor de y que corresponde ao resto zero: será

-1 = a (numero inteiro),

d'onde aa — bp = c, resultado que mostra que a equação (1) admitte a solução in- teira # = <*, «/ = fi.

SOS. Quando acb são primos entre si, a equação ax by = c admille uma infinidade de soluções inteiras.

Seja » = <*, y = uma solução inteira da equação

ax -(- by — c.

Como a e p satisfazem a esta equação, temos

aa + i|3 = c. KesolV-endo a equação em ordem a x, vem

c — by aa.-\-b$ — by —

x— —-= --— a ~t b.----.

a a a

D'onde se vô que, para x ser inteiro, é necessário escolher para y valores inteirosUaes que tornem

B —y . . -- = t (numero inteiro),

ou P — y — at,

d'onde y — fi — at,

e em seguida x — a -{- bt,

fórmulas que dão uma infinidade de soluções inteiras da equação proposta, fazendo successivamente l — O, 1, 2, 3,... .

903. 1.° A inspecção das fórmulas

x— a bt, y — 3 — at

mostra que: os coefficientes de t nos valores de x e v são os coeffi- cientes reciprocas das duas incógnitas na equação proposta., mas tomado um com o signal trocado.

Advertiremos que é indifferente tomar um ou outro coefficiente com o signal trocado; pois que -podemos dar a t valores positivos ou negativos. 2.° Fazendo nas fórmulas geraes successivamente

t = 0, 1, 2, 3...*.____

vem x=a, « -f b, a -f- 2b, a + 36, .. . e ?/ = P, P — «. P_2a, |J_ 3a----

Logo: Os valores inteiros de xe y formam duas progressões ari- thmelicas. A razão da progressão formada pelos valores de x é o coefficiente de y na equação proposta; e a razão da progressão for- mada pelos valores de y é o coefficiente de x na mesma equação, sendo porém um dos coefficientes tomado com o signal trocado.

| "2.° Resolução da equação ax-\-by — c em números inteiros

SOI. A difliculdade que ha em achar as soluções inteiras de urna equação do primeiro grau a duas incógnitas reduz-se a achar uma das soluções: porque, conhecida uma das soluções inteiras e substituindo-a nas fórmulas geraes, em logar de a e p, estas fórmulas dão immedialamente as mais soluções, fazendo successi- vamente ( = 0, 1, 2, 3. . . .

SOã. Ha alguns casos em que é fácil achar uma solução inteira.

1.® Quando for c = 0. Então a equação reduz-se a

ax 4- by = 0;

e uma das suas soluções inteiras 6 evidentemente a; = 0, y = 0.

Exemplo: Achar as soluções inteiras da equação

SxArly — 0.

Uma das soluções inteiras é «=0, y — 0. Substituindo esta solução inteira nas fórmulas geraes, vem

x — 7t, ?y = — 5<;

fazendo successivamente

t — 0, 1, 2, 3,----

temos «=0, 7, 14, 21.....

y = 0, — 8, — 10,—-1$..... 2.° Quando for c múltiplo do coefficiente de uma das incógni- tas, por exemplo, c = aq. Então a equação é

ax + by=aq;

e fazendo y — O, obtem-se immediatamente x — q. Exemplo: Achar as soluções inteiras da equação

17» + 9y = 36.

Uma das soluções inteiras 6 x = 0, y — b; e as outras solu- ções são dadas pelas fórmulas x — 9l, y — 4—17í.

3.° Quando o coefficiente de uma dás incógnitas for muito pequeno. Vimos no n.° 201 que, fazendo successivamente

« y = 0, 1, 2, 3,____a—i,

um d'estes valores de y torna x inteiro; e por consequência, quando um dos coefficientes, a por exemplo, for muito pequeno, podemos obter facilmente por meio de tentativas uma das solu- ções inteiras.

Exemplo: Acliar as soluções inteiras da equação

4®+ 13«/ = 145.

Resolvendo a equação em ordem a x, vem

145 — 13 y

Fazendo successivamente y — 0, 1, 2, 3,

achamos que, para ?/ = 1, vem» ==33. Logo» = 33, y= 1 é uma solução inteira; e as outras soluções são dadas pelas fórmulas

£c = 33 — I3í, y= 1 + 4f.

SOB. Processo geral para aciiar laia solução inteira. O processo ^eral, que vanios expor para achar uma das soluções inteiras, funda-se na seguinte consideração: se o coefficiente de uma das incógnitas for a unidade, por exemplo, se tivermos a equação

ax + y — c, obtem-se immediatamente uma solução inteira, fazendo # = 0 e y = c.

Posto isto, supponhamos a equação

ax + by — c.................(1)

simplificada de modo que a, b e c sejam primos entre si, e tam- bém primos entre si a e 6; e seja a > b.

Resolvendo a equação em ordem á incógnita de menor coeffi- ciente vem

c — ax

y—b—

Dividindo c e a por b, chamando Q e ç os quocientes R e r os restos, vem

c = bQ + R, a — bq + r,

e substituindo estes valores em y, temos

bQ 4- R — bqx — rx R — rx

y = ----- = Q~~ -:

d'onde se vê que, para y ser inteiro, é necessário escolher para

R — rx

x valores inteiros taes, que tornem inteira a expressão———.

Designando, pois, por t um inteiro qualquer, estamos reduzidos a resolver em números inteiros a equação

R — rx

—-— = t, ou bt + rx = R..........(2),

equação mais simples do que (1), por ser r< b.

Resolvendo esta equação em ordem a x, que é a incógnita de menor coefficiente, vem

R — bt

x — —--.

r

Dividindo R e b por r, chamando Q' e q' os quocientes, R' e r' os restos, temos

R = rQ'+R', b = rq' + r', e substituindo estes valores em x, vem

rQ'+R' — rq't — r'l , , R' —r'í » = —---— = Q' — +-;

r r

d'onde se vê que, para-íc ser inteiro, é necessário escolher para

R' — r't

t valores inteiros taes, que tornem inteira a expressão---.

Designando, pois, por t' um inteiro, estamos reduzidos a resolver em números inteiros a equação

R'_r't

--— =*t, ou ri + r't—T{'........(3),

r

equação mais simples do que (2), por ser r' < r.

Resolvendo a equação (3) em ordem a t, incógnita de menor coefficiente, temos

R ' — ri r

Dividindo R' e r por r', chamando Q" e q" os quocientes, R" e r' os restos, temos

R' = r'Q" + £", r — r'q" + r",

e substituindo estes valores em t, vem

4 R" — r'q"l' — r"t' _ ,f, R" — r"t'

t— - Q — qt+ ;

d'onde se vô que. para í ser inteiro, é necessário dar a t' valores

. . R"—r"í' ^ . inteiros taes, que tornem inteira a expressão--—-. Desi- gnando, pois, por t" um inteiro, estamos reduzidos a resolver em números inteiros a equação R"_T'h<

---= t", ou rH" + r'V « R"......(4),

r

equação mais simples do que (3), por ser r" < r'. Continuando d'este modo, obtemos uma equação mais simples do que (4), e assiifl por deante. Ora, os coefficientes r, r', r", .... que entram nas equações auxiliares (2), (3),.. . . são os restos successivos que se obtêm, procurando o maior divisor commum de a e b; e como estes dois números são primos entre si, necessariamente havemos de chegar a um resto egual á unidade; e seja r1' esse resto. Então a equa- ção (4-)

r'<" + <'=«

tem por solução inteira i — 0, e t' = R'; e por substituições

successivas vem

< = Q_-9" R" = A, x — Qr — A</+R" = B, y—Q —BV + A = C;

e d'esle modo temos achado, como queriamos, uma solução in- teira da equação proposta.

303. Portanto, para achar as soluções inteiras de uma equa- ção do primeiro grau a duas incógnitas, temos o seguinte processo: Simplifica-se a equação de modo que os coeficientes das duas incógnitas e o lermo conhecido sejam primos entre si. Se os dois coefficientes ainda não forem primos entre si, a equação não ad- mitte soluções inteiras; porém, se o forem, resolve-se a equação cm ordem á incógnita de menor coefficiente; exlrahem-se os inteiros, contidos na fracção que d'ahi provier; e, egualando a fracção res- tante a uma terceira incógnita., obtem-se uma segunda equação.

fí'esta equação tira-se o valor da outra incógnita, que entra na equação proposta; exlrahem-se os inteiros contidos na fracção que d'ahi resultar; e, egualando a fracção restante a uma quarta incógnita, obtem-se uma outra equação.

D'esta equação tira-se o valor da terceira incógnita, e assim por deante até chegarmos a uma equação, na qual o coefficiente de uma das incógnitas seja a unidade. Esta equação dá immedia- tamente o valor d esta incógnita, egualando a outra a zero; e depois por meio de substituições successivas obtemos uma solução inteira da equação proposta.

Finalmente, para achar as outras soluções inteiras, substituese a solução conhecida nas fórmulas geraes, em logar de a e fí, e faz-se successivamente t = 0, 1, 2.. , Sf fi. Exemplos: 1.° Achar as soíuçôes inteiras da equação

72a;+l(%=135.

Procurando o maior diviso- commu.ia de 72, 108 e 135 acha- mos s ir 9: di idi do a equação por elle, vem

8®-+-12?/= 15;

e como os coeflícientes 8 e 12 não são primos entre si, a equação não tem soluções inteiras.

2.° Achai as soluções nteiras da equação

77a; — 10% = 815.

Esta equação está simplificada, e os dois coefficientes 77 e 104 são primos entre s.

Ti-ando doesta equação o valor de x, temos

815+104?/ 45 + 27y

a

10 + 3,+ _ " = 10 + iy + t,

77 * 3 77

4o + 21y

pondo -- =í,.ou 45 + 27y = 17t.

Tirando d'esta equação o valor de y, temos

77/ — 45 £ jj 23<—18 3 SwRí

y —- - = 2< — í + —- -— = 2i—i+if.

pondo -_ =t', ou 23f—18 = 27í'.

Tirando d'este equação o valor de t, temos +

~ p - + s3 —t+í> 18 4-4/'

pondo -- - = f", ou 18 + 4f' = 23t"

Tirando d'esta equação o valor de í\ vem

4 4 • , 1 . ;;---' t ■

a lu li h a elgmentnr 189

Q,//_O

pondo — - — = <"', ou 3í"— 2 = 4("'.

Ti.ando d esta equação o valoi de í", vem

3 i

2 4-1'"

pondo = l i ou 2 + tf, = 3í'V í

u

e como o coefficiente de l"' é a unidade, uma solução ntt ra d'esia equação é t" — 0, í"'= — 2; e por meio de substituições suc- cessi-. as vem

í" = -2, J' = — 10 —4 —2 = — 16n < = -l€-2 = -18, y = — 36 — 1 — 16 = — á3, #=10 — 53 — 18 = —61. Substituindo esta solução iiitei_a Jias fórmula? geraes, temos x== —61 hl04í, «/= — B3 + 77<; fazendo successivamente

t 0, il, 2, 3,....

temos « = — 61, 43, 147, 251,____

y = — 53, 2i, 101, 178.....

% TH) Quando o.numerador de a'guma das fracções restantes tiver um factor commum, simplifica-se o calculo escrevendo esse factor fóra do numerador.

Exemplo: achar as soluções iníe ias da equação

370a+ 153?/ == 2001.

»

Tirando d'esta equação o valor de y. temos

2001—370® .„ „ . i2 —64.C .„ a , 3 — 16» |i „ . .. --= 13 2«-| gg —13 2a;-,-4 ^ -=13-íte-4<,

pondo - = ou 3 — 16a; =153*.

, 153 Tirando d esta equação o valor de x, temos

3 - 1B3< „ 3 —9< A „ 1 — 3< . , 0 , _=—9< + ——=—9Í+3.-—=—9<+3<', 16 16 16

1_31

pondo --= f, ou 1 — 3í = 16í'.

16

Tirando d'esta equação o valor de t, vem

\_i fi/f i_//

t = == _ Bf + --- = - Bf + f

l_i>

pondo ——— — i", ou 1 — t' — 3í";

o

e ctomo o coefficiente de t' é a unidade, uma solução inteira d*esta equação é í" = 0, í'==l; e por meio de substituições succes- sivas vem

j

í=—5, a = 4B + 3=48, y= 13 — 96 — 20 = — 103. Substituindo esta solução inteira nas fórmulas geraes, temos a = 48 — 153í, ?/ = — 103 + 370C fazendo successivamente

<= 0, 1, 2,....

temos x = 48, — 10ê, — 258,____

y=~ 103, 267, 637,....

| 3.° Resolução da equação ax -f- by — c

em números inteiros e positivos

2 IO. Na equação geral

ax + by = c

podemos sempre considerar c positivo; porque, se o não for mu- damos os signaes a todos os termos.

Posto isto, as combinações, que se podem obter «om os signaes de a e b, são

ax + by — c, ax — by — e, — ax + by — c, — ax — by = c.

Ora, a ultima equação não admitle soluções positivas; porque, dando a x e y valores positivos, o primeiro membro fica negativo, em quanto que o segundo é positivo.

Além d'isto, a segunda equação e a terceira constituem um só caso, porque em ambas a e b têm signaes contrários: portanto estamos reduzidos sómente ós duas primeiras equações.

911. Consideremos em primeiro logar a equação ax + by = c.

As fórmulas geraes, que dão todas as soluções inteiras, são x = ol + bt, y — $ — al:

e estas fórmulas mostram que, para x e y serem positivos, é ne- cessário dar a t valores inteiros taes, que tornem

a-ffa>0, £—at> 0,

a fi

d'onde t > — —, t < —,

b a

limites em sentido contrario: logo, dando a í todos os valores in- teiros comprehendidos entre estes dois limites, obteremos todas as soluções positivas da equação proposta; e como entre dois li- mites em sentido contrario existe sómente um numero finito de valores inteiros ou não existe nenbum, segue-se que, neste caso, a equação admiUe um numero finito de soluções positivas, ou mesmo nenhuma.

Se ambos ou algum dos limites for inteiro, podemos fazei t egual a esse limite; e então o valor correspondente de x ou de y

oc

é zero. Assim, se o limite--— for inteiro, podemos fazer

a

t —--—; e o valor de x é

b Se a equação adnnttii soluções positivas, podemos determinar o seu numero. Para isso, designando por A e B os números in- teiros immeoiatamente inferiores aos dois I mites, os vaiores in- tei os, que se devem dar a t, são

A+l, A + 2, A + 3,____ B = A + B — A;

e como a segunda parcella de cada termo de.vgna a sua ordem, é B — Ao numero dos sermos, ou o numero dos valores inteiros, que se devem dar a t. Portanto:

O numere das soluções vosM^as ê -gual á differença dos dois números inkiros, immedlct,amante inferiores aos dois limites; ou egual a esia differença augmentada de uma unidade, se o limite saperijr for ~nteíro.

Podemos também exprimir este numero em funcção dos coeffi- cientes da equação. Para is.so, designando por & a differença

& ... 3

entre--, - e A, e por 8 a diferençs entre - e B, temos

o _ a

« A==-----i , B = — — Â',

b a

e por consequência

a b ab ac

ou, designando por q a pai te inte:ra do quociente e por r o res*o da divioão de c por ab, teremos

ab

Ora, seiído -■, i e J1 Tracções próprias, a somma das duas

primeiras é menor que 2; e como + £ — é um numero

ab

inteiro, esta expressão sómente pode ser egual a 0, ou egual a 1. Será pois

B — A = q, ou B — A = g+1.

Logo: 0 numero das soluções posivar é egual ao juocú ate in- teiro. por tiefeitc ou pur excesso, que resulta du divisão do teimo conhecido pelo producto dos coeficientes das incógnitas. a P

Advertiremos que os dois limites;--—e — não podem ser

b a

contradictorios. Com effeito, para os dois limites serem contra- dictorios, era necessário que fosse

S a

— <--- , ou b$ < — aa, ou a* + 6B <0,

a b

o que não tem logar; porque, sendo a e 3 uma solução inteira da equação, é a» + 6(3 — c, e por consequência aa + 6(3 positivo.

313. Consideremos agora a equação ax — by = c.

Neste caso as fórmulas geraes, que dão todas as soluções in- teiras, são

x—a + bt, y = $-\rat;

e estas fórmulas mostram que, para x e y serem positivos, é ne- cessário dar a l valores inteiros taes, que tornem

a + bl > 0, (3 + at > 0,

f3

donde t>--—, t>--,

b a

limites no mesmo sentido e ambos inferiores: logo basta apro- veitar o maior; e como todo o numero inteiro superior a esse limite satisfaz, segue-se que a equação admilte uma infinidade de soluções inteiras e positivas.

313. Para reconhecer, pois, se uma equação do primeiro grau a duas incógnitas admitte soluções inteiras e positivas, trans- forma-se a equação de modo que o termo conhecido seja positivo. Feito isto, se os coefficientes das duas incógnitas forem negativos, a equação não admilte soluções positivas; se„ forem positivos, a equação admitte um numero finito de soluções positivas ou mesmo nenhuma; e se tiverem signaes contrários, a equação admitte uma infinidade de soluções positivas.

Depois de termos reconhecido que uma equação admitte solu- i3 ções inteiras e positivas, para as achar, applica-se o processo que temos para achar todas as soluções inteiras; e depois introduz-se nas fórmulas geraes a condição de serem positivos os valores de x e y.

3tl, Exemplos: 1.° Resolver em números inteiros e posi- tivos a equação

19®+ lli/ = 1000. Como os dois coefficientes são positivos, e é 1000 1000 164

19x11 209 209'

segue-se que a equação admitte quatro ou cinco soluções positivas. Para as achar, da equação proposta tira-se

1000-19, =9c_^+"=90_ai+2"==90_a;+^

h —~ "-r U ~ i - H

pondo —,, —t, ou 5 — 4» =111.

r

Tirando d'esta equação o valor de x, vem

5—llí 1—3t

x =---= 1 — 2í + —-—=1 — 2< + <\

4 4

l_

pondo —-— — l', ou 1—3< = 4í'.

Tirando d'esta equação o valor de t, vem

l—tí , , 1 — f . „

3 3 1_t'

pondo —-— — t1', ou 1 — í' = 3<";

o

e como o coefficiente de t' é a unidade, uma solução inteira d'esta equação é <" = 0, í'=l; e por substituições successivas vem

t = — 1, « = 1 + 2 + 1=4, y = 90 — 4 — 2 = 84. Substituindo esta solução inteira nas fórmulas geraes, temos

x=b+ IU, y = 8b — 19/,

e estas fórmulas mostram que, para x e y serem positivos, é ne- cessário que seja

4 + 1 lí>0, 84 —19/>0, 4 84 , 8 11 19 19

limites em sentido contrario: logo, dando a l todos os valores in- teiros comprehendidos entre estes dois limites, temos todas as soluções positivas da equação proposta. Fazendo pois

1= 0, 1, 2, 3, 4 vem x=> 4, 15, 26, 37, 48

y= 84, 65, 46, 27, 8.

2.° De quantos modos se pode pagar a quantia de 3$500 réis, dando moedas de 500 réis e moedas de 200 réis?

Designando por x o numero de moedas de 500 róis e por y o de moedas de 200 réis, temos

500®+ 200»/= 3500, ou 5a:+ 2?/= 35,

equação que temos de resolver em números inteiros e positivos. Para isso, da equação tira-se

35 — 5a; JW l—x

r/=---= 17 — 2x + — -— = 17 — 2x + t,

3 2 2

\_x

pondo —-—- = t, ou 1 — x — 2t;

e como o coefficiente de x é a unidade, uma solução inteira d'esta equação é t— 0, x — 1 : logo y — 17 — 2=15.

Substituindo esta solução inteira nas fórmulas geraes, temos

x'=l +21, ?/ = 15 — 5í,

e estas fórmulas mostram que, para x e y serem positivos, é ne- cessário que seja

l + 2í>0, 18 —5<>0,

  • OU t>-—í<3.

2

Ora, o valor t—3 satisfaz á equação, mas não ao problema, porque este não admitte a solução zero: logo, sómente podemos fazer

1= 0, 1, 2 o que dá x— 1, 3, 5

e y= 18, 10, 5.

3.° Um" negociante tem duas especies de vinho: um a 25 réis o litro, e outro a 65 réis. Quanto deve tomar de cada um para formar vinho a 40 réis o litro?

Seja x o numero de litros de vinho de 25 réis, e y o numero de litros de vinho de 65 réis: será 25» o valor do primeiro, 65y o do segundo, e 25»+ 65z/ o valor da mistura. Além d'isto, como a quantidade da mistura é x + y e o seu preço é 40 réis, será também 40» + 40)/ o valor da mistura; e por isso teremos

25» + 65 y = 40» + 40 y,

ou 15» — 25j/ = 0, ou 3» — 5?/=0,

equação que temos de resolver em números inteiros e positivos.

Como uma solução inteira é » = 0, y=*0, as fórmulas geraes, que dão todas as soluções inteiras, são

a; =51, y = 3t;

e como o problema somente admitte soluções inteiras e positivas, pomos

<=1, 2, 3,____

o que dá »=5, 10, 15,....

y = 3, 6, 9,.. ..

| 4.° Resolução em números inteiros «le m equações a m+1 incógnitas

315. Uma equação do primeiro grau a m incógnitas ax + by + cz +.. . = h não admitte soluções inteiras, se, depois de simplificada, os coeffi- cientes das incógnitas não forem primos entre si.

Com efíeito, designando por d um divisor commum de a, b, c..., teremos

a = a'd, b = b'd, c = c'd,. . .

o que converte a equação em

a'dx + b'dy + c'dz + . . ,=k.

Ora, dando a x, y, z,.. . valores inteiros, o primeiro membro torna-se múltiplo de d; e como o segundo membro não satisfaz a esta condição, segue-se que a equação não admitte soluções inteiras.

316. Consideremos as duas equações a tres incógnitas ax + by + cz — d, a'x + b'y + c'z = d',

que supporemos simplificadas de modo que os coefficientes das incógnitas e o termo conhecido sejam primos entre si.

Para este systema de equações admittir soluções inteiras, é necessário que cada uma d'ellas as admitia; e por consequência é necessário que em cada uma das equações os coefficientes das incógnitas sejam primos entre si.

Posto isto, eliminando entre estas equações uma das incógnitas, por exemplo z, e empregando o methodo da reducção, vem

ac'x-f bc'y + cc'z — de1, ca'x + cb'y -f cc'z — cd',

ou, subtrahindo a segunda da primeira,

(ac' — ca') x -f (bc' — cbr)y=dc'--cd'...... (1);

e assim temos uma equação a duas incógnitas, que sabemos re- solver em números inteiros. ,

Sejama; = «, ?/ = (3 uma solução d'esta equação: as fórmulas geraes, que dão todos os valores inteiros de x e y, são

x = a+(bc' — cb')t, y = (3 — (ac' — ca') t____(2)'.

Substituindo estes valores de x e y em qualquer das equações propostas para achar a fórmula geral dos valores de z, temos

aa 4- abc't — acb't + 6(3 — abc't + bca't i-cz — d, ou c(6a'— ab')t + cz — d — az — òp .......(3).

Resolvendo esta equação em números inteiros, obtemos z e t expressos em funcção de outra indeterminada (', a saber

s = a' + c(ba' — ab') t', t = Ç>' — ct'.

Substituindo este valor geral de t em (2), obtemos x, y e z expressos na mesma indeterminada t', â qual daremos valores inteiros arbitrarios.

Advertiremos que, se os coefficientes c e c' forem primos entre si, a equação (3) dá immediatamente z expresso em funcção in- teira da indeterminada t.

Com effeito, sendo x — a, e y — fi uma solução da equação (1), temos

(ac' — ca') a + (bc' — cb') (3 = dc' — cã', ou ac'a — ca'« + — c6'(3 = dc' — cd',

ou c(d'— a'a — b'$)=c'(d — aa — bp);

e como c e c' são primos entre si, c divide d — aa — : e por

d — aa -— 63 . isso temos-— <h sendo q um inteiro.

c

Posto isto, dividindo a equação (3) por c, vem

(ba' — ab') f + z — q, d'onde z — q —- (ba' — ab') l,

fórmula que dá z em funcção inteira de í.

Portanto, se os coefficientes de uma das incógnitas forem primos entre si, é esta incógnita que devemos eliminar de preferencia; pois que tVeste modo simplificam-se os cálculos.

213. Do que dissemos conclue-se que: Para achar as soluções inteiras de duas equações a Ires incó- gnitas x, y e z, elimina-se uma das incógnitas z, e ficamos redu- zidos a uma equação com duas incógnitas x e y.

Resolvendo esta equação em números inteiros, obtemos os valores de \ e y expressos numa indeterminada t; e substituindo estes valores em qualquer das equações propostas, residia uma equação entre z e t.

Feito isto, se os coefficientes da incógnita, que se eliminou, forem primos entre si, esta equação dá immedialamente z expresso em funcção inteira de t: porém, se o não forem, resolvendo a equação resultante em números inteiros, obtemos z e I expressos em t'; e finalmente, substituindo o valor de l nos valores de x e y, obtemos x, y e ? expressos na mesma indeterminada t', á qual damos va- lores arbitrarios.

318. Se tivermos tres equações a quatro incógnitas, x, y, z, u, applicaremos o seguinte processo:

Elimina-se uma das incógnitas u; e ficamos reduzidos a um systema de duas equações a tres incógnitas x, y e z. Neste systema elimina-se uma das incógnitas i; e ficamos reduzidos a uma equa- ção a duas incógnitas x e y, a qual, resolvida em números inteiros, dá x e y expressos na indeterminada t.

Subslituem-se esles valores em qualquer das equações do segundo systema, e resulta uma equação a duas incógnitas z e t, a qual, resolvida em números inteiros, dá z e l expressos na indeterminada t'; e substituindo este valor de t nos valores de x e y, obtemos x, y e z expressos em t'.

Depois subsliluetn-se estes valores de x, y e z em qualquer das equações propostas; e ficamos reduzidos a uma equação com duas incógnitas u e t', a qual, resolvida em números inteiros, dá u e t' expressos na indeterminada t".

Finalmente, substituindo o valor de t' nos valores de x, y e z, obtemos x, y, z e u expressos na mesma indeterminada t", á qual damos valores arbitrarios.

Este processo é gerai, e applica-se a um systema qualquer de m equações a m 4-1 incógnitas.

319. Resolver em números inteiros o systema

3a; 4- 4- 6z = 104, 9a; 4-3»/ + 8z= 164.

Como os coefficientes de y são primos entre si, é esta incógnita que eliminamos: e vem

36»4-22.z = 508, ou 18a;4- llz = 254, equação que temos de resolver em números inteiros. Applicando para isso o processo conhecido, achamos

x = — 3+11/, z = 28 — 18í.

Substituindo estes valores em qualquer das equações propostas na primeira, por exemplo, vem

— 9 + 33/ + 5i/ + 10>8 •— 108/ = 104, ou 75/ —5y = 55, d'onde y — — 11 + 15/.

Temos portanto as fórmulas geraes

x — — 3 + 11/, y = —11 + 15/, z = 28 — 18/,

as quaes dão todas as soluções inteiras, fazendo. I = 0, 1, 2,...

Se quizermos sómente, soluções positivas, pomos

— 3 + Hí>0, —U + 15/>0, 28 —18í>0,

„ , 3 11 28 10

donde 1>T7' <;>7¥' <<:7^=1;r5-:

11 15 18 18

logo o único valor, que / admitte, é <=1, ao qual corresponde

íc = 8, j/ = 4, z=10, única solução inteira e positiva, que admitte o systema proposto.

320. Resolver em números inteiros o systema

Qx + 9f/ + 14z = 77, 4» + 15y + 7z = 51. Eliminando uma das incógnitas, por exemplo z, resulta

r

2x + 2iy — 2o,

equação que, resolvida em números inteiros, dá

x = 2 + 21/, y = 1 — 2í.

Substituindo esles valores em qualquer das equações propostas, na primeira por exemplo, vem

12+ 126/ + 9 — 18/ + 14* = 77,

ou 14js+ 108/ = 56, ou 7z+ 54/=» 28, equação que, resolvida em números inteiros, dá z = 4— 54í', t = 7t'.

Substituindo este valor de t nos valores de x e y, ternos final- mente x, y e z expressos na mesma indeterminada í\ a saber:

x = 2+ 147í', 1 —14í', z = h—Ut<.

Se quizermos sómente soluções positivas, pomos

2+147í'>0, 1 — 14í'> 0, 4 —S4í'>0,

donde «L, «±;

logo o único valor, que t' admitte, é t' — 0, ao qual corresponde x = 2, y=l, z = 4.

| 5.° Resolução em nnmeros inteiros de m equações a wí -f 2 incógnitas

331. Quando o numero das incógnitas excede o numero das equações em mais de uma unidade, o systema diz-se mais do que indeterminado.

Consideremos sómente o caso em que o numero das incógnitas excede o das equações em duas unidades: e os seguintes exem- plos farão comprehender o processo que devemos empregar.

333. Resolver em números inteiros a equação

10a? -f- 9y + 7z = 58.

Tirando d'esta equação o valor de z, incógnita de menor coeffi- ciente, vem

58— IOíc—9i/ n , 2—3x—2y n

' -S—x—y+---=8 — x—y + t,

7 7

2 — 3x — 2y pondo ----=t, ou 2 — 3x — 2y — 7t. Tirando d'esta equação o valor de y, temos

2 — 3x — 7t , „ a?+í y————— = 1 — 05 — 3t--— = 1 —x — 3í—t1,

x -f-l

pondo = ou íc+ t = 2l', donde x = — t, + 2l'.

z

Substituindo este valor em y, vem

„j/ = l +t — 2í' — 3<— t'=i —2t— 3í';

e substituindo em z os valores x e y, resulta

z = 8 +1 —' 2í' — 1 + 2< + 3í' + t = 7 + 4< + ('.

Temos pois as fórmulas geraes

w = — < + 2í', y = 1 — 2< —■ 3í', z = 7 + 4< + í',

as quaes dão todas as soluções inteiras, dando atei' valores arbitrarios.

Se quizermos sómente soluções positivas, pomos

— < + 2í'>0, 1—2< —3í'>0, 7 + 4f + t' > 0,

1__ _i_t*

d onde l<2l', t<———, t>-——.

— 4

Para estes limites não serem contradiclorios, é necessário que seja

_7 —í' 1 —3í' — 7 — t'

21' >---, —-— >--.

4 2 4

Resolvendo estas desegualdades, vem

8l' > — 7 — t', 2 — 6f' > — 7 — t',

7 9 4

ou 9í' > — 7, 9>5i, donde <'> — —, «'< — = 1 — :

9 5 5

logo só pôde ser t'— 0, í'=1. Fazendo i' = 0, os limites de t dão

1 , 8 <<0, í<-—, í>—1—, 2 4 3

ou antes <<0, f>—i—r'

k

logo satisfaz t! — 0, t=— 1. Fazendo t' — 1, vem

<<2, t< — 1, <> — 2, ou antes <<— 1, í> — 2;

e como entre estes dois limites não ha números inteiros, deve rejeitar-se o valor de t'—l.

Portanto os únicos valores, que t e t1 admittem, são t — — 1, í'«= 0, aos quaes correspondem

x—i, y — 3, z = 3,

única solução positiva, que admitte a equação proposta.

333. Em que proporção se podem misturar Ires substancias dos preços de 160, 460 e HO réis, para com ellas formar um mixto do preço de 430 réis?

Sejam x, y e z as quantidades que se devem tomar' das tres substancias: serão 160», 150y, 1 lOz os seus valores, e 160® + 150(/+ HOz o valor da mistura. Além d'isto, como a quantidade da mistura éx + jz + seo seu preço é 130 réis, será também 130® + 130y + 13Os o valor da mistura. Teremos pois

160»+ 150»/ + 1102= 130»+ 130»/+ 130z, ou 3x + 2y— 2z = 0,

equação que temos de resolver em números inteiros e positivos. Para isso, tirando o valor de y, vem

2 z — 3x x

pondo — = /, ou x — tt;

£à

e substituindo este valor em y, vem y — z — 31.

Como o problema admitte sómente soluções positivas, deve ser

2í>0, z — 3<>0, ou í>0, z>3<.

Fazendo t—l, é z — k, 5, 6,. . .. D'onde resultam as soluções

z — h, 5, 6,. . .. oc ■ • • ». y = l. 2, 3.....

Fazendo t — 2, é 2=7, 8, 9..... D'onde resultam as so- luções

jz 8) * • • •

as = h, h, h,----

2/ = 1, 2, 3.....

e assim por deante.

29â. Resolver em números inteiros as equações

6» -t- 7«/ + 3z + 2u = 100, 24»+ 12tj+ 7z + 3u = 200.

Eliminando u, vem

30» + 3y + 5z = 100.

Tirando d'esta equação o valor de y, temos

100—30»—Bz on , 1—2z o<1

y=---- = 33 —10»—z + —-=33 —10»-z + «,

O o

1 —2z

pondo -—--= t, ou 1—2z — 3l.

o

Tirando d'esta equação o valor de z, vem 1 — 3< í—t

z ~ 2 ~~ 2 + 1_t

pondo —-— — t', ou 1—t — 2t', d*oude l— 1—2í', 2

e em seguida

  • = _ 1 + 31', y = 33 - 10» +1 - 3í' +1 - 2í' = 35 -10»— 5t'.

Substituindo os valores de y e z em qualquer das equações propostas, na primeira, por exemplo, vem

6» + 245 — 70» — 35í' — 3 + 9f' + 2u = 100,

ou — 64» —26í' + 2m = —142, d'onde « = — 71+32® + 13í.

Temos portanto as fórmulas geraes y =z 35 — 10» — 5í', z = — 1 + 3í', u = — 71 + 32® + 13í',

que dão todas as soluções inteiras.

Querendo sómente as soluções positivas, pomos

35 — 10®— 5í'>0, — l+3í'>0, — 71 + 32®+13í'>0,

l ff_32^

d'onde í'<7 — 2®, í'>—, l<>-—-. *

Para estes limites não serem contradictorios, ó necessário que

seja

„ „ 1 „ _ 71—32® 7 — 2® > —, 7 — 2®>-—-,

ou 21 —6®> 1, 91 —62®>7I —32®,

20 2 20

ou X<—=Ó—, ®>——,

6 6 6

e como queremos para ® valores positivos, sómente pode ser ® = 0, 1, 2, 3.

Fazendo ® = 0, vem

t'<7, = logo t' = 6, 7.

D'onde resultam as duas soluções

0, 0

y= 5, o z— 17, 20 m= 7, 20.

Fazendo x=\, vem

1 39

<'<5, t'>j, ('> — = 3; logo í'=3, 4, 5 IVonde resultam as tres soluções

x = 1, 1,1

y=--i(), 5, 0

z= 8, 11. 14

u= 0, 13, 26.

Fazendo x — 2, vem

í'<3, *'>-!, : logo t'= 1, 2, 3.

D'onde resultam as tres soluções

x = 2, 2, 2 y=lO, 5, 0 z = 2, B, 8 u= 6, 19, 32.

Fazendo » = 3, vem

1 , 2B

('< 1, <'>-r-, < >—75: logo í'=l, o que dá a solução

o lo

a?=3, y — 0, z — 2, íí = 38.

Admitte pois o systema proposto nove soluções positivas.

EXERCÍCIOS

Resolver em números inteiros e positivos as equações seguintes:

280. 18a: + % = 173. 281. 8a; + 13y = 413.

282. 85a; + 51t/= 187. 283. 261a; +14% = 2407.

284. 2&t + 29j/ = 1528. 285. 259a; + 74?/= 4107.

286. 635a;+ 381?/= 54737. 287. ^+|/=42.

288. f+| = 37. 289.

290. i^lfc^i+^^g

2a; — 4 y 1 J

15-2y 8-5a; 14a;-8y + l 3 -te-5?/ 7--3—" 29Z- g-=-g-•

293. SS±S»+«-^P+R 294. 0,2y-3