Tratado de Algebra Elementar/Livro 3/Capítulo 1

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Tratado de Algebra Elementar por José Adelino Serrasqueiro
CAPITULO I
Livraria Central de J. Diogo Pires (1906). páginas 208-246

!s95. le quantos modos se pode pagar a quantia de 8á40C réis, dando moedas de 1$000 réis, e recebendo c excesso em moedas de 480 réis?

296 Achar dois números taes, que a differença entre oito vozes o pri- mero e treze vezes o segundo seja 64

2G7, Achar dois números que. multiplicados respectivamente por 7 e 17, dito Droductos cuja somma é 1Í35. (ISO e 5 ou 133 e 12, etc., nove so- luções).

298. Achar dois números que, multiplicados respectinamente por 7 e 16, dão pioductoe' cuja differença é 12.

299 Um individuo pagava diariamente 246 francos a operários: homens e mulheres; cada homem ganhava 40 francos e cada mulher 6 Quantos erim o: homens e quantas as mulheres? (3 e 36, ou 6 e 31, etc., oito soluções).

3CC. Dividir 316 em duas partes, uma múltipla de U e outra mult-pla de 13 (264 § 52, ou J21 e 1C5:

3C1. Achar duas fracções cujos denominadores são 24[ãl6, e cajá somma . 10 M6 2 13 í , . \

6 24" U 6 16 °U 24 6 16 etC"' SC,S solu«oes)■

302. De quantos modos se pode obter o peso ue 1 kilogramma, com pe- zos de 30 grammas e de 2,5 graminas í (1 e 388, ou '2 e 376, «te., trota e duas soluç.õé.s).

303 Um individuo tem inais de 300 Libras e menos de 400 f sontando-as '•3 a 1J, restam 'J; e contando-as 15 a 15, restam 4- Quantas libras tem o individuo ? (334).

30t. Perguciando-se a um pastor qnantas ovelhas tinha, respondeu: te- nho mais de 100 e menos e 200: quando as conto 7 a 7 restam 2; e se as corto lí a II, ris Iam 3. Quantas ovelhas tinha o pastor? {13S)

3U5. Dividir 111 em tres partes? taes, que a primeira seja d visivel por 2, a segunda per 3 e a ♦ercsira por 7; além disto qne o triplo da pri- meira, o dobro da segunda e o quintuplo da terceira sommem 400. (10, 43, 56). I

3< s[jJJm individuo comprou 30 peças de caça por 3$500 réis: lebres a 200 réis, perdizes a 100 i eis o coelhos a 80 réií Quantas peças de caça comprob de caua especie? y(>, 19 e 5, ou 7, 13 e 10, etc., quafro solnções,.

"O7. tJm indivíduo, mandando compor a sua casa, pagava diariai lente 4$G00 réis a 2C operários, dos quaes uMÉMhi eslucadores, :>utros pedreiros e outros Itorendizes: Aprimeiros pagava 960 réis, aos segundos 360 "éis e aos terceiros 120 réis. Qmntos feraih os estucadores, quantos os pedreiros e quantos os ap-endizes? (2, 3, 16).

308. Dirl individuo pagava diariamente 260 francos a 34 operários : ho- nei.s, mulhere: e rapazes. Cada homem ganhava 10 francos, cada mulher 8 e cada rappz 2. Quintos eram homens, quantas as mulheres e qu«m tos r.-, rapazes? (3, 28, 3; 6, 24, 4, etc., ..file soluções).

339. Achar o menor numero que, dividido por 11, 17, 37 dá os restos 3, 10, 13. (5L08).

310 Um 'is ro tem menos de 500 pag/nas, contando as"7 a 7, restam 4; contanóo-as 9 a í i astam 5; e contanJo-as 11 a 11 resta.a 3. Quantas pagi/iad tem o livro? (410). tttt

LIVRO TERCEIRO

EQUAÇÕES E DESEGUALDADES DO SEGUNDO GRAU. EQUAÇÕES REDUCTIVEIS AO SEGUNDO GRAU

CAPITULO I Equações e problemas do segundo grau a uma incógnita

§ 1.° Resolução cias equações «lo segundo grau a uma incógnita

225. Uma equação do segundo grau a uma incógnita só pode conter tres especies de termos: termos em xl, termos em x e termos conhecidos. Desembaraçando a equação dos denomina- dores, transpondo todos os (ermos para o primeiro membro, re- duzindo e ordenando segundo as potencias decrescentes de x, a equação toma a forma geral

ax4 + bx 4- c = 0.

Nesta equação podemos sempre considerar a positivo: porque, se o não for, mudamos os signaes a todos os termos. As quanti- dades b e c podem ser positivas ou negativas.

A equação do segundo grau diz-se completa, quando contém as tres especies de termos; e no caso contrario diz-se incompleta.

Á equação geral do segundo grau podemos dar uma fórma mais simples. Para isso, dividindo os dois membros por a, vem

x^ H — x -f—— = 0, a a

b c

ou, fazendo — = p, — — q, x* + px -f- q — 0.

226. Resolcção ba equaçlo x'1 + px + q=(). Transpondo q para o segundo membro, temos

as9+px —— q.

Se o primeiro membro d'esta equação fosse o quadrado exacto de um binoinio do pr mei ro grau em x. isto ó, se a equação tivesse a fórma

(íc + A^^B, extrahindo a raiz quadrada, teriamos x + K — ± t/B,

que é uma equação do primevo grau, que sabemos resolver. Re- duzamor pois aquella equação a esta fórma. Para isso, podemos considerara;2 como o quadrado da pr meira parte x do binomic: px como o dobro do producto da pnmei.a parte pela segunda, isto é,

1

px—-2xxy, sendo a segunda parte y = —p;

1

e portanto, para termos o quadrado exacto do bi_ionr< x + --p,

/1 \2 1 2 falta o quadrado da segunda parte, que é í— p) =- p2.

1

Ajunclando pois — \ 2 aos do's membros da equação, resulta

a equação equivalente

1 1 / I 1

xt+px+^pt^-pt-q, ou \ x + ^p =jpZ-q. . . (i),

e ascim temos já a equação reduzida á forma (a:-t-A)2=B. Extrahindo a raiz quadrada á ambos os membros, vem

........m,

d onde J__/ 1 »

V 4P ?

Comparando esta fórmula com a equação proposta, conclue-se a seguinte regra para resolver uma equação do segundo grau, reduzida á fórma x^ 4- px + q =- 0: a incógnita é egual a me- tade do coefficiente do segundo termo, tomado com o siqnal con- n trario, mais ou menos a raiz quadrada do quadrado d'essa metade, sommado com o termo conhecido depois de transposto.

A equação (2) obteve-se, extrahindo a raiz quadrada aos dois membros da equação (1); e como a raiz quadrada tem dois valores eguaes e de signaes contrários, parece que devíamos na equação (2) affectar o primeiro membro do duplo signal ± : não é porém isto necessário. Com effeito, extrahindo a raiz quadrada aos dois membros de uma equação, as combinações que se podem obter com os signaes, não affectando o primeiro membro do du- plo signal, são

x~-\-a, x =— a.

Fazendo preceder o primeiro membro do duplo signal, temos ±a;=±a; e então as combinações, que podemos obter com os signaes, são

x = + a, x — — a, —íc = + a, —X — — «.

Ora, mudando os signaes á terceira, resulta a segunda; e mu- dando os signaes á quarta, resulta a primeira. Logo as quatro combinações reduzem-se sómente ás duas primeiras, que são exactamente as que obtivemos, não fazendo preceder o primeiro

membro do duplo signal. %

23S. Exemplos: 1.° Resolver a equação x^—7x+ 12 = 0.

Esta equação já está reduzida á fórma x* + px + q — 0 ; e por isso, applicando a regra, vem

x

2 V 4 2 V 4 2 2'

e separando as duas raizes, temos

7 1 7 1

2.° Resolver a equação

3x*+ 18 = 2»— 10. Transpondo os lermos para o primeiro membro e reduzindo, vem 3a,2 — 2a; + 28 = 0, 2 2S

e dividindo por 3, temos i— -^-f—= 0.

o J

Applicando a regra, vem

rvi, 3 3~Vy 9 3 ' V 9" 3.° Resolver a equação

kx—9

x-— 2-=—•••• . , N

x

Jleduzindo a equação á fórma x- + 'px f q — è, vem

xí — 2x = <Zx — 9, x2—6x + D==0. Applicando a regra, lemos a: = 3 ,/9 — y=»*3 ±0, donde ^ = 3 + 0 = 3, x" = 3 — 0 = 3. 4.° Resolver a equação

5 « 1 3 „ 2 _ , 273

Reduz;ndo a equação à fórma geral, vem

1G»2 — 6x + 9 = 9G — 8x — 12®» + 273,

2 360

22x* + 2x —360 = 0, fi =0.

22 22

Applicando a regra, temos

7C2Õ

1 / 1 , 360_ I 1 " 7C20

.2 ± V 22* 22~ 22 ~ V f ^

1 //921_ 1 89

d'onde

1_ L '/__

22~~' 3 jT' 22~Li-~22' 238. Resolução da equação ax1* + bx + c <= 0. Trans- pondo c para o segundo membro, temos

axi + bx = — c...............(1).

Se o primeiro membro d'esta equação fosse o quadrado exacto de um binomio do primeiro grau em x, isto é, se a equação ti- vesse a fórma

(as+ A)2=B, extrahindo a raiz quadrada, teríamos x + A =

que"& uma equação do primeiro grau, que sabemos resolver.

Reduzamos jpois aquella equação a esta fórma. Para isso, po- demos considerar axâ como o quadrado da primeira parte do binomio, sendo x\/a a primeira parte; podemos considerar te como o dobro do producto da primeira parte pela segunda, isto é,

bx = 2xVaxy, sendo a segunda parte y — ^ ;

/- 6

e portanto, para termos o quadrado exacto do binomio x\

( b \s 6*

falta o quadrado da segunda parte, que é í—-r=\ == .

. b^ " Ajunctando pois — aos dois membros da equação, resulta

b* / ,/-, h \2 — 4ac

axi + bx + —=,--c, ou waf—7=) =—--,

4a 4a \ 2^0/ 4a

e assim temos já a equação reduzida á fórma (íc + A)2 = B. Extrahindo a raiz quadrada, vem

b 4ac

xVa -I- —7== — —-—'

2 \/a 2 {/a

ou, mulliplicando por

2 [/a,

. a -t?-- , — b ± t/fcs — 4ac

2ax 4-b — ± vb2 — 4 ac, donde a?=----

2a Comparando esta fórmula corn a equação proposta, conclue-se a seguinte regra para resolver urna equaçào do segundo grau, reduzida à fórma ax2 + bx + c = 0 : a incógnita é egual ao coef- ficiente do segundo termo, tomado com signal contrario, mais ou menos a raiz quadrada do quadrado d'esse coefficiente, menos o quádruplo do coefficiente do primeiro termo multiplicado pelo lermo conhecido; tudo dividido pelo dobro do coefficiente do primeiro termo.

Advertencia. Esta regra pode simplificar-se quando o coeffi- ciente b for par. Porque seja b — Ih: substituindo este valor na fórmula, vem

__ — 2k± V'4/f2 — hac — 2/c ± \!— ac) 2a 2a

— 2/,- ± — ac —k ± [/k* — ac

2a a

Logo: Quando o coefficiente do segundo termo for par, a incó- gnita é igual a metade do coefficiente do segundo termo tomado com signal contrario, mais ou menos a raiz quadrada do quadrado d'essa metade, menos o producto do coefficiente do primeiro termo pelo termo conhecido, tudo dividido pelo coefficiente do primeiro termo.

999, Exemplos: 1.° Resolver a equação 3a? + 5a; — 68=0.

Esta equação jâ tem a fórma ax^ + bx + c — 0; e por isso applicando a regra, vem

— 6 ± 1/26 + 4x3x68 -5 ± v/841 —5 ±29 -6--=-6-=-6 '

, —5 + 29 -5-29 34

d onde x =---= 4, x" =---=--—.

6 6 6

2.° Resolver a equação

3 2 5 2-L K 53

— a;2 + —5a;--—.

4 3 8 6 Reduzindo a equação á fórma ax* + bx + c = 0, vem 18»2 + 16 = 15»2 + 120» —212, 3r2 — 120» + 228 = 0. Applicando a regra, vem

60 ± v/3600 — 684 60 ± ^2916 60 ± 54

x —-

3 3 3

, , 60 + 54 114 „ 60 — 54

donde x? —---=—=38, st>" =--—- = 2,

o o o

Em lodos os exemplos antecedentes achámos duas raizes para a equação do segundo grau. Vamos agora demonstrar que: Uma equação do segundo grau a uma incógnita não admitte mais de duas raizes.

Supponhamos que a equação geral

a»2 + bx + c = 0

admitte tres raizes differentes: íc = a, x — [í, x=y. Substi- tuindo cada um d'estes valores na equação, temos

a*2 + 6a + c = 0, a|32 + 6|3 -f c === 0, oy2 + 6y + c = 0. . .(1).

Sendo a, (3, y tres raizes differentes, podemos suppor que é a>(3, e a > y; e subtrahindo então a segunda egualdade da pri- meira e do mesmo modo a terceira, resulta

fl(«í _ + _ p) = o, a(a2 — y2) + b(a — y) = 0,

ou

a(«+p) (a—P) +6(a— (3) = 0, a(a + y) (a — y) + 6(a — y) = 0.

Dividindo a primeira d'estas egualdades por a — (3, e a se- gunda por a—y, o que é permillido, visto que a — [i e a—>y não são nullos, vem

a(a + (3) + 6 = 0, a(a + y) + 6 = 0........(2),

e subtrahindo a segunda da primeira, a((3 — y) = 0.

Ora, o factor [i—-y não é nullo, logo ha de ser a = 0. Em seguida, qualquer das egualdades (2) dá 6 = 0, e qualquer das egualdades (1) dá c—O. Portanto a equação proposta, converte-se em

().íc2+ 0 .x + 0 = 0,

que é uma identidade e não uma equação; e o mesmo tem logar para mais de tres raizes.

§ 2.° Discussão dLas raizes «Ia equação x*+px + q = 0

331. Temos a equação geral

x2 +px + q — 0,

que, resolvida, dá

1 / 1

—jp^VTP*-'

2

Vamos discutir esta fórmula, considerando as differentes liypo- theses que se podem fazer sobre os signaes e valores de p e q.

1 1

i.° Caso. — p2 — q> 0, ou pí> q- Neste caso, a quanti-

4-

da de que estô debaixo do radical é positiva; e como a raiz qua- drada de uma quantidade positiva tem dois valores reaes e eguaes, um positivo e outro negativo, segue-se que os dois valores de x são reaes mas deseguaes, pois que um é a somma e o outro a

i [T

differença das quantidades--—p ey P2 — <7

1

Além d'isto, sendo ~p2></, pode ser q positivo ou negativo. l.° q < 0. Neste caso a equação tem a fórma

1 / 1

x2 + px — 9 = 0, d'onde x =--—p =fc V/ -yp^ + q-

/l 1 /\ 1

Ora, sendo y — P2—^P> serâ y P2 + A^P: é

o radical que determina o signal do resultado; e como elle é precedido do duplo signal ±, segue-se que os dois valores de x têm signaes contrários. Portanto 1

Quando é — ps — q > O e o termo conhecido ê negativo, as duas 4

raizes são reaes, deseguaes e de signaes contrários.

2.° q > 0. Neste caso, a fórmula geral, que dá os valores de x,

f\ . 1

subsiste sem modificação nenhuma. Oro, sendo \/ ~yP — ~WP> / 1 1

será w — q< p. |0g0 (, a quantidade, que está fóra do

• 4 Z

radical, que determina o signal do resultado; e como esta quan- tidade tem sómente um signal contrario ao do coefficiente do segundo termo, segue-se que os dois valores de x têm o mesmo signal contrario ao d'aquelle coefliciente. Portanto 1

Quando é — p*2 — q > 0 e o termo conhecido é positivo, as duas

raizes são reaes, deseguaes e do mesmo signal, contrario ao do coefficiente do segundo termo.

1 1

2.° Caso. —-pV — q= 0, ou — p'2 = ç, e por consequência q

positivo. Sendo nulla a quantidade que está debaixo do radical, a fórmula geral torna-se em

1

x = — ~p± 0,

1111

donde = + 0 = p, x"=-—p-0 = - — p.

1

Logo: Quando é p*2 — q = 0, as duas raizes são reaes, eguaes

e do mesmo signal contrario ao do coefficiente do segundo termo.

Este mesmo resultado se deduz da equação. Porque, substi- tuindo nella q pelo seu valor vem

1 / 1 \2 + px 4- — -p* — 0, ou + f )

ou, extrahindo a raiz quadrada

1 1

x + -prp = ± 0, donde x =--—p ±0.

a 2 Advertiremos que, no caso considerado, o primeiro membro da equação é um quadrado perfeilo.

1 1

3.° Caso. —p* — 7<0, ou p^<q, e por consequência q

positivo. Neste caso a quant-dade que está debaixo do rad cal é negativa, e como a ra'z quadrada de" uma quantidade negativa tem dois valores eguaes e de signaes"contraídos, e ambos imagi- nai ios, segue-se que os dois valores de x são imaginários

Logo: Quando é,— pa—q<0, as duas raizes são imaginarias.

Reconhece-se facilmente que estas raizes imagincrias satisfazem á equação. Com effeito, sendo

1 P 1

p"1— g< 0, será — ,m — q — —-m:

4 r * ' 4

em cr, —

2

I

e então a fórmula geral torna-se em x==— jn&^M—m•

Substit1 indo este valor de x na equação, vem

— p ± »/ —m +[ ' — ' p± «/—mj |jj q = 0, \ _j __

ou — p2 ± f \f—m— m---± p\/—m + q = 0,

4* 2i

1 1 1

011 — ^— - ps +y = 0, ou 0 = 0,

que é uma identidade

\lém d'isto, a equação é neste caso impossivel para valores reaes de x. Com effeito, sendo

~ v2<?, será g = +

e substituindo este valor na equação, temos

1 / 1 \2 x '- px + — p* + a = 0, ou x + — p + a = 0. Ora, para qualquer valor real de x, a potencia (x + — p

é uma quantidade positiva. Além d'isto, a é também uma quan-

1

tidade positiva, que representa o excesso de q sobre—p2; e assim

temos a somma de duas quantidades positivas egual a zero, o que é impossível. I

Advertencia. Quando for —p2—</<(), a fórmula geral das raizes

-j _ j _ ____

x = —~~p ± \J—m— — — p ±\/m\f—1 = A±B \J — 1, >— z

tal é a fórma geral dos imaginarios a que conduz a resolução das equações do segundo grau.

Uma equação do segundo grau não pode ter uma raiz real e outra imaginaria; porque a condição de serem reaes ou imagi- narias as raize^ da equação depende do radical, e este faz parte das duas raizes.

4-.° Caso. p = 0. Neste caso, a fórmula geral torna-se em

X= ± \f—q,

raizes eguaes, de signaes contrários e ambas imaginarias. Porém, se o termo conhecido for negativo, a fórmula dá

x= ±\/ q,

raizes eguaes, de signaes contrários e ambas reaes.

Isto mesmo se deduz da equação, fazendo nella p = 0. Logo: Quando falta o segundo termo, as duas raizes são eguaes, de signaes contrários, e ambas reaes ou imaginarias, segundo o termo conhecido for negativo ou positivo.

5.° Caso. q — 0. Neste caso, a fórmula geral dá

1 1

x = — -—p±—-p, d'onde x'= 0, x" = —p. 2 2

Este mesmo resultado se deduz da equação. Com effeito, fa- zendo nella q — 0, vem

x1 + px = 0, ou x(x +p) — 0; e como, para um producto ser nullo, é necessário que pelo menos um dos factores o seja, segue-se que esta equação fica satisfeita, pondo

x — O, ou x+p = 0, d*onde x ——p.

Logo: Quando falia o terceiro termo, uma raiz é nulla, e a outra ê egual ao coefficiente do segundo termo, tomado com o si- gnal trocado.

6.° Caso. p — 0, ç = 0. Neste caso, a fórmula dá « = ±0; e isto mesmo se deduz da equação. Porque, fazendo p — 0, 9 = 0, a equação reduz-se a

x* = 0, (Temde x= ± 0.

Logo: Quando falta o segundo e o terceiro termo, as duas raizes são nullas.

§ 3.° Discussão da,s raizes da equação ax% + bx + c — 0

8 "88. Temos a equação geral

ax2 + bx + c — 0,

±t/&2—íac

que, resolvida, dá x-

2a

Vamos discutir esta fórmula, considerando os differentes casos que podem apresentar-se.

1.° Caso. 62— 4-ac>0, ou í)2>4ac. Neste caso, a quanti- dade que está debaixo do radical é positiva ; e como a raiz qua- drada de uma quantidade positiva tem dois valores reaes e eguaes, um positivo e outro negativo, segue-se que os dois valores de x são reaes mas deseguaes, porque um tem por numerador a somma e o outro a differença das quantidades — b e b2 — 4ac.

Além d'isto, sendo fc2>4ac, pode ser c positivo ou negativo, 1.° c<0. Neste caso a equação tem a fórma

ax^ Vbx — c = 0, d'onde x—-—f.

2 a Ora, sendo \/b^ = b, será V^62 + 4ac> 6: logo é o radical que determina o signal do resultado; e como elle é precedido do duplo signal ±. os dois valores de x tem signaes contrários. Logo: Quando o termo conhecido é negativo, as raizes da equação são reaes, deseguaes e de signaes contrários.

2.° c>0. Neste caso a fórmula, que dá os valores de x, não soffre modificação nenhuma; e sendo vb^—b, será hac<b: logo é a quantidade que está fórn do radical, que determina o signal do resultado; e como esta quantidade tem sómente um signal contrario ao do coefficiente do segundo termo, os valores de» têm o mesmo signal contrario ao d aquelle coefficiente. Portanto: Quando o termo conhecido é positivo e é b2— 4ac>0, ou k2 — ac>0 se b for par, as duas raizes são reaes, deseguaes e do mesmo signal, contrario ao do coe/jicienle do segundo termo.

2.° Caso. —4ac = 0, ou 62 = 4ac, c por consequência c positivo. Sendo nulla a quantidade que está debaixo do radical, a fórmula dá

-6± 0 „ , , -6 + 0 6 „ —6—0 6 x= —--, d onde x'——--=-----, x'--

2 a 2a ■ 2 a 2 a 2a

Logo: Quando é b2— 4ac ==■ 0, ou k2 — ac = 0, se b for par, as duas raizes são reaes, eguaes e do mesmo signal contrario ao do coefficiente do segundo termo.

3.° Caso. 62 — 4ac<0, ou 62<4ac, e por consequência c positivo. Neste caso a quantidade que está debaixo do radical é negativa ; e como a raiz quadrada de uma quantidade negativa tem dois valores eguaes e de signaes contrários, e ambos imagi- narios, segue sc que os dois valores de x são imaginarios.

Logo: Quando é b2 — 4ac<0, ou k2— ac<0 se b for par, as duas raizes são imaginarias.

Reconhece-se facilmente que estas raizes imaginarias satis- fazem á equação. Com efíeito, sendo

62 — 4ac < 0, será 62 — 4ac = — m:

— 6 ±V—m

e então a lórmula gerai torna-se em x=---.

Aa Substituindo este valor de x na equação, vera

/— b ± y/—mV —b± V — m

|| - -2a ) +i' íijr +e = °' fc2 =p 26 M HI — m

ou a. -----+----4 c =0,

4 2 a

ou 62q;2fcV/-m+6í-4ac-26,±26V/"-ín + 4ac=0, ou 0=0,

que é uraa identidade.

Além d'isto, a equação é nesle caso imposrvel para valores reaes de x. Porque de

b* b"1 l2—^iac< 0 tira-se c >,'^i;: loco será c= — + <x; - 4a 4a

e subst.tuindo este valor na equação, temos

li / _ b ax2-r + — + a = 0, ou ( Wa + —7= + « = 0. 4a \ 2/a/

/ /- \2 Ora, para qualquer vaior real de rr, a potencia rr V a -f J

é uma quantidade posiiiva. Além d isto, a è também uma quan-

1,2

tidade positi- a, que representa o excesso de c sobre —; e assim

4 a

temos a somma de duas quantidades pos.tivas egual a zero, o que é impossivel.

AnvEic ErciA. Quando for oi — íac < 0, a fórmula geral das reizes é

M b ± ^-J = _ 4- i/ZTf^ A 4 B</=T

2a ■ • 2a 6 'ía v ~t r >

tal-é a fórma geral dos «maginarios, a que conduz a resolução das equações do segundo grau.

Uma equação do segundo grau não pode ter uma raiz real e outra imagi íaria ; porque a condição de serem reaes ou imagi- narias as reizes da equação depende do radical, e este faz parte das duas raizes. 4.° Caso. 6 — 0. Neste caso, a fórmula geral dá

zt V7— 4ac 2a

V a

raizes eguaes, de signaes contrários e ambas imaginarias. Porém, se o termo conhecido for negativo, a fórmula dá

v a

a

raizes eguaes, de signaes contrários e ambas reaes.

Isto mesmo se deduz da equação, fazendo nella 6=0. Logo: Quando falta o segundo termo, as duas raizes são eguaes, de signaes contrários, e ambas reaes ou imaginarias segundo o termo conhecido for negativo ou positivo.

5.° Caso. c = 0. Neste caso, a fórmula dá

x = —---d'onde a/ = 0, x" = — —.

2a a

Este mesmo resultado se deduz da equação. Com efíeito, fa- zendo nella c = 0, vem

are2 4 bx = 0, ou xj[ax + b) — 0 ;

e como, para um producto ser nullo, é necessário que pelo menos um dos factores o seja, segue-se que esta equação fica satisfeita pondo

x = 0, ou ax + b — 0, d'onde x—--

a

Logo: Quando falta o terceiro termo, uma raiz é nulla, e a outra é egual ao coefficiente do segundo termo, tomado com signal trocado e dividido pelo coefficiente do primeiro termo.

6.° Caso. c = 0, 6 = 0. Neste caso, a fórmula dá x= ± 0; e isto mesmo se deduz da equação. Porque, fazendo 6 = 0, c=0, a equação reduz-se a

axt = 0, d'onde x= ± 0.

Logo: Quando falta o segundo e o terceiro termo as duas raizes são nullas. Advertencia. Vimos que a equação do segundo grau tem uma raiz nulla, quando é c = 0; e tem duas raizes nullas, quando é c = 0, b — O. Esta propriedade pertence a todas as equações algébricas, e enuncia-se do modo seguinte: Quando, numa equa- ção algébrica, os últimos lermos desapparecem successivamente epor ordem, a cada termo desapparecido corresponde uma raiz nulla.

7.° Caso. a — O. Então, a fórmula geral torna-se em

-b±b * , -b + b 0 „ —b-b -2b X = dondea/—_-oo,

Portanto, quando é a — O, uma das raizes é infinita, e a outra apresenta-se indeterminada: vamos, porém, demonstrar que esta indeterminação é só apparente. Com eífeito, a raiz, que se apre- senta debaixo da fórma de indeterminação, é

. — b + \/b* — 4 ac

X==-2a-*

Multiplicando os seus dois termos por—b—Vfc8—ílac, vem

(-6 + Vb*-bac){ -b- VW^i ac) _ — 62 + 4 ac

2a( — b — VW —4Õc) ~~ 2a(-b- VW-lac)

2c -

x'

_ b —4ac' e introduzindo a hypothese de ser a — O, resulta ,_ 2,c _

donde se vê que a raiz, que apresentava a fórma de indetermi- nação, tem um valor finito; e por consequência, quando for a=0,

uma das raizes ê infinita, e a outra é egual a--—.

8.° Caso. a = 0, 6 = 0. Neste caso os dois valores de x apre-

sentam-se debaixo da fórma —: reconhece-se porém facilmente, como 110 caso antecedente, que estas indeterminações são appa- rentes, e que os valores de x são ambos infinitos.

Advertencia. Como a fórmula geral das raizes foi deduzida suppondo a diflerente de zero, temos de demonstrar que os re- sultados, deduzidos da fórmula nos dois casos antecedentes, con- cordam com os resultados deduzidos directamente da equação.

Para isso, dividindo os dois membros da equação por a;2, o que é permittido, pois que, sendo c diflerente. de zero, nenhuma das raizes 6 nulla, vem

6 c 1 / c\ (H---f — = 0, ou a + —í 6 H--J = 0.

X X X \ OC J

Para a = 0, esta equação reduz-se --

e como, para um producto ser nullo, é necessário que pelo menos um dos factores o seja, segue-se que esta equação fica satisfeita, pondo

1

— = 0, d'onde x = cc , '

x

c c ou 6-1--= 0, ou 6» 4- c = 0, d'onde x =--

x b

Se fòr a = 0, 6 = 0, a equação reduz-se a

±.-!--0>

X X

1 , • c

logo — = 0, d'onde x = <x>; — = 0, d'onde x — ao ,

X X

resultados em harmonia com os deduzidos da fórmula geral.

Vimos que a equação do segundo grau tem uma raiz infinita, quando 6 a — 0; e tem duas raizes infinitas, quando è a — 0, 6 = 0. Esta propriedade pertence a todas as equações algébri- cas, e enuncia-se do modo seguinte: Quando, numa equação al- gébrica, os primeiros termos desapparecem successivamente e por ordem, a cada termo desapparecido corresponde uma raiz infinita.

9.° Caso. a===0, 6 = 0, c=0. Então a fórmula dà « = - ; e neste caso x é realmente indeterminado, pois que na hypothese considerada, a equação reduz-se á identidade O®2 + Oa; + 0 = 0.

| 4.° Propriedades cias equações do segundo grau

833. Se a for raiz de uma equação do segundo grau, o seu primeiro membro é divisível por x— a. Reciprocamente, se o pri- meiro membro da equação for divisível por x — a, a é raiz da equação. Temos a equação geral

ax2 bx + c = 0.

Designando por R o resto da divisão de ax% + bx + c por x — a, ternos (n.° 56)

R = aa2 + 6a + c.

Posto isto, seja a raiz da equação: substituindo x por «, a equação ficará satisfeita; e teremos

a*2+ ba + c — 0,

isto é, o resto nullo. Logo, sendo a raiz da equação, o seu pri- meiro membro é divisível por x — a.

Seja em segundo logar o primeiro membro da equação divi- sível por x — a; teremos

R '= + Èa + c = 0,

o que mostra que a equação fica satisfeita, substituindo a; por a: logo a é raiz da equação.

834. Relações entre as raízes t»e uma equação.po

segundo grau e os seus coefficientes. 1 ."A SOmma cias raizes de uma equação do segundo grau, reduzida á fórma ax2 + bx-f c = 0, ê egual ao coefficiente do segundo termo tomado com signal' contrario e dividido pelo coefficiente do primeiro termo; 2." O producto das raizes é egual ao lermo conhecido dividido pelo coefficiente do primeiro termo. Com effeito, temos a fórmula

— b± t/&2 — 4ac donde, separando as raizes,

— b+ v/^ — ioc — b — Uc

x'=-*-;--, --—---.

2 a 2 a

Sommando estas duas egualdades, vem

x> + afl==~^b== b

2 a a'

Multiplicando as mesmas egualdades, temos

( (/ _ (- -H s/lP-^hac) (-b- 'Jb* 4ac) __ b^ -fcH hac _ c

X><X = ~ «T"

Advertencia. Se for a—l, isto é, se a equação tiver a fórma x2 + px + q = 0, conelue-se que:

A somma das raizes de uma equação do segundo grau, reduzida á fórma x2 + px + q = 0, è egual ao coefficiente do segundo termo tomado com signal contrario; e o producto das raizes é egual ao termo conhecido.

O primeiro membro de uma equação do segundo grau, reduzida á fórma ax2 + bx + c = 0, é egual ao coefficiente do primeiro termo multiplicado pelo producto de dois factores bino- mios do primeiro grau em x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes. Sejam a e £ as raizes da equação

b c,

será « + |3= ——, = —; d'onde b = ~aa — a$, c—aa.$. a a

Substituindo estes valores na equação, vem a»2 + bx + c=aa2—a«x—afix + aa{J =* ax (x—a) — a$ (x—a) = (» — «) (ax — ap) = a [x — a) (x — (3).

Advertencia. Se for a = 1, isto é, se a equação tiver a fórma x2, + px + q — 0, conclue-se que:

O primeiro membro de uma equação do segundo grau, reduzida á fórma x2 + px + q = 0, é egual ao producto de dois factores binomios do primeiro grau em x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes.

Por meio d'estes princípios resolvem-se facilmente os seguintes problemas:

1Dada a somma e o producto de duas quantidades, deter- minar cada uma, d'ellas.

As duas quantidades pedidas são as raizes de uma equação do segundo grau, em que o coefficiente do primeiro termo é a uni- dade, o coelficienle do segundo é a somma dada tomada com signal contrario, e o termo conhecido 6 o producto dado.

Exemplo: Achar dois números cuja somma seja 20 e o pro- ducto 96. Temos a equação

x* — 20a; + 96 = 0; ,

donde x = 10 ± yf\00 — 96 == 10 ±2,

e por consequência ai — 12, x'1 = 8.

2.° Dadas as raizes de uma equação do segundo grau, formar a equação a que ellas pertencem.

Sommain-se as raizes e forma-se o seu producto: aquella somma, tomada com signal contrario, é o coefficiente do segundo lermo; o producto é o termo conhecido, e além d'isto o coeffi- ciente do primeiro termo é a unidade.

Podemos também formar a equação, egualando a zero o pro- ducto dos factores binomios que se obtêm, subtrahindo de x cada uma das raizes. Exemplo: Formar a equação cujas raizes são

oi = 4, x" = — 7.

Temos x'+ x= 4 -—7 — — 3, x'x" —— 28. Logo a equa- ção pedida é

3a —28 = 0.

Pelo segundo processo, temos

(* — 4)(íc + 7) = 0, ou ^ +3a —28 = 0.

3.° Determinar a condição necessário para que as raizes de

uma equação do segundo grau sejam eguaes c de signaes contrários.

  • "

L Supponhamos a equação

x1 + px + q = 0:

sejam x' e x1' as raizes d'esta equação, e supponhamos que estas raizes são eguaes e de signaes contrários: será

a;' + x" = 0;

e como íi somma das raizes é egual ao coefficiente do segundo termo tomado com signal contrario, será p = 0. Logo: para serem eguats e de signaes contrários as raizes de uma equação do segundo grau é necessário que o coefficiente do segundo termo seja nullo.

4.° Discutir a priori uma equação do segundo grau é dizer, sem a resolver, se as raizes são reaes ou imaginarias, e se forem reaes dizer se são eguaes ou deseguaes: no caso de serem eguaes, dar o seu valor commum; e, no caso contrario, dizer se são com- mensuraveis ou incommensuraveis, e se têm o mesmo ou diffe- rente signal; quando têm o mesmo signal, dar o signal commum; e, no caso contrario, dizer o signal da maior raiz em valor absoluto. Exemplos : 1Discutir a equação

x2 — 7»+12 = 0.

1 /7\2 49 1

Temos -p2-9 = ( -) -12 = - - 12 = ^0:

logo as raizes são reaes e deseguaes; e como-rp2 — q é um

4

quadrado perfeito, as raizes são commensuraveis. Além d'isto, sendo q positivo, as raizes têm o mesmo signal; e como p é ne- gativo, as raizes são positivas.

2.° Discutir a equação

3«2+5« + 7 = 0.

Temos —4ac = 52 —4.3.7 = 25 — 84 = —59<0: logo as raizes são imaginarias.

3.° Discutir a equação

5«2+ 14» —3 = 0.

Temos /í2 — ac = 7* + 5.3 = 49 + 15 = 64> 0; logo as raizes são reaes, deseguaes e commensuraveis, por ser k2 - a c um quadrado perfeito. Além d'isto, sendo c negativo, as raizes têm signaes contrarios; e como b é positivo, a maior raiz em valor absoluto é a raiz negativa.

=== 5.° Propriedades do trinomio do segundo grau ===

237. Chama-se trinomio do segundo grau todo o trinomio inteiro em relação a x e do segundo grau em x. A sua fórma geral é

ax2 + bx + c,

sendo a, b e c quantidades conhecidas, e x uma quantidade variavel, que pode receber todos os valores possiveis.

Quando o coefficiente do primeiro termo é a unidade, o trinomio tem a fórma x2 + p x + q.

Raizes do trinomio do segundo grau são as raizes da equação, que se obtém, egualando o trinomio a zero.

238. Decomposição do trinomio em factores.

1.° Supponhamos o trinomio x2 + px + q. Designando por x' e x" as suas raizes, isto é, as raizes da equação

x2 + p x + q = 0,

temos (n.° 235, advt.)

x2 + p x + q = (x — x')(x — x").

Logo: Todo o trinomio do segundo grau, que tem a fórma x2 + px + q, é egual ao producto de dois factores binomios do primeiro grau em 'x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes.

2.° Supponhamos o trinomio a x2 + b x + c. Designando por x' e x" as suas raizes, isto é, as raizes da equação

a x2 + b x + c = 0,

temos (n.° 235) a x2 + b x + c = a (x — x')(x — x").

Logo: Todo o trinomio do segundo grau, que tem a fórma a x2 + b x + c, é egual ao coefficiente do primeiro termo multiplicado pelo producto de dois factores binomios do primeiro grau em x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes.

Exemplo: Decompor o trinomio 4a;2— 8a;— 21 em factores. Egualando o trinomio a zero, para achar as suas raizes, temos

4a;2 — 8a; — 21 = 0; '

„ < 4 ± ^76 + 84 4 ±10

donde x — --:-=-—-—,

4 4

ou, separando as raizes,

', 4 + 10 14 7 _ 3

X ' 4 4 2'

Logo 4a;2—8a; —21 = 4^ —+

839. Uma expressão algébrica diz se funcção continua de uma variavel x, quando, dando a x valores que differem entre si tão pouco quanto quizermos, os valores correspondentes da ex- pressão differem também entre si tão pouco quanto quizermos.

O trinomio do segundo grau ax2+ bx + c é uma funcção con- tinua de x.

Com eíFeito, sejam x — a. e x — a + h dois valores de x que diíferem entre si tão pouco quanto quizermos, tomando h sulfi- cientemente pequeno: os valores correspondentes do trinomio são

a*2 + ba. + c, a (a + h)* + b(a + li) + c; e a differença d'estes valores é

aa2 + 2ah + ah" + b* + bh + c- aa2 — ba — c=- h(2aa + b + ah}.

quautidade que pode tornar-se menor que qualquer grandeza, visto que h tende para zero.

S4LO. Se dois números, subsliluidos por x no trinomio ax2 4- bx + c, derem resultados, de signaes contrários, a equação ax2 + bx + c. = 0 tem uma raiz comprehendida entre esses dois nurneros.

Sejam « e Ç> os dois números que, substiluidos por x, dão resultados de signaes contrários, e seja a < (3. Imaginando que x varia por graus insensíveis desde a até o trinomio variará de uma maneira continua; e por isso, na passagem do valor positivo para o valor negativo, ha de necessariamente o trinomio annular-se para um certo valor de x, comprehendido entre a e (3. Este valor de x é pois raiz da equação ax2 bx + c = 0.

241. Se as raizes do trinomio do segundo grau forem reaes e deseguaes, o valor do trinomio tem o signal do coefficiente do primeiro termo para qualquer valor de x não comprehendido entre as duas raizes; e tem signal contrario para valores de x compre- hendidos entre as raizes. Sejam x' e x'1 as raizes do trinomio a»2 + bx + c, e seja x' > x": teremos

ax2 + bx + c = a(x—x') (x —■ x'r).

Posto isto, seja a um numero não comprehendido entre as duas raizes, isto é, maior ou menor do que cada uma d'el!as: substituindo x por a, os dois factores x — x' e x — x" ficam com o mesmo signal: logo o producto (x—x')(x—x") é posi- tivo, e por consequência o seu producto por a, isto é, o trinomio proposto terá o signal de a.

Seja, em segundo logar, p um numero comprehendido entre as duas raizes, isto é, x'>?> >x!': substituindo x por |S, o factor x — x' fica negativo e o factor x — xf' fica positivo: logo o pro- ducto (x — x')(x — x") é negativo, e por consequência o seu producto por a, isto é, o trinomio proposto terá signal contrario ao de a.

«813. Se as raizes do trinomio forem reaes e eguaes, o valor do trinomio tem sempre o signal do coefficiente do primeiro termo para qualquer valor de x, áifferente das suas raizes. Sejam x' e x" as raizes eguaes do trinomio: teremos

ax2 + bx -f c = a(x —x) (x — x') = a(x — íc')2;

.,m. e como a potencia do grau par de uma quantidade real é sempre positiva, segue-se que o factor (x — x')s ê positivo para qualquer valor real de x: logo o seu producto por a, isto è, o trinomio proposto terá sempre o signal de a. Exceptua-se o caso de sub- stituir por x o valor af, porque então o trinomio reduz-se a zero. Se as raizes do trinomio forem imaginarias, o valor do trinomio tem sempre o signal do coefficiente do primeiro lermo para lodo e qualquer valor de x. Sejam

af =« + f> V—í x'! = a — (3 V —1 as raizes do trinomio ax2 4 bx 4 c: teremos

__4

aHbx+c=a(x—oc — $ v/-l)(«—a + 3 v/-l) = (n.° 42, 5.°) = a[(x — a)2 — B2. —1] = a\_(x — «)2 + £2].

Ora, o segundo factor, sendo a somma de dois quadrados, é sempre positivo para qualquer valor real de x: logo o seu pro- ducto por a, isto é, o trinomio proposto tem sempre o signal de a.

| 6.° Desegualdades do segundo grau a uma incógnita

244. Desegualdade do segundo grau a uma incógnita é aquella em que o maior expoente da incógnita ê 2.

A desegualdade mais geral do segundo grau a uma incógnita é

ax2 4- bx + c > 0 ou ax2 4 bx 4 c < 0.

Resolver uma desegualdade do segundo grau ê achar os limites dos valores de x, que satisfazem á desegualdade, isto é, que tornam o seu primeiro membro positivo ou negativo, segundo a desegual- dade tiver a fórma ax2 4 bx 4 c > 0, ou ax2 4 bx 4 c < 0.

245. Para resolver uma desegualdade do segundo grau, de- terminam-se primeiramente as raizes do trinomio que fórma o primeiro membro da desegualdade; e depois, as propriedades do trinomio fazem conhecer os valores, que se devem dar a x, para que o trinomio lenha o signal de a ou ó signal contrario, e por consequência para que o trinomio seja positivo ou negativo.

246. Exemplos. 1." Resolver a desegualdade

3x* — 10íc + 3>0. Egualando o trinomio a zero, para achar as suas raizes, temos 3a;2 — 10a; 4 3 — 0: *

„ , 5 ± v/25 — 9 5 ± v/16 5=t4 donde » =----=-3—= 3 '

1

e por consequência x1 — 3, x?'=;-,

o

raizes reaes e deseguaes. Mas, quando as raizes do trinomio são reaes e deseguaes, para o valor do trinomio ter o signal do pri- meiro termo, é necessário dar a x valores não compreliendidos entre as duas raizes; e por consequência os valores de x, que satisfazem á desegualdade, são os números maiores que 3 e os 1

números menores que—.

o

2.° Resolver a desegualdade

— 3x2 + 7»4 66 >0. Egualando o trinomio a zero, temos

— 3x2 + 7íc+ 66 = 0, ou 3»2 —7» —66 = 0:

„ , 7 ± V/49 + 792 7±v/8il

d onde x = —-= —-=

6 6

e por consequência

, 36 fi /, 22 O2

.'=- = 6,* =--=-3 3,

raizes reaes e deseguaes. Mas, quando as raizes do trinomio são reaes e deseguaes, para o valor do trinomio ter signal contrario ao do primeiro termo, é necessário dar a x valores comprehen- didos entre as duas raizes; e por consequência os valores de », que satisfazem â desegualdade, são os números comprehendidos 2

entre 6 e — 3 —.

o

3.° Resolver a desegualdade

4»* + 20» + 25 > 0.

Egualando o trinomio a zero, temos

4»2 + 20» + 25 = 0: RggMMUINMQMi

234 algebra elementar

„ , —10 ± t/í 00-^100 —10 ± o

donde x ———-.-<-=--

4 4

e por consequência

,__ —10 + 0_ _B „__ — 10 — 0__5

4 '""2' X 4 ~2'

raizes reaes e eguaes. Logo (n.° 242), qualquer valor de x, dif-

5

ferente de — —, satisfaz è desegualdade.

4.° Resolver a desegualdade

2a2 —6a: + 12<0. Egualando o trinomio a zero, temos

2a;2 — 6®+12 = 0:

„ . 3 ± l/9 — 24 3 ± V— 1B

donde x —-=---,

2 2

raizes imaginarias. Logo (n.° 243), todos os valores de x tornam

o trinomio positivo, e por consequência nenhum d'elles satisfaz á

desegualdade.

t | 7,° Problemas do segundo grau a uma incógnita

249. Achar um numero tal que, tirando do seu quadrado a sua terça parle, o resto seja egual a metade do mesmo numero mais um. Designando por x o numero procurado, temos

1 1

x---— ai === — x + 1.

3 2

Resolvendo esta equação, vem

6a2 — 2x = 3xi-6, 6a;2—5a; —6 = 0,

_ 5 ± t/2B~+T44_5 ± v/í69_5 ± 13

12 = 12 = 12 '

/_L8_1

12 Z' X 3 8. Achar um numero tal que. tirando 27 do sev quadrado e ajimclando 8 ao seu dobro, os resultados sejam eguaes.

Designando por » o numero procurado, temos

a;2—27 = 2;i;+8; e resolvendo esta equação, vem x2 — 2» — 35 = 0, »=1 'B\'i + 35 = 1 ± 6, »' = 7, »" = —5,

949. Achar um numero tal que, suhrahtdo de 4, o producto do resto por este mesmo numero pugmentado de 2 seja egual ao quadrado d este numero mais 4-

(4 — »)(» + 2)=»H 4.

Resolvendo esía equação, vem

— »2 + 9» + 8 = »* + 4, 2»2 — 2x — 4=0,

ltfavT+S 1±3 , „ . » = ---- -, »' = 2, »" =-1.

Lm individuo comprou um certo numero de hicíros de patino por 24$000 réis. Se com a mesma quantia tivesse com- prado menos tres metros, cada metro lhe custaria mais 400 réis. Petgunta-se quantos metros de panno comprou?

24000

Sua » o numero procurado de metros: será — o preço

24000 x ,

que custou cana metro, e —- o preço que custaria cada metro,

OC 1 O

se ti"esse comprado menos 3 metros; e como neste caso cada metro custaria maic 400 réis, teremos

24C00 25000 , , 240 240 V


= 400, oi — ---=4.

x — 3 x x — o x

Resolvendo esta equação, vem

240» — 240» + 720 = 4^ —12», 4»2 — 12» — 720 = 0,

6 ± v/36 + 2880 6 ±54 , M

— -■ - —=—- ,£^=15, x" — —12, Portrrto, o ind-viduo comprou 15 metros de panno. A solução negativa não resolve o problema, pois que a grandeza, represen- tada pela incógnita, não é susceptível de se tomar em dois sen- tidos opposi;os,

Para interpretar esta solução, como a raiz negativa de uma equação, tomada positivamente, é raiz da equação que se obtém, mudando a em — na equação proposta, segue se que #=12 é rriz da equação

240 240 „ 240 240


= ou----— = 4,

— x — ó —x f.x^ x + à

equação que pertence ao segui ite problema:

Lm individuo comprou um certo numero de mefos de panno vor 34S00C réis■ Se com a mesma quanic tiíisic comprado mais tres melros de panno, cada melro Ine custaria menos 406 réis Pergunta-se quantos metros de panno comprou?

351. .24 operários, homens e mulheres, receberam por um ma, de trabalho I3$>600 réis, os homens S$>000 réis e as mulheres 5$600 réis Cada homen recebeu 400 réis mais do que cada mulher. Qual era o numero dcs homens e qual o das mulheres?

Designando porjc o numero dos homens, será 24 — a; o nu- mero das mulheres. Como os homens receberam 8^000 réis, e

as mulheres 5#600 réis, fc "o ganho de cada homem, e 5600 x

—--o ganho de cada mulher; e como ceda homem recebeu

24 —a;

400 réis ma'"s do que cada mulher, teremos

8000 5600 , 80 56

--— — =400, ou------= 4.

x 24 — x x 24 — x

Resolvendo esta equação, vem

15)20 — 80a-— 56a; = 96a; — 4»2, 4a!2 — 232a; + 1920 = 0, a;2 — 58a + 480 = 0, a; = 29 ± VSíi—480 = 29 -J= l/36l =29 ifc 19, ®'=29 + 19 = 48, íc = 29 — Í9 = 10. A primeira raiz, sendo maior que o numero total dos operários, satisfaz á equação, mas não ao problema. Era, pois, 10 o liumere dos homens, e 24—10= 14 o das mulheres.

S&V. Determinar a profundidade de um poço, conhecendo o numero t de segundos, que decorrem entre o instante em que se deixa cair uma pedra no poço e o instante em que se ouve o som que ella produziu, batendo no fundo. (Despreza-se a resistencia que o ar oppõe ao movimento da pedra).

Seja x a profundidade do poço. O tempo observado t compõe-se de duas partes: o tempo í' que a pedra gasta em descer, per- correndo o espaço x; e o tempo t" que o som gasta a subir, percorrendo o mesmo espaço; e por isso será

Além d'isto, pela physica sabemos que o espaço x, percorrido pela pedra, caindo, durante o tempo t1, é dado pela fórmula

sendo g = 9m,8003; e que o espaço x, percorrido pelo som durante o tempo t", è

x=vt"...................(3),

sendo v = 340m. De (2) tira-se



x = —- gt'^ 2 y

..(2),

substituindo estes valores em (1), resulta

que é a equação do problema. Para a tornar racional, isolamos o radical, e vem

/2« x Resolvendo esta equação, acha-se successivamente

2v2® = gr?t% + gx* — 2 gvtx, gx- — Zv(v + gt)x + gvH* = 0,

x =

e(w + gt) ± \/v\v> + gtf — gW

9

v(v + gt} ± v(v + gt ± vV4 "2gvl)


9

9

Discussão. Como a quantidade debaixo do radical é positiva, as duas raizes são reaes. Além d'isto, sendo evidentemente

e por consequência as raízes são ambas positivas.

Ora, o problema admitte sómente uma solução, pois que a profundidade do poço é uma só; e portanto uma das raizep é estranha ao problema.

Esta raiz estranha provém de que, para resolver a equação (4) do problema, elevámos ao quadrado ambos os membros; e como a elevação ao quadrado faz desapparecer o signal particular do radical, a equação resultante conterá não só a raiz da equação

e esta raiz ê estranha ao problema. Com effeito, sendo, na ultima

x

equação, negativa a quantidade l--, é

(v + gt)2 > v- + 2gvt, será v + gt > lA>2 + 2gvt,

mas também a raiz da equação —

->í, ou x^>vl, o que não satisfaz ás. condições do problema; pois que, sendo

x = vl", e t1' < t, será também x < vt. i

Posto isto, como a primeira raiz da fórmula (5) dá evidente- mente x>vt, é esta a raiz estranha; e por consequência a única solução, que satisfaz ao problema, é

v(v + gt — V'V2 + 2gvt

OC ■ -•

3

Applicação numérica. Calculemos a profundidade do poço, suppondo f = 5". Substituindo na fórmula os valores de u, g, t vem

_ 340(340 + 9,8003.5 — ^340a 4 2.9,8003.340.5)

~~ 9,8003

_340(389,0015-^148921,020) _3í0x3,1015 — ^8003 9,8003 '

353. Achar sobre a recta, que une dois pontos luminosos A e B de intensidade differente, o ponto egualmente illuminado por cada um d'elles.

A J5 C

Seja a a intensidade da primeira luz, isto é, a quantidade de luz que ella envia para um ponto situado á unidade de distancia, e b a intensidade da segunda. A resolução do problema funda-se no seguinte principio de phvsica: a intensidade da luz varia na razão inversa dos quadrados das distancias á fonte luminosa. Esta lei exprime que, se a distancia se tornar duas, tres, quatro, etc., vezes maior, a intensidade da luz se torna quatro, nove, deze- seis, etc., vezes menor.

Posto isto, seja C o ponto egualmente illuminado pelas duas luzes, AB = d a distancia que ha entre ellas, e AC = x a di- stancia procurada: será CB = d — x.

Procuremos a quantidade de luz que recebe o ponto C do ponto A:

Se um ponto, situado á distancia 1 de A recebe a quantidade a de luz, o ponte C, situado c dislancit< x, que quantidade de luz receberá?

a-1

V--x

y: a:: 1 a;2, donde y

x*

Procuremos do mesmo modo a quantidade de luz que recebe o ponto C de B:

Se um popto, svuado á distancia i de B, recebe a quant dade b de luz, o ponto C, situado á distancia d — x, que quantidade de iuz receberá?

1

y' • 6:: 1: (d — a?)2, donde y'-

|--Wim • ."'í IJS [d—xf

E corrio o ponto C deve ser egualmente illuminado pelas duas luzes, teremos

V'a _±v/~b

x? (d — xy " x á — x,

que é a equação do problema.

Resolvendo esta equação, achamos

a

, ou

d\/ã—xVa=±xVb, d\/a = x[\'a± ^b),x-. ou, separando as raizes,

x' = d. . ya —, x=-d.


Va+Vb' Va~\/b

Discussão 1.° Caso. ou l/a> \/b. A raiz x' é positiva;

e como o factor —=——-= é um quebrado proprio, serô x' <<í. V a + Vb

Além d"sto, subsiituindo no segundo factor l/ b pela \!a, que é maior, esse segundo factor drminue, e por isso teremos

, d /a d\!a d

x > --—, ou x' > —-=, ou - .

^ a + / a 2s/a 2 Portanto, a primeira raiz dá um ponto C, egualmente illuminado, entre A e B e mais perto de B do que de A, e assim deve ser. Com effeilo, a hypothese a > b exprime que a luz A é mais forte do que a luz B; e o ponto egualmente illuminado deve estar mais perto da luz mais fraca. j/a A segunda raiz x" é também positiva; e (orno o factor -^

é um quebrado improprio, ser!\x">d. Portanto, a segunda raiz dá um outro ponto C', egualmente illuminado, para a direita de B. E concebe-se facilmente a existencia d este ponto, pois que a maior intensidade da luz A é compensada pela maior distancia a que se acha do ponto C'. ~Ã

2.° Caso. a<b. A raiz x' é positiva: e como o faclor —

é um quebrado proprio, será x' < d. Além d'isto, substituindo no segundo factor 1/ b pela l/a, que é menor, esse segundo factor augmenta; e por isso teremos

d\fa . d\/ a , d

x <-7=-r=, ou x <——, ou ar<—.

Va + Va 2t/<i 2

Portanto, a primeira raiz dá um ponto, egualmente illuminado, entre A e B e mais perto de A do que de B. E assim deve ser, 'pois que a luz A é mais fraca do que a luz B.

A segunda raiz x1' é negativa, por ser v a CV7b. Ora, como a incógnita x representa uma distancia, que pode ser contada em dois sentidos oppostos, a partir do ponto A, a raiz negativa indica a existencia de um ponto, egualmente illuminado, para a esquerda de A. .

3.° Caso. a — b. Neste caso, a primeira raiz

d[/a d

X 2~/a 2

indica a existencia de um ponto, egualmente illuminado, no meio de AB. Isto mesmo se reconhece fàcilmente, attendendo a que as duas luzes têm a mesma intensidade. 16 A segunda raiz x"——— <x indica que não existe segundo

ponto egualmenle illuminado. Com effeito, tendo as duas luzes a mesma intensidade, qualquer ponto, situado ô direita de B, recebe mais luz de B do que de A; e o contrario tem logar para um ponto, situado á esquerda de A.

4.° Caso. a — b e d — O. Neste caso é

oé — 0, =

A solução £c"=— indica a indeterminação do problema.

Com eíFeito, a hypothese d = 0 significa que as duas luzes estão situadas em A; e como têm a mesma intensidade, qualquer ponto da recta AB é egualmenle illuminado por ellas.

A raiz sé— 0 é uma das soluções que o problema admitte.

5.° Caso. d — O e a> ou <b. Neste caso, as duas raizes

x> = 0, x = 0-

indicam que* sómente o ponto A é egualmente illuminado. E na verdade, estando as duas luzes situadas em A e tendo intensidades differentes, qualquer ponto da recta AB recebe maior quantidade de luz do foco mais intenso.

m * i

EXERCÍCIOS

Resolver as equações seguintes:

311. Sa:2 — 80 = 0. x = ± 4.

312. 3»2 — IScc = — 2a;2. x = 0, 3. 313.. a;2 = 12 — x. x -= 3, — 4.

314. a;(3 — x) — 2 = 0. a? = 2, 1. OJ_ . 3x 81 " „ 27

315. -5+T=2Õ- ® = 3,— 4-.

316. v®2—-f ® + x <=> 3,504, — 2,354.

o 4 d

„,„ 2a;2 . 4a; 1 12a; , „ 1

317- x+y-e = 5-+a5-°'5- * = Õ-

olc 4a:2 8a; , „ Sa:2 , Sa; 321 „ 149

318. t-+i = t+t-w x—6, jg-.

J{ <n?

7* 3 4 8 — TT ^ 8~"

7x %x-S) 7a* 147,01 32°" 8 16 +°'48 = ----

6

321.

322.

323.

324.

325.

326.

327.

328.

329.

330.

331.

332.

333.

9—a; 4 3(a;—1) 2 as—2 2 as 7 0. 4 a;+60 6 5—3as~ 4 as—2 as—3 as—4' 1 1 1 a:—1 a;—2 as—3' 4 5 12 as+2 a+25 r as4-4 as—25 as+6.' = 0. as+l x—1 a;—2 a:—3 7 as-3 a;—4 2" 6 1 'as—5 2a;—6 a;—3 4 " x—1 ®+l . 13 a?+l n «+1 x—1 as—1 6' 2a;—I as+2 /»+* a; — 2 as+2 x—1' 2a+13 a; —I x—2 as+l x—5 as—8 x-—9^ a; 4-3 as—3 3a;+2 7—as 7a;—1

%c— 1

2x+ I 4x2- i 24-

1-3.

12

x = 8, — 14,5.

__5 81

43"

x — 4, 1. x = 14, —10.

K 8

35 = ' T"

x = 4,414, 1,586. a; = 6, •

10

' 3'

x ==±5.

_„ 10

«-0, y.

83 = 7, 1. « = ±5.

as = 4, 0.

as = 5,

6

as = 13, —

13

3'

__, 1

_ 7 ±

x~ 6' 4"

334.(as-f)(as-f-) =

11 3' 10'

336. =

a ' a- b x +

337. «W—2rt:ta;+a«—1=0. 3S8. nfca;2— (<i+ 6)®+1=0.

339. 262as+2aas*=W2—2a6,+5á&a;.

as = +

. 1 1

x —a--, a — —.

'a' a

as =

1 1

>' , ab

x — i , 6 ' a

,26. 340.

341.

342.

343.

x+b 1 x—6 ■U. as+a x+b ■ 1. x—a x—b

  • | l 1

x—a 1 x—b x — l a— b 1 x+2b

' = ±1tab-

as

— ■T (3a — b ± vA>«1 — ÍOflfc +

x—c + ^tf+ab—ab — ac. 3a+b

X =

344.

345.

x+a a;+2a a;+3a 1.1,1

ha x

—. X=

3a

"-S-. — 4«-

=0.

a ' x—2a ' x—3a Resolver as desegualdades seguintes: 346. — 9® + 14>0. 347.


a? + x - 12<0. 349. X2 — 6a; + 9>0. 351. 3®2— 56a;+12<0. 353.-9— 2a;— 7a;2>0.

348. a;* — 4a; — 45 <0. 350. 7a — 6 — a;2>0. 352. 3a;2 —4a; + 8>0.

Discutir a priori as raizes das equações seguintes:

355. a;2 + 3a;—10 = 0.

357. a;2 —8a;+ 20 = 0.

359. 3a;2 —4a;— 4 = 0.

361. 2a;2— 5a; + 7=0.

354. a:2— 6a;+ 5 = 0. 356. a;2— 8a;+16 = 0. 358. 6a;'-— 13a; + 6 = 0. 360. 9a;2—12a; + 4 = 0.

362. Resolver a equação xz + px + q = 0, considerando (/ + px como a somma dos dois primeiros termos do quadrado de um binómio.

SôS^Formar a equação (lo segundo grau, cujas raízes são 2 + y 3 e 2 — l/ 3.

364. Formar a equação do segundo grau, cujas raizes são 2 + 3 y— 1 e 2 —3/^1.

365. Determinar a condição necessaria para que as equações ax"1 + bx + c = 0, a'x~ + b'x + d — 0 tenham as mesmas raizes.

366. Determinar p na equação x1 + px + 24 = 0, de modo que a diffe- rença das suas raizes seja 3. (p = + 11).

367. Determinar q na equação x2 + 10a; + q = 0 de modo que uma das raizes seja quádrupla da outra, (q — 16).

368. Determinar q na equação x2 — 5a; | q = 0 de modo que a somma dos cubos das suas raizes seja 35. (q = 6).

369. Achar dois números cuja differença é 8 e o producto 308. (+ 14 e + 22).

370. Achar tres números pares consecutivos e taes, que a somma dos seus quadrados seja 776. (+ 14, + 16, + 18).

371. Achar quatro números proporcionaes aos números 2, 5, 9, 11, sa- bendo que a somma dos quadrados dos tres primeiros é 2750. (10, 25, 45, 55). 372 Dois viajantes partem ao mesmo tempo do mesmo ponto, e vão um para norte e outro para leste, percorrendo o primeiro 30 kilometros por dia e o segundo 40. Passados quantos dias, distarão 250 kilometros um do outro? (5).

373 Achar dois números cuja differença é 36, e a somma dos seus qua- drados 2448. (12 e 48).

374. A differença dos cubos de dois números consecutivos é 109: quaes são os números? (7 e 8).

375. Achar dois números taes, que a sua differença seja 2, e a dos seus cubos 98. (+ 3 e ± 5).

376. Achar dois números, cuja somma é 31 e a dos seus cubos 8029. (18 e 13).

377. Dividir o numero 10 em duas partes taes, que a somma dos seus cubos seja 370. (7 e 3).

378. Achar dois números taes, que o excesso do maior sobre o menor seja 48 e que, ajunctaudo á sua somma o quociente da divisão do maior pelo menor, o resultado seja 99. (72 e 24, on 1 e 49).

379. Achar uma fracção tal, que o excesso do denominador sobre o nu- merador seja 3; e que,"ajunctaudo 2 a cada termo, a fracção resultante

2 / 4 _

valha —mais que a fracção primitiva. (you—g~ )•

380. Achar dois números, sendo 234 a sua somma e 2100 o seu menor múltiplo commum. (150 e 84).

381. Um individuo distribuiu 840 nozes por um certo numero de rapa- zes. Se cada um recebesse 2 nozes de menos, cada um teria tantas, quantos elles eram. Quantos rapa-zes eram? (28).

382. Um individuo vendeu um relogio por 16 libras, e perdeu na venda tantos por cento, quanto lhe tinba custado. Por quanto o tinha comprado? (20 ou 80).

383. Um individuo vendeu uma casa, perdendo na venda tantos por cento, quanto lhe tinha custado. Emquauto a possuiu, rendeu-lbe 20 moe- das; e a somma do que recebeu da venda e do rendimento d'ella foi 41 moedas. Por quanto a tinha comprado? (30 ou 70).

384. Muitas pessoas fizeram em uma hospedaria a despeza de 12J5000 réis; mas, não podendo 4 pagar por falta de dinheiro, pagaram as outras por ellas, e deu cada uma mais 4J000 réis do que lhe pertencia. Quantas pessoas eram? (6).

385. Dois operários, empregados por preços differentes, foram pagos passado rerto tempo. O primeiro recebeu 9$GOO réis, e o segundo, que. deixou de trabalhar 6 dias, recebeu 5$400 réis. Se o segundo tivesse tra- balhado todos os dias, e se o primeiro deixasse de trabalhar 6 dias, ambos receberiam a mesma quantia. Quantos dias trabalhou cada um, e quanto ganhou cada um por dia? (O primeiro trabalhou 24 dias e ganhou 400 réis por dia. O segundo trabalhou 18 dias e ganhou 300 réis por dia).

386. Se dessem mais 5 laranjas por 375 réis, a dúzia custaria menos 30 réis. Quanto custou cada laranja? (15 réis).

387. Um individuo, que fez uma viagem de 630 kilometros, teria gasto menos 4 dias, se caminhasse mais 10 kilometros por dia. Quantos dias gas- toii na viagem, e quantos kilometros caminhou por dia? (18d-, 35k"").

388. Uma mulher comprou, para revender, um certo numero de laranjas por IsSOOO réis. Deitou fóra 5 que se estragaram, e vendeu cada uma das outras