Tratado de Algebra Elementar/Livro 3/Capítulo 2

by José Adelino Serrasqueiro

372 Dois viajantes partem ao mesmo tempo do mesmo ponto, e vão um para norte e outro para leste, percorrendo o primeiro 30 kilometros por dia e o segundo 40. Passados quantos dias, distarão 250 kilometros um do outro? (5).

373 Achar dois números cuja differença é 36, e a somma dos seus qua- drados 2448. (12 e 48).

374. A differença dos cubos de dois números consecutivos é 109: quaes são os números? (7 e 8).

375. Achar dois números taes, que a sua differença seja 2, e a dos seus cubos 98. (+ 3 e ± 5).

376. Achar dois números, cuja somma é 31 e a dos seus cubos 8029. (18 e 13).

377. Dividir o numero 10 em duas partes taes, que a somma dos seus cubos seja 370. (7 e 3).

378. Achar dois números taes, que o excesso do maior sobre o menor seja 48 e que, ajunctaudo á sua somma o quociente da divisão do maior pelo menor, o resultado seja 99. (72 e 24, on 1 e 49).

379. Achar uma fracção tal, que o excesso do denominador sobre o nu- merador seja 3; e que,"ajunctaudo 2 a cada termo, a fracção resultante

2 / 4 _

valha —mais que a fracção primitiva. (you—g~ )•

380. Achar dois números, sendo 234 a sua somma e 2100 o seu menor múltiplo commum. (150 e 84).

381. Um individuo distribuiu 840 nozes por um certo numero de rapa- zes. Se cada um recebesse 2 nozes de menos, cada um teria tantas, quantos elles eram. Quantos rapa-zes eram? (28).

382. Um individuo vendeu um relogio por 16 libras, e perdeu na venda tantos por cento, quanto lhe tinba custado. Por quanto o tinha comprado? (20 ou 80).

383. Um individuo vendeu uma casa, perdendo na venda tantos por cento, quanto lhe tinha custado. Emquauto a possuiu, rendeu-lbe 20 moe- das; e a somma do que recebeu da venda e do rendimento d'ella foi 41 moedas. Por quanto a tinha comprado? (30 ou 70).

384. Muitas pessoas fizeram em uma hospedaria a despeza de 12J5000 réis; mas, não podendo 4 pagar por falta de dinheiro, pagaram as outras por ellas, e deu cada uma mais 4J000 réis do que lhe pertencia. Quantas pessoas eram? (6).

385. Dois operários, empregados por preços differentes, foram pagos passado rerto tempo. O primeiro recebeu 9$GOO réis, e o segundo, que. deixou de trabalhar 6 dias, recebeu 5$400 réis. Se o segundo tivesse tra- balhado todos os dias, e se o primeiro deixasse de trabalhar 6 dias, ambos receberiam a mesma quantia. Quantos dias trabalhou cada um, e quanto ganhou cada um por dia? (O primeiro trabalhou 24 dias e ganhou 400 réis por dia. O segundo trabalhou 18 dias e ganhou 300 réis por dia).

386. Se dessem mais 5 laranjas por 375 réis, a dúzia custaria menos 30 réis. Quanto custou cada laranja? (15 réis).

387. Um individuo, que fez uma viagem de 630 kilometros, teria gasto menos 4 dias, se caminhasse mais 10 kilometros por dia. Quantos dias gas- toii na viagem, e quantos kilometros caminhou por dia? (18d-, 35k"").

388. Uma mulher comprou, para revender, um certo numero de laranjas por IsSOOO réis. Deitou fóra 5 que se estragaram, e vendeu cada uma das outras por mais 5 réis do que lhe tinha custado, e d'este modo realisou nm ganho de 425 réis. Quantas laranjas tinha comprado? (100).

389. Um tonei contém í<0 almudes do vinho. Tira-se d'clle um certo nu- mero de almudes, que se substilue por agua: d'estamistura lira-se o mesmo numero de almudes, que i-e substituo por agua; e feito isto, sabe-se que o liquido do tonel contém sómente 4o almudes de vinho. Quantos almudes se tiraram de cada vez? (20).

390. O vencimento de uma letra de 6:060 francos tem logar 12 dias de- pois do vencimento de uma outra letra de 6:000 francos; e além d'isto, o desconto por dentro da primeira á taxa de 5 % é egual ao desconto por fóra da segunda á taxa de 6 %. Quando tem logar o vencimento de eada urna das letras? " (A primeira venee-se passados 72 dias, e a segunda passados 60 dias).

391. Dois pontos luminosos, A e B, acham-se situados a 12 metros de distancia um do outro. Qual é o ponto egualmente illuminado pelas duas luses, sabendo-se que a intensidade da luz A é quatro vezes maior do que a da luz B? (Ha dois pontos: um a 8 melros de distancia do ponto A, e outro a 24 metros).

CAPITULO II

Equações reducliveis do segundo grau. Equações simultaneas tio segundo grau

§ 1.° ÍEquações iri-acionaes

2õl. Quando se elevam á mesma potencia os dois membros de uma equação, a equação resultante tem, em geral, mais raizes do que a proposta.

Seja a equação a = b.

Elevando os dois membros ã potencia m resulta a equação

(fn = bm, ou am — 6m = 0...........(1).

am — l/n

Mas (n.° 61) -—- = am~l + ba+. . . + i™-1:

a — b

logo am — bm — (a -■- b) (a™-1 + bam~- + .,.).

Substituindo este valor em (1), vem

(a — b)(am-14- baP^ + ...) = 0;

e como para um producto ser nullo, é necessário que pelo menos um dos factores o seja, segue-se que esta equação fica satisfeita, pondo separadamente

a — b = 0, am~ 1 + bam~2 + . . . — 0.

l)'onde se vê que a equação resultante admitte não só as raizes da equação a — b — O, isto é, da equação proposta, mas tam- bém as raizes da equação a"1-1 + ba™—- +. . . = 0.

Portanto se, para resolver uma equação, tivermos de elevar os dois membros á mesma potencia, devemos, depois de resolvida a equação resultante, substituir as suas raizes na equação pro- posta e rejeitar as que lhe forem estranhas.

£55. Equação irracional é a equação que contém as incó- gnitas debaixo de um ou mais radicaes.

Para resolver uma equação irracional, desembaraça-se primeiro dos radicaes que affeclam as incógnitas; e depois resolve-se a equa- ção resultante, se não exceder o segundo grau.

Para desembaraçar uma equação dos radicaes que affeclam as incógnitas, se houver só um radical, isola-se este em um dos mem- bros, e depois elevam-se ambos os membros ô potencia designada pelo indice do radical. Se houver mais de um radical, desemba- raça-se successivamente a equação de cada um d'elles.

SÃO. Nem sempre se pode desembaraçar uma equação dos radicaes pela elevação a potencias; porque muitas vezes a operação, que faz desapparecer um radical, introduz novos radicaes. Assim, supponhamos a equação

253. Casos em que o methodo tem applicação: 1." Quando a equação contém um radical quadrado. Isolando o radical, a equação ter/i a fórma

= b.

Elevando ao cubo, resulta

c = {a + Hf = a3 + 3a2 h + 3a v7ò2 + Vb\

Elevando ao quadrado, vem a = b equação racional, que resolvemos, se não excèder o segundo grau. Depois de resolvida esta equação, devemos substituir as suas raizes na equação proposta, [tara rejeitar as raizes estranhas.

2.° Quando a equação contém dois radicaes quadrados. Iso- lando um dos radicaes, a equação terá a fórma

Quadrando, vem a —

fc + cM 2c \/ b,

e assim a equação tem sómente um radical, de que já sabemos desembaraçal-a.

3.° Quando a equação contem Ires radicaes quadrados. Re- unindo dois radicaes em um dos membros, a equação terá a fórma

Vh 4 V~b = \Tc:f d.

Quadrando, temos a 4 b 4-

e assim estamos reduzidos sómente a dois radicaes, de que sa- bemos desembaraçar a equação.

4.° Quando a equação contém quatro radicaes quadrados sem termos racionaes. Reunindo dois radicaes em cada um dos mem- bros, a equação terô a fórma

V~ã+Vl> = \\Tc + V~d.

Quadrando, resulta a 4 6 + 2 \/ãb = c + d + 2 Vcd,

e assim estamos reduzidos sómente a dois radicaes.

5.° Quando a equação contém dois radicaes, um quadrado e o outro de grau superior. Isolando o radical de grau superior, a equação terá a fórma

Vli=-. \!b 4 c.

Elevando os dois membros ao cubo, temos

a = bVb + c3 4 3bc 4 3c2 V~b,

ou a — c3 — 36c = (6 + 3c2) V~b:

quadrando, resulta (a — c3 — 36c)2 = b(b 4 3c2)2, equação racional. 6.° Quando a equação contém dois radicaes cúbicos. Reunindo os dois radicaes em um dos membros, a equação terá a fórma

y a + ,3/ b = c.

Elevando ao cubo, temos

ou 3 ?/a P 6 ( a+ — a — b.

3— 3/~r Substituindo o valor de * a + V b, vem

3cv/a P b = c3—a — 5, e elevando de novo ao cubo, resulta

2 7abcs = [c* — a —b)s,

equação racional.

7.° Quando a equação contém tres radtcaes cúbicos sem tmnos racionaes. Isolando um dos rad;caes, a equação terá a fórma

i — 3/

V a+ vb= f c

Elevando ao cubo, temos

ou 3 ¥ a V b (,3/ a + 7b) — c — a — b,

ou sVa^bVc = c — a — b,;

e elevando ac cubo, resulta 27abe — (c — a — b)s, equação racional.

3ã§. Exemplos: 1.° Resolver a equação V28 + 2x — + x == i. Isolando finf dos rad:caes, temos

V'28 = 1 + \<11 +x; e elevando os dois membros ao quadrado, resulta 28 + &r = 1 + 21 + x + 2 P§L + Reduzindo e isolando o radical, vem

6 + a = 2t/21 + sr,

e elevando de novo ao quadrado, temos

36 + a2 + 12a = 84 + 4a, ou a2 + 8a — 48 = 0,

equação racional do segundo grau. Resolvendo esta equação, temos

a = — 4±/l6 + 48=? — 4 =fcV64 = — 4 ± 8,

donde a' = 4, a"= — 12.

Substituindo estes valores na equação proposta, o primeiro dá

t/36 — V725 = 1, ou 6 — 5=1,

que 6 uma identidade; e o segundo dá

\ík — 19 = 1, ou 2 — 3 = 1,

resultado absurdo. Portanto, sómente a raiz a' = 4 satisfaz. A razão d'isto, é que, desapparecendo os signaes particulares dos radicaes pela elevação ao quadrado, a equação final corresponde a todas as combinações dos signaes d'estes radicaes; e d'este modo uma raiz, que não satisfaz á equação proposta, pode convir fa- zendo sobre os signaes dos radicaes a hypolhese conveniente. 2." Resolver a equação

ta.— 1 + = \f3x+ I + 1.

Elevando ao quadrado, temos

2a—1+21/2Õ2"— 3a + l=3a-f 1 + 1 + 2^3a + 1.

Reduzindo e isolando um dos radicaes, vem

2 l-/2.r2 — 3a \ 1 =4 + 2 f^ã+T,

o» V/2a2 — 3a + T = 2 4 t 3a +7,

e elevando de novo ao quadrado, resulta

2a2 — 3a + 1 = 4 + 3a + 1 +4 t/&c + 1. Deduzindo e isolando o radical, vem

2x' — Gx — 4 = 4 V^Sx+i. ou a2 - 3x- 2 = 2 V^U 4 í, e elevando ao quadrado, vem

xi 4 9xs 4 4 — 6x3 — 4x2 + 12* =12x4 4, ou x'4—6x3 4 Sx2 = 0, ou x- (x1 — 6x + 5) == 0.

Esta equação fica satisfeita, ou pondo '

= d'onde x= ± 0, ou x* -— Gx 4 5 = 0,

donde x — 3 ±v'9— 5 = 3 ±2: logo x = 5, x = l.

Substituindo estes valores na equação proposta, reconhece-se que só a raiz x = 5 satisfaz.

3.° Dividir o numero 35 em duas parles taes, que a somma das suas raizes cubicas seja 5.

Designando por x e y as duas partes procuradas, temos as equações

3/- 3/-

x4«/ = 35, v x4 v = 5.

Tornando a segunda equação racional, vem successivamente

x + y 4 3( lrxf \íy 4 3 Yx( Vyf = 125, 3\/x^y(Vx+ v'~y) = 90, 15^x^=90, VltVj/ = 6, xy = 216.

Conhecida assim a somma e o producto das quantidades x e y, sabemos que estas duas quantidades são as raizes da equação do segundo grau

z2_35z 4 216 = 0; e esmo esta equação dá | 2.° Equações biquadradas

259. A equação mais geral do quarto grau a uma incógnita é

axi + bxs 4- cíc2 + dx + e = 0,

equação que sómente - podemos resolver em alguns casos parti- culares :

1.° Se for a = 0, b — 0, duas raizes são infinitas, e as outras duas são dadas pela equação do segundo grau

cx^ + dx + e — O.

2.° Se for a = 0, « = 0, a equação tem uma raiz infinita, uma raiz nulla, e as outras duas raizes são dadas pela equação do segundo grau

bx% + cx+d = 0.

3.° Se for e = 0, d = 0, duas raizes são nullas, e as outras duas raizes são dadas pela equação do segundo grau

ax^ + bx + c — 0.

4.° Se for b — 0, d = 0, a equação chama-se biquadrada, e podemos resolvel-a.

500. Equação biquadrada é a equação do quarto grau, que contém sómente potencias pares da incógnita. A sua fórma geral é

axi + bxi + c = 0, ou, dividindo por a, íc4 -f + 1 = 0.

501. Resolução das equações biquadradas. As equações biquadradas resolvem-se como as equações do segundo grau. Com eífeito, supponhamos a equação

aa;s + te2 + c = 0..............(1):

fazendo xl — y, será xi = y1; e a equação torna-se em ay2 + by + c = 0............[2), equação do segundo grau. Resolvendo esta equação, vem y ou

0 — è+t/^CT^ /—bdzy/f^ZZJac

ooÀ —---, d onde x = ±: \ / ---:

2a V 2a

fórmula que dá para x quatro valores eguaes dois a dois e de signaes contrários, a saber:

Xs=± . /—M V^— iac ^ ±

~ V 2a ' V 2a

Advertencia. Podíamos prever que as raizes da equação bi- qiiadrada são eguaes duas a duas e de signaes contrários. Esta propriedade pertence a todas as equações que contêm sómente potencias pares da incógnita. Com' efíeito, sendo positiva a po- tencia do grau par de qualquer quantidade, uma equação, que contém sómente potencias pares da incógnita, conserva-se a mesma, mudando a; em—x; e por consequência, se a raiz x — + n convier, a raiz x = — a convém também.

8€>S. Discussão das raízes da equação biquadrada. Designando por y' e y" as raizes da equação (2), as raizes da equação ax4 + bx* + e = 0 serão

x=± y', x=± \!y<.

1.° Caso. c<0. Toda a equação do segundo grau, cujo termo conhecido é negativo, tem as duas raizes reaes, deseguaes e de signaes contrários: seja pois

y' = «, y" = — será x=±\/«

Logo: Toda a equação biquadrada, cujo termo conhecido é ne- gativo, tem duas raizes reaes e duas imaginarias.

2.° Caso. b* — 4ac>0 e c positivo. Neste caso, y' e y1' têm o mesnio signal contrario ao do coefficiente do segundo termo: portanto, se for

6 <0, será t/' = a, y" = $; e por isso x = ± ^a, x = ± ; e se for b > 0, será

y ---- - — x, y" = — e por isso x—± V^—a, x = ± V— [á.

Logo: Quando for b- — 4ác > 0 e c positivo, a equação bi- quadrada tem as quatro raizes reaes ou imaginarias, conforme o coefficiente do segundo termo for negativo ou positivo.

3.° Caso. — 4ae = 0. Neste caso, y' e y" são eguaes e do mesmo signal contrario ao do coefficiente do segundo termo: logo conclue-se, como no caso antecedente, que:

Quando for b®—■ 4ac. = 0, a equação, biquadrada tem as quatro raizes reaes ou imaginarias, conforme o coefficiente do se- gundo termo for negativo ou positivo.

4.° Caso. 62— 4«c< 0. Neste caso, y1 e y" são imaginarios, e o mesmo tem logar em relação aos valores de x. Logo:

Quando for b2— 4ac<0; a equação biquadrada tem as quatro raizes imaginarias.

Recapitulando: a equação biquadrada tem duas raizes reaes, quando é c negativo; tem as quatro raizes rcues, quando é 62 — 4ac^>0, b< 0, c>0; e nos outros casos as raizes são todas imaginarias.

O primeiro membro de uma equação biquadrada, re- duzida á fórma ax4-f bx2-f c = 0, é egual ao coefficiente do pri- meiro termo multiplicado pelo producto de quatro factores binomios do primeiro grau em x, que se formam subtrahindo de x cada uma das raizes. Supponhamos a equação

ax^+bx-^-c — 0, e as fórmulas x—± \/x—± t/j/"=±3»

que dão para a equação quatro raizes eguaes e de signaes con- trários duas a duas, a saber:

a, —«, —p.

lemos

ax1 + bx1 + c = ay* + by + c = (n.° 235) = a(y— y) (y — y") = «(a2-«2) (x2 — (22) =a(oc—a) (® + «) (»-£) (»+p).

364. Relações entre as baizes de cma equação biqca- diiada e os seus coefficientes. 1," A somma dos quadrados das raizes de uma equação biquadrada è egual ao dobro do coeffi- ciente do segundo termo tomado com signal contrario e dividido pelo coefficiente do primeiro termo. 2." O producto das raizes é egual ao termo conhecido dividido pelo coefficiente do primeiro termo. Supponhamos a equação biquadrada

ax' + bx'1 + c = 0, que, pondo x'2=y, se torna em

ay- + by + c = 0.

Designando por y e y" as raizes d'esta equação, as raizes da equação biquadrada são

e estas fórmulas dão quatro raizes eguaes e de signaes contrários duas a duas

a, p, —p.

Sommando os quadrados das raizes, temos

2 b

2«2 + 2p2 = 2(«2 + p2) = 2(y' + y") = (n.° 234) = — —. Multiplicando as raizes, vem

— «2. — ^ == ^2

'46ã. Exemplos. 1.° Resolver a equação 3x* + 14«2 + 8 = 0.

• Fazendo x% = y, será oft r/2; e por consequência temos

3 y2 + Uy + 8 = 0. Resolvendo esta equação, vern y ou

. — 7± /4íT—24 — 7±5 /—7±5

• 2 =-_-=

d'onde

»=d=4 /-iZíi* = ±4 /-x= ±* / 7 5 = ±v/—4.

V 3 V 3 V 3 2.° Resolver a equação

Vx* — 9 — 21 — x2. Elevando ao quadrado, temos

a2— 9 = 441 + —42®2, ou x4 —43®2 + 480 = 0,

equação biquadrada, que resolvemos. Para isso, fazendo x^ = y, será íc' = j/2, e teremos

Í,2 —43^+480 = 0,

d'onde y ou

2 V 4 2 V 4 2 2

e a = ± * d'onde x = ± 5, /l8.

V 2 2

| 3.° Transformação das expressões da fórma

266. A resolução das equações biquadradas conduziu-nos a expressões da fórma

Vejamos se podemos transformar estas expressões na somma ou differença de dois radicaes sim- ples, o que é conveniente nas applicaçôes numéricas. A transfor- mação funda-se no seguinte principio:

Uma equação, que tem logar entre quantidades racionaes e quantidades irracionaes, decompõe-se em duas: uma entre as quan- tidades racionaes, e outra entre as quantidades irracionaes. Supponhamos a equação

a -i- [/ b — c+ Vd.

Isolando \f b, vem V b==^c — « + Vd,

e elevando ao quadrado, b — (c — a)2 + 2(c — a

Ora, sendo racional o primeiro membro d'esta equação, o se- gundo também o deve ser. Mas, para o segundo membro ser racional, é necessario que desappareça o termo, que contém o factor ${\sqrt {d}}$, qualquer que seja $d$; e isto exige que seja

$c-a=0$, ou $c=a$.

Então a equação proposta converte-se em $a+{\sqrt {b}}=a+{\sqrt {d}}$, ou ${\sqrt {b}}={\sqrt {d}}$,

o que prova o principio. Posto isto, seja

${\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}={\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$ .............(1),

sendo $x$ e $y$ quantidades racionaes, que temos de determinar, se for possivel. Elevando ao quadrado, temos

$a+{\sqrt {b}}=x+y+2{\sqrt {xy}}$,

d'onde, em virtude do principio antecedente,

$x+y=a;{\sqrt {b}}=2{\sqrt {xy}}$, ou $b=4xy$, ou $xy={\frac {b}{4}}$.

Mas, conhecida a somma e o producto das quantidades $x$ e $y$, sabemos já que estas duas quantidades são as raizes da equação do segundo grau

$z^{2}-az+{\frac {b}{4}}=0$;

e como esta equação dá

$z={\frac {a}{2}}+-{\sqrt {{\frac {a^{2}}{4}}-{\frac {b}{4}}}}={\frac {a}{2}}+-{\frac {\sqrt {a^{2}-b}}{2}}={\frac {a+-{\sqrt {a^{2}-b}}}{2}}$,

será *******

d'onde se vê que, para x e y serem racionaes, é necessário que a* — b seja um quadrado perfeito.

Substituindo estes valores em (1), temos a fórmula de trans- formação

m "dg—|—+v—2--' Se, em logar de y/a 4-/6, tivemos y/a— Vb, pomos

\Ja — Vt>= fx — Vy,

e repetindo os mesmos cálculos, achamos

i---j= ja + Vo^l la —• Vã} — b

Sja-Vb^^J - —--y — —

Advertiremos que a fórmula de transformação tem também logar, quando a2—b não for quadrado perfeito; mas então não tem ut'l dade, pois que substitue a expressão proposta por outra mais complicada.

26S. Exemplos: 1.° Trinsfor.nar a expressão Temos a fórmula

h + Vã? — l la — Va^^b.

ft? 2 V

e cr no a2 — 5 = 25 — 9=16 é um quadrado perfeito, a trans- formação tem logaí. Fazendo as substituições, temos

v/!;r<v/:\

2.° Transformar a expressão

lemos que a2 — 6=1 +3 = 4 é um quadrado perfeito: logo a transformação é possível Fazendo as substituições na fór- mula, vem

3.° Transformar a expressão Vi—2x Vi—x1. Temos a=1, Vb=2xV\—x\ d*—6=1—+ kx = (i — 2x2)2: logc a transfoi mação tem logar. Fazendo as substituições na for» mula, vem

. /;--l /i+í- /1-1+2Í2 —.

yi-2aV/l-»8=\/— ,----y--=

ífiS. Determinai a condição necessário para que a transfor- mação anteceaente se possa appl>car ás raizes de uma equação bi quadraaa. Temos a equação niquadrada

ax4 6íc2 + c — 0,

ctjas rrizes são dadas pela fórmula

V 2a V 2a V a'

Comparando esta fórmula com a fórmula geral de transfor- mação, é

6 fc2 c ai ffi c c

a = — —-, 5= —„--: logo a^—b^—--— —^H—=—;

2a 4a2 a & 4a2 4a2 a d

e por consequência: para a transformação se poder applicar ás raizes de uma equação biquadrada, é necessário que o termo co- nheciao, dividido pelo coefficiente do prmieir') termo, seja um, qua- drado perfeito.

| 4.° Systema <ie duas equações a duas incogiiitas, ama do segu.1 ido grau e outra do primeiro

369. Uma equação do segundo grau a duas incógnitas sómente pode conter seis especies de termos: tres termos do segundo grau, um em o segundo em xy e o terceiro em íe~;'dois termos do primeiro gian, um em y e outro em x; e um termo independente de x e y. A equação mais geral do segundo grau a duas incógnitas é pois

uy'é -f - bxy -f -]- õy -]- ex /'= 0

2 TO. A resolução de um sysiema áe duas equações a duas inccghitas, uma dn primeiro gr cu eoutra do segundo, depende ãa resolução de uma equa- ção do segundo grau a uma incógnita. 26 i algebri ele m enfar

Com effeito, temos o systema geral

m/ + oxy -j- cx"' -f- dy ex -f- f — 0, a'x -f- Vy — c'.

Da segunda tira-se y= — ——; substituindo este valor na primeira, vem

a\ W 1—U-----\-ex + f=-0,

e effectuaiulo as operações indicadas, temos uma equação do segundo gr,au, que se pide reduzir a fórma

nx* 4- Ba + C = 0

1 *

Fsta equação dá dois valores pa-^a x; e substituindo cada nm d'estes valores em y, íeivmos os valores ok respondentes de y.

Exemplos: 1.° Resolver o systema

2a;2 -f ?/2 - xy -1- x — y = 10, 2a — y = 1 Da segunda tira-se y = 2a; — 1;

substituindo este valor na primeira, vem successivamente

Ix* -f (2a; — l)2 — x{%x — 1) -í- x — 2a: +1 = 10, 2a* -1- 4a;2 -f-1—4a;—2a;2+a;+ x — 2a -f-1 = 10, 4a;2 —4® — 8 — 0, a;2 — x — 2 = 0,.

Subsíituindo cada um d'estes valores ei í y, acbamop as valores cor- respondentes de y; e por consequência as duas soluções do systema são

® = 2, — 1 y = 3,-3.

2." Achar iois números taes, que a sua snmma seja 4, e a somma dos seus quadrados seja 10.

Designando por x e y os dois números, temos

x -f y — 4, a;2 4- yt = 10.

Da primeira equação tira-se y — í — x;

substituindo este valor na segunda, vem successivamente

a;2 + (4 - a;)2 = 10, a:2 +16 + a:2— 8a; == 10, 2a;2 — 8a: + 6 = 0; a;2 —4a; + 3 = C, x =2 + = x-=3, 1. Substituindo estes valores em y, achamos os valores correspondentes de y; e por consequência temos ai! duas soluções

« = 3, i 3.

As duas soluções differem sómejte em estaren trocados os valores de x e y. A razão é porque as equações sãc symetrioas em relação a x e y, isto é, conservam-se as mesmis trocarão uma pela oulrr as letras x e y, e poi tonseqtiencía fitam satisfeitas pelos "alores trocados das incógnita-,

3.° Achar dois números taes que, se o multiplicarmos respectivamente por 2 e 8, a somma dos pi odudos seia egual a 8; e que, se mrftip/i-amos os seus quadrados velos mesmas números, a aomma dos novos productos seja egual a 14.

Designa ido por x e y os dois números, temos

2a; + 3»/ = 8, fá* + = 44.

Da primeira equaçac íua-se y = — — ; substituindo este valor na segunda, vem

2a;5 + 3 64 t j| |114, te» + 64 + » ~ - 14,

6a;' + 64 + 5p — 32a; 42, I0x"~ — 32a; + 22 = 0,

i •> I .. « 8 + j/fiF— 55 8+3 5a;'— 16a + ii= 0, x= — v g--=- — -,

8-!-3 11 - 3 .

g

Substituindo estes valores em yk vem y — ~ 2; e por consequência temos as soluções

11 .

m* i

SC

| 5.° Sistema de duas, equações do segundo grau a dn as incogniia s

27S. A resolução de duas equações completas do segundo grau a duas incógnitas conduz a uma equação do quarto grau a uma incógnita. Temos as du;u equações geraes

ay- + bxy + cx2 + dy + ex + / = 0, aV + b'xy + c'x* + d'y 4- e'x + f = 0. Multiplicando a primeira por c'e a segunda por c, vem

adif -f- bdxy + cc'x~ + cldy + edx + [d = 0, ca'yl + cVxy + cc'x2 + cd'y + cdx + cf — 0,

subtrahindo a segunda da primeira, desapparecem os termos em x-, e por consequência a equação terá a fórma

A?/2 + Vscy +1)?/ -(- Ex F = 0, ou A^ + (By+E)x+D?/+F==0.

D'esta equação tira-se

AsM-Dy + F. y

W+E 1

e substituindo este valor, por exemplo, na primeira equação proposta, re- sulta, em geral, uma equação completa du quartu grau; porque o termo ay2 tem de se multiplicar pelo denominador do valor de x1, isto é, por

(B2/ + E)»IBV + 2BE2/ + E2,

o que conduz a termos em y'1, em y'-\ e em y'~. Portanto a equação final é da fórma

'«?/' + mf +py* + #+»' = o,

equação que sómente podemos resolver pelos methodos expostos em alguns casos particulares.

273. Exemplos: 1.° Resolver o systema

2xyi-f-3y — 21 = 0, — %xy —15 = 0.

. . _ 21 — 3ty

Da primeira equaçao tira-se x——j- —,

substituindo este valor na segunda, vem successivamente

3^ — 21+3^—15=0, 3í/2 + 3y —36 = 0, y* + y —12 = 0,

33

Substituindo estes valores em x, temos a;=2, ——

o

e por consequência temos as duas soluções

y = 3,-4.

2.° Achar dois números cujo producto seja 12, e a somma dos seus qua- drados 25.

Designando por x e y os dois números, temos xy— 12, «2 + ^ = 23, 12

Da primeira equação tira-se y = —; substituindo este valor na segunda, vem successivamente

+ = 25, «4 + 144 = 2o«2, xs — 25^ + 144 = 0.

, 23 , v/625 ... 25 , t/49 "2"—V~4--144=¥±\/r

í-±\/f±v/f-±vf±T-

a; = -(-4, « = —4, a;=-]-3, «=— 3.

Substituindo estes valores em y, achamos os valores correspondentes de y; e por consequência temos as quatro soluçoes:

x— 4, —4, 3,-3 y = 3, — 3, 4, — 4.

exercícios

X

Resolver as equações seguintes:

394. {^3« -f 2= -f 10a; — 6. x = — 5.

395. l/3« — 4 = y/(3« — 4) 3(9« — 6). X==J~

396.2—^ * x*

2+/2 —a; ? 4

397 ^ = 1

V '8a; 4 1 — /8a; 26

/«+2 — /« — 2 d

399. i^EU- 3 . « = 5,-2. l/a;' — 9 /«4-11

400. V/15+/& + 8Õ = 5. « = 10.

401. V3-f/«=' ^12 — /k;- «=9 402.-^+^=4. x = 196, 49.

21 — \Jx yx 2

403 ^~1 + +3?a__ /aT^2 + \íx

V/2.T + ^ ^ ' J 2"

404 V'4^1 « -= 4 _ -i /5a; —4—/S^-a; v7^ —1 ' 4

405 XSE12 ~~ + 3 x = 3 —.— ' /7a;—12+ /a;+l + /to1-2 ' 63'

406. ^(3a; + 2)(5a;-2) = /2(a; + 2). a; = 2. —

11

2 a; V 4 a; * a; *

408. /7x + 2— /l3 — 2a;= /ã—l7 a; = 2,

lo

409. /3+a;+ /8+¥= /24+

a?. £c=l}—

o

410. /2a;+9+ /3a;— 15= /7ãT+8

o 5

411. x — 1 = /l—— a;2 a;=0,

4

16

412. /ãT+ /a; — /I — a;= 1. a; = 0,

Au

413

/lo —a; /IO-a; J S*

4-14. /3a; — 3 + /5a; -19 = /3a+k a; = 4, —

O

415. « /M7 ..Mj, 6. 3 /2a;-3 /2a;—3 16'

416. /k^j -f a; = — a; = + ^=L=

® ~ /2a—a* 10a2 ,--o,.

417. „ ,-■ - — 4® = 4 /«!+a* a; = + £Íf. l/a^+a;® — 4

418. /l+rr + a;* = a - a* ® = ± i- a y/j

419. /a+x — \/a^x = \fã. a, = a±n/f

420. , = ^^

/a; — /6 /« — x — /6 — x 42). t 'x1 — m — iíxl — n— Ç^í? — m. x — + \/n

9«,

ie'

2 /« — v/d®4 ®2 = i/o ®=o,

42;- £ a- 37=.

a; a v 1 + /a2

424. 'fia + x 4 fàa — x = a; = ± -

425 a:1 —3®2+16 = 0. ® = ( , l±y/— -jQ

426. J - 8a!» H- 9 = 0. x = ± (v/y± ' ' y) •

427. a;1 — 24«» 4 36 = 0. ® = ±(3± /3jjS

JQ 1/1 /--

428. 2a:» - = j ' ® = ± y /19, ± y'/— 1.

429. 9ar*4 4ar*-S. ® = ± j/^T± | ('S.

4-30. 'ali — 4 V —2 = - 1. ® = + |/i|± \fl~L

431. 1) = V '2a? ^T — 3. x = x •>, ± /Í3.

432. ¥Í' 10+ v/4 4 8.í- = 2®. x = ±%±yjr.

3 3 , t/ss

433. —775= :--«i = 4- ® == + 1, + JfM

® -yo—a:2 - a:——a:2 — — 4

434. + 5 1/2^+7 = 12® ® = + 3 + /2a*+7 - ' ~ 2

435. y(X?_g)2 L_ JTs"= s. a; = ± 1, ± «27. Transformar em radicaes simples as expressões

436V7+/13- 437. Ve+Vli. /38 /li— l/21.

439. /l2— v/23. 44C. V/lÕ+/l9. 44i. V8 + i/l5.

442. t/9— i/32. 443. V'8 — 2C. 444. /12— y'80.

445. ^20-/279. *46. /iSE^p." 447. 1 '7-1-2 /iG.

448. /l8f8l/S, 449 — l </ã. 450. V'l3—2 /30.

451. V'6 — 4 (/'2 452.1/3 + 4/^!. /5á. V/15—20/ 1

451. /6 + V-l. 455. /<56 /— i/^T 457 \A + V-Í- 458 ,,5C"

460 ,/ip f ' f- 46Í. V 4 v/Ê— v/60 462. / 3l/g + ('tí, 463. */3| —aj/igp 464. í/|/i24 — 32/l5.

465 Afia ttgPj*

467. ÍM-^1»- ^ 46F Vfl-f 2v/" -

469. Vj — 26 t/f- R 470. v/íf + b — %\/ab. Resolver os systemas seguintes: 471-)ffi-t = ^ + = a; = 4, «/=3.

+ » = 7+f-" * = 3,, = 2.

4*73. ® — t/ = 2, a;2 f 10. « = 3,.v = l.

474. a;2 -y* = —i-^-f y = A. » = j, ?/"= 7"

475. a; + xy -f y = 47, x Lg j/ = 12. x = S,y = 7.

476. a;2-f + ^ = 217, x + y = 17. x = 8,y = Q

111115

477.—-I— =— — -—=—. a; = 3, w = 6. x 1 «/ 2~ a;2 1 g/2 36 a

ii 40

478. 2a;+3^=:13, íc^+y3 f 3as-i -2«/=2a a>-=2, y, ?/ = 3, -

479. x+y [-\/anj=U,, x?-l-y2-Txy=84. as=-=8, 2, y = 2. 8.

480. «'-^ = 1304, x — y = 8. x= 11, — 3, y = 3,— 11.

£81. ^ + ^ = 65, as + j/ = 5 a; = 4, 1,^ = 1,4. '

482. Achar um numero inteiro tal, que a differença entre as suas quarta e segunda potencias seja 600. (5 ou — 5).

483 Achar a base dc systema de numeração no qual o numero 12551 é representado por 30407. (8).

J4 Um numero Y>, representado por 15226 no systema c e base 8, e por 10302 em outro systema. Qual é a base d'este ultimo? (9).

485. Achar mico números em pi ogressão arithmetica. sabendo que a sua somma é 35 e o seu producto 10395. (3, 7, 9, 11).

486. Aibar Lim numero quç3']diminuido da sua raiz quadrada seja egual a 210. (225): ,13

4S7. bichar dois números, cuja media arithmetica é _ e a /nédia geo- meti iça 7. (4 e 9). 2

188. D:vidii o numero 25 em duas partes taes, que a somma das suas raizes quadradas seja 7. (9 e 16).