Tratado de Algebra Elementar/Livro 4/Capítulo 1

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Tratado de Algebra Elementar por José Adelino Serrasqueiro
CAPITULO I
Livraria Central de J. Diogo Pires (1906). páginas 268-289

489. Acliar dois números cuja jlifferença seja 16 e a differença das suas raizes quadradas seja 2. (23 e íl).

490. Achar dois números taes, que a sua differença seja 604, e a diffe- rença das suas raizes cubicas seja 4. (729 e 123).

491. Dividir o numero 834 em duas partes taes, que a somma das suas raizes cubicas seja 14. (125 e 729). ^

492. Achar dois números, cujo producto é 750 c o quociente 3 -k-. (50 e 15, ou—50 e—15) ' á

493. Achar dois números taes, que a sua somma seja 13 e a somma das suas razões inversas seja 2,223. (8 e 5).

494. Actor dois números, cuja somma, differença e producto estejam entre si como os números o, 1, 24. (12 e 8).

493. Achar tres números taes, que a sua somma seja 28, o seu producto 512, e que o segundo seja meio proporcional entre os outros dois. (16.8 e 4).

496. Achar dois números, cuja differença seja egual á differença dos seus cubos.

497. Achar um numero inteiro tal, que o seu quadrado seja egual á somma dos quadrados de dois números inteiros.

498. Um individuo possue 13000 francos, que divide em duas partes, e as põe a juros de modo que ambas produzem o mesmo rendimento. A pri- meira parte, posta a juros com a taxa da segunda, rende 360 francos; e a segunda, posta a juros com a taxa da primeira, rende-490 francos. Qual era cada uma das taxas? (7, 6).

499. Achar quatro números em proporção, sendo 27 a somma dos ex- tremos, 23 a dos meios e 754 a somma dos quadrados dos quatro números. (6, 9, 14, 21). LIVRO QUARTO

(CONTINUAÇAO 1»0 «AKIIO ALtiEBRICO)

POTENCIAS E RAIZES DOS POLYNOMIOS. FRACÇÕES CONTINUAS. LOGARITMOS

CAPITULO I Potencias e raizes dos polynomios

§ 1.° Arranjos, permutações e combinações

894. O desenvolvimento de uma potencia qualquer de um polynomio depende do desenvolvimento da potencia do mesmo grau de um binomio; e como a deducção da fórmula,.que dá este

  • ultimo desenvolvimento, se funda na theoria dos arranjos, permu-

tações e combinações, é d'esta que nos vamos occupar em pri- meiro logar.

Arranjos

395. Arranjos são os grupos que se obtêm, dispondo em todas as ordens possíveis, um a um, dois a dois, tres a tres, etc. um determinado numero de objectos, de modo que cada objecto não entre mais do que uma vez em cada grupo.

Assim, os arranjos, que se podem formar com as tres letras a, b, c, duas a duas, são: ab, §a, ac, ca, bc, cb.

Para representar o numero de arranjos de m objectos p a p,

empregaremos a seguinte notação: A^ _

<8S<». Para achar o numero de arranjos de m leiras p a p, quando for conhecido o numero de arranjos de m leiras p—1 a p — t, basta multiplicar esle pelo faclor m — p + 1.

Supponhamos effectuados os arranjos de m letras p—l ap—1. Como em cada um d'estes arranjos entram p— 1 letras, e o nu- mero total das letras é m, será m — (p—l)—m—pi- 1 o nume-o das letras, que laltarr em caaa um d'elles Escrevendo á direita de cada um d'estes erramos successivamente cade uma das letras que faltam nelle, teremos todos os arranjos das m letras p a p, sem omissão ou repetição alguma.

Km primeiro logar nenhum arranjo foi omLtido; porque, con- siderando um arranjo particular de p letras e supprminoo-lhe a ultima letra, teremos um arranjo de p — 1 letras, que ha õe existir nos arranjos que supposemos formados; e como escrevemos á direita d oste arranjo cada uma das letras restantes, necessa- riamente apparecerâ o arramo considerado.

Além d'Í5to, nenhum arranjo foi repetido; porque os arranjos de p letras, que correspondem ao mesmo arrarjo de p—i letras, diferem pela ulti.na letra; e os arranjos de p letras, que cor- respondem a dois arranjos differentes de p—1 letras, differem pelo menos na disposição das letras que precedem a ultima.

Posto sto, escrevendo á'direita de um arranjo de p—1 letras successivamente cada uma las letras restantes, resultam m—p + i arranjos ae p letras cada um; e como cada um dos outros arranjos de p— 1 letras produz do mesmo modo m—p+ 1 arranjos de p letras, segue-se que o numero total dos arranjos de m letras p a p è egual a «n —p 4 1 repetido tantas vezes, quantos são os arranjos de m letras p — 1 a p — 1; e por rsso teremos

997. Determinar o numero de. arranjos de m letras p a p. Temos a fórmula

Fazendo successivamente p— 2, 3, 4,... .p— 1, p, vem

= AI x K— v) = —1 )•

x(m —3),

Al-A^x^-p+l).

O p.imeiro membro de cada uma d'estas egualdades, excepto o da ultima, é factor do segundo membro da seguinte: portanto, multiplicando as egualdades, membro a membro, e supprimindo os factores communs, vem

Apm= m(m — 1) (to — 2). . .. (m — p + 1),

que é a fórmula geral dos arranjos.

Nesta fórmula entram p factores; porque desde m — t até m—p+1 =m — [p — 1) ha p—1 factores, e estes com o primeiro perfazem o numero p. Portanto :

O numero de arranjos de m letras pape egual ao producto de tantos factores, quantas são as letras que entram em cada ar- ranjo: o primeiro faclor é rn, c os outros vão diminuindo succes- sivamente de uma unidade.

Exemplo: o numero de arranjos de 8 objectos 4 a 4 é

Ag— 8x7x6x5 = 1680.

398. Formar os arranjos de m leiras p a p. Para isso, es- creve-se â direita de cada letra successivamente cada uma das outras letras, e assim temos os arranjos 2 a 2. A direita de cada um d'estes arranjos escreve-se cada uma das letras restantes, o que dó os arranjos 3 a 3, e assim por deante.

Exemplo. Formar os arranjos das quatro leiras a, b, c, d, tres a tres.

a, b, c, d,

ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. abe, abd, acb, aed, adb, adc, bac, bad, bca, bed, bda, bdc, cab, cad, cbci, cbd, eda, edb, dab, dac, dba, dbc, dea, dcb.

Permutações

Nos arranjos podem dispor-se os objectos um a um, dois a dois, Ires a Ires. . . ., ou mesmo podem entrar todos os objectos em cada grupo. Neste ultimo caso os arranjos tomam o nome de permutações: portanto

Permutações são os grupos que se obtêm, dispondo em todas as ordens possiveis um determinado numero de objectos, de modo que todos entrem em cada grupo, e que cada um d'elles não entre mais do que uma vez. Assfm as permutações, que se podem formar com as tres letras a, b, c, são abe, acb, cab, bac, bca, cba.

Para representar o numero de permutações de m objectos, empregaremos a seguinte notação: Pm.

280. Determinar o numero de permutações de m leiras. Temos a fórmula geral dos arranjos

A|; = m (m — 1) (m — 2).... (m —p + 1);

e como as permutações são arranjos ein que entram todos os objectos, segue-se que, para obter o numero de permutações de m letras, basta nesta fórmula fazer p — m, e vem

Pm—m(m — 1) («Í — 2) , .1 = 1.2.3____m.

Egta fórmula mostra que■ o numero de permutações, que se podèm formar com um determinado numero de objcctos, é egual ao producto áa serie natural dos números desae q até ao numero totai dos objectos inclusive.

Exemplo: o numero de permutações de cir co objectos é

Ps=l. 2.3.4.5 = 120.

<581. Formar as permutações de m letras A direita da pri- meira letre escreve-se a segunda, troca-se o seu logar, e intro- duz-se a tcrceira letra em todos os logsres, a partir da direita. Nas coilecções resultantes jntrodu'<-se a quarta letra em todos os Jogares, a partir da direita, e assim por deante até se ter ntro- duvido a ultima letra.

Exemplo. Formar as permutações das quatro letras a, b, c, d.

ab, ba abe, acb, cab, bacr bca, cba,

abccl, acbd, cabd, bácd, bcad, cbad, abdc, aedb, caâb, baàcj beda, cbaa, adbc, adeb, edab, bdac, bdea, edba, dabc, dacb, deab, dbac, dbea, deba, Ccmomações

Entre os arranjos ha alguns que differem sómente pela disposição dos objectos; outros, porém, differem, pelo menos, em um dos objectos: a estes últimos dà-se o nome de combinações ou productos distinctos. Portanto:

Combi.iações são os grupos que se obtêm, dispondo em todas as ordens posáive:s, um a um, dois a doi^, tres a tres, etc., um determinado numero de objectos, de modo que cada onjecto não entre mais do que uma vez em cada grupo, e aue os grupos diffiram entre si, pelo menos, em um dos objectos.

Assim, as combinações, que se podem formar com as letras a, b, c, duas a duas, são: ab, ac, bc.

Para reoresentar o numero de combirações de m letras p a p,

empregaremos a seguinte notação Z°m.

Gelei minar o numero de combinações de m leiras p a p. Supponhamos efíectuadas as combinações de m letras p a p. Permutando de todos os modos poss:veis as p leiras de cada com- binação, teremos todos os arrar.jos das in letras p a p, sem omis- são ou repet.ção alguma.

Em prineíro logar nenhum arra.ijo foi om ttido, porque um arranjo particular de p letras ha de corresponder a uma certa combinação, abstrahrndo da ordem das letras; e como permutamos de todos os modos possíveis as p letras d'essa combinação, ne- cessariamente ha de apparecer o arranjo considerado. Além d'isto, nenhum arranio foi reDetiuo, porque os arranjos, que correspondem á mesma combinação, diberem na disposição das letras; e os ar- ranjos, que correspondem a duas comSinações diversas, differem, pelo menos, em uma das letras.

Posto isto, o numero de permutações, que se podem obter com as p letras de uma combinação, é Pp; e como cada uma das outras combinações produz o mesmo numero de permutações, segue-se que o numero total dos arranjos de m letras p a p é egual a \'f, repetido tantas vezes, quantas são as combinações de m letras p a p; e por isso teremos

AP — P Tirando d'esta equação o valor de Cv, vem

p_Am_mim — 1 )(m — 2).. .{m-— p +1)

m~ Pp~' 1-2.3.7..... p

que é a formula geral das combinações.

Esta fórmula mostra que: o numero de combinações de m letras pope egual ao numero de arranjos de m leiras p a p, dividido pelo numero de permutações de p leiras. ,

Exemplo. O numero de combinações de 8 objectos .5 a 5 é

s_8x7x6x5x4_

C«~lx2x3x4x5 J' „

/ P

Sendo o numero das combinações necessariamente inteiro, na fórmula das combinações deve o numerador ser divisível pelo de- nominador : e por isso a fórmula prova o seguinte theorema:

O producto de um numero qualquer de factores consecutivos é divisível pelo producto do mesmo numero de factores, a partir da unidade.

98-1. Podemos dar uma outra expressão á fórmula geral das combinações. Para isso, multiplicando nessa fórmula os dois ter- mos do segundo membro por 1.2 3. ... {m — p), completamos no numerador os factores desde m até 1, e vem

p 1.2.3.4.., (m — l)m m==1.2.3...pxl.2.3... (m—p)

Esta fórmfíla mostra que: o numero de combinações de m letras pape egual ao numero de permutações de m leiras, dividido pelo numero de permutações de p letras multiplicado pelo numero de permutações de m — p letras,

38fí». Para representar o producto 1.2.3. .. n, emprega-se muitas vezes o simbolo n!. Segundo esta notação, a fórmula geral das permutações é

P„ = n!; a fórmula dos arrarjos é A" = m'

J n

(m — »i)!'

e a das combinações é C"

_n m!

m

ní (/n — n)!

Forma» a.« combinações de m letras p a p. Para isso escreve-se á dire'la de cada letra successivamente cad& uma das seguintes, e o'este modo temos as combinações duas a duas, A dii eita de cada uma ("estas combinações escreve-se tuccessiva mente cada uma das letras que se seguem á sua ultima; e por esta fórma temos as combinações tres a tres; e assim por deante.

Exemplo. Formar as combinações das cinco letras a, b, c, d, e quatro a quatro.

a, b, c, d, e.

ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce, de.

abe ubd, abe aed ace, ade, bed, bce, bde, cde.

aòcd, aòce, abde, aede, bede

'ÃH7. Par< i achar o numero de combi.iaçôes de m letras p a p, quando for conhecido o numero de combinações de m leiras p — 1

a p — 1, basta muUipliccr este pelo faclor —--- — \

Com effeito, temos

&p \P—'1

CP _ m _ $ x{m—p+ 1)

m~ Pp — 1 .2.3.[p—\)p

p-i'

m * jO+1 p-l m—pi-1

— x x

1.2.3.. fp- i) ' p m p

?or meio d'este princiiio podemos deduzir successivamente uns dos outros os números de combinações de m letras duas a duas, tres a tres, etc., pois que conhecemos o numero de com- binações de m letras uma a uma. Assim, temos

Cg = 8,

s 2 2 3 8-C+l 28x5 i,s = 28x- - -=—g = 56,

,4 S-.4+1 56 >

C8 = 56x __.= -- - = .0,

Advertencia. Fazendo na fórmula antecedente p — 1, vem

c1

C —Cxm, d onde C = =1.

mtr m m

Logo: o symbolo C^ representa a unidade.

O numero de combinações de m leiras p a p é egual no numero de comnmações de m letras m — p a m — p Porque, for- mando uma combinação qualquer p a p, as m—p letras re- stantes formam uma combinação m — p a m—p; e por conse- quencir os dois números de combinações são eguaes.

Isto mesmo se conclue da fórmula geral. Com effeito, temos

j(í>_ 1.2.3.4.. (m — l) m

n===l,2.3. 7. px 1 .2.377 ~(m — í?) '

.nudando p em m —p, resulta

m—p 1.2 3,4.....(m—l)m

«í ==7-2.3. . (m —p)x 1 2737. .p'

p rm—p e por consequência L = L

m vn

Este princí jip s:mp!ifica o calculo quando for p > - m. Ass'm, querendo acnar C , temos

too no») 1 2 3.4

O n\ imero de combinações de m 4 1 letras p a p é egual ao numere de cot.biruçòes de m letras p a p, mais o numero de combinações de m letras p — 1 a p — 1. Temos pP (m + 1 )m(m — 1). . . (m —p + 2)

m+1 = 1.2.........--

m[m— 1). ..(m—Jo + 2) m+l m+l

1.2......{p — i) p m p

ff Além d'isto, é

rv rP~i m — p+l Hn-" ~ '

V

<m. 1 un w 1 OTÍ

ou, ajunctaudo C^ 1

P

P + i , rP—1 m+i

r/m-p + l X

m \ P /

p

Substituindo este valor em (1), vem

r?' _p2> . r?>—1

! mJ-1 -Sn Sn '

Sabemos pois' deduzir os números de combinações de m + 1 letras dos números de combinações de m letras. Assim, sendo

Cg = 8, Cg = 28, Cg = 56, Cg = 70...., será cj==9, Cg = 28+8 = 36, Cg = 56 +28 = 84.....

SOO. Separando m letras a, b, c, d,... em dois grupos, um de m' le- tras e outro de m" letras, sendo m = m' + m"; pede-se o numero de com- binações p a p, em que entram p' letras do primeiro grupo e p" do segundo, sendo p = p'+p".

Supponhamos formadas as combinações das m! letras p' a p' cujo numero é e também formadas as combinações das outras m" letras p" a p" cujo numero é C*„. Reunindo, duas a duas, cada uma das primeiras com- binações com cada uma das segundas, como p' +p" = p, resultarão as combinações p a p, em que entram p< leiras do primeiro grupo e p" do segundo.

Posto isto, reunindo uma combinação de p" letras com cada uma das combinações âep' letras, resultam combinações de p letras em numero egual a Ce como cada uma das outras combinações dep" letras produz o mesmo numero de combinações de p letras, o numero total dos resultados será

x — Cm, X Cm„.

361. Por meio da fórmula antecedente resolvem-se facilmente os pro- blemas seguintes :

1.° Em quantas combinações de m letras p a p entra a letra a?

Separando a letra a, restam m — 1 letras. Como o primeiro grupo con- tém sómente uma letra que entra em cada combinação, é m' = p' — 1; e como o segundo grupo tem m— 1 letras, das quaes entram p—1 em cada combinação, é m" = m — 1 e p" = p — 1. Portanto a fórmula dá

x = Ct X Cm_( = Cm_,.

2.° Em quantas combinações entra a sem b e b sem a'?

Separando as duas letras a e b, restam m—2 letras. Como o primeiro grupo contém duas letras, e entra uma d'ellas sem a outra nas combinações, é nv = 2, p' = 1. Além d'isto, como o Segundo grupo tem m— 2 letras, das quaes entram p — 1 em cada combinação, é m" — m — % e p" = p — 1: logo ( f

x — Cs X C„,_2 = 2 X Cm_2.

3.° Em quantas combinações entra a com b? Temos

m' =p' = 2, m" = m — 2,p"=p — 2: logo ® = clxC, = C

4.° Em quantas combinações não entra a nem b? Temos

m' = 2,p' = 0, m" —m — 2, p" = p: logo x = C, X C* = _s.

5." Em quantas combinações entram só duas das tres leiras, a, b, c. Temog

m* = 3, p1 = 2, m" = m — 3, p" =p — 2:

nP-2

logo

- r2 x c"'3

— X. m—3

3 X C„

6.° Em quantas combinações de 10 leiras 4 a 4 não entra nenhuma das tres letras a, b, c? Em quantas entra uma só? Em quantas duas? Em quan- tas entram todas tres ?

Nenhuma,

Uma só, Duas, Todas tres,

m' = 3, p' = 0, m" = 7, p" = 4 a; = C° X C* = 1X 35 = 35. m! = 3, p> = 1, m" = 7, p" = 3 a; = Cs X C, = 3 X 35 = 105. m' = 3, p> = 2, w" = 7, p" = 2 a; = C3 X. C, = 3 X 21 = 63. m' = 3, p' = 3, m" = 7,7?" = 1 a:=C^XCj = lX7=-7.

fi______,____ § 3.° Binomio de Newton

Chama-se binomio de Newton a fórmula que dá o desen- volvimento de uma potencia qualquer de um binomio. Para deduzir esta fórmula, temos (n.° 41)

[x + à) (x + b) (x + c). . . . (x -f l)

= a;™ + Ax™—1 + ite'"'-'2 + Cxm~3 +____+ abe____l,

s<*do A = « + ft + c + ....+Z,

B = ab + ac 4- ad + .. . ., C = abe + abd + abe +. .,

Fazendo a = b = c=d. ...=/, temos (x + a){x + b)(x + c). . .=(x+a)m, A = a + a + a +......= ma,

B = a2 + a2 + a2 + ... = a2 x C* = a2,

m 1.2

C = a3 + a3+ as.....= a* x C3 = ^feçQfrLig fl,

»« 1.2.3

a&c.....l — am.

Substituindo estes valores na fórmula antecedente, vem

. m (m — 1) _ (x + a)m = xm + rnaxm~l + —— a V»-2 \ |2

m(m — l)(m— 2) _ + —i——-- aV"-3 + . .. + a».....(1).

1 . ú .u

É esta a fórmula conhecida com o nome de binomio de Newton, e que aqui demonstrámos sómente para o caso do expoente m ser inteiro e positivo.

Para obtermos o desenvolvimento de (x — a)m, basta em (1) mudar a em — a; e como a potencia do grau par é sempre po- sitiva, basta mudar sómente o signal aos termos em que a entra com o expoente impar; e por isso temos

t

, m(m— 1) „

(as — a)m = xm — max'"'—1 +

i . z

m(m—1) (wi — 2)

--i-—-L asxm~ 3 + .. ,±am.

1.2.3

293. Pela inspecção da fórmula do binomio reconhecesse nos seus termos a seguinte lei:

O expoente de a em cada termo é egual ao numero de termos antecedentes, e o expoente de x è egual ao excesso de m sobre esse numero de termos. Além d'isto, o coefficiente do primeiro termo é a unidade, e o coefficiente de um termo qualquer é egual ao nu- mero de combinações de m letras tomadas tantas a tantas, quantos são os termos antecedentes. Finalmente, o numero de todos os ter- mos é m + 1.

Em virtude d'esta lei, designando por T o termo da ordem 1, isto è, o termo que tem n termos antes de si, temos

T = C" anxm~n.

m

A esta fórmula dá-se o nome de termo geral do binomio, por- que d'ella podemos derivar todos os termos, fazendo successiva- mente n = 0, 1, 2, 3. . . .

Com effeito,

n = 0 dá T = c" af, que é o primeiro termo;

- n = 1 dá T = maxm—], que é o segundo lermo; n — 2 dá T = C a\xm-'i, que é o terceiro;

291. Para passar, no desenvolvimento do binomio, de um termo para o seguinte, multiplica se o seu coefficiente pelo expoente que nelle tem x, e divide-se pelo expoente de a, augmentado de uma unidade. Em quanto aos expoentes, augmenta-se o expoente de a e diminue-se o de x de uma unidade. ,

Designando por í o termo da ordem n, isto é, o termo que 

280 algebra elementar

tem antes de si n — 1 termos, será

t = C an~líc^-M-i;

m

e designando por T o termo seguinte, isto é, o termo da ordem n+ 1, teremos

T = C" — (n.° 287) = C"~' x m~n + i anxm-n.

m v ' m n

D'onde se vê que se passa do termo t para o termo T, multi- n_i

plicando C , que é o coefficienle de l, por m — n + 1, que é

o expoente que nelle tem x. e dividindo por n, isto ê, pelo ex- poente de a augmentado de uma unidade; e em quanto aos expoentes, o de a augmenta e o de x diminue de uma unidade.

Silã. l.° No desenvolvimento do binomio, a somma dos coeffi- cientes dc todos os termos è egual á potencia m de 2. Temos

Dl í fft_ J ]

(,x + a)m .-= xm + rnaxm~l + —--— aVl~2

1.2

mim—11 [m — 2) „ + ^-—p--ía*at»-* + ... + am.

i. A. o

Fazendo x = a = 1, cada termo do segundo membro se reduz ao seu coefficiente; e vem

mim—1) m(m — l)(m — 2) + + -Í + ....+ 1.

2.° No desenvolvimento do binomio, a somma dos coefficientes

dos lermos de ordem par é egual á somma dos coefficienles dos

termos de ordem impar. Temos

/ , . mim—11 .

(x — a)m=xm — maxm~ ] + —--- a2»"1-®

1.2

m (m 1) (m 2)

1.2.3 aX Fazendo x = a = 1, vem

, m(m—1) mim—I) (m — 2)

0 = 1 —m + —------—-í-i--í +

1.2 1.2.3 ' ou, transpondo os termos negativos

mim— i)(m — 2) , , , mítn—1) ,

m + ——, ' --' + ... = 1 + \ +----

1.2.3 1.2

1.° Os termos equidistantes dos extremos, tio desenvol- vimento do binomio, têm coefficientes eguaes:

Sejam í e T dois termos equidistantes dos extremos, e seja n o numero de termos que estào antes de t e depois de T: será m —,íi o numero de termos que estão antes de T. Além d'isto, o coeficiente de um termo qualquer é egual ao numero de combi- nações de m letras tomadas tantas a tantas, quantos são os termos

fl

antecedentes: logo o coefficiente de / é C , e o coefficiente de T

_n ° m

é C ( ; e portanto estes termos têm coefficientes eguaes (288).

2.° Quando o expoente m for impar, o numero dos termos do

binomio é par, e por consequência ba dois termos consecutivos

equidistantes dos extremos. Neste caso os dois lermos médios têm

coefficientes eguaes.

Sejam l e T os dois termos médios. Tirando de m -fl os dois

termos í e T, será m — lo numero de termos, que estão antes

de t e depois de T; e como antes de t e depois de T ha o mesmo

m— 1 ,

numero de termos, será —-— o numero de termos, que estão

2

antes de t; e por consequência o numero de termos, que estão antes

m — 1 m + 1

de F, será---h 1 = --.

2 . 2

Além d'isto, como o coefficiente de um termo qualquer é egual

ao numero de combinações de m letras tomadas tantas a tantas,

■n — 1

quantos são os termos antecedentes, será Cm' o coefficiente de t

n H

e C 8 o coefficiente de T: e como

tn '

1 m+ 1 TV1

—— + = será Cm =Cm .

2 399. A propriedade de serem eguaes os coefficientes equi- distantes dos extremos dispensa-nos de calcular os coefficientes de todos os termos. Com effeito: 1.° Quando m for ii npar, todos os coefficientes se i-eproduzem; e enlão basta calcular metade àos coefficimtes do desenvolvimento, e depoiè repetil-os em ordem inversa.

Neste caso o numero de termos, que estão antes do pri neiro

m— t , ,

termo mec'o, é —- e como o expoente de a ene cada termo

é egual ao numero de t3rmos antecedentes, e o expoente de x

egual ao excesso de m sob^e esse numero de termos, será no pri-

í, m — 1 , m+l

meiro termo médio---o expoente de a e-o expoente

2 2

ae x. A differença d'estes dois expoentes é m+l m—1

"' l =

Logo: reconhece-se que ternos chegado a metade do desenvolvi- mento, quando o expoente de x excedei o ãe a em uma unidade.

2.° Quando m foi par, ha um terino médio, cujo coefficiente se não reproduz; e então é necessário calcular metade dos coeffi- cientes e muk um.

Neste caso o numero dé' termos, que estão antes do termo

m m

médio, é — : será, pois, o expoente de a no termo médio;

m

e será também — o expoente de x, pois que o expoente de x 2

é egual ao excesso de m sobre o numero de termos antecedentes.

Logo: reconhece-se aue tenros chegado ac termo médio, quando forem eguaes os expoentes ãe a e x.

39 Exemplos. 1.° Desenvolver (x + a)7. Temos (x±a)'^x~>+7 aa3+í 1 aV+35a3a;4+35a4a;H2 (a V+7a6a+J7.

2.° Desenvolver (x — a)8. Temos

[x — a)8 = as» — Saa:7 + 2SaV> —- 56a3íc5 + 70a4a4 — 56«5ai3 + 23 aW — 8 aPx + a».

3.° Desenvolver (2a2o — 3Temos

[x — a)H = £ch - ■ .W + 10aV! — 1 Oa3a;s + §alx — as: substituindo x e a pelos valores que lhes correspondem no binomio proposto, vem

(2a96 — 362)5 = (2a%f — 5.3ò2. (2o«6)« + 10 (362)2 (2a96)3

— 10(362j3(2o2fc)2 + 5 (3b-)1 x 2a9ò — (362)5 = 32a106s

— 240et866 + 720o667 — 1080a468 + 810a^9 — 243610.

4.° Desenvolver (a + bV—1)™. Temos

(a + b 7 )m=am+man~~' bV—i + am~2 ^ (1

m(m— l)(m — 2) ,—.

+———- a^—^xv-iy +----

1.2 >o

Substituindo os valoires de V—1, —1 )2, (/—í)3.vem

___ __(ffl - ^f l

(a + fc 1 =«'"' + mcF-*b V—1----a»-8»9

v ' 1.2

_„(„-<) (,-a) 1.2.3

/ m(m—1) aia \

= («í"--T.2 a +---V

= A + B l/-—l.

Logo: se elevarmos a uma potencia qualquer uma expressão imaginaria da fórma a + b/—1, o resultado é também um ima- ginário da mesma fórma.

tn J '

5.° Desenvolver v a

+ bV— 1. Temos a + b t/71i ^ía + bí)'" = a" + — o" ~' 61

MM ■

m 1 + A»—..

1 . À . O

I /I

è . 1 ./—: m \m a --a — 1

«i 1.2

1

m

a

V <i ' .

m \ m / \ m

TT2.3

a'" tV—1+...=A + Bl/—1.

Logo: se extrahirmos a raiz de um grau qualquer a uma ex- pressão imaginaria da fórma a + b\f— 1, o resultado é também um inxaginario da mesma fórma.

9B9. Para deduzir os números de combinações de m+l letras dos números de combinações de m letras, temos a fórmula

rP _rP 4. r^-1

Hnfl — m m •

Ora, d'esta fórmula conclue-se que: no desenvolvimento de (x + a)m+1, o coefficiente de um termo qualquer é igual ao coeffi- ciente da mesma ordem no desenvolvimento de (x + a)m mais o coefficiente do lerrno antecedente a este. Assim, sendo

(x + a)6 = xe + 6a®5 + 15 a¥ + 20a3®3 + 15a4®2 + 6asx + a6,

deduz-se d'aqui immediatamente

[x + a)' = xf 4- (6 + l)aíc® f (15 + 6)aV + (20 +15) a?xl + (15 + 20) alxs + (6 + 15 )a}ix9- + (1 + 6)aeíc + a7 = x1 + 7a®6+21 aV+35a3a4+3 5a5®3 1-21 a3®2 f 7a«G+a7,

como achámos directamente no n.° 298.

| 4.° Potencias dos polynomios

300. Por meio do binomio de Newton podemos desenvolver uma po- tencia qualquer dc um polynomio. Para isso, e$uiala-se a a a somma de todos os termos, excepto o primeiro; e substituindo no desenvolvimento do binomio resultante o valor de a, (içamos reduzidos a desenvolver as potencias successivas de um polynomio, que tem menos um termo.

Neste polynomio eguala-se a 6 a somma de todos os termos, excepto o primeiro: e assim ficamos reduzidos a desenvolver as potencias successivas de um polynomio, que tem menos dois termos do que o proposto.

Continuando d'este modo, chegaremos finalmente a ter de desenvolver as potencias successivas de um binomio, o que sabemos fazer.

301. Exemplos. 1."

(a 4- 6 + c + d)3 = (a + «)3= a3 + 3flJc + 3«»2 + a? = «3 4 3a*(b + c + d) -f- 3a(b + c -f d)*+ (b 4- c -f d)3 = «3 + 3a2(6 + c+d) + 3a(b + g)2 + (64- |3)3' = a' + 3a?(b 4 C + d) + 3a62 + C,ab[i 4 3«|32 4 b3 + 36?p + 36p2 + p3'= a' + 3a2(6 + c. 4- d)

- - 3a62 -f 6ab(c + d)4- 3a(c + ãf + 63 + 362(c + d)

- - 36(c + df-t (c 4- d)3 = «3 4 3 a*b 4. :\u*c -f 3a?d

- - 3ab2 4- 6abe 4- 6abd + 3ac* 4- 6acd'+ 3ad? 4 63 4 3IA: 4 Wd 4 36c2 4- dbed 4 3bdz -f- c3 4-4 3cd2 4 d3.

2."

(a + b 4- c)4 = (a + a)4 == a4 + 4«3« 4 6a?a2 4 4«a3 4 «* = «4 4 4«'(6 + c) f 6«2(6 4- c)2 4- 4a(6 4 c)3 4 (b 4- c)4 = «4 4 4«3(6 4 c) 4- 6«'-(62 4 26c 4" c2) + 4r<(63 + 362c 4- 36c2 -(- c3) 4 64 4- 463c 4 662f2 4- 46c3 + c' = a4 4 4«36 4- 4a3c 4- 6«262 4- 12«26c -f 6a2c2 4 hab3 + 12a62c 4 12a6c2 4 íac3+ b"+Wc | -MW+ttx3 + c*.

3.° '

{x + x> +x" +...)•» = (x+«)m = xm + mxx™-1 + ~o?Xm~^4-... . m(m —!)...(»»— «41) , ,

■1 . 2........n

= +m(x' + x"+... 4- ^ <x> + x,4-... )V"-

(a'4x"...)"xm~"

m—j

4-. . + (x' + x"+...)m = xl" 4m(x* 4 [3) + + +■■"

e assim se ctfttinúa até ficarmos reduzidos a desenvolver as potencias suc- cessivas de um binomio.

| 4.° Raizes dos polynomios

303. Seja P um polynomio ordenado segundo as potencias decrescen- tes de uma letra, e do qual queremos extrahir a raiz do grau m; e seja x +x' +x" + x'" + . ■. a raiz procurada, que supporemos ordenada do mesmo modo Designando por a á rennião de todos os termos da raiz, excepto o pri- meiro, será a raiz representada pela expressão x-\-a, e teremos

P = {x -f a)m = a;"'4- max"-* + —p ~ - a?x"-* ..

1.2......ii

= «■»+ ma;™-1 + a," +...) + (a./ 4.^4-.. ..)*

H-----h —g--77 .TTTir a (a! + 35 +•■•)" + •■ • (!)•

No segundo membro d'esta egualdade x'" é o termo que contém a letra principal com maior expoente, e por consequência é o primeiro termo de P. Com efíeito, temos

xm = = Xm~~n Xn '

e comparando este termo com o termo geral

ro(ro-i)...(ro-n+i) .„_ . ,

. g Oj t*j •— ti - X\Jj "j

vemos que estes dois termos têm o primeiro factor xm~n commum, em quanto que o,segundo factor x" do primeiro contém a letra priucipal com um ex- poente maior do que o factor Ax'" do segundo.

Designando pois por p o primeiro termo de P, teremos

p = xm, e por consequência x = V p.

Conde se conclue que: para obter o primeiro termo da raiz, devemos extrahir a raiz do grau m ao primeiro tei ■ to do polynomio proposto. Tirando xm aos dois membros de (1), vem

P — af = R = mar-' (x1+ x"+...) 4- X">-\x< +

sendo R um polynomio conhecido, que supporemos ordenado do mesmo modo que o polynomio proposto.

No segundo membro d'esta egualdade mx"<-' .x' é o termo que contém a letra principal com maior expoente, e por consequência é o primeiro termo de R. Com efíeito, temos

mxm-1 _ x< = mxf~"+"~'. x' — xm-"x'. mx"~';

e comparando este termo com o termo geral

Axm—= Xm~t'X* A HL'U~'

vemos que estes dois termos têm o primeiro factor xm~"x' commum, em quanto que o segundo factor mx"-' do primeiro contém a letra principal com um expoente maior do que o factor Ax'"-' do segundo. Designando pois por r o primeiro termo de R, teremos

r

r = mxm~f .x1, e por consequência x' = ——-t. 

D'onde se conclue que: para. obter o segundo termo da raie, subtrahe-se do polynomio proposto a potencia m do primeiro termo da raiz ; e divide-se o primeiro termo do resto resultante por m vezes a potencia do grau m — 1 do primeiro lermo da raiz.

Designando agora por b a reunião dos dois termos, já conhecidos, da raiz, e por c a reunião dos termos desconhecidos, será a raiz representada por b + c; e teremos

P = (b + cf = Ir" + mb™-'1 c + b»-'2 c* +...

1 4

= (a: + x')m + m (x -f a?')"1-1 [x" + x"1 + .'..)

f 4- m(tm~1} (x + x'r-l(x" +x>" + ...)2 + ...,

ou, tirando (x-{-x')m a ambos os membros,

P -i- (a; + x')m = R' = ?n(x + x')m-> (x" -f x"'-\-...)+...

Prova se como no caso antecedente que m.rv-Kx" é o termo do segundo membro, qoe contém a letra principal eotn maior expoente; e por conse- quência é este o primeiro termo do resto R'. Designando pois por r' o pri- meiro termo de R' teremos

r'

r' — mxm.x", e por isso x'1 =----.

1 mXm-\

D'onde se conclue que: para obter o terceiro termo da raiz, subtrahe-se do polynomio proposto a potencia m da raiz a -hada; e divide-se o primeiro termo do resto resultante por m vezes a potencia m — 1 do primeiro termo da raiz.

Por um raciocínio simiihante se acham os outros termos da raiz. Portanto:

Para extrahir a raiz do grau m a um polynomio, ordena-se segundo as potencias crescentes ou decrescentes de uma letra; extrahe-se a raiz m do seu primeiro termo, e assim, se obtém o primeiro termo da raiz, que se eleva á potencia m, e se subtrahe. esta do polynomio proposto.

D'este modo obtem-se um resto, cujo primeiro termo, dividido por m vezes a potencia m — 1 do primeiro termo da. raiz, dá o segundo lermo.

Eleva-se á potencia m a raiz já arhada; e subirahindo o resultado do polynomio proposto, obtem-se um segundo resto, cujo primeiro termo, dividido por m vezes a. potencia m — 1 do primeiro termo da raiz, dá o terceiro Urino, e assim por de.anle.

Fazendo nesta regra m = 2,3,4..obtemos os processos para extrahir a raiz quadrada, a raiz cubica, etc.

Exemplo: extrahir a raiz quarta de 16a8—90«66?4-216qV/—216«:6C+ 8168.

16a8 — 96u662 + 216o,61 — 216 a2&6 -f 81 b» — Via8

— %a«lf -f 216«V/' — 216aW 4- H\b» 16a8 + 96fl°62 — 216aW -f- 2t6a266 — 8168

2«2 — 3fc2

4(2«2)3 = 32a6

0

(2a2 — 362)4 = (2a2)4 — 4(2a2)3.3 b°- + 6(2«2)2 (362,2 — 4. 2a2(362)3

4- (362)4 = 16a8 — 96a«b2 -f 216a,*b'> — 216a2ft6 + 816» —;

303. Quando um polynomio ordenado éuma potencia m exacta, o seu primeiro termo é a potencia m do primeiro termo da raiz, e o ultimo é a potencia m do ultimo termo da raiz. Portanto, reconliece-se que um poly- nomio não tem raiz m exacta :

1.° Quando o primeiro termo e o ultimo não sao potencias exactas do grau m.

2.° Quando, sendo o ultimo termo potencia exacta, apparece na raiz um termo, que contém a lotra principal com um expoente inferior ao da raiz m d'aquelle ultimo termo.

3.° Quando, sendo o ultimo termo potencia exacta, apparece na raiz um termo do mesmo grau em relação á letra principal, mas differente d'aquelle que devia ser o ultimo.

4.° Quando, sendo o ultimo termo potencia exacta, apparece na raiz exa- ctamente o termo que devia ser o ultimo, sem que o resto correspondente seja nullo.

exercícios

500. Quantos arranjos se podem fazer com 15 objectos 6 a 6?

501. Quantos arranjos se podem fazer com to—p objectos p—2 ap— 2?

502. Quantos números de 3 algarismos se podem formar com os números desde 1 até 9 inclusive ?

503. O numero de arranjos de n objectos 3 a 3 está para o numero de arranjos dos mesmos objectos i a 4 na razão 1:20. Achar n. (23).

504. Um numero m de objectos está para o numero dos seus arranjos 3 a 3 na razão 1:240. Achar m. (17).

505. Quantas permutações se podem fazer com 10 objectos ?

506. Dispor de todos os modos possíveis os factores do producto 3X5 X 4 X 9.

507. Achar todos os anagrammas da palavra prato.

508. Quantas combinações se podem fazer com 100 objectos 94 a 94?

509. Quantas combinações se podem fazer com m —p objectos q — la q— 1?

510. Qual é o numero total dc combinações que se podem fazer com 8 objectos?

511. Um numero tem por factores primos 2, 3, 7, 13, 17. Qual é o nu- mero total dos seus divisores?

512. Um destacamento de 10 homens tem de dar cada noite uma guarda de 4 homens. Durante quantas noites se fórma uma guarda diflerente?

513. O numero de combinações de n 4- 2 objectos 4 a 4 está para o nu- mero de combinações de n objectos 2 a 2 na razão 11:1. Achar n. (10).

Desenvolver as expressões seguintes :

514. {cc-i-y)515. (y — zj7. 516. (2 -f a)B.

517. (3a: 4-2yf. 518. (u34- 62)7. 519. (fi^-t/3)8.

520. (2« — b-)1. 521. (3«2— 6)8. 522. (m24-3b)6.

523. CZx-W-D». 524. (i -255. (y-^)'-

526. (\/2c4- V/3íc)6. 527. {\/~ã?—\Í3Ã)W. 528. (/2Õã-f/ãã^)6.

(ÉJE? 4- X?). 530. (4a; 4- 3y 4- 2í)3- 531. (6a — 76 4- 2c) \ b a* /