Tratado de Algebra Elementar/Livro 4/Capítulo 3

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Tratado de Algebra Elementar por José Adelino Serrasqueiro
CAPITULO III
Livraria Central de J. Diogo Pires (1906). páginas 313-329

e comparando esta egualdade com a equação proposta, vemos que uma solução inteira é

x-

y-

27 x-- 818= — 22005 = 20x —818 = —16300. Portanto, as fórmulas, que dão todas as soluções inteiras, são a = — 22005 + 104t, y = — 16300 + 771.

exercícios

Desenvolver em fracção continua as expressões seguintes :

167

543' 59Õ-

„.. 750 544' 349'

545.

546.

311

99r 549. 9,749. 552. 0,0241.

555. 0,00310031....

KKO & + & + X

a?+2a;2+a+r 561. \/H.

564. 5 + t/íí.

547.

173

613' 550. 5,07. 553. 0,7373.

556. 2,7245638....

559 63m» + i

315m6+9/n3+5m'

562. \ZÍÍ.

l+t/8" 2 '

548.

907' 34729 51436' 551. 0,561. 554. 0,912912....

557.

15a*+l 15a3+6a'

560. ^

24a;3 + 6x

2 4®» +18®»+ 1'

565.

563. y/ÕH-1. 3 + /Í3

566.

Achai' as grandezas geradoras das fracções continuas seguintes:

567. ® = 5, 1, 2, 1, 4, 5. 569. « = 0,5, 7, 9, 11, 13. 571. a; = 3, 1, 1, 4,5, 2, 3. 573. x = 0, 3, 5, 2, 1, l, 1, 2. 575. « = 0, 3, 7, 1, 1, 1, 5, 4, 9. 576. x = 3, 2, 1, 3, 2, 1, ... 577. x = 6, 4, 12, 4, 12,... 578. x = 1, 1, 2, 1, 579. ® = 0, 2, 3, 2, 3,.... 581. x = 3, 1, 1,6, 1, 1,6,....

568. «==0, 13, 11, 9, 7, 5. 570. ® = 0, 1, 3, 5, 7, 9, 11. 572. « = 0, 3, 1, 1, 5, 3, 1, 3. 574. x= 0, 1, 2, 12, 1, 2, 2, 2, 3, % 9.

580. a; = 5, 5, 10, 5, 10,... 582. x = %\, 3, 5, 3, 5,----

583. Calcular, por meio das fracções continuas, o valor de — '-4-— com um erro menor do que 0,0001. " á

584. Achar o valor da base neperiana e debaixo da fórma fraccionaria, e tal que nenhum outro quebrado de termos mais simples se aproxime tanto de e; e calcular o erro da aproximação. Resolver em números inteiros, por meio de fracções continuas, as equa- ções seguintes:

585. ltíC+%=83. 586.66#+91«/=945. 587. 121sc+44y=28C.

588. 69a4-'84£/=H73. 589. 261a;+liS«/=2407. 590. 649a?+413y=G667.

CAriTULO III Tlieoria dos logarithmos

§ 1.° < ^itíhiti<l:i< l<iw exponenciaes.

Equações exponenciaes

Quantidade exponencial ê a que se acha elevada a um expoente desconhecido. Taes são as quantidades

Quantidade exponencial do primeiro grau é aquella cujo ex- poente é representado por uma incógnita combinada de qualquer modo com quantidades conhecidas, com tanto que este expoente não seja uma exponencial. Taes são as quantidades

ax) 34®+2, gfcj-fc+i.

Quantidade exponencial do segundo grau é aquella cujo ex- poente é uma exponencial do primeiro grau. Quantidade exponen- cial do terceiro grau é a que tem por expoente uma exponencial do segundo grau, e assim por deante. D'este modo

a° , ab , a°

são respectivamente exponenciaes do segundo, terceiro e quarto grau.

.'S 56?). A funcção ax é continua, isto é, varia por graus insen- síveis, quando se dão a x valores que differem entre si tão pouco quanto quizermos.

Sejam x — m e x = m-\-h dois valores de x que differem entre

si tão pouco quanto quizermos, tomando h suficientemente pequeno: os valores correspondentes de a® são am e 0™+*; e a differença d'estes valores é

am+h — am = am. ah — am = am(ah — 1),

quantidade que pode tornar-se menor que qualquer grandeza. Com effeito, tendendo h para zero, ah tendo para a unidade: portanto o factor ah — 1, sendo a differença entre a unidade e uma quantidade que tem por limite a unidade, pode tornar-se menor que qualquer grandeza; e o mesmo dizemos a respeito do producto am(ah — 1), por ser constante o factor am.

33©. A funcção ax pode tomar todos os valores positivos. Seja a> 1, e façamos variar x de uma maneira continua desde — oo até + oo .

1 1

Para x — — gc , vem ax = —=— = 0.

a00 <x>

Para aj = 0, vem aa> = a°=l.

Para x — + oo, vem flI=a*=:oc.

Como ax é uma funcção continua, fazendo percorrer a x toda a escala dos valores reaes desde — oo até + oo , ax irá percor- rendo toda a escala dos números positivos desde O até + cc . Os valores de ax menores que a unidade correspondem aos valores negativos de x, e os valores de ax maiores que a unidade cor- respondem aos valores positivos de x.

Seja em segundo logar a< 1.

I 1

Para x = — oo , vem ax = a — x = — = — = oo .

a O

Para x = Q, vem a!t = a(l= I.

Para x= -boo , vem ax=ax = Q.

D'onde se vê que, fazendo percorrer a x toda a escala dos valores reaes desde —oo até -f oo , a® irá percorrendo toda a escala dos números positiuos desde + oo até 0.

Os valores de ax menores que- a unidade correspondem aos valores positivos de x, e os valores de ax maiores que a unidade correspondem aos valores negativos de x. 33fl. A funccão ax, quando a base a è negativa, passa por valores positivos, negativos e imaginarios. Com effeito, 1'azendo successivamente

2 m 2 m -f 1 2 m + 1

^ 2n + 1' 2n + 1' 2n '

os valores correspondentes de ax são

2m 2íi-pl j------1 j-

« 2,1+1 = V^» = V -f- A = + a,

gm+1 2n+l j- 8n-f-l /-

a2„+i= V/fl2m+1=== V—B = —


i in-j-i ill j 2,1 /

a 2" = Va&»H= V—B.

332. Equação exponencial é a equação que contém quanti- dades exponenciaes.

Grau de uma equação exponencial é o grau da exponencial mais elevada que entra nella. Assim

a* = b, 53*2-4 + 5a; = 10 são equações exponenciaes do primeiro grau;

aPx — c, 34® + 38® = 8 são equações exponenciaes do segundo grau.

3 33. A equação exponencial mais simples é

ax = b..................(1),

que passamos a resolver.

1.° Caso. o>l, 6>'l. Neste caso x é positivo, porque (n.° 330) quando é a>i, os valores de ax, maiores que a unidade, cor- respondem aos valores positivos de x. Além d'isto, fazendo variar x desde 0 até + ao , ax percorre toda a escala dos números posi- tivos desde 1 até + oo: logo, fazendo successivamente x — 0, 1.2...., chegaremos a duas potencias inteiras e consecutivas an e a"+1 entre as quaes b ficará comprehendido, isto é, taes que será

an < b < a"+1, ou an <ax< 4-— —

a'l+ « = b, ou an .ai=b;

Estando ax comprehendido entre an e an+1, sc estará com- prehendido entre n en+1: logo é n a sua parte inteira, e por isso pomos

, 1

y -

sendo y > 1. Substituindo este valor em (1), vem

an+J = b,

dividindo por aí!, temos a" ——, 1 o"

/ b \y

e elevando á potencia y, resulta a=í—^-j , ou cv = a. . .(2),

fazendo = c.

«" b Como é b>an, será — ou c > 1; e como por hypothese é

também a > a equação (2) está exactamente nas condições da equação proposta. Fazendo, pois, successivamente y = 0, 1, 2..., obteremos duas potencias inteiras e consecutivas rf' e icM-i, entre as quaes a ficará comprehendido, isto é, taes que será

cP <a < cM-i, ou cP<cV< cH-1.

Estando assim y comprehendido entre/i e p+ 1, é/) a sua parte inteira, e por isso pomos

1

0—/> + •

z

Substituindo este valor em (2), resulta successivamente

jt)~4- —

1 _l ± a

•■a, c'i' .c = a, cz =

cP

J") ' ou dz = c............i3)f

CP

fazendo =d.

Como é a>cP, será - — ou d > i ; e como já vimos que é

c p também c> 1, a equação (3) está nas condições da proposta, Fazendo, pois, successivamente z = 0, 1, 2. chegaremos a duas potencias inteiras e consecutivas dl e entre as quaes

c ficará comprehendido, isto é, ta|e's que será

dl <c< píjK ou dl < áz < (Í9+1

D'onde se v6 que z está comprehendido entre q e q+ 1, e por isso pomos

1

J* w

e assim por deante. Fazendo substi'u;ções successivas, achamos

1

x — n H 1

p+— 1

e d'este modo temos x desenvolvido em fracção continua.

Formcndo as reduzidas consecutivas, obtemos uma se/ie de valores, cada vez mais aproximados, e dos quaes podemos cal- cular o erro da aproximação.

2.° Caso. a> 1, b< I. Neste caso xé negativo, porque, quando é a> 1, os valores de ax, menores que a unidade, correspondem aos valores negativos de x. Fazendo, pois, x —— y, a equação transforma-se em

1 , 1

a~v — o, ou - = b, ou m — —■ aa ' b

1

Come é b<l, será —>1; e como por hypothese é também

a> 1, resolvemos esta equação como a do primeiro caso. Depois, mudando o signal ao valor achado de y, temos o valor de x.

3." Caso. a< 1, ò<l. Neste caso x è posi, vo, porque, quando é a<l, os valores de ax, menores que a unidade, correspondem aos valores positivos de x. Fazendo, pois, successivamente x = 0, 1, 2. . . ., resolveremos a equação como no primei o caso.

4-.° Chso. a<l, 6>1. Neste caso x é negativo, porque, quando é a<l, os valores de a®, maiores que a unidade, correspondem aos valores negativos de x. Fazendo, pois, x—— y, a equação transforma-se em

1 1

a,—y = b, ou — = b, ou av = —.

• a» b

1

Como é ft>l, será-^-<l; e como por hypothese é lambem a <C 1, resolvemos esta equação como a do terceiro caso.

334. Appllquemos este processo á seguinte equação:

9* = 6..................(1).

Fazendo successivamente x = 0, 1, 2. . . ., temos que x = 0 dá 9°== 1 <6 x= 1 91 = 9>6:

d onde se vê que x está comprehendido entre 0 e 1, e por isso pomos

y

Substituindo este valor em (1), vem

9~y =6, 6f = 9................(2).

Fazendo successivamente y = 0, 1, 2...., temos que y = 0 dá 6°= 1 <9 y=í 6'= 6 <9 ?y = 2 6a = 36 > 9 ;

d'onde se vê que y está comprehendido entre 1 e 2, e por isso pomos

y=l + —.

z

Substituindo este valor em (2), resulta

, . i i i 3 / 3 6 +T=9, 6.6T=9, 6T=— (- )=6.....(3). Fazendo z — O, 1,2...., temos que

/3 \°

z-— 0 dá J = 1 < 6

9 1

'3\« 27

z ===== 1 z —2 z = 3 z==4 z== 5

«/ 8-3f<6 3\4 81 1 r„

d -Íí -sre<6

3 \!i_243__ 19

2/ Alebot32 ~/32> ;

d'onde se vô que z está comprehendido entre 4 e 5, e por isso pomos

= 4 +

1

'16

Substituindo este valor em (3), vem

V 2/ \2/ V 2/

/3yr_96. ,'32 /32V_3_ 1 '

\2/ ~81"~^27' 1.27/ 2 2'

Fazendo í = 0, 1, 2 . . temos que

/32\° 1

6,

t = \ t = 2 t — 3

/32\1 5 , 1 — r=i — <1 — V27/ 27 2

^27/ = 727" ^32 \3__ 32768

V27/ 19683

,295 1

1 —< 1 — 729 2

13085 i_ 19683> 2; d'onde se vê que t está comprehendido entre 2 e 3, e por isso pomos

< = 2 H--,

u

e assim por deante. Fazendo substituições successivas, vem

1

® = 0 + — 1 1 + — 1

4-

2+____

e as reduzidas são

0 i k 9

7' T* s"' li' "

D'este modo temos uma serie de valores de x, cada vez mais aproximados, e dos quaes [iodemos calcular o erro da aproximação.

  1. 9

Fazendo por exemplo — i 0 erro da aproximação é

11 1

8 < ir-= Í2i'e'com nials razí,°'Ã <Tõõ'

| 2.° Princípios geraes relativos aos logarithmos

335. Logarithmos são os termos de uma progressão arithme- tica começando por zero, correspondentes aos termos de uma progressão geometrica começando pela unidade.

Sabemos que entre cada dois termos consecutivos de uma pro- gressão podemos inserir um numero de meios sufficientemente grande para que a differença de dois termos consecutivos seja menor que qualquer grandeza: logo, designando por q a razão da progressão geometrica resultante d'esta operação, e por r a razão da progressão arithmetica, um sjstema de logarithinos será representado pelas progressões continuas

í-r 1 : q : q\: q3:.. . . qn:. . . .

t 0 . r . 2r. 3r.....nr.....

Fazendo sempre corresponder os termos 1 e 0, podemos prolongar indefii,1 lamente as progressões para a esquerda:

. . : q—'n:..... ç—2: : 1: q . ç2:.....q"i ... .

.,. — nr......—2 r.—r.0.r.2r......nr..... «

Suppondo as progressões crescentes, para n = oo é 1 1

o-»== — ==—=0, qp = co, , qn co -

— nr = — cc . íu = oo .

Logo, em qualquer systema de logarilhmos formados por duas progressões crescentes:

17'odo-s os números vosmvos têm logarilhmos: e os números negativos, -não fazendo parle da progressão geometrica, não têm logarithmos reaes.

2.° Os números maiores que a unidade têm IcgariUmos posi- 1'ms e os números menores que a unidade têm loyari! nmos ne- gativos.

3.° O loga.ithmc da "'nidade é sempre zero; o Ioga• ithmo de zero é o inpriim negativo, e o iogarithmo do infinito é o infirito posiiivo

3 36. Base de um systema de logarithmos é o numero que tem por Iogarithmo a unidade.

34-55. Representando por a o excesso da razão da progressão geometnca sobre a un'dade, sto é, fazendo q = 1 -|-a>como a progressão é continua, será « menor quéjqualquer grandeza: e podemos escrever o systema do modo segu nte

.....— 2r . — r . O. r . 2 r . 3 r .....

Além d'isto, representando pc M a relação que ha entre r e r

isto é, fazendo — = M., ou r=M«, o svstema de ogarithir.os

a

será representado pelas progressões

.. .: (1 + a)-2: ({ +a)~1: 1 r (1 : (1 + a)2: (1 +a)3:...)

____— 2ft>a. — Ma.O.Ma . 2Mo . 3M« ....pWj

21 A quantidade ftf chama-se modulo do syslema de logarithinos A cada valor de M corresponde um systema de logarthmos; e d'est3s o mais simples é o que resulta de fazer M=l, sto é, o systema representado pelas progressões

. . :(1 + : (11r)-<: 1 :1 + a: (1 + «)»: (1 +«)»:... j .... — 2a .—« .0. a .2a .3a ...(

M

A este systema dá-se o nome de logamithmos never anos, que se designam s:n)plesmente pela iiihial l. Portanto

Logarithmos nepcrunos, são aquelles que têm por modulo a unidade,

338. 1.° Valor da base neperiana. Como em (2) a -azão o. da progressão arithmetica é menor que qualquer grandeza entro >s t£ rmos da pru^vessão arithmetica íia de exis*ir um cguai á unidade, e seja elle o termo la ordem n + lj, a partir de zero: terei ios

1

m = 1, d onde fcc = —, ' n

e nista expressão, tendendo % para zero, n tende para o irflnito.

Além d'is*o, designando por e a base neperiam, isto é, o termo corre- spondsnte da progressão geometrica, será

e=(l+K)»=(l+ -*-)": d'oude se vê que, para calcular a base e, temos de calcular o valor limite para que tende a expressão I > qua.ido n tende para o infinito. Para isso desenvolvendo a expressão pelo binomio de Newton, vem

mt:

i_ fyn—J) , n'n — 1) . %. — 2 1

i.nfl — | n.nf 1 — . nfi — £ \

_V_n]_ i_ ■ \ n) __nj

1.2 "n^ 1

i_± (|_±Vl_M

n , \ nJ\ n J



'1.2' 12-3 Fazendo neste desenvolvimento n — <x, temos a base neperiana: 1 1,1 +r.i+r.T73+r"2 ."T74+"-- e calculando nesta serie um numero sufficiente db termos, achamos e = 2,;M82818---AL6EBHA ÊI.EMWAR 323

' t 0" Droví -re facilmente que a base neperiana c um numero meommensu- ravel. Lora effeito, temos

M|§ 1 . _L__- 4.1 , _ l__1__

2 b r 2 . 3 . i,, "'iS 2 22 2® ----, L ~2—1 '

sondo, pois, e e^ual a 2 e mais uma 3erie<estará a base a comprehen- dida entre 2 e 3 e por consequcncia não pede ser Representada por um numero inteiro- Além d'isto, também não pôde ser representada por um numero fraccionario: porque supponhamos .,ue era

m ■ 1 ■

q ' 2 ' 1 2.3 . o 1 ? +

Multiplicando os dois membros por 2.3 .q. vem

2.3...(g-l)p = mt.+ -4-.- + - 1

q + l 1 fc+1) (ç f-2) e como

1

1 1 11 q-{-{ 1

~q-,-i + {q + i)lq r " <ç+l ■(ff + ip + ""=~mi=="9

ç+l

será o inteiro ^,3... (q— l)q egu?t a um inteiro e mais uma expres°ão

1 n .Í.--:-r n

menor que —, o que e absurdo. Nao, podendo, po.s, a base e ser represen- tada nem por um inteiro nem por um numero fraccionario, é incommen- suravel.

f iíi Comparando o systema (2) com (1), vemos que se passa do systema neperiano para um systema qualquer, multi- plicando cada logariíhmo neperiano por M- i^ogo podemos definir: Modulo de um systema de logarilhmos é a quantidade constante peia qual se tem de multiplicar os logarithmos neperianos para passar para esse systema.

S4tl>. Valor dc mod^Io£;tJm systema qualquer de logarithmos é representado pelas progressões continuas:

. . . .: (1 + a)~2 (l + a)-1: 1: 1 +*: (1 +cf

... — 2Ma . — Ma . 0. Ma . 2Ma.....

Como os termos destas progressões varirm por graus insen- civeis, entre os termos da progressão arithmetica ha de existir um egual á unidade: seja nM« esse termo, e designemos por a a base, isto é, o termo correspondente (1 + da progressão geometrica. Temos

1 1

log.a = »iMa = 1, la — m: d'onde M = —— ——.

na la

Logo: o modulo de um syslema de logarilhmos é egual á uni- dade dividida pelo logarithmo neperiano da sua base.

341. Temos o systema de logarithmos

....:(!+ : (1 + a)"1: 1: 1 + a : (1 + .)«:,. .. .

.....— 2Ma . —Ma . 0 . Ma . 2Ma.....

Seja, na progressão arithmetica, «Ma o termo egual h unidade; e designemos por a a base, isto é, o termo correspondente da - progressão geometrica: teremos

1

nMa = 1, donde Ma = — ;

n i

a = (1 a)", d onde l + a = an = aMa.

Substituindo este valor de 1 + a na progressão geometrica, o

systema de logarilhmos seró representado pelas progressões

____: a~ma: fl-Ma: 1: aMa: amx :____

.....— 2Ma. — Ma. 0 . Ma . 2M«.....

Ora, o exame d'estas duas progressões mostra que um termo qualquer da progressão arithmetica é precisamente o expoente a que é necessário elevar a base a para produzir o termo cor- respondente da progressão geometrica. Portanto, podemos des- embaraçar a definição de logarithmos da ideia de progressão, considerando os logarithmos como expoentes; e é debaixo d'este ponto de vista que passamos a estudar os logarithmos. § 3." Logaritlimos considerados como expoentes

Logàrilhmo de um numero é o expoente da potencia a que é necessário elevar uma quantidade positiva chamada base, para produzir esse numero.

Assim, sendo a; = logj/ (base a), por definição teremos

y = o?'.

Systema de logarithmos é a serie dos logarithmos de todos os números, calculados para um valor particular da base. E como â base se pode dar uma infinidade de valores, segue-se que ha uma infinidade de systemas de logarithmos.

343. Em qualquer systema, o logàrilhmo da unidade é zero, e o logàrilhmo da base é a unidade.

Com effeito, seja a; = log y (base a): leremos

y — ax.

Para x = 0, vem y = a° = l: d'onde 0 —log í ; e para x—l, y^a1 — a : d'onde 1 = log a.

344. A base a deve ser uma quantidade positiva differente da unidade. '

Porque se a base fosse negativa, a funcção ax passaria por valores positivos, negativos e imaginarios; e então a equação y = ax não daria os logarithmos de todos os números. E se a base fosse a unidade, sendo todas as potencias de + 1 eguaes a + 1, a equação y — ax daria sómente o logàrilhmo da unidade.

345. Todos os números positivos têm logarithmos. Porque, fazendo variar x de uma maneira continua na equação y = aw, a funcção tf ou y percorre toda a escala dos números positivos.

Os números negativos não têm logarilhmos reaes. Porque ne- nhum valor real de x torna ax negativo.

346. Seja, na equação y — ax, a>l; e façamos variar x desde — oo até oo . Temos que x== — oo dá y = a-* = — — = 0: logo log O — — oo .

a oo

  1. = 0 y = a<i = 1: log 1 = 0.

so = oo y = a°° =oe: log os= oo.

Seja em segundo logar a< 1. Temos que

1

íc = — oo dá j/ = a—o0= —- = oo : logo log oo = — oo .

<c = 0 y=a° =1: logl =0.

íc = qci y = a00 = O : logO=oo.

D'onde se conclue que:

Quando a base a é maior que a unidade, os números maiores que '/ têm logarithmos positivos, e os números menores que 4 têm logarithmos negativos. O contrario tem logar, quando a base a é menor que a unidade.

349. As definições de logarithmos, dadas na arithmetica e na algebra, são equivalentes.

Vimos já que da definição primitiva de logarithmos se deriva a definição de logarilhmos considerados como expoentes: por- tanto, para demonstrar que as duas definições são idênticas, basta provar que a primeira definição se deriva também da segunda. Para isso. fazendo na equação y = ax successivamente

x = 0, 1, 2, 3____

vem y= 1, a1, a9, a3...;

e em virtude da definição algébrica dos logarithmos, os termos da primeira serie são logarithmos dos termos da segunda. Mas, por outra parte, os termos da primeira serie formam uma pro- gressão arrithmetica, e os da segunda formam uma progressão geometrica; logo podemos também dizer: logarithmos são os termos dc uma progressão arithmetica começando por zero, cor- respondentes aos termos de uma progressão geometrica começando pela unidade. E é esta a definição primitiva de logarithmos. Propriedades geraes dos logarithmos

348. 1." O logàrilhmo de um producto é egual á somma dos logarithmos dos factores. Seja

y = ax, y' — ax', y" == a®"____

Multiplicando estas egualdades, vem

yy'y"... — 0®+^+®"+ • ■ •; v

e como o expoente a que é necessário elevar a base para produzir um numero é o seu logarithmo, teremos

x + x• .=log(yy'y". ■ .) = log jr + log3/+logt/"-K..

2.® O logarithmo de um quociente é egual ao logàrilhmo do dividendo menos o logarithmo do divisor. Seja

y — a®, y' = ax'.

Dividindo a primeira egualdade pela segunda, vem

y _ ax-x't

y

y

e por consequencia x — x- = log —- — log y — log y'.

3.a O logàrilhmo da potencia de um numero é egual ao loga- rithmo d'essse numero, multiplicado pelo expoente da potencia.

Seja y = ax.

Elevando á potencia m temos ym = amx, e por consequencia mx = log ym — m log y.

4.® O logarithmo da raiz de um numero é egual ao logarithmo d'esse numero dividido pelo indice da raiz.

Seja y—ax.

Extrahindo a raiz m, temos '(/y — a",

x »v— log?/ e por consequencia — = logv y — ^ . Logarithmos vulgares ou de Briggs

349. Chamam-se logarithmos vulgares ou de Briggs os lo- garithmos do systema cuja base é 10, isto é, os logarithmos de- finidos pela equação y — 10®.

Estes logarithmos estão em harmonia com o nosso systema de numeração; e as suas propriedades particulares, de que nos oc- cupíimos na arithmetica, simplificam muito os cálculos.

350. ConsírucçAo das taboas de logarilhmos. As taboas de logarithmos de Callet, Dupuis e Schron contêm os logarithmos da serie natural dos números, desde 1 até 108000, com sete decimaes e com um erro, por defeito ou por excesso, menor que metade de uma unidade da sétima casa decimal, isto é, com um erro menor que cinco centesimas millionesimas.

Para construir estas taboas, basta calcular directamente os lo- garithmos dos números primos; pois que sendo o logarithmo de um producto egual á somma dos logarithmos dos factores, para achar o logarithmo de um numero múltiplo de outros basta som- mar os logarithmos dos seus factores primos.

Vejamos agora com que aproximação devemos calcular os logarithmos dos números primos, para obtermos os logarithmos dos outros números com um erro menor que metade de uma uni- dade da sétima ordem decimal. Para isso notaremos que/, sendo 216 a mais alta potencia de 2 contida em 108000, um numero infe- rior a 108000 contém quando muito, 16 factores primos, e por isso o seu logarithmo é quando muito, a somma de 16 logari- thmos. Portanto, para o logarithmo de um numero inferior a 108000 ter um erro menor que 0,00000005, é necessário que o erro dos logarithmos dos seus factores primos seja inferior a

0,00000005 „ „ —-r--0,000000003.

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Calculando, pois, os logarithmos dos números primos com esta aproximação, o erro dos logarithmos dos outros números será inferior a metade de uma unidade da sétima ordem decimal.

Para calcular os logarithmos dos números primos, temos de resolver a equação 3/= 10a, na qual se faz successivamente y