Tratado de Algebra Elementar/Livro 4/Capítulo 4

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Tratado de Algebra Elementar por José Adelino Serrasqueiro
CAPITULO IV
Livraria Central de J. Diogo Pires (1906). páginas 330-354

egual a cada um dos números primos inferiores a 108000, e calcula-se em cada um dos casos o valor de x com um erro in- ferior a tres unidades da nona ordem decimal.

351. Construida uma taboa de logarithmos para uma certa base a, podemos sem repetir os cálculos passar para um novo systema de base b. Com effeito, seja

  1. =log(,n: será n — ff.

Tomando os logarithmos dos dois membros no systema conhe- cido de base a, vem

1

logftíi=a?loga6; d'onde a; = logfínx

1

ou log(,n = logan x: -— .

logJ>

D'onde se conclue que:

Para passar de um systema de logarithmos para outro, mul- tiplica-se cada logarithmo do primeiro systema por um quebrado, que tem por numerador a unidade e por denominador o logà- rilhmo da nova base, tomado no systema conhecido.

Este factor constante, pelo qual temos de multiplicar os loga- rilhmos de um systema para passar para os logarithmos de um outro systema, chama-se mádido do segundo systema em relação ao primeiro. Portanto:

Modulo de um systema de logarithmos de base a em relação ao systema cie base b è o factor pelo qual temos de multiplicar os logarithmos d'este ultimo systema, para obtermos os logarithmos no systema de base a.

O modulo do systema de logarithmos de base a em relação ao systema de base b é egual a um quebrado, que tem por numerador a unidade e por denominador o logarithmo da base a tomado no systema de base b.

Assim, o modulo do s\stema de base 7 em relação ao systema 1

vulgar é -—----—.

& log 7 (base 10) CAPITULO IV ApplicaçOes dos lojgarithmos

| 1.° Kesolução das equações exponenciaes por meio de logarithmos

A resolução da equação ax — b por meio das fracções continuas conduziu-nos á construeção das taboas de logarithmos. Porém, depois de formadas as taboas, podemos empregal-as para resolver mais facilmente as equações exponenciaes.

353. As equações exponenciaes, que podemos resolver na algebra elementar, são as equações de um grau qualquer que contenham dois termos, um dos quaes seja conhecido; e as equa- ções do primeiro grau que contenham mais de dois termos, com- tanto que a sua resolução dependa das equações algébricas do segundo grau.

3&1. 1.° Resolver a equação ,

ax — b.

Tomando os logarithmos dos dois membros, teremos

x log a = log b, d'onde x = -, ^ =A. fe b Ioga

2.° Resolver a equação

X

ab = c. Tomando os logarilhmos, vem

log a = log c, donde = = A,

Ioga

e d'este modo estamos reduzidos a resolver uma equação expo- nencial do primeiro grau. Tomando para isso os logarithmos dos dois membros, resulta

íclogè = logA, d'onde x = ^ f — E.

log b Este mesmo processo se emprega para resolver uma equação exponencial de qualquer grau, composta sómente de dois termos.

Advertencia. Quando, na equação ax — b, o termo conhe- cido e a base são potencias do mesmo numero, não é necessário recorrer ás taboas. Com effeito, seja

a — cT, b = C;

a equação torna-se em

(cv)x== cl ou cVx = cl d'onde px — q, e x =

P

355. Emquanto ás equações exponenciaes do primeiro grau que contêm mais de dois termos, sabemos resolver as que se po- dem reduzir á fórma

Aa2® + Ba® + C = Ò. Paro isso, fazendo ax—y, será a2x = ?/2; e substituindo estes valores na equação, teremos Ay2 + Bj/ + C = 0,

4

equação algébrica do segundo grau. Besolvendo-a, temos

— B±t/B« — 4AC

y=—

2A

d'onde, separando as raizes,

— B + l/B2 — 4AC — B —VB2— 4AC 0 -u--=«,?/ =--u-p.

Substituindo cada um d'estes valores na equação ax — y, vem

equações que sabemos resolver.

356. Exemplos: 1.° Resolver a equação 3*= 1428. Tomando os logarithmos dos dois membros, vem

x log 3 = log 1428,

. log 1428 3,1547282

donde x = —---=--= 6.61.. .

log 3 0,4771213

2.° Resolver a equação

% 3®2—:te+s — 19683.

Temos que 19683 = 3": logo = 39,

donde ícs— 3a>+ 5 = 9, ou x* — 3a; — 4 = 0.

Resolvendo esta equação, temos

3 5

2 V 4

+ 2 -

,, , 3 5 . 3 5

donde ®=_ + —= 4, * = — — 1.

3.° Resolver a equação

23 =512. Tomando os logarithmos, vem

oí®, « ■ , log 512 2,7092700

>og2 = log512, d onde 34

Tomando de novo os logarithmos, temos

4® log 3 =^log 2,7092700 + colg 0,3010300,

„ _ , log 2,7092700 +colg 0,3010300 0,9542425

donde 4®=—----2--_=----.

log 3 0,4771213

Tomando outra vez os logarithmos, resulta

x log 4 = log 0,9542425 + colg 0,4771213,

d'onde

_log 0,9542425 +colg 0,4771213 0,3010300 _ 1

55 ~íõg4 ~ 0,6020600~~ 2 ' Este mesmo resultado se obtém mais facilmente, advertindo que 512=29.

4.° Resolver a equação

3.32®— 6.3® — 2 = 0.

Fazendo 3x — y, será 3=

e substituindo estes valores na equação, teremos

— % — 2 = 0, ou </9 — y ?/ —-| = 0, equação algébrica do segundo grau. Resolvendo-a, vem

_B+ 728 y~ 6 ~V 36 + 3 6 ~ 6*

ou, separando as raizes

5 7^ 57 1

Substituindo cada um d'estes valores na equação 3® = y, vem 3®=2, 3®=—-i.

O

A primeira dá x log 3 = log 2,

log 2 0,3010300 donde a!==liõg3"0,4771213 1=1 *'

i\ ,0g(7ã

e a segunda dá # log 3 = log ^—x— ^ ,

valor imaginario, pois que os números negativos não têm loga- rithmos reaes.

o.° Resolver a equação

16® + 16!-*= 10. 334 '.LGEBRA Elementar

Coiro a subtracção nos expoentes corresponde á divisão, temos

16

desembaraçando do denominador, vem 1C2® + 16 = 10, 16®, ou 162® — 10.16® + 16 = 0.... (1). Fazendo 16® = y, é 1== y*;

e substituindo estes valores em (í), resulta y^ — 1 Oy + 16 = 0, equajão do segundo grau, que resolvida dá

y= 5 -b /25 — 16 = 5 ± 3, ou, separando as raizes,

2,-5+3 = 8, y = 5 — 3 = 2. Substituindo cada um d'estes valores na equajào 16a = $', vem 16» = 8, 16® = 2.

A pr neira dá

3

(24)® = 23, oo 24® = 23, donde 4a;=3, %=

'i1 1

e a segunda dá (24)® = 2, 2í®=---2, 4x. =1, x = -.

4

6.° Pesolver a equação

3

5®—1 = 2 +

50—2"

Desembaraçando do denominador, vem 52a -3 2 .5®—2 + 3; e como a 5ubíracção nos expoentes corresponde á dinsão temos

52á; 2.5®

h 3,

53 52

ou 52í"=10.5® + 376, ou 5a®— 10.5^—375=0____(í). Fazendo 5® = é 52k==j/2:

e substituindo estes valores em (1), resulta J/2_10?/_ 375 = 0, equação que resolvida dá

3/ = 5 ± V^25 + 375 = 5 ± V^400 = 5 ± 20: d'onde y = 25, y — — 15.

Substituindo cada um (Vestes valores na equação 5x—y, vem 5® = 25, 5® = — 15.

A primeira dá 5® = 52, d'onde x—2,

log r_1g'\

e a segunda dá x log 5 = log (—15), x — ——-—

log o

valor imaginario.

| 2.° Juros compostos

359. Os juros dizem-se compostos, quando no fim de cada praso se accumulam ao capital os juros vencidos, de modo que estes já vençam juros no praso seguinte.

Seja c o capital primitivo, C o capital accumulado, isto é, o capital augmentado successivamente com os juros compostos durante n prasos, e r o juro da unidade de capital no fim de cada praso.

O capital accumulado no fim do primeiro praso é egual a c mais ó seu juro. Ora se o capital 1 rende r, o capital c renderá cr: logo, ajunctando este juro a c, temos que o capital accumulado no fim do primeiro praso, ou o capital, que está a render durante o segundo praso, 6

c -f cr=c (1 + r) — c'.

I)'onde se conclue que: dado um capital qualquer, para achar o capital accumulado no fim de um praso, basta multiplicar esse capital pelo factor 1 + r.

Logo: sendo c' o capital que está a render durante o segundo praso, o capital accumulado no fim do segundo praso será c' (l+r)=c(l + r)2=c".

Do mesmo modo, sendo e" o capital que está a render durante o terceiro praso, o capital accumulado no fim d'este tempo será

c" (1 + r) = c (1 + r)3 = c'",

e assim por deante. Portanto, designando por C o capital accu- mulado no fim de n prasos, temos a fórmula geral

C = c (1 -f r)n.

Dada a taxa, isto é, o juro de 400, para achar r ou o juro do capital 1 hasta dividir a taxa por 400; e dado r, para achar a taxa hasta multiplicar r por 4 00.

Porque, designando por t a taxa, temos a proporção

t

1 : 100::r:t, d'onde r=-~-, e í=100r.

100

358. A acção dos juros compostos sobre o capital pode con- siderar-se de dois modos:

1.° Podemos suppor que os juros se capitalizam no fim de cada anno, e que durante esta unidade de tempo o juro não accresce ao capital.

Nesta hypothese, se o capital estiver a juros durante jí prasos e mais uma fracção de praso, calcula-se por meio dos juros com- postos o capital accumulado no fim de n prasos; e depois ajun- ctam-se ao valor achado os seus juros simples durante a fracção de praso.

Assim, seja c o capital primitivo que esta a juros durante n annos e d dias. No fim dos n annos o capital accumulado é

C = c (1 + r)'K

Além d'isto, o juro simples do capital C em d dias é

,_ Cit__C U)()r-MÕ_Cdr 3 100 \ 100 360' Ajunclando este valor de j a C, temos o capital accumulado no fim de na"- dlli-, a saber:.

2.° Podemos suppor que os juros se compõem dia a dia, assim como se compõem de anno a anno. Nesta hypolhese, que é a mais racional, a fórmula

C = c(l +r)«

tem logar para n fraccionario. Com effeito, seja x o juro que deve vencer o capital um, durante cada dia, para que no fim do anno valha 1 4- r; no fim do anno ou de 360 dias, o capital um valerá (1 + a)360; e deve ser

1

(l+«)360=l+»% ou i + a;=(t+/-)36Õ.

Além d'isto, o capital c no fim de nan- cí'1' =n.360<,i-+ tídi-, valerá

C = c(l+íc)«-360+rf, w

ou, substituindo o valor de 1 + x,

r jlt ■ 3fi0+á n ■ sco+d C = cL(l + r)™l = e(l + r) m " = c(l + r)+m.

Advertiremos que os resultados obtidos pelas duas fórmulas não são eguaes, mas que differem muito pouco entre si.

-Na pratica empregaremos sempre a fórmula C = c(l + ou n seja inteiro ou fraccionario; porque esta fórmula conduz sempre a cálculos mais simples do que a outra, principalmente quando se pede o tempo ou a laxa.

359. A fórmula C = c(l + »jn tem também logar para n negativo; mas então C exprime o valor que c tinha n prasos antes. Porque seja C o valor que c tinha n prasos antes; presentemente será

c = C(l + r)n; d'onde C = —~— =c(l + r)~».

v ' í 1 4 r\n v ' "•ICO. A fórmula dos j.ros compostos, contendo quatro quan- l.dados, dá logar a quatro problemas discentes, conforme se pe< ir C, c, r, ou n.

1.° Determinar C, sendo dados c, r e n. Neste caso, <■ Fórmula dá immediatamente o valor de C.

2.° Determinar c, sendo dados C, r e n. Neste caso, a fór- mula dá

__C_

" ^ +

3.° Determinar r, sendo dados C, c e n. Tomando os logfr.- tbmos, a fóimula dá

logG = iogc + nlog(l +r),

Bê log(l+r) = '°gr' " -:

n

fórmula que dá o valor de l+r; e'tirando d'este valor uma uni Jade, leremos o valor de r.

4.° Determinar n, sendo dados C, c e r. Tomando os logai i- thmos, temos

logC — log c

logG = Iogc + nlog(l + r), d'onden= lL .

3lwfl. Problemas. 1.° Quanto vale no fim de 6 annos o ca- pital 300$00C réis collocado a j\ros compostos de 5 j/q ao anno? Temos a fórmula

C = c(l + r)n,

5

em que c = 300000, n = 6, r = --— = 0,05.

1 100

Substituindo estes valores, vem

Cl = S000G0 x 1,05®, log C = log 300000 + 6 log 1,05;

log 300000 = 5,4771213 C log 1,05 = 0,1271358

log C= 5,60425^ í:

logo C = 402029. 2.° Qual é o capital que actualmente devemos collocar para que, no fim de 6 annos e a 5°/o> o capHal accumulaao seja 5C0$0C0 réis ? Temos a fórmula

C = c(l -t- r)n,

5

em que C = 500900, n = 6, r = - - =0,05.

Substituindo estes valores, vem

, „ ' 50G000 500000 = exl,05^, d'0nde c = — - ,

J.) uo

log c = log 500000 -I 6 colg 1,05 log 500000 = o, 6989700 6 coig 1,05 = 1,8728642 log c = 5, §7'J ^342: logo c = 37 3007.

3.° Durante qiie tempo deve o capital £0G$900 réis estar a juros compostos de 6 "/o ao anno, para que o capital accumulado seja 869$090 réis? Temos a fórmula

C = c(l + r)n,

em que € = 800000, c = 500000, r= —=0,06. 1 100

Substituindo estes vaiores, vem

80000C = 500000 x 1,06", lcg 800000 = log 500000 + n log 1,06, log 803000 + colg 50u000

d'onde

log 1,06 0,20412C0

0,0253059

= 8an- O'"- 23d-

4.° Durante que tempo deve ser coilocado um capital a mros coirvostos de 5 % ao anno, para dobrar o seu mie*-? Tfimos

C = c(l +r)», 5

em que C=2c, r—~— = 0,05.

100

Substituindo estes valores, vem

2c = cx 1,05", ou 2 = 1,05", , , „ X log 2 0,3010300 J | Iti

log2-»logl,nj, n-_ fr^p^Ç M-f

5.° A quantos por sento deve ser coUocado o capital 7203000 réis para no fim de 6 annos estar elevado c 900&060 réis ? Temos

C = c(l + r)«,

em que 0 = 900000, e = 720000, n = 0.

Substituindo estes valores, vem

900000 = 720000(1 fr)6,

log 900000 = log 720000 + 6 log (i + r),

, • , , , v log 900000 +colg 720000 d onde log (1 f r; =--

6

0,0969100

0,0161516,

6

logc í+r= 1,0378,

ou, tirando 1 aos deis membros, r = 0,0378, e por consequência a taxa t — 3,78.

3© 9. A população actual de um reino é p, e augmenta lodos

1 .

os annos — do seu valor no tmfijtcipw do anno com derado. Qual

K

será a população no fim de n annos? A população no fim do pri- meiro anno é

'fff|

d'onde se vê que o problema é idêntico ao dos iuros compostos,

m substituindo o factor 1 + r pelo factor 1 + —. Designando pois

k

por x a população no fim de n annos, será

BO!t. Annuidades, em geral, são as quantias eguaes, que, em cada anno, se põem a juros compostos, seja para amortisar umg divida, seja para formar um capital.

No primeiro caso as quantias collocani-se a juros no fim de cada anno; e nó segundo, no principio de cada anno.

Amortisação de uma divida por annuidades

36*1. Muitas vezes um individuo, tendo contrahido uma di- vida que vence juros compostos, em logar de pagar de uma só vez a divida e juros accumulados, faz com o credor o contracto de pagar todos os annos a mesma quantia até extinguir comple- tamente a divida e os juros compostos.

Esta quantia, que o devedor tem de pagar um certo numero de annos, chama-se annuidade; c esta deve ser calculada de modo, que os dois meios de operar o pagamento sejam idênticos. Temos pois que:

Annuidades são as prestações eguaes, que o devedor deve pagar ao credor no fim de cada praso, ordinariamente um anno, e das quaes uma parte é destinada ao pagamento dos juros, e a outra a amoitisar completamente a divida no fim de um tempo deter- minado.

Seja d uma divida que vence juros compostos, e que tem de ser paga em n annuidades, que designaremos por a; e seja r o juro que vence a unidade de capital no fim de cada praso.

Ora, como o devedor paga juros compostos da divida contra- hida, também as annuidades, pagas antes da epocha da extincção da divida, vencem juros compostos a seu favor durante o tempo

3.° Annuidades

\

t unir.<r

  • " **

que decorre até áquella epocha. Procuremos pois o valor, com que deve entrar cada annuidade na conta íinaL

O devedor paga a primeira annuidade a no fim do primeiro praso, e por conseguinte n — 1 prasos antes da divida extincta: logo esta primeira annuidade valerá na epocha da extincção da divida

a(l +r)"-1.

Do mesmo modo a segunda annuidade, que se paga no fim do segundo praso, e por consequência n— 2 prasos antes de extincta a divida, valerá

a( 1 +

a terceira valerá a( 1 -fr)n~3;

A penúltima annuidade, que se paga um praso antes da ex- tincção da divida, valerá

o(l + r);

e finalmente a ultima valerá a.

Estes valores formam n termos de uma progressão geometrica, cujo primeiro termo é a e a razão 1 + r: logo a sua somma é

a(l + r)n.— a

Mas, por outra parte, se o devedor não pagasse as annuidades, no fim de n prasos a divida estaria elevada a í/(1 + r)'1; logo, para esta se amortisar, deve ser

ari + r^J1^"-1,

r

fórmula geral das annuidades.

36d. A fórmula das annuidades, contendo quatro quanti- dades, dá logar a quatro problemas differentes, conforme se pedir d, a, r ou n.

1.° Determinar d, sendo dados, a, r e n. Da fórmula tira-se

(l+r)« — 1

d = a tt\ .—..............1).

r( 1 + r)n v ' 'nw'

Esta fórmula não está accommodada ao calculo dos logarithmos; e para os podermos empregar, calculamos em primeiro logar o valor de (1 + r)n.

2.° Determinar a, sendo dados, d, r e n. Desembaraçando a fórmula do denominador, lemos

dr (1 4- r)n

dr(\.+r)« = a[(t + r)«-l], d'onde a = ^r)" —- 1' ' " "(2)

e nesta fórmula calcula-se também em primeiro logar o valor de (1 + r)n. oc

Fazendo nésta fórmula , vem a — —. Para reconhecer

go

o verdadeiro valor do quebrado, dividamos os seus dois termos por (1 + r)n, o que dá

dr

(1 +r)n 1 . .

fazendo agora n = 00 , o termo ^ aniquda-se, e vem a = dr,

isto é, a annuidade egual ao juro da divida contrahida, como devia ser. Porque a hypotliese n — cc exprime que a divida não tem de ser paga; e então o devedor sómente deve, no fim de cada anno, o juro da divida.

3.° Determinar n, sendo dados d, a e r. Neste caso, a fórmula dá successivamente

dr (1 + r)n = a (1 + r)n — a, a = (1 + r)n(a — dr),

Ha-n^rHHla-.r),

Como os números negativos não têm logarithmos, para esta fórmula dar para n valores reaes, é necessário que seja a > dr, o que effectivamente tem logar. Com effeito, temos a fórmula geral

a(i+r)n — a

t HPT—T^rilPMIt^P

wni

344 ai.geura elementar

a (1 + r)1

donde dr(i +r)n=a[(l +r)n—1],

ou

dr (1 +r)n—1

Ora, sendo o segundo membro d'esta equação um quebrado improprio, também o primeiro o será; e por consequência a > dr.

Isto mesmo se conbece á priori. Pois que, sendo dr o juro da divida contrabida, se fosse a<dr, a annuidade chegaria só- mente para pagar parte dos juros; e então a divida, em logar de ser amortisada, iria augmentando.

Se o valor de n, dado pela fórmula (3), for fraccionario, por

1....... .

exemplo, n—n'-\--, indica isto a impossibilidade de extinguir

a divida com annuidades eguaes a a, pois que n' annuidades não chegam para pagar a divida, e n1 + 1 annuidades são de mais.

Neste caso podemos substituir na fórmula (2) n por n' ou por n'+ 1, e calcular cvalor de a que pouco differirá da annuidade dada.

4.° Determinar r, sendo dados d, a e n. Da fórmula tira-se

dr (I -f rf — a (1 + r)n + a = 0,

equação do grau n + 1 em relação a r, a qual não sabemos re- solver pelos processos expostos.

Neste caso podemos obter um valor aproximado de r por meio de um processo, chamado methodo das aproximações successivas por substituição.

Para isso, da equação tira-se

d d(l + r)n'

como a, em geral, é muito menor que d, e (1 -Kr)11 augmenta

a ,

com n, segue-se que ^ ^ tem um valor muito pequeno; e

por isso podemos tomar para primeira aproximação

, a

sendo r' um valor aproximado por excesso. Substituindo nc segundo membro da fórmula r por temos um segundo valor

a a

r":

d í?(1 + r')n

lambem ap-oximado por excesso, porque com esta substituição o termo subtractivo da fórmula diminuiu. E como é evidentemente r" < r', segue-se que rS é um valor de r muis aproximado do que r'.

Substituindo no segunde membro da mesma fórmula r por r'\ lemos um terce:ro valor

á & aftamim____ -

d d(l +r")n também aproximado por excesso, e assim por deante.

Problemas. 1Qual é a divula que se pode pagar sm TÊ annos com a annuidade de 50$ COO réis e a juro de 5 °/o- Temos

a (í+ »■)•— a

d 1 +r'" = —--,

r

g

em que a = 50000, n = 12, r = --=0,05. Subst;tu'nao estes valores, vem

50009x1,0512-50000 50000 (1,0512 - ?)

u X i«i/u —— ————————————-————— —-■—~—!

0;05 0,05

e d^idmdo por 1,0512, resulta

50000 (1,0512 — 1) — : ,0512 x ~ ' Gaiculemos em prime ro logar o valor de 1,0512:

log 1,051* = 121og 1,05 = 0,25*2716, 1,0512 =1,75585,

50000 x 0,79585

xBTfios portanto d — ——- — ----,

H 1.795Í5 [>, 05 log d = log 50000 -I- log 0,79585 + colg 1,79585 + colg 0,05, log 50000 = 4,6989700 log 0,79585 =1,9008312 colg 1,79585 =1,7457299 colg 0,05 = 1,3010300 log d = 5,6465611, d = 443160,5.

2.° Qual é a annuidade que se deve pagar annualmenle para que uma divida de 445. 160,5 réis esteja paga em V2 annos, sendo o juro a 5 °/o ?

Temos d(i + f)*»ííi±*=ff

r

g

em que d=443160,5, n=12, r = —= 0,5.

Substituindo estes valores, vem

443160,6x1, OB»-axyoB"~a.

0,05 x 443160,5 x l,05i2 = a(l,05i2 — 1), , _0,05x 443160,5x1,0512 1,0518— 1 '

Calculando em primeiro logar 1,0512, temos

log 1,0512 = 12 log 1,05 = 0,2542716,

Logo

1,0512 =1,79585.

0,05x443160,5x1,79585

0,79585

log a = log 0,05 + log 443160,5 xlog 1,79585 + colg 0,79585, log 0,05 = 2,6989700 log 443160,5 = 5,6465611 log 1,79585 = 0,2542701 colg 0,79585 = 0,0991688

log a = 4,6989700, a = 50000. 3.° Durante que annos se deve pagar a annuidade 50$>000 réis para que se extinga uma divida de 445460,5 réis com os juros . de 5%?

,,, , s a(l+rVl — a

Temos d(i+r)n== ~—--,

r

5

em que d!=443160,5, « = 50000, r=y^o = 0,05.

Substituindo estes valores, vem

50000 x 1,05" — 50000

443160, 5 x 1,05» =-—-,

0,05

0,05 x 443160,5 x 1,08» = 50000 x 1,05* —60000, 50000 = 1,05"(50000 — 0,05 x 443160,5) = 1,05» x 27841,975 : log 50000 = n log 1,05 + log 27841,975, log 50000 + colg 27841,975 0,2542700

= 11,99,

log 1,05 0,0211893

ou, em números inteiros, n=12.

4-.° Uma divida de 5:434$>740 réis amortisa-se em 40 annos com a annuidade %00$>000 réis: qual é a taxa do juro?

Temos d (1 -f r> = —---,

r

em que d = 3431740, « = 200000, n = 40. Substituindo estes valores, vem

3431740 (1 + r)4« = 200000 ^ «00000

r

ou 3431740 (1 + r)40. r = 200000 (1 + r)40 — 200000.

Appliquemos a esta equação o methodo das aproximações suc- cessivas. Para isso, tirando o valor de r, vem

"é «00000 200000 ,0(0682_M^.J(1);

3431740 3431740(1+ r)40 (l+r)4«' e despresando o segundo termo d'esta fórmula, temos um valor aproximado de r:

,-' = 0,0582.

Substituindo no segundo membro de (1) r por r', temos outro valor de r mais aproximado:

r" -0 0582 -^A0682- r 0,05o2 1058240.

Para achar o valor de r", calculemos em primeiro logar o termo

0,0582

qn ■ ...___ •

1,0582"' log x = log 0,0582 + 40 colg 1,0582, log 0,0582 = 2,7649230 4 0 colg 1,0582 =1,0172880 log x = 3,7822110, a; = 0,0061.

Logo r'< = 0,0582 — 0,0061 = 0,0521.

Substituindo no segundo membro de (1) r por r1', temos outro valor de r mais aproximado que o antecedente:

r"'= 0,0582

1,052140 " Calculemos o segundo termo

0.0582

x ■■

1,0821" '

logo X = log 0,0582 + 40 colg 1,0521, log 0,0582 = 2,7649230 40 colg 1,0521 =1,1177200

log x' = 3,8826430, a? = 0,0076. Logo r'" = 0,0882 — 0,0076 — 0,0S06,

e assim por deante. Tomando para r este ultimo valor, será a taxa <==8,06.

Formação de um capital por annuidades

3<à?. Seja o uma annuidade que se põe, no principio de cada anno a juros compostos, e seja r o juro da unidade de capital no fim de cada anno: o capital aòcumulado no fim de n annos será a somma de todas as annuidades com os seus juros compostos. Procuremos portanto o valor de cada annuidade no 6m de n annos.

A primeira quantia a, estando a juros compostos durante n

prasos, valerá no fim d esse tempo. ........-j-/-)®1.

A segunda quantia, estando a juros n—1 prasos,

valerá..............................a(l + r)n~l.

A terceira valerá........................a(l 2.

A penúltima, estando a juros dois prasos, valerá . a( 1 +r)s. A ultima valerá.........................a(i + »•).

Estes valores formam n termos de uma progressão geometrica, tujo primeiro termo é«(l+r)ea razão 14- r: logo a sua somma, isto é, o capital accumulado no fim de n prasos é

,, a(l +»•)"(! + r) — a(l + r) lM (1 -f r)« — 1

C — ~-—------ = a(l + r).----.

r ' r

Esta fórmula, contendo quatro quantidades, dá logar a quatro problemas differentes.

3(»8. Problemas. 1.° Um individuo colloca, no principio de cada anno, a quanlia de 600fj>000 réis a juros compostos de 4 % ao anno. Quanto tem no fim de 40 annos? Temos

r

. 4

em que a = 600000, n = 10, r = — = 0,04. Substituindo estes valores, vem

1 0410 __í

C = 600000.1,04. ' Qo4-.

Calculemos em primeiro logar o valor de l,0410: log 1,0410 = 10 log 1,04 = 0,1703330, 1,04'° = 1,48024.

0,48024

Temos portanto C = 600000.1,04. -L—-,

0,04

log C = log 600000 + log 1,04 + log 0,48024 + colg 0,04;

log 600000 = 5,7781513 log 1,04 = 0,0170333 log 0,48024=1,6814583 colg 0,04 =1,3979400

log C = 6,8745829, C = 7491743.

2.° Qual é a quantia que um individuo deve collocar, no prin- cipio de cada anno, a juros compostos de 5°/o ao anno para no fim de 10 annos ler 10:000^000 réis? Temos

(1

C = a(l+>V ■ .

r

5

em que C= 10000000, n = 10, r= - ( = 0,05, Substituindo estes valores, vem

1,0510— 1

10000000 = a. 1,05. „ -—,

0,05

10000000.0,05 = a. 1,05 (1,0510 — 1), 10000000.0,05 1,05(1,05 "u—lj- Calculemos ern primeiro logar 1,05'°: log 1,0510 = 10 log 1,05 = 0,2118930, 1,05 » = 1,62889. Temos portanto a

10000000.0,05

1,05.0,62889 '

log a = log 10000000 + log 0,05 + colg 1,05 + colg 0,62889:

log 10000000 = 7,0000000 log 0,05 = 2,6989700 colg. 1,05=1,9788107 colg 0,62889 = 0,2014253

log a = 5,8792060, a = 757192.

EXERCÍCIOS

591. Achar log 256 no systema de base 2 l/í (3,3649577).

592. Achar um numero tal que, dividindo o seu logarithmo por % o re- sultado seja egual ao que se obtém tirando log 2 do seu logarithmo. (0,4).

593. Achar dois números, cuja som ma é 25 e a dos seus logarithmos é 2. (5, 20).

594. Achar dois números taes que a somma dos seus quadrados seja 29, e a somma dos seus logarithmos seja 1. (2, 5).

Besolver os systemas seguintes:

595. log a; -)- log«/ — 3 a; = 25

Resolver as equações seguintes:

597. log (as2 + 1) — log (a;2 — 2as — 2) = log 2. a: = 5,-1.

598. log (a? — íte) — log(3a;2+ 2a;—133) = log 2. x = 6,449, — 8,249.

Resolver o systema

3a;* — í/2 = 275.

596. logx + log?/ = 3

5a;2 — = 11300.

y = 40- oc = 50 y = 20.

599. 3*+" = 243, xy = 6. Resolver as equações seguintes :

a; = 2,í/=3.

600. 5/4096 = 8.

601. (t/5)* = 14.

602. (y/í)' = 16.

603. 9" = — 3.

x = 4. x = 3,27947 x = 5,16811

x —

1 _ _1±V/_Í9

604. 5 ^rr = 5 sçr- x = ---'

605. 3 (*+2><*-3> =1. x = 3, — 2.

606. 8^+s* — 512. « = 1, — 3.

607. 7*s-5l+s = 49. « = 0, 5.

608. = 19683. x = 14, — 1.

609. 43*.5"2* = 2560000. x\— 2.

610. 9.23t+3 = 192. 3a1-8. a; = 5,709.

611. 32*. 5C*-' = .76-*. x = 1,006,

612. 7»-i.4a;+3. a; =3,378.

613. 3*s-,.32*-í.35 = 6561. x = 2, — 4.

614. 5a5-1 + + 5*-3 + 5*-" = 780. x = 3.

615. 4*-' + 4*~2 + 4" -J -f 4*-4 + 4* 5 = 341. x = 5.

616. 52* — 7. 5* = 450. x=-%

log 5 ■

617. 5* -f 25.5-» ==26. x = 0, 2.

618. 2- + 4* = 72. a; = 3, 9).

619. 5.4* 4-3-2* = 344. a; = 3, 'og f~6).

620. 9°H-« — 3*+? == 648. a; = 2, ?LLogJzi?.).

log 3

621. 5» +— =30. ar = 2,1.

622 log (-18)

B Sx -7- ' log-5 ■

623.5.3*-f* = 7. —

624. 5'+' -}- = 626. a; = 3, — 1. 625.3-^ = 6480.

626. 4*--J.4**-'-| =0. ® = T'T

627. 3»-' - = 4 - 3>~3*. x=l, .

3*+1 2 log 3

628 3-H _ -ÍL -1 3*-* - 2:! x — <z> 2

628. át + 3 _3l_2. X — <x>, z, |og3 .

629. Qual é o capital que se (leve eollocar a juros compostos para que,

no fim de 14 annos e a 6 7 %, o capital accumulado seja 9:500$000 réis? (3:806j&913). 4 *

630. Quanto vale 110 fim de 25 annos o capital 500$000 réis collocado a

3

juros compostos de 5 % ao anno? (1.851$015).

0

631. Quanto vale no fim de 6 annos o capital 3001000 réis collocado a juros compostos de 5 % ao anno, capitalizando-se os juros aos semestres? (403|1467). .„

632. Quanto vale no fim de 7 annos e 3 meses o capital 580$000 réis, collocado a juros compostos de 4 ■—% ao anno? (768$033,5).

633. Durante que tempo deve o capital 500$000 réis estar ajuros com-

3

postos de 5-5-% ao anno, para que o capital accumulado seja 1:500$000

o

réis? (20-™ 11™ 24a).

634. Durante que tempo deve ser collocado um capital a juros compostos de 5 % ao anno, para triplicar o seu valor? (22a" 6m 6a).

635. A quantos por cento deve ser collocado o capital 800$000 réis para no fim de 12 annos estar elevado a 1:5001000 réis? (5,4%).

636. A que taxa se deve collocar um capital a juros compostos, para triplicar o seu valor em 25 annos? (4,5%).

637. Qual é o capital que no fim de 8 annos a 4%, vale tanto como 2700 francos no fim de 12 annos a 3 %? (2812fr,83).

638. Os capitaes 38000 francos e 99398 francos foram collocados no

l

mesmo tempo ajuros compostos: o primeiro a 4-^-% ao anno e o segundo 1 * a 3 ijr°/o- Passados quantos annos estarão os dois capitaes elevados á mesma

quantia? (100).

639. Dois capitaes, dos quaes o segundo vale 1420 francos mais do que o primeiro, foram collocados a juros compostos, o primeiro a 4% e o se- gundo a 5%; e no fim de 16 annos valem junctamente 211084 francos. Quaes são esses capitaes? (51280lv e 527001'1').

640. Dois capitaes, dos quaes um vale 383 francos mais do que o outro,

1

foram eollocados a juros compostos: o mais pequeno a 5 -j-°/o o maior a 3 Quaes são os dois capitaes, sabendo que no fim de 40 annos o mais pequeno se tornou duplo do outro? (5097fl',97 e 5490lr,97).

641. A população de uma cidade é de 30:000 habitantes e cresce todos

1

os annos na razao Qual será a sua popnlação no fim de 30 annos? (64:868).

642. A população de uma cidade elevon-se em 30 annos de 20:000 a 64:000 habitantes. De quantos por cento augmentou cada anno? (4%).

643 Em um paiz o numero annual dos nascimentos é ^ da popnlação

M ^

no principio do anno considerado, e o numero das mortes é jjr. Passados quantos alinos estará a população duplicada? (28a" 25a). 40

644. Qual é a divida que se pode pagar em 15 annos com a annuidade 901000 réis e a juros de 5,5%? (903M83,2).