Elementos de Arithmetica/Capítulo 3

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Elementos de Arithmetica
por João José Luiz Vianna


CAPITULO ni

THEORIA DAS FRACÇÕES ORDINARIAS

98. Ao resultado exacto da comparação de duas grandezas, sendo uma d'ellas considerada como unidade, ena hypothese de ser a grandeza menor que a unidade, se dá o nome de fracção.

A fracção é sempre representada por meio de dous números separados por um traço horizontal.

O numero que fica na parte superior do traço chama-se numerador, e o que fica na parte inferior, denominador. A esses dous números, considerados simultaneamente, chamam-se também termos da fracção.

O denominador indica sempre o numero de partes iguaes em que a unidade está dividida, e o numerador o numero d'essas partes iguaes que a grandeza contém. Assim, se a unidade estiver dividida em sete par-

tesiguaes, e uma daspartesfôr contida na grandeza cinco vezes, a fracção g

é —; se a unidade estiver dividida em nove partes iguaes, e uma das partes

9

fôr contida na grandeza quatro vezes, a fracção é —

A fracção pôde também ser considerada como o quociente de uma divisão indicada, sendo o numerador o dividendo e o denominador o dí-

15

visor. Assim, — é igual á sétima parte do numero 15, de modo que 15

vezes a sétima parte da unidade ou quinze sétimos ou finalmente 15 dividido por 7 são expressões idênticas.

Para iêr uma fracção, lê-se em primeiro logar o numerador e depois e denominador, juntando a este ultimo a palavra avos. Assim, as 7 9 13

fracções — — enunciam-se do seguinte modo : sete doze avos, nove vinte e nove avos ; treze trinta e ãous avos.

Sendo o denominador um numero simples, lê-se meios, terços, quartos, quintos, etc.; se fôr 10, 100, 1000, etc., devemos ler décimos, centesimos, millesimos, etc.

As fracções que tiverem para denominador a unidade seguida de zeros, chamam-se decimaes. Se o numerador de uma fracção fôr menor que o denominador, essa fracção se diz própria. Se o numerador fôr igual ao denominador ou maior, a fracção se diz imprópria, porque, na primeira hypothese, é a unidade representada em fórma de tracção ; e na segunda, é um numero inteiro ou mixto representado sob a mesma fórma.

As fracções podem ter denominadores iguaes ou differentes ; se os têm iguaes, chamam-se homogeneas ou da mesma especie ; se differentes, chamam-se heterogeneas ou de especies differentes.

99. Um numero inteiro qualquer pôde ser sempre representado em fórma de fracção, tendo essa fracção para denominador um numero determinado. Supponhamos que se queira representar o numero 7 em fórma de fracção, tendo essa fracção para denominador o numero oito, diremos : uma unidade correspònde a oito oitavos; duas unidades correspondem a duas vezes oito oitavos ou dezeseis oitavos ; tres unidades correspondem a tres vezes oito oitavos ou vinte e quatro oitavos ; e finalmente sete unidades correspondem a sete vezes oito oitavos ou cin-coenta e seis oitavos, e podemos, pois, escrever 7==^=^-

o Í5 •

Sendo o mesmo raciocínio applicavel a quaesquer outros números, podemos concluir que, para dar a um numero inteiro qualquer a fórma de fracção, tendo essa fracção para denominador um certo numero determinado, ãá-se para numerador o producto ão inteiro pelo denominador.

100. O numero mixto pôde também ser representado em

5

fórma de fracção. Assim, no numero 4— sendo o inteiro 4 igual a

~ com os teremos para resultado

Para representar um numero mixto em fórma de fracção, devemos, pois, estabelecer a seguinte

Regra.—Mvltiplica-se o inteiro pelo denominador, somma-se o producto com o numerador, e ãâ-se para denominador ão resultado o denominador da fracção ãaãa.

101. Uma fracção tendo numerador maior que o denominador contém um certo numero de unidades, que para ser conhecido basta ãiviãir o nimeraãor pelo denominador.

23

Com effeito, se na fracção — dividirmos 23 por 5, acharemos 4 para quociente incompleto e 3 para resto da divisão, e teremos 23=4X5+3, isto é, 23 unidades de uma certa especie são iguaes a 4 vezes 5 d'essas unidades mais 3 d'essas mesmas unidades. Podemos, pois,

23 3

dizer 23 quintos valem 4 vezes 5 quintos mais 3 quintos isto é,—=4-~-

D 5

102. Sommando ou subtrahindo ao numerador ãe uma fracção um numero inteiro qualquer, essa f racção augmenta ou ãiminue, porque au-gmenta ou diminue o numero de partes iguaes que a grandeza contém.

103. Sommanão Ou subtrahindo ao ãenominaãor ãe uma fracção um numero inteiro qualquer, essa fracção ãiminue ou augmenta, porque au-gmentando ou diminuindo o numero de partes iguaes em que a unidade está dividida, diminue ou augmenta a grandeza de cada uma d'essas partes.

104. Sommanão a ambos os termos ãe uma fracção um numero inteiro qualquer, a fracção augmenta se fôr própria, e ãiminue se fôr imprópria.

5 9

Na fracção —» sommando 4 a ambos os termos resulta—, fracção

5 1

maior que a primeira, porque á fracção c falta — para ser igual á

unidade, e á fracção ~ falta i para ser igual á unidade ; e, faltando

á segunda menos do que á primeira para ser igual á unidade, é ella necessariamente maior.

Na fracção sommando 6 a ambos os termos resulta a fracção

O

-ií-t menor que a primeira, porque a fracção é maior que a unidade de

9 o

e a fracção é maior que a unidade de ; e a segunda fracção ap-

o y y

proximando-se mais da unidade que a primeira é necessariamente menor.

105. Subtrahindo ãe ambos os termos ãe uma fracção um numero inteiro qualquer, a fracção augmenta se fôr imprópria, e ãiminue te fôr própria.

Na fracção —, subtrahindo 2 de ambos os tennos, resulta a

K 7 •

fracção — , maior que a primeira, porque a fracção— é maior que a

2 5 2

unidade de , e a fracção— é maior que a unidade de ; e a segunda

O O o

fracção afastando-se mais da unidade que a primeira é necessariamente maior. Na fracção, subtrahindo 3 de ambos os termos, resulta a 8

o 5 3

fracção —, menor que a primeira, porque á fracção— faltam — para

0 o o

2 3

ser igual â unidade, e á fracção faltam —- para ser igual á unidade,

O O

e faltando â segunda mais do que á primeira para ser igual â unidade, é ella necessariamente menor.

106. Se, conservando o denominador ãe uma fracção, multiplicarmos ou dividirmos o numerador por um numero inteiro qualquer, a fracção torna-se maior ou menor esse mesmo numero ãe vezes.

Porque, conservando-se o denominador de uma fracção e multiplicando ou dividindo o numerador por um numero inteiro qualquer, o numero de partes iguaes que a grandeza contém, augmenta ou dimi-nue esse numero de vezes ; e, como a grandeza de cada uma d'essas partes não soffre alteração alguma, a fracção augmenta ou diminue esse mesmo numero de vezes.

107. Se, conservando o numerador ãe uma fracção, se multiplica ou ãiviãe o denominador por um numero inteiro qualquer, a fracção torna-se menOr ou maior esse mesmo numero ãe vezes.

Porque, conservando-se o numerador de uma fracção e multiplicando ou dividindo o denominador por um numero inteiro qualquer^ o numero de partes iguaes em que a unidade está dividida augmenta on diminue um certo numero de vezes, e o valor de cada parte torna-se menor ou maior esse mesmo numero de vezes ; e como o numero de partes que a grandeza contém não soífre alteração alguma, a fracção diminue ou augmenta esse numero de vezes.

108. Multiplicando ou dividindo ambos os termos ãe uma fracção por um mesmo numero inteiro, a fracção não muda ãe valor.

Porque, quando se multiplica ou divide o numerador por um numero inteiro, a fracção augmenta ou diminue esse numero de vezes, e multiplicando ou dividindo o denominador por esse mesmo numero, a fracção diminue ou augmenta esse mesmo numero de vezes, portanto não pôde mudar de valor por haver compensação.

D'estes princípios resulta que : ãe duas ou mais fracções ãe denominadores iguaes, a maior è a que tiver maior numerador; e se tiverem numeradores iguaes, a maior ê a que tiver menor ãenominaãor. Redacção das fracções ú sua expressão mais simples

109. No calculo das fracções ordinarias, muitas vezes se obtém para resultado uma fracção que tem para termos números consideráveis, e não se podendo facilmente fazer idéa de uma tal fracção, convém diminuir o mais que fôr possível os termos d'ella, sem que o seu valor seja mudado ; d'ahi provém a transformação — Beãucção das fracções á sua expressão mais simples.

48

Na fracção — o denominador 72 indica que a unidade está dividida em setenta e duas partes iguaes ; e o numerador 48, que a grandeza contém quarenta e oito d'essas partes ; mas se dividirmos ambos os

2

termos d'essa fracção por 24, resulta a fracção -y na qual o denominador 3 indica que a unidade está dividida em tres partes ; e incontestavelmente é mais fácil fazer idéa da grandeza quando ella fôr representada por do que sendo representada por

Beãueir uma fracção orãinaria â expressão mais simples, è achar uma fracção que tenha o mesmo valor que a fracção ãaãa, e que não possa ser substituída por outra ãe termos menores.

110. Não mudando de valor uma fracção quando se dividem os dous termos pelo mesmo numero, era natural que, nos primeiros tempos, os arithmeticos procedessem por tentativas, dividindo os dous termos da fracção successivamente pela série natural dos números inteiros.

E, de feito, os antigos assim procediam, porque nesse tempo ainda não era conhecido o principio :

Um numero divisivel por outro, é também ãivisivel pelos factores d'esse outro.

Depois de estabelecido este principio, reconheceram ser completamente inútil tentar a divisão dos termos da fracção pelos números múltiplos, quando elles não fossem divisiveis pelos números primos, factores d'esses números múltiplos; e então estabeleceram o processo para reduzir uma fracção á sua expressão mais simples, consistindo elle em tentar a divisão de ambos os termos da fracção successivamente pelos numeros primos, processo que foi depois muito simplificado com o conhecimento dos caracteres de divisibilidade, e que recebeu o nome de processo das divisões successivas.

Assim, para reduzir a fracção á sua expressão mais simples pelo processo das divisões successivas, dividiremos ambos os termos por

644 644

2, e teremos ; dividindo os termos da fracção por 2, acha-se

J.OÍO loltl

dividindo ainda os termos da fracção por 2, resulta ^ ; e não sendo os dous termos da ultima fracção divisíveis pelos numeros pri-

93

mos 2,3 e 5, dividil-os-emos por 7, e teremos finalmente a fracção ~, que não pôde reduzir-se a outra de termos menores.

Esse processo foi empregado até que, estudada a theoria do máximo divisor commum, se reconheceu que : o máximo ãivisor commum a ãous ou mais numeros ê o producto ãos factores primos communs a esses ãous ou mais numeros, affectaãos ãos menores expoentes que nelles existirem. (pg. 77).

111. Conhecida a composição do máximo divisor commum, foi estabelecido um processo mais simples para efectuar essa transformação, consistindo elle em ãiviãir ambos os termos ãa fracção dada pelo máximo ãivisor commum ãos mesmos termos. Este processo recebeu o nome de processo directo ou ão máximo divisor commum.

Assim, procurando o máximo divisor commum dos numeros 2632

1288

e 1288, acha-se 56: e dividindo ambos os termos da fracção por 56 resulta ^ . A fracção ê a expressão mais simples da

, _ 1288 fraC«a0 2-632-

112. Para completar a theoria da reducção das fracções ã sua expressão mais simples, demonstraremos os princípios seguintes :

1? Principio.—Uma fracção senão irreãuctivel, os seus termos são

primos entre si.

Effectivãmente, se os termos da fracção não fossem numeros primos entre si, teriam um divisor commum diferente da unidade, e a fracção se converteria em outra igual, de termos menores, o que não é possivel por ser ella irreductivel.

. Reciproca.—Se os termos ãe uma fracção forem números primos entre si, a fracção ê irreductivel.

Com effeito, se atracção não fosse irreductivel, poderia ser reduzida a uma outra igual de termos menores, isto é, os termos teriam um divisor commum differente da unidade, o que não é possivel, porque elles são por hypothese primos entre si.

113. 2? Principio. — Se uma fracção irreãuctivel fôr igual a uma outra, os lermos d'essa outra são equimultiplos ãos termos ãa primeira.

Demonstração.— Sendo a fracção irreductivel igual á

a'

fracção -j^-, teremos

a a'

b —

multiplicando os numeradores das duas fracções por b', acha-se

aV__a^V

b ~~ b'

supprimindo, no segundo membro, o factor b' commum aos dous termos, resulta

ab'

O segundo membro da igualdade sendo numero inteiro, o primeiro também o é, isto é, b divide aV, e como b é primo com a, segue-se que b divide chamando q o quociente da divisão, teremos

b' = bq

substituindo, na igualdade precedente, b' pelo seu valor bq, temos

abQ - a'

supprimindo o factor b, commum aos dous termos da fracção, acha-se

aq a' Os dous termos da fracção são, pois, equimultiplos dos termos da fracção

Consequência.—Duas fracções irreãuctiveis senão iguaes, são necessariamente iãenticas.

Com effeito, sejam -ÍL- e ~ duas fracções irreductiveis.

Suppondo que as duas fracções sejam iguaes, teremos

a _ a'

b b'

se ~ é irreductivel, seus termos são numeros primos entre si, e por consequência os termos de ~ são equimnltiplos dos termos da primeira. Sejam a'=aq e b'=bq.

Sendo q um numero inteiro, a' e V não podem ser respectivamente menores que a e b.

a>

A fracção — sendo irrednctivel, prova-se do mesmo modo que a e b não podem ser respectivamente menores que a' e b\

Se os numeros a e a', b e V, não podem ser respectivamente menores um que o outro, são necessariamente iguaes, e teremos

a=a',b=b'

Redacção das fracções ao mesmo denominador

Menor denominador commum que duas od mais fracções

podem ter

114. Esta transformação funda-se no principio : Uma fracção não muda ãe valor quando lhe multiplicamos ambos os termos por um mesmo numero.

Effectuada a reducção, o ãenominador commum ás fracções resultantes, ê sempre múltiplo ãos ãenominaãores das fracções ãaãas.

Com effeito, sejam as fracções irreductiveis-^-, e repre-

sente-se por D o denominador commum.

Chamando x, y e z os numeradores das fracções resultantes, teremos

x a y c z e

"b ' T ' TT~7~"' /

multiplicando por D os numeradores das fracções nos dous membros das tres igualdades, resulta

D.a D.c D.e

Sendo números inteiros os primeiros membros das tres igualdades, os segundos também o são, portanto b divide D. a, e, como é primo com a, divide D; ã divide D.c, e, como é primo com c, divide D ; / divide D.e, e, como é primo com e, divide D ; por consequência o denominador commum D é múltiplo dos denominadores b, d ef das fracções dadas.

Das igualdades x = —g—1' Y — e z = resulta que

—conhecido o denominador commum, para formar os numeradores das diversas fracções, devemos empregar a seguinte

Regra. — Diviãe-se o denominador commum pelos ãenominadores das fracções dadas, e multiplicam-se Os numeradores ã'essas fracções pelos

quocientes respectivos.

115. A reducção das fracções ao mesmo denominador depende, pois, do conhecimento do denominador commum, e sendo conveniente que esse denominador commum seja o menor possivel, deve elle ser o menor múltiplo commum dos denominadores das fracções dadas.

Se os denominadores das fracções dadas forem números primos entre si, considerados ãous a ãous, o menor múltiplo commum ê o proãucto ãos ãenominadores.

Se o maior denominador fôr divisivel por toãos os outros, o menor múltiplo commum ê o maior denominador.

Se o maior denominador não fôr divisivel por toãos os outros, mas houver pelo menos ãous denominadores que não sejam números primos entre si, o menor multiplo commum ê o proãucto dos factores primos differentes que entrarem na composição dos denominadores das fracções dadas, sendo cada um d' elles elevado ao maior expoente (n. 97).

Nesta ultima hypothese, podemos achar o menor multiplo commum, mvltiplicanão o maior ãenominaãor pela série natural ãos números inteiros.

Este ultimo meio é inconveniente se os denominadores das fracções dadas forem números consideráveis. Exemplos:

1?—Reduzir ao mesmo denominador as fracções 2 4 6

ir 5 ~7

o menor denominador commum é 3X5X7-

Dividindo esse menor denominador commum pelos diversos denominadores e multiplicando ambos os termos da primeira fracção por 5X7, ambos os termos da segunda por 3X7, e ambos os termos da terceira por 3X5, teremos

2X 5 X 7 4 X 3 X 7 6 X 3 X5 3X5X7 5X3X7 7X3X5 2?—Reduzir ao mesmo denominador as fracções

1 JL 1 _JL -11

~~8 ~T 2 ~~6~~ 24

o menor denominador commum é 24.

Dividindo o menor denominador commum por todos os denominadores e multiplicando ambos os termos de cada fracção pelo quociente respectivo, acha-se

3 18 12 20 13

24 ~24 24 24~ 24

3"—Reduzir ao mesmo denominador as fracções

1 5 7 3 2

"1T 12 ~TÕ~ 40 15

Decompondo os denominadores em factores primos, temos :

8=23, 12=22X3, 10=2X5, 40=23X5, 15=3X5. O menor denominador commum é 23X3X5. Dividindo o denominador commum por todos os denominadores e multiplicando ambos os termos de cada fracção pelo quociente respectivo, resulta

1 X 3 X 5 5X^X 5 7 X 22 X 3 23 X 3 X 5 23 X 3 X 5 23 X 3 X 5 3 X 3 2 X 23

ou

23 X 3 X 5 23 X 3 X 5

15 50 84 9 16

120 120 120 "l2Õ 120 Esta transformação é usada na comparação de duas ou mais fracções de numeradores differentes. Reduzidas ao mesmo denominador, a maior será a que tiver maior numerador.

Usa-se também d'esta transformação nas duas primeiras operações sobre as fracções ordinarias.

Operações sobre as fracções ordinarias

116.—As principaes operações sobre as fracções ordinarias são aããição, subtracção, multiplicação e ãivisão.

Addiçâlo

117. A aããição ãas fracções orãinarias tem por fim achar uma fracção que contenha toãas as partes que entrarem na composição ãe duas ou mais fracções.

Na addição das fracções ordinarias ba dous casos a considerar :

1? Caso : Os denominadores são iguaes, ou as fracções são ãa mesma especie.

2? Caso : Os denominadores são differentes, ou as fracções são ãe especies differentes.

118. 1° Caso—Sejam para sommar as fracções

5 3 _7_

~8~ ~8 8

A unidade sendo a mesma e achando-se nas tres fracções dividida no mesmo numero de partes iguaes, todas as partes são iguaes entre si. Reunindo, pois, as cinco partes da primeira fracção com as tres partes da segunda e com as sete partes da terceira, teremos quinze partes ou 15 oitavos oh uma unidade e sete oitavos; isto é

5 3__7__ JL5__ 7_

~ 8 8 8 ~ 8 — 1

119. 2? Caso.—Sejam para sommar as fracções

2 5 7

IP ~~8~' 12" Reduzindo as fracções dadas ao mesmo denominador, acha-se

16 15 14

24 24 24

Sommando as fracções resultantes, temos :

16 15 14 _ 45 21 24 + 24 24 24 24

Pelo que fica exposto, podemos estabelecer a seguinte

Regra.— Se as fracções tiverem denominadores iguaes, som-mam-se os numeradores e ãá-se para denominador da somma o denominador commum. Se as fracções tiverem denominadores differentes, redusem-se ao mesmo denominador e sommam-se as fracções que resultarem.

Addição dos números mistos

120. Para sommar numeros mixtos, devemos reduzir os numeros mixtos a expressões fraccionarias (n. 10-0), e depois sommar os resultados; ou reunir as fracções e depois os inteiros, attendendo ás reservas que se formarem na addição das fracções. Exemplo:

4 1 2 Sommar os numeros 3——, é-~— e 5 - —

5 6 3

1? Processo :

Q 4 . „ 1 . - 2 19 , 25 17

114 . 125 . 170_409 19

---— li) ~

30 30 ' 30 30 30

2? Processo :

4 1 o

Sommando em primeiro logar as fracções—--— e -5-, teremos

Ou *>

4,1,2 24 . 5 . 20 49 _ 19

5 6 ' 3 30 1 30 ' 30 30 30 Reunindo 1 com os inteiros 3, 4 e 5, acha-se 13; o resultado

19

13-gg- é o mesmo obtido pelo primeiro processo. Addição de iiniuero inteiro com uma fracção e vice-versa

121. Somma-se um numero inteiro com uma fracção e vice-versa, reduzindo o numero inteiro a uma fracção que tenha para denominador o denominador da fracção dada (99) e sommando o resultado com essa fracção.

Exemplos :

1° A 1 5 36 5 41 H 9 ~ 9 9 9 2? 6 i 5 6 i 35 41 7 —r 5- 7 1 7 7

É fácil vêr que o mesmo resultado se obtém applicando a seguinte

Regra.— Multiplica-se o numero inteiro pelo denominador, somma-se o proãucto com o numerador, e ãá-se para ãenominaãor ão resul-' taão o ãenominaãor da fracção dada.

Subtracção

122. A subtracção das fracções ordinarias tem por fim achar o excesso ãe uma fracção sobre outra menor.

Na subtracção das fracções ordinarias ha dous casos a considerar :

Io Caso : As fracções têm ãenominaãores iguaes ou são ãa mesma especie.

2o Caso : As fracções têm denominadores differentes ou são ãe es-pecies differentes.

123. Io Caso.—Supponhamos que da fracção se queira subtrahir a fracção

Sendo a unidade a mesma, e achando-se dividida, nas duas fracções, no mesmo numero de partes iguaes, todas as partes são iguaes entre si. Subtrahindo, pois, das 7 partes da primeira fracção as 5 partes da segunda, restam evidentemente duas partes ou— isto é :

J7___5_ _ _2_ '

9 9~~ 9

Vianua—Arithmetica 7 *

3

12*. 2o Caso.— Seja a fracção — que pretendemos subtrahir da fracção ~

o

Reduzindo as duas fracções ao mesmo denominador, e efectuando depois a subtracção, teremos :

7 3 _ 35 24 _ 11

8 6~ ~~ "40" ~~ lÕT — 40

Do exposto se conclue a seguinte

Regra.—Se as fracções tiverem denominadores iguaes, subtrahe-se o numerador do subtrahendo do numerador ão minuenão, e ãá-se para ãenominaãor ão resultaão o ãenominaãor commum. Se, porém, tiverem ãe-nominaãores ãifferentes, ê preciso antes reãuzil-as ao mesmo ãenominaãor, para em seguiãa ser effectuaãa a subtracção entre as fracções que resultarem. «

Subtracção de um numero mixto de outro

125. Para subtrahir'um numero mixto de outro, transformam-se os numeros mixtos em expressões fraccionarias, e effectua-se a sub-tracção, ou subtrahe-se a fracção ão subtrahendo ãa fracção ão minuenão, e a parte inteira ão subtrahendo ãa parte inteira ão minuenão.

Exemplo :

5 2

Subtrahir do numero 7-— o numero 3—.

9 7

1? Processo :

„ 5 2 68 23 476 207 269 17

7--3 - —--= —--— ,- —4 -

9 7 9 7 _ 63 63 63 63

2? Processo :

Subtrahindo da fracção a fracção acha-se

_5_ 2 _ 35 18 _ 17

~9 7~ "elT 153-

Subtrahindo a parte inteira do subtrahendo da parte inteira do minuendo, acha-se 4; e o resultado 4 ~ é o mesmo obtido pelo primeiro processo.

Este segundo processo pôde apresentar na pratica algum embaraço, e isso acontece quando a fracção do subtrahendo é maior que a do minuendo. Essa difficuldade desapparece subtrahindo a fracção do subtrahendo da fracção do minuendo augmentada de uma unidade, e diminuindo de uma unidade a parte inteira do minuendo.

Exemplo:

2 5

Subtrahir do numero 7 o numero 4 —•

2 5

Reduzindo as duas fracções — e y- ao mesmo denominador, resultam as fracções ~ e e como não se pôde subtrahir de —

63 6á 63

a fracção , subtrahe-se de 1 -j*- a fracção ou subtrahe-se da

Oi) Cd OO

fracção ~ a fracção e o resultado será ~; subtrahindo de 6 a parte inteira do subtrahendo, acha-se 2, e o resultado final será

63"

Subtracção de um numero inteiro de uma fracção

imprópria

126. Para subtrahir de uma fracção imprópria um numero inteiro, devemos multiplicar o inteiro pelo ãenominaãor e subtrahir o producto ão numerador, ãanão para ãenominaãor ão resultado o ãenominaãor da fracção imprópria dada. Assim,

23 23—(3 X 6) 23 — 18 5

6 6 6 6

18

Porque sendo 3 unidades o mesmo que —, subtrahir 3 uni-

23 23

dades de — é o mesmo que subtrahir de — a fracção imprópria 18 5

■j,eo resultado não pôde deixar de ser

Subtracção de uma fracção de um numero inteiro

Para subtrahir uma fracção de um numero inteiro, multiplica-se o inteiro pelo ãenominaãor, e subtrahe-se ão producto o numerador, dando para denominador ão resultado o ãenominaãor ãa fracção dada.

Assim,

4 (7X 5) —4 35—4 31 Porque 7 unidades sendo iguaes a —, subtrahir de 7 unida-

5

des a fracção ~ é o mesmo que subtrahir de ~ a fracção -í-, e o

O D 5

31

resultado não pôde deixar de ser —

5

Multiplicação

121. j*. multiplicação ê, como já vimos, a operação que tem por fim, dados ãous números, achar um terceiro derivado ão primeiro, como o segundo se deriva ãa uniãaãe.

D'esta definição segue-se que sendo o multiplicador

a 3

-j-, 4-, etc., da unidade, o producto é -i-, -i-, —, -i-, etc., do

4 D Â tJ TE D

multiplicando.

A idéa de multiplicação nem sempre envolve a de augmento, porquanto na hypothese de ser o multiplicador menor que a unidade, o producto é menor que o multiplicando.

Na multiplicação das fracções ordinarias ha tres casos a considerar :

Io Caso : Multiplicação ãe uma fracção por um numero inteiro.

2® Caso : Multiplicação ãe um numero inteiro por uma fracção. 3o Caso : Multiplicação ãe uma fracção por outra.

128. Io Caso. — Seja a fracção para multiplicar por 3.

Sendo o multiplicador tres vezes a unidade, o producto é tres vezes o multiplicando ; para termos, pois, o producto, devemos tornar o multiplicando tres vezes maior ; o que se consegue multiplicando o numerador por 3, ou dividindo o denominador por 3. Assim teremos

8 v 8 9 9 9H-3

Ha, pois, duas regras para multiplicar uma fracção por um numero inteiro.

Regra.— Conserva-se o denominador, e multiplica-se o numerador pelo inteiro.

2® Regra.— Conserva-se o numerador e ãiviãe-se o denominador pelo inteiro. A segunda regra só pôde ser empregada na hypothese de ser o oenominador divisível pelo inteiro.

129. 2? Caso.—Seja o numero 7 para multiplicar pela fracção—* Sendo o multiplicador cinco vezes a oitava parte da unidade, o

producto é cinco vezes a oitava parte do multiplicando; para termos, pois, o producto, devemos tomar a oitava parte do multiplicando, que é

repetindo essa oitava parte cinco vezes, teremos o producto 7 ,

o 8

isto é

6 7X5

7X"T= 8

Pelo que fica dito, podemos estabelecer a seguinte Regra.—Conserva-seo denominador, e multiplica-se o inteiro pelo numerador.

5 3

130. 3? Caso.—Seja — para multiplicar por —

O multiplicador sendo tres vezes a oitava parte da unidade, o producto é tres vezes a oitava parte do multiplicando ; para termos, pois, o producto, devemos tomar a oitava parte do multiplicando, que é , e tornando depois essa oitava parte tres vezes maior, acha-se o

7x8

5x3

producto isto é

/ X O

5_ 3 _ 5X3 7 X 8 7X8 Para multiplicar uma fracção por outra, devemos, pois, empregar a seguinte

Regra.—Multiplicam-se os numeradores e também os denominadores. Diviãe-se o primeiro producto pelo segundo.

§ ^ | g

Wnltiplicação de am namero inixío por outro

131. Para multiplicar um numero mixto por outro, reduzem-se os numeros mixtos a expressões fraccionarias, e effectúa-se depois a mui' iiplicação.

Exemplo :

4 3 _ 25 23 _ 25X23 __J>J5_

~YX 7X5 " 35 Observação.—São applicaveis á multiplicação das fracções os seguintes principios, demonstrados na multiplicação dosn umeros inteiros:

1? Multiplicar uvia fracção pelo proãucto ãe outras ê o mesmo que multiplicar essa fracção successivamente pelas outras, uma a uma.

2o. O proãucto ãe ãuas ou mais fracções ê o mesmo, seja qual fôr a jffãem ãos factores.

Divisão

i

132. A ãivisão ê, como já vimos, a operação que tem por fim, dados ãous números, achar um terceiro que multiplicado pelo segunão reproduza o primeiro.

D'esta definição se conclue que o dividendo é um producto, sendo o divisor um dos factores, que pôde ser sempre considerado como multiplicador, e o quociente o outro factor, que é o multiplicando.

Tendo-se visto na multiplicação que o producto deriva-se do multiplicando como o multiplicador da unidade, segue-se que o dividendo deriva-se ão quociente, ão mesmo modo que o ãivisor deriva-se ãa uniãaãe.

Assim, se o divisor fôr -y-» —■■> -—-> > etc., da unidade, o dividendo é -y> -j-> -j-> y» etc., do quociente, ou ,o quociente é duas,

/

tres, quatro, cinco, etc., vezes o dividendo.

A idéa de divisão nem sempre envolve a de diminuição, porquanto na hypothese de ser o divisor menor que a unidade, o dividendo é menor que o quociente, ou o quociente é maior que o dividendo.

Na divisão das fracções ordinarias ha tres casos a considerar :

1? Caso : Divisão de .uma fracção por um numero inteiro

2o. Caso : Divisão ãe um numero inteiro por uma fracção.

3? Caso : Divisão ãe uma fracção por outra.

133. 1? Caso.—Seja a fracção —g para dividir por 4.

Sendo o divisor quatro vezes a unidade, o dividendo é quatro vezes o quociente ; para termos, pois, o quociente, devemos tornar o divi- 

dendo quatro vezes menor, o que se consegue multiplicando o denominador, ou dividindo o numerador por 4, e o resultado será

8 _ 8 _8 -f 4

~9~ ~ 4 — 9 X4 9

Resultam, pois, duas regras para dividir uma fracção por um numero inteiro.

1? Regra.—Conserva-se o numerador e multiplica-se o denominar dor pelo inteiro.

2? Regra.—Conserva-se o denominador e divide-se o numerador pelo inteiro.

Esta segunda regra só pôde ser empregada na hypothese de ser o numerador divisível pelo inteiro.

7

134. 2? Caso.—Seja o numero 5 para dividir pela fracção

0 divisor sendo sete vezes a oitava parte da unidade, o dividendo é sete vezes a oitava parte do quociente.

Tomando-se, pois, a sétima parte do dividendo, acha-se que é a oitava parte do quociente, e tornando essa fracção oito vezes maior, acha-se o quociente-í-í-^, isto é

7 _ 5 X 8 _ 40

Podemos estabelecer a seguinte

Regra.—Multiplica-se o inteiro pelo denominador e divide-se o producto pelo numerador.

5 4

135. 3? Caso.—Seja a fracção -— para dividir pela fracção—-

8 7

Sendo o divisor quatro vezes a sétima parte da unidade, o dividendo é quatro vezes a sétima parte do quociente. Tomando, pois, a quarta parte do dividendo, acharemos a sétima parte do quociente, que é

9 ^ 4 ; tornando essa sétima parte do quociente sete vezes maior, acharemos o quociente 5n x ' e teremos 9x4

5 4 _5X7

~~9 ~ 7 —9X4 Podemos, pois, estabelecer a seguinte

Regra. — Multiplica-se o numerador ão ãiviãenão pelo denominador ão ãivisor e o numerador do ãivisor pelo ãenominaãor ão ãiviãenão. Diviãe-se o primeiro proãucto pelo segunão.

136. O processo natural para dividir uma fracção por outra consiste em dividir o numerador ão ãiviãenão pelo numerador do ãivisor, 6 o ãenominaãor ão ãiviãenão pelo denominador ão divisor, dividindo

depois o primeiro resultado pelo segundo.

14 7

Tratando-se de dividir — por —, o resultado será

5o 8

14 -r- 7

56 S- 8

Com effeito, o quociente se obtém tomando a sétima parte do dividendo e repetindo-a oito vezes. Ora, podemos tomar a sétima parte do dividendo, dividindo o numerador por 7, e repetir essa sétima parte oito vezes, dividindo o denominador por 8.

Este processo é muito conveniente, mas só pôde ser empregado quando os termos do dividendo forem múltiplos dos termos do divisor.

Divisão de um numero mixto por outro

137. Para dividir um numero mixto por outro, reãuzem-se os números mixtos a expressões fraccionarias, e depois effectua-se a ãivisão.

Exemplo:

3 j4__ 23 _ 18__23X7 161

4~ir~2~'r~ir~~r~ íixs90"

Fracções de fracções

138. Fracção ãe fracção ê qualquer parte ãe uma fracção.

Da multiplicação das fracções ordinarias resulta o calculo das fracções de fracções, porquanto, multiplicar uma fracção por outra não é mais do que calcular uma fracção de outra, razão por que, nesse calculo, é empregada a regra estabelecida para multiplicar uma fracção por outra.

Assim

Ade4_=i><i 4deA=M#

5 7 5X7 9 7 9X7

Para determinar — dede— de-|-de-^-, calcula-se em primeiro

3 4 5 6 7 logar ~ de e acha-se ; depois calcula-se -i- do resultado e acha-se ; depois calcula-se 4- do resultado e acha-se 3.x4x5x6, e

5x6x7 L 4 4x5x6x7

2

finalmente, calculando — do resultado, se obtém :

2X3X4X5X6 3X4X5X6X7

Podemos, pois, estabelecer a seguinte

Regra para calcular as fracções de fracções,— Multipli-cam-se todos os numeradores e também todos os denominadores; dividindo depois o primeiro producto pelo segundo.

No calculo das fracções de fracções, convém indicar as multiplicações, por causa das simplificações que devemos fazer no resultado. No exemplo precedente, omittindo os factores communs aos dous termos da fracção resulta a fracção

FRACÇÕES CONTINUAS

139. Uma fracção ordinaria sendo irreductivel, não pôde ser transformada em outra igual de termos menores, porém é sempre pos-sivel determinar outras fracções de termos mais simples, que se appro-ximem cada vez mais da fracção dada.

Da indagação d'essas fracções, diversas approximações da fracção dada, originam-se as fracções continuas.

Consideremos a fracção

Dividindo os dous termos d'essa fraccão por 169, acha-se

169_ 1 _ 1

(1) 472~Í7íf~2J34

169 169

Desprezando a fracção teremos para primeira approxi-mação a fracção -i-. Esta primeira approximação é maior que a fracção dada, porque, não. considerando a fracção —, o denominador da fracção-l— diminue, e por consequência a fracção

.augmenta. 

Se em logar de desprezar a fracção dividirmos ambos os seus

169

lermos por 134, teremos

134 1 1

169 169 tj»_ 134 134

Substituindo na expressão (1) ^ pelo seu valor, resulta

(2) 169_ 1

472 n 1

iJ»

1S4

35

Se desprezarmos a fracção resulta a segunda approxímação: — • Esta segunda approxímação é menor que a fracção dada, 2T~

35

porque desprezar a fracção — é augmentar o denominador da fracção

primitiva, e portanto diminuir essa fracção.

35

Não desprezando a fracção — e dividindo ambos os seus termos por 35, teremos

35_ 1 _ 1

134~134—~~29 35" ~35

substituindo esse valor na expressão (2), resulta (3) 169 1

472 i_

i 1

29

3-

35 29

Desprezando a fracção —, teremos a terceira approxímação 1 _ 1 1 14

i „ 1 3 n ti

2—2X "T"

1 3 3

Esta terceira approxímação é maior que a fracção dada, porque zar a fracção — é diminu

Oo

por consequência augmeutal-a.

desprezar a fracção -- é diminuir o denominador da fracção primitiva e

O O ° 29

Dividindo os termos da fracção — por 29, teremos

oD

—=-=—6 35 35 1—

29 »

substituindo este valor na expressão (3) resulta

(4) lfi9_J_

472 2 —J_

3 Ti

29

Não considerando a fracção teremos a quarta approximação

1 _ i _ i__1 _JL—JL

i1- 1-y1 , — T—~ 2 ~ 14 14

'TJL XT T 5 1

/ ! 4 4

Esta quarta approximação é menor que a fracção dada, porque desprezar a fracção ^ reduz-se a augmentar o denominador da fracção primitiva, e por isso ella fica menor.

Dividindo os ternos da fracção por 6, resulta

6

6 _1_1

29 —


6

substituindo na expressão (4) este valor, temos (5) 169

472 - l

2— 1 ,

6

Desprezando a fracção -|-j teremos a quinta approximação maior que a fracção dada :

< - 1 1 1 1 1 1 1 24 Dividindo ambos os termos da fracção ~ por 5, temos 5 11

6 6 1 * — 1 —

  • 5 5

5

substituindo na expressão (5) em logar de — o seu valor, aclxa-se (6) 169 1

472 2 — 1

1 — 1 B—1 1 — 1 4—1 1 — 5

A sexta approximação, menor que a fracção dada, se ia 1 1 111

2 — 1 2 — 1 2 — 1 2—1 2—1 =

1—1 1—1 1—1 1—5 1—

8 —1 3 — 1 3— 3— 23

1—1 1— 6 6—

4— 5 — 6

1 5

1 1 1 1 29

2 — 6 2— 2— 81 81 1 — 29 29 —

23 — 29

23

Considerando a expressão (6) e effectuando as operações indicadas, seráa fracção Com effeito :

1 111

2—1 2—1 2—1 2—1

1—1 1—1 1—1 1—1

3—1 3—1 3—1 3—1

1—1 1—1 1—5 1 —

4—1 4— 4— 29

1—6 6 —

5 — 6 2 — 1 2 — 1 2 — 1 2—1 2—35

1 — 1 1 — 1 1—29 1 — 1 —

3 — 6 3— 3— 134 134

1 — 35 35 —

29 — 35 29

11 1 169

1 2 — 147 472 169 — 169

2

169

134

As expressões da fórma (6) denominam-se fracções continuas.

140. Consistindo o meio de reduzir a fracção ^ á fórma

472

1

— 1 2 — 1 1 — 1 3 — 1 1 — 1 4—1 1 — 5

em dividir successivamente os termos das diversas fracções pelo numerador de cada uma d'ellas, é fácil estabelecer um processo para obter o desenvolvimento de uma fracção continua. Esse processo consiste em procurar o máximo ãivisor commum ãos termos ãa fracção daãa e formar ãepois a fracção continua, ãanão para numeradores das fracções que a compõem a unidade, e para ãenominaãores os quocientes na orãem em que forem determinados.

Seja a fracção ^

Procurando o maior divisor commum aos numeros 980 e 297, acha-se. | 3| 3| 2f 11 29

980|297j 891 30 89| 301 29j 1

29 0

Portanto será

297__J_ 980 3 1

T 1

1

29 141. As fracções -y-g- \—^ 1ue compõem a fracção continua, denominam-se fracções integrantes.

Os denominadores d'essas diversas fracções, menos o da ultima, chamam-se quocientes incompletos.

A esses denominadores seguidos de todas as integrantes que estiverem depois d'elles, chamam-se quocientes completos.

A's diversas approximações da fracção dada, ou aos resultados que se obtêm considerando uma, duas, tres ou mais integrantes, deno-minam-se fracções convergentes ou reduzidas.

142. Tratemos presentemente de estabelecer um processo para formar as diversas reduzidas e mesmo determinar a fracção ordinaria correspondente á fracção continua, sem ter o trabalho de effectuar as operações indicadas.

Seja, em geral ,

1

x = — 1

a — 1 b — 1 c — d.

A primeira reduzida é —.

A segunda reduzida é 1—— - V-aJ_ ab+1

b b

A terceira reduzida é

ab+1


b_ bc+1

C

1

a

0 abc-(-ii-|-c bc+1

bc+1

bc-t-1 abc-f a+c A quarta reduzida é

i- =J_ i _ i

• - i » - i =T1 1

b — i b a bcd+b+d

c _L çd+1 cd+1 ~cd+l

d d

1 , . , 1 bcd+b+d

cd+1 =

a ——1_ abcd+ab+ad+cd+1 abcd+ab+ad+cd+1 C + + bcd+b+d

Analysando o valor da terceira reduzida, nota-se que o numerador bc+1 forma-se multiplicando o numerador b da precedente pelo terceiro quociente incompleto c, e sommando ao producto o numerador 1 da ante-precedente ; e o denominador se obtém multiplicando o denominador ab+1 da precedente pelo terceiro quociente incompleto, e sommando o producto com o denominador a da ante-precedente.

Esta lei é geral e póde-se enunciar do seguinte modo :

O numerador da reduzida ãa ordem n obtem-se, multiplicando o numerador ãa reãuziãa ãa orãem n—1 pelo quociente incompleto ãa orãem n, ■e sommando o proãucto com o numerador ãa reãuziãa ãa orãem n—2 ; e o denominador forma-se, multiplicando o ãenominaãor ãa reãuziãa ãa orãem n—1 pelo quociente incompleto ãa orãem n, e sommando o proãucto com o denominador ãa reãuziãa ãa orãem n—2.

Para demonstrar esta lei, supponhamos que ella se verifique até a reduzida da ordem n.

Representando por A e B os termos da reduzida da ordem n, por A' e B' os termos da reduzida precedente, por A" eB" os termos da reduzida ante-precedente e porp o quociente, incompleto da ordem n, teremos

A=A' p+A"

B=B' p+B"

ou

A _A' p+A"

b ir^p+ií77 mas A 1

B a— 1

b — 1 c — d.

• 1

P

e chamando C e D os termos da reduzida da ordem o-f-l> será C 1

D a— 1

b — 1 c — d

1

.— 1

P —

q

A 1

substituindo no valor de -g-, em logar de p, p —, teremos o valor

ç

de —» isto é

C A'XP4+A"

ou

D B'XP}+B'

C A'XP-^+A»

D B' X pq±i

OQ

q + »'

c _A:ttA'+A"

D B'pq+B'

q ' on

on

ou finalmente

A,bg+A"+A"q

C___ 1__

D B'bq + B'+B"q

q

_C__A'bq+A'+A"q

D — B'pq+B'+B"q" >

C _ (A'b+A")q+A'

D (B'p+B")q+B'

O resultado mostra-nos que o numerador da reduzida da ordem se fórma multiplicando o numerador A' p+A" da reduzida da ordem n pelo quociente incompleto q da ordem w+í, e sommando o producto com o numerador A' da reduzida da ordem n—1; e o denominador se obtém do mesmo modo.

Segundo esta lei, as reduzidas na fracção continua 1

x=— 1 2—1 3 — 1 1—1 4—1 1 — 5

1 3 4 19 23 134

são : > -> • » —-—» -r- —>

2 7 9 43 52 303 143. Na fracção continua 169 1 — = —1 472 2 — 1

1 — 1 3 — 1 1 — 1 4—1 1 — 5

achamos para reduzidas as fracções-i, e vimos

Z 3 11 14 t)é ol

que a Ia, 3a e 5a eram maiores que a fracção dada, sendo a 3a menor que a Ia, e a 5a menor que a "3a; e que a 2a, 4a e 6a eram menores que a fracção dada, sendo a 4a maior que a 2a e a 6a maior que a 4a.

Viauna — Arithmetica 8 Podemos, pois, concluir que:

1? As reduzidas ãe ordem impar são todas maiores que a fracção dada e vão diminuindo successivamente, approximanão-se portanto cada vez mais ãa mesma fracção,

2o. As reduzidas ãe ordem par são todas menores que a fracção ãaãa e vão augmentanão successivamente, approximanão-se cada vez mais ãa mesma fracção.

3? A fracção ãaãa está sempre comprehenãiãa entre duas reduzidas consecutivas, ê menor que a de ordem impar e maior que a ãe orãem par, 144. Antes de terminar o estudo sobre as fracções continuas, convém demonstrar as seguintes propriedades :

1! propriedade

A ãifferença entre duas reãuziãas consecutivas á igual a uma fira* cção que tem para numeraãor ±1, e para ãenominaãor o proãucto ãos denominadores das duas reãuziãas.

Consideremos as tres reduzidas consecutivas

A C E

TT' W' T

Procurando a diíferença entre a reduzida -^-e a reduzida—'

d b

acha-se

_C! A _ BC—AP

~D B ~ BD ^

Pelo resultado vê-se que o denominador BD ê o producto dos denominadores das duas reduzidas. Resta, pois, demonstrar que o numerador é igual a±l.

Pelo que estabelecemos no n. 142, segue-se que

E _ Cp+A

~f— Dp+ir

chamando p o quociente incompleto da ordem a que pertencer a re-

e

duzida —-1? c

Subtrahindo de ambos os membros da igualdade precedente —,

temos

_E___C__Cp+A C _CDp+AD—CDp—BC_ AD—BC .

F 1T Dp+B D i) Dp+B) D (Dp+B) v '

Se compararmos os numeradores das duas diferenças (1 e 2), facilmente reconheceremos serem iguaes e de signaes contrários.

Ora, a differença entre a 1? e a 2? reduzidas da fracção continua (142), sendo

1 b _ ab+1 ab _ab+1—ab_ 1

a ab+1' a (ab+1) a (ab+1) a (ab+1) a(ab+2)

isto é, tendo para numerador 1, segue-se pelo que fica dito, que a differença entre a 2! e 3! reduzidas terá para numerador—1, e que a differença entre a 3? e a 4? reduzidas terá para numerador 1, e assim por '

<lit Jjte.

Substituindo, pois, este (±1) na fórmula (1), teremos

Jl__a__±1

D B BD

resultado que demonstra a proposição.

2? propriedade

O erro que se commette tomando uma reãuziãa para valor approxi-maão ãa fracção continua ê menor que a uniãaãe ãiviãiãa pelo proaavto ão ãenominaãor ã'essa reãuziãa pelo da seguinte.

Com effeito, achando-se o valor da fracção continua comprelien-

dido entre duas reduzidas consecutivas quaesquer --^-e a differença

entre os valores da fracção continua e da reduzida é menor que a dif-

a c

ferença entre os valores das reduzidas — e -p- ; sendo a differença d'estas , é claro que a differença entre a fracção continua e a reduzida ~ é menor que