Elementos de Arithmetica/Capítulo 4

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Elementos de Arithmetica
por João José Luiz Vianna


CAPITULO IV THEORIA DOS NÚMEROS DECIMAES

145. No systema de numeração decimal vimos que as unidades das differentes ordens eram formadas de dez em dez, isto é, que dez unidades formavam uma dezena ; dez dezenas, uma centena; dez centenas, um milhar, etc ; e que, partindo da utidade, tínhamos uma série ascendente indefinida, na qual uma unidade de uma ordem qualquer correspondia a dez unidades de ordem immediatamente superior.

Suppondo a unidade dividida em dez partes iguaes ou décimos, o decimo dividido em dez partes iguaes ou centesimos, o centesimo dividido em dez partes iguaes ou millesimos, etc ; resulta d'essas subdivisões que, partindo também da unidade, teremos uma série descendente indefinida, na qual uma unidade de qualquer ordem corresponderá também a dez unidades de uma ordem immediatamente inferior. Essas duas séries podem ser dispostas de modo que* formem uma única, na qual dez unidades de uma ordem qualquer corresponderão sempre a uma de ordem immediatamente superior.

Na medida das grandezas menores que a unidade é muito conveniente para o calculo a divisão da unidade na razão decupla, pois d'essa divisão resultarão fracções tendo para denominadores o numero dez ou uma potencia qualquer de dez ; fracções que poderão ser representadas como o são os números inteiros, presidindo á sua numeração as mesmas leis estabelecidas na numeração decimal d'estes.

A essas fracções dá-se o nome de fracções ãecimaes. -

146. Attendendo ao modo pelo qual foram representados os números inteiros e ao principio que presidiu a essa representação, podemos escrever uma fracção decimal qualquer collocando o algarismo dos centesimos á direita do dos décimos ; o dos millesimos á direita do dos centesimos ; o dos décimos millesimos á direita do dos millesimos ; e assim por diante, separando com uma virgula o algarismo das unidades do dos décimos.

Se um numero decimal fôr composto de sete unidades, quatro décimos, cinco centesimos, tres millesimos e seis décimos millesimos, sua representação será 7,4536. Ás fracções^- ^ ^ escrevem-se do seguinte modo:

0,7 ; 0,13 ; 0,047 ; 0,0593.

. Se o numero decimal é enunciado distinguindo-se apenas a parte inteira da fraccionaria, sem conheceras unidades das differentes ordens d'esta ultima, é necessário decompor a parte fraccionaria para sabermos de quantos décimos, centesimos, millesimos, etc., ella consta ; e depois de representada a parte inteira, escreveremos os algarismos d'essas diversas ordens nos seus logares respectivos, collocando zeros nos Jogares das ordens que não tiverem unidades.

Exemplo :

Escrever o numero : Quarenta e sete unidades e quatrocentos e trinta e seis décimos millesimos.

Como quatrocentos décimos millesimos é o mesmo que quarenta millesimos e ainda o mesmo qne quatro centesimos ; e trinta décimos millesimos, o mesmo que tres millesimos, o numero será 47,0436.

Se o numero decimal fôr enunciado sem distincção das duas partes, escreve-se o numero como se fosse inteiro, e colloca-se a virgula de modo que o ultimo algarismo represente a ordem de unidades indicada pelo enunciado.

O numero : Quarenta e tres milhões setecentos e sessenta e tres mil seiscentos e quatro centesimos millesimos, escreve-se 437,63604.

O numero : Quatrocentos e trinta e sete millionesimos, escreve-se 0,000437.

147. No calculo das fracções é algumas vezes necessário mudar as formas dos numeros decimaes, e essas transformações se effectuam facilmente por meio de regras deduzidas de principios já estabelecidos.

1? Eegra. Para passar um numero decimal da fórma primitiva para a fórma de numero inteiro, escreve-se o numerador e separa-se nelle para a ãireita tantos algarismos quantos forem os zeros ão ãenominaãor. Se o numero ãe algarismos ão numerador fôr inferior ao numero ãe algarismos que ãeve ser separado, escrevem-se zeros á esquerda, até completar esse numero ãe algarismos.

I

/ 2? Regra. Para passar um numero decimal da fórma de numero inteiro para a forma primitiva, escreve-se no numerador o numero dado, prescindindo ãa virgula, e, no ãenominaãor, a uniãaãe seguida ãe tantos zeros quantos fôr em os algarismos ãa parte fraccionaria.

148. Tratemos presentemente de estabelecer a regra para lêr um numero decimal qualquer.

Seja o numero 47,6587.

Lê-se, em primeiro logar, a parte inteira.

A parte fraccionaria, compondo-se de 6 décimos, 5 centesimos, 8 millesimos e 7 décimos millesimos, e sendo :

6 décimos=60 centesimos=600 millesimos=6000 décimos millesimos;

5 centesimos=50 millesimos=500 décimos millesimos ;

8 millesimos=80 décimos millesimos ; reunindo tudo isso com os 7 décimos millesimos, teremos 6578 décimos millesimos e o enunciado do numero é 47 unidades e 6587 décimos millesimos.

Devemos estabelecer a seguinte

Regra.— Lê-se aparte inteira e depois a fraccionaria, danão-lhe a denominação ãa ultima ordem.

Póde-se também lêr o numero decimal sem separar as duas partes, dando-lhe a denominação da ultima ordem. O numero 47,6587 lê-se ainda: quatrocentos e setenta e seis mil quinhentos e oitenta e sete ãecimos millesimos.

149. Um numero ãecimal não muãa ãe valor escrevendo á sua direita um numero qualquer ãe zeros.

Com effeito, dos números 3,472 e 4,4720, os algarismos conservam os mesmos valores relativos, e por isso esses números são iguaes.

Se em um numero decimal mudarmos a virgula para a direita, um, dous, tres, etc. algarismos, elle ficará dez, cem, mil, etc., vezes maior; e ficará o mesmo numero de vezes menor se a virgula fôr mudada para a esquerda.

Nos números decimaes: 4,7853 47,853 478,53 4785,3

os algarismos representam successivamente unidades dez, cem, mil vezes maiores, e por isso esses numeros ficam dez, cem, mil vezes maiores. Este principio tem também applicação aos numeros inteiros. Assim, um numero inteiro não terminando em zeros, torna-se dez, cem, mil, etc., vezes menor, separando nelle para a direita nm, dous, tres, etc., algarismos.

OPERAÇÕES SOBRE OS NUMEROS DECIMAES

Das operações sobre os numeros decimaes consideraremos por

ora as quatro primeiras: aããição, subtracção, multiplicação e ãivisão.

Addição

150. A addição dos numeros decimaes se efiectua do mesmo modo qne a addição dos numeros inteiros. Assim como nos numeros inteiros, sommam-se as unidades, as dezenas, as centenas, etc., devemos nos numeros decimaes sommar os millesimos, os centesimos, os décimos ; as reservas se formarão do mesmo modo e a regra será ainda a mesma.

Escrevem-se os numeros uns abaixo ãos outros, ae moão que as uniãaães ãas ãifferentes orãens se corresponãam em columnas verticaes, o que se consegue escrevenão os numeros ãe moão que as virgidas fiquem em uma columna. Sommam-se successivamente as uniãaães que compõem caãa ■uma ãas columnas, começando pélas ãe orãem inferior. Se a somma ãe caãa cólumma não passar ãe 9, escreve-se abaixo ão traço. Se a somma passar ãe 9, escreve-se o que passar ãe 10, 20, 30, etc., e essas 10, 20, 30 uniãaães ãe uma orãem qualquer convertem-se em uniãaães ãa orãem seguinte e a éllas se reúnem.

Exemplo:—Sommar os numeros

6,7853+18,56+2,347+0,6308+4,0052 6,7853 18,56 2,347 0,6308 4,0052

Somma.. Prova...

. 32,3283 . 22,2110

A prova é a mesma da addição dos números inteiros.

Subtracção

151. A subtracção dos números decimaes se effectua do mesmo mod oque a subtracção dos números inteiros, tendo, porém, o cuidado de reduzir os dous números á mesma denominação, o que se consegue escrevendo zeros á direita do numero que tiver menor numero de algarismos na parte fraccionaria.

Isto se faz para que os números sejam referidos á mesma unidade.

Preparados assim os números, applica-se a

Regra.—Escreve-se o numero menor abaixo do maior ãe modo que as virgulas fiquem em uma columna. Sublinha-se. Subtrahem-se as unidades das differentes orãens ão numero menor das uniãaães ãas ordens correspondentes ão maior. Se em uma ordem do numero menor houver maior numero ãe uniãaães que na ordem correspondente do maior, reunem-se mentalmente a essa orãem ãez uniãaães, e ãiminue-se ãe uma uniãaãe a orãem seguinte. Se a orãem ou as orãens seguintes não tiverem uniãaães, reunem-se a essa ordem 10 unidades, consiãeram-se as orãens seguintes como tendo cada uma ã'ellas nove uniãaães, e ãiminue-se ãe uma uniãaãe a primeira orãem que tiver uniãaães.

Exemplo:—Subtrahir do numero 43,72 o numero 28,47235.

43,72000 28,47235

Resto Prova

15,24765 43,72

A prova é a mesma que a da subtracção dos números inteiros. multiplicação

152. Na multiplicação dos números decimaes, consideraremos dous casos.

1? Caso : O multiplicador é numero inteiro.

2? Caso : O multiplicador é numero decimal.

153. 1° Caso.—Seja o numero 6,369 para multiplicar pelo numero 528.

A operação reduz-se a repetir o multiplicando 528 vezes ; e como o multiplicando representa 6,369 millesimos, repetindo-o 528 vezes, o resultado deve ser igual a 528 vezes esse numero de millesimos, ou 3362,832.

6, 3 6 9

_h2 8

5 0 9 5 2

1 2 7 3 8

3 18 4 5

3 3 6 2, 83 2

Do que fica exposto se conclue a seguinte

Regra.—JElffectua-se a multiplicação, prescinãinão-se ãa virgula, separanão-se no proãucto, para a direita, tantos algarismos quantos forem os algarismos ãa parte fraccionaria ão multiplicanão.

Esta regra pôde ainda ser demonstrada do seguinte modo :

Prescindindo da virgula no multiplicando, fica elle 1000 vezes maior, e o producto fica também 1000 vezes maior ; e para que o producto não mude, é necessário tornal-o 1000 vezes menor, o que se consegue separando tres algarismos para a direita.

154. 2° Caso.—Seja o numero 32,476 para ser multiplicado pelo numero 4,37.

Multiplicar 32,476 por 4,37 é repetir 437 vezes a centesima parte do multiplicando.

O producto se obtém, pois, repetindo 437 vezes a centesima parte do multiplicando, ou 0,32476.

0,3 2 4 7 6 4 3 7

2 2 7 3 3 2

9 7 4 2 8

12 9 9 0 4

T~4 1, 9 2 0 1 2 122 Arithmetica

i

Comparando o resultado com os dous números dados, teremos a Regra.—Effectua-se a multiplicação,prescinãinão-se das virgulas, separando-se no producto, para a direita, tantos algarismos quantos forem os algarismos das partes fraccionarias ãos ãous factores.

Esta regra pôde ainda ser demonstrada do seguinte modo : Prescindindo-se das virgulas nos dous factores, o multiplicando fica 1000 vezes maior e o multiplicador 100 vezes maior, e por isso o producto fica 100000 vezes maior; para termos o producto pedido, é necessário tornal-o 100000 vezes menor, o que se consegue separando cinco algarismos para a direita.

Se o numero de algarismos no producto fôr inferior ao numero de algarismos que devemos separar, escrevem-se zeros á esquerda do producto até completar esse numero de algarismos, como se vê no seguinte exemplo :

0, 0 0 4 7 9 _0,0 0 7 8

3 8 3 2 3 3 5 3

0, 000037362 A prova da multiplicação dos números decimaes é a mesma que a da multiplicação dos números inteiros.

Divisão

155.—Na divisão dos números decimaes, consideraremos dous

casos :

1? Caso : Divisão ãe um numero ãecimal por um numero inteiro e vice-versa,

2? Caso : Divisão ãe um numero ãecimal por outro,

156. 1" Caso.—Seja o numero 2476,83 para ser dividido pelo numero 32.

Se prescindirmos da virgula no dividendo, fica elle 100 vezes maior e por isso o quociente fica 100 vezes maior; para que o quociente não mude, é necessário tornar o divisor também 100 vezes maior, o que se consegue escrevendo dous zeros á sua direita. Fica, pois, a questão reduzida a dividir o numero 247683 pelo numero 2300. 3200

247683 23683 1283

i283

77--

3200

1283

O quociente é 77 --Q0-, que pôde ter uma outra fórma, como veremos depois.

Seja ainda o numero 92 para dividir pelo numero 0,0125.

Se prescindirmos da virgula no divisor, fica elle 10000 vezes maior, e por isso o quociente fica 10000 vezes menor ; para que o quociente não mude, devemos tornar o dividendo também 10000 vezes maior, o que se consegue escrevendo quatro zeros á sua direita, e a questão fica reduzida a dividir o numero 920000 pelo numero 125.

920000 450 750 0

125

7360

O quociente é 7360.

Pelo que fica exposto, podemos estabelecer a seguinte

Regra.—Prescinãe-se ãa virgula no numero decimal, e escrevem-se á ãireita ão numero inteiro tantos zeros quantos forem os algarismos ãa parte fraccionaria ão numero decimal. Divide-se o primeiro resultado pelo segunão, applicanão-se a regra estàbeleciãa para a divisão ãos numeros inteiros.

157. 2? Caso.—Seja o numero 27,43 que queremos dividir pelo numero 0,0025.

Escrevendo dous zeros á direita do dividendo, elle não muda de valor ; e conservando-se o divisor o mesmo, o quociente não muda também de valor, e a questão fica reduzida a dividir o numero 27,4300 pelo numero 0,0025.

Prescindindo-se das virgulas no dividendo e divisor, o quociente não muda ; e a questão reduz-se a dividir o numero 274300 pelo numero 25.

25

274300 243 180 55 0

10972 O quociente é o numero 10972.

Este raciocínio sendo applicavel a quaesquer outros números, podemos estabelecer a seguinte

Regra.—Reãuzem-se os números ãecimaes á mesma ãenominação € effectua-se a ãivisão, prescindi não-sé ãas virgulas.

Exemplo :

Dividir o numero 3,5728 pelo numero 1,25. Reduzindo á mesma denominação, temos

3,5728 -T- 1,2500

Prescindindo das virgulas e effectuando a divisão, resulta:

35728 10728

12500 o 10728 12500

158. O quociente da divisão de um numero decimal por outro pôde ser uma fracção própria, ou um numero inteiro, ou finalmente um numero mixto.

Na hypothese de ser o quociente fracção própria ou numero mixto, é conveniente que a fracção que representa o quociente ou a que acompanha a parte inteira do quociente seja transformada em fracção decimal.

A prova da divisão dos números decimaes é a mesma que a da divisão dos números inteiros.

Beducção da fracção ordinaria em decimal

159. A reducção da fracção ordinaria em decimal origina-se da divisão das fracções decimaes, na hypothese de ser o quociente uma fracção ou numero mixto.

No ultimo exemplo que consideramos na divisão das fracções de-

ln79g'

cimaes, vimos que o quociente era 2 —-í-

12. >00

Vejamos como converter em fracção decimal a fracção que acompanha a parte inteira do quociente.

107280 I 12500

72800 j-57^4 103000 I ' 30000 50000 0 Convertendo 10728 unidades em décimos, achamos 107280 décimos; dividindo esse resultado por 12500, teremos o algarismo dos décimos no quociente ; reduzindo o resto 7280 décimos em centesimos, achamos 72800 centesimos ; dividindo o resultado pelo mesmo divisor, teremos o algarismo dos centesimos no quociente ; convertendo o resto 10300 centesimos em 103000 millesimos e dividindo o resultado pelo mesmo divisor, acharemos o algarismo dos millesimos do quociente ; e o resto 3000 millesimos reduz-se em 30000 décimos millesimos. Continuando do mesmo modo, acharemos os outros algarismos do quociente.

Podemos, pois, estabelecer a seguinte

Regra para converter uma fracção ordinaria em decimal.—Escreve-se zero e virgula no quociente e um zero á ãireita ão numerador, e, dividindo-o pelo ãenominaãor, acharemos o algarismo ãos décimos e um resto, á ãireita do qual se escreve um zero. Dividindo o resultado pelo mesmo divisor, teremos o algarismo dos centesimos e um resto, ã ãireita ão qual se escreve um zero. Continúa-se ão mesmo modo até terminar a divisão, ou até á ordem que a questão exigir.

Em logar de escrever um zero á direita do numerador e succes sivamente um zero á direita de cada um dos restos, podemos escre-vel-os todos á direita do numerador, porquanto, na divisão pelo denominador, os zeros do numerador vão passando para a direita de cada um dos restos.

160. Uma fracção ordinaria convertida em fracção decimal, pôde originar uma fracção decimal de numero limitado ou infinito de

3 7 3 1

algarismos. Assim, as fracções y»—»—. ^ etc., couvertem-se em fracções decimaes de numero limitado de algarismos; as fracções

5 7 4 5

—, —, —) etc., convertem-se em fracções decimaes de numero in-

6 y li 1 o

finito de algarismos.

Os pr' cipios por meio dos quaes podemos conhecer se uma fracção ordinaria produz uma fracção decimal de numero limitado ou infinito de algarismos, são:

161. 1? Principio.—Se o ãenominaãor ãe uma fracção orãinaria irreãuctivel tiver em sua composição somente factores primos iguaes a 2 e 6, essq fracção se converte em uma fracção decimal de numero limitaão da algarismos Seja a fracção irreductivel ~ e supponhamos que o denominador b tenha somente factores primos iguaes a 2 e 5.

Decompondo o denominador l em seus factores primos, teremos

a__a

T~~ 2X2X2X.......X5X5X.......

Suppondo m o numero de factores iguaes a 2, e p o numero de factores iguaes a 5, resulta

a__a _ a

T~ 2X2X2X2.....X5X5X.....~~ 2mX5p

Admittindo que o denominador b tenha factores primos iguaes a 2 e 5, pôde o numero de factores iguaes a 2 ser igual, maior ou menor que o numero de factores iguaes a 5, e portanto na demonstração do principio, devemos considerar as seguintes hypotheses : M—p, m^>p e m<Zp.

As hypotheses m>p e m<j? comprehendem as em que o denominador tem somente factores iguaes a 2 ou somente factores iguaes a 5. Supponhamos m—n.

â

Mudando no denominador da fracção-p em m, e atten-

2mX&p

dendo a que 2mX5ra=10m, temos

â â SL Si R

T— 2X2X2X.....X5X5X....._ 2mX5p= 2mX5m_ 10®

O denominador da ultima fracção sendo uma potencia de 10, essa fracção é decimal e de numero limitado de algarismos. Supponhamos m^>p.

EL

Multiplicando ambos os termos da fracção--por 5m_p e

v 2mX5p

attendendo a que 2mX5m=10m, resulta

a__a _ a aX5m-p _

2X2X2X • • ■ X5X5X • ■ • ~ 2™>^=2^X5PX5^T? —

_aX5m-p_aX5m^p.

2mX5m 10m Sendo o denominador da ultima fracção uma potencia de 10, essa fracção é decimal e de numero limitado de algarismos. Supponhamos m<Cp

Multiplicando ambos os termos da fracção ~ por 2p_In,eat-ndendo a que 2pX5p=10p, acha-se

a _ a __ a _ aX2p~m _

b —2X2X2X.......5X5X • - .. ~2mX5p~2»'X2p-mX5p~~

__aX2p-m_aX2p-m

Alebot 2p X í>p 10p

O denominador da ultima fracção sendo uma potencia de 10, essa fracção é decimal e de numero limitado de algarismos.

162. 2° Principio—Se o denominador ãe uma fracção orãinaria irreãuctivel tiver um ou mais factores primos differentes ãe 2 e 5, a fracção converte-se em fracção decimal de numero infinito ãe algarismos. Essa fracção ãecimal é periódica

Seja a fracção irreductivel e supponhamos que o denominador b tenha um factor primo c diiferente de 2 e 5.

Para converter a fracção em fracção decimal, devemos escrever zeros á direita do numerador.

Suppondo que o numero necessário de zeros para convertel-a em

—ayiOm

decimal seja m, ella tomará a seguinte fórma —-—:

O denominador sendo por hypothese divisível por c, o quociente da divisão é numero inteiro, que representaremos por Q, e teremos

Q ou b=cQ.

Substituindo na fracção em logar de b o seu valor cQ,

resulta

a X 10m cQ

Se provarmos que a divisão não é exacta, seja qual fôr o valor de m, isto é, seja qual fôr o numero de zeros que se escreva á direita do numerador, teremos demonstrado a primeira parte do principio.

O numerador não é divisível pelo denominador, porque se aX10ffi fosse divisível por cQ, seria também divisivel por c (n. 69); mas c, sendo numero primo e dividindo aX10m,tem de dividir a ou 10m (n. 89) ; ora, c não pôde dividir a I0m, porque para isso era necessário que dividisse 10, o que não é possível porque os factores primos de 10 são 2 e 5 ; não pôde também dividir a, por ser por hypothese irreductivel. Se c não pôde dividir a nem 10m, o numerador não pôde ser divisivel por c, e por consequência não é divisivel pelo denominador, e o quociente tem um numero infinito de algarismos.

A fracção decimal é periódica, porque os restos das diversas divisões devendo ser todos menores que o divisor, quando muito resultarão tantos restos differentes quantas forem as unidades do divisor menos uma, e sendo assim, um d'elles deve reapparecer e por conseguinte reapparecerá o dividendo parcial correspondente; e como o divisor não muda, reapparece também o algarismo do quociente e o resto seguinte. Reproduzindo-se assim os diversos dividendos parciaes, e sendo o divisor o mesmo, os algarismos do quociente reapparecerão todos constantemente e sempre na mesma ordem, constituindo assim a dizima periódica.

DIZIMAS PERIÓDICAS

163. As dizimas periódicas -resultam, como vimos, da conversão das fracções ordinarias em decimaes.

Essas fracções decimaes têm, na parte fraccionaria, uma infinidade de algarismos, e esses-^Jgarismos se reproduzem constantemente e na mesma ordem.

Ao numero formado pela reunião dos algarismos que se reproduzem na mesma ordem e pela mesma fórma, dá-se o nome de período.

As dizimas periódicas podem ser simples ou compostas. São simples, se os períodos começarem logo depois da virgula, como na dizima 0,737373 etc. ; e compostas, se os períodos não começarem logo depois da virgula, como na dízima 0,4728537537537 etc.

Nas dizimas periódicas compostas, a parte que fica antes do primeiro período ehama-separíe não periódica.

Para escrever abreviadamente umadizima periódica, póde-se adoptar a notação empregada nos livros allemães e italianos, a qual consiste em collocar- dentro de uma chave os algarismos que constituem o período. Ex :

0, [73] 0,4728 [537]

Os inglezes adoptam pontuar os algarismos extremos do período, substituem a virgula por um ponto e nada escrevem na parte inteira quando esta ê 0 ; os exemplos acima serão assim representados :

.73 .4728537

164. Dada uma dizima periódica simples ou composta, podemos sempre conhecer a fracção ordinaria que a produzi^.

Seja a dizima periódica simples 0,473473473 etc. Chamando x a fracção ordinaria correspondente á essa dizima periódica simples

x==0,473473473 etc.

-

multiplicando ambos os membros da igualdade por 1000, resulta

1000x=473,473473473 etc. ; subtrahindo da segunda igualdade a primeira ordenadamente, vem

999x=473;

dividindo ambos os membros da ultima igualdade por 999, teremos finalmente

473 x=— 999

Pelo resultado obtido podemos estabelecer a Eegra para converter dma dizima periódica simples em fracção ordinaria.—Dâse para numerador um ãos períodos epara denominador um numero formado ãe tantos noves quantos forem os algarismos ãe um ãos perioãos.

165. Seja a dizima periódica composta 0,45832424 etc. Representando por x a fracção ordinaria correspondente á dizima periódica composta, temos

x=0,4583242424 etc. ; multiplicando ambos os membros da igualdade por 10000, resulta

10000x=4583,242424 etc. : convertendo em fracção ordinaria a dizima periódica simples que se acha no segundo membro, vem

10000x=4583—

99

dando ao segundo membro uma outra fórma, obtem-se

4583X99+24

10000x=-r

  • 99

Vianna — Arithmetica 9 dividindo ambos os membros da ultima igualdade por 10000, teremos finalmente

_4583X^9+24

99ÕÕÕÕ

Attendendo ao resultado, fácil é estabelecer a

Regra para converter dma dizima periódica composta em fracção ordinária.—Dâ-se para numerador a parte não periódica multiplicada por um numero formado ãe tantos noves quantos forem os algarismos ãe um dos períodos mais um ãos períodos, e para ãenominaãor um

numero formado ãe tantos noves quantos forem os algarismos ãe um ãospe-rioãos, seguido ãe tantos zeros quantos forem os algarismos ãa parte não periódica.

166. Podemos deduzir uma regra mais simples que a precedente para converter uma dizima periódica composta em fracção ordinaria.

Representando ainda por x a fracção ordinaria correspondente á dizima periódica composta, teremos

X=Ó,4583242424 etc. ; multiplicando ambos os membros d'esta igualdade por 10000 e depois por 1000000, resultam as igualdades

10000x=4583,242424 etc. ;

1000000x=458324,242424 etc.; subtrahindo a penúltima igualdade da ultima ordenadamente, vem

990000x=458324—4583 dividindo ambos os membros da ultima igualdade por 990000, teremos finalmente

_458324—4583 ~ 990000

Do que fica exposto, segue-se que : O denominador forma-se ão mesmo modo que pela primeira regra; e o numerador, pela parte não periódica unida a um ãos períodos menos a parte não periódica.

Analysando os dous valores obtidos pelas duas regras, nota-se que sendo iguaes os denominadores, para provar que elles são idênticos, basta demonstrar que os numeradores são iguaes, o que é fácil, atten-lendo-se a que:

4583X99+24=4593 ( 100—1) +24=458300—4583+24=458324—

—4583 Na hypothese de produzir a fracção ordinaria uma dizima periódica, facilmente se reconhece se essa dizima é simples ou composta, estabelecendo os princípios seguintes :

167. 1? Principio—Se o denominador ãe uma fracção ordinaria ir-reãuetivel ~ não contiver o factor 2 nem o factor 5, essa fracção produz

uma dizima periódica simples.

Demonstração.—A fracção ~ convertida em decimal não pôde produzir uma fracção decimal de numero limitado de algarismos, nem também uma dizima periódica composta, porque se a dizima periódica fosse composta, se converteria em uma fracção ordinaria tendo para denominador um numero formado de noves seguidos de zeros, e teríamos, por exemplo

a _ c

reduzindo a fracção ^ á sua expressão mais simples, se dos factores 2 e 5 eliminar-se um, ficará o outro. Suppondo que fique o factor 2, resulta

a _ n

dX2

sendo irreductiveis as duas fracções — e —— teremos ( n. 113 )

b aX2

a=n b=dX2

D'onde se segue que o denominador b tem o factor 2, o que é contra a hypothese.

Se a fracção — não produz fracção decimal de numero limitado de algarismos, nem dizima periódica composta, produz necessariamente uma dizima periódica simples.

168. 2? Principio.—Se o denominador ãe uma fracção ordinaria irreãuctivel — contiver factores primos ãifferentes ãe 2 e õ e juntamente um ã'esses factores ou ambos, essa fracção produz uma dizima periódica composta.

Demonstração.—A fracção decimal correspondente á fracção ordinaria não pôde ter numero limitado de algarismos, nem também ser dizima periódica simples ; porque se ella fosse dizima periódica simpies, se converteria em uma fracção ordinaria tendo para denominador um numero formado somente de noves, e teríamos, por exemplo

a_ c

reduzindo a fracção yá sua expressão mais simples, resulta

a d

D'onde

a=d e b=e

O que não é possivel, porque e não contém os factores 2 e 5, e 6 os contém.

Se a fracção não produz fracção decimal de numero limitado de algarismos, nem dizima periódica simples, produz necessariamente dizima periódica composta.