Elementos de Arithmetica/Capítulo 5

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Elementos de Arithmetica
por João José Luiz Vianna


CAPITULO V

Systemas metrologfcos. Operações sobre os numereis

complexos

SYSTEMA MÉTRICO DECIMAL

169. No fim do século passado, a França conseguiu realizar a grandiosa idéa de estabelecer um systema de pesos e medidas, tomando para base d'esse systema uma dimensão do globo terrestre.

Delambre e Mechain, celebres mathematicos francezes, foram encarregados da medição do arco do meridiano comprehendido entre Dunkerke e Barcellona, e, da combinação d'esse resultado com observações astronómicas, determinon-se a distancia do pólo ao equador, sendo essa distancia ignal a 5130740 toezas, 4 pés, 5 pollegadas e 4 linhas.

Dividida essa distancia em dez milhões de partes iguaes, uma d'essas partes, igual a 3 pés, 0 pollegadas e 11,296 linhas, foi considerada como unidade principal do systema, recebendo o nome de metro.

As vantagens do systema métrico decimal sobre todos os ontros systemas de pesos e medidas são:

1» Simplicidade de ma nomenclatura e uniformidade das medidas.

2a Facilidade ãos cálculos.

3a Fixiãaãe ãa unidade principal, baseada na medida ãe uma ãas dimensões ão globo.

170. As unidades do systema métrico decimal são, como nos outros systemas metrologicos : de comprimento, de superfície, de capacidade, de peso, de tempo, angular e monetaria.

Os nomes dos múltiplos das diversas unidades no systema métrico decimal são formados escrevendo antes dos nomes d'essas diversas unidades as palavras :

myria kilo hecto deca

10000 1000 100 10 Os nomes dos snbmnltiplos formam-se antepondo aos nomes das diversas unidades as palavras

deci centi milll

0,1 0,01 0,001

Unidades de comprimento

Myriametro = 10 kilometros = 10000 metros Kilometro =10 hectometros = 1000 » Hectometro = 10 decametros = 100 » Deearnetro = 10 metros.

Metro (unidade principal) Decimetro =0,1 do metro. Centimetro = 0,1 do decimetro = 0,01 do metro. Millimetro = 0,1 do centimetro =0,001.

Os múltiplos myriametro e kilometro são empregados como medidas itinerarias.

Nas medidas de comprimento, uma unMaãe qualquer corresponde a dez de classe immediatamente inferior.

Unidades de superfície

Myriametro quadrado = 100 kilometros quadrados = 100000000

metros quadrados. Kilometro quadrado =100 hectometros quadrados = 1000000

metros quadrados. Hectometro quadrado = 100 decametros quadrados = 10000

metros quadrados. Decametro quadrado = 100 metros quadrados.

Metro quadrado (unidade principal) Decimetro quadrado = 0,01 do metro quadrado. Centimetro quadrado = 0,01 do decimetro quadrado = 0,0001 do metro quadrado.

Millimetro quadrado = 0,01 do centimetro quadrado = 0,000001 do metro quadrado. Nas unidades de superfície, uma unidade qualquer corresponde â cem ãa classe immediatamente inferior. Demonstremos, por exemplo, que um metro quadrado tem cem ãe-cimetros quadrados.

A B

C d

Consideremos o metro quadrado ABCD.

Dividindo os lados AB e AC em 10 partes iguaes, cada uma d'essas partes será igual a um decimetro, e traçando parallelas a esses lados pelos pontos de divisão, fica o metro quadrado dividido em deci-metros quadrados.

A cada uma d'essas partes de AC correspondem 10 decimetros quadrados, como facilmente se vê na figura, e como o numero de partes de AC é igual a 10, segue-se que o metro quadrado contém 10 vezes 10 ou 100 decimetros quadrados.

Para meõMas agrarias usa-se do Are, quadrado construído sobre um decametro, e por consequência igual a 100 metros quadrados..

Seus múltiplos e submultiplos são :

Myriare = 10000 ares Kilare = 1000 » Hectare = 100 » Decare =10 »

Are

Deciare = 0,1 do are Centiare= 0,01 » » Milliare = 0,001 » »

Dos múltiplos do Are, o único empregado é o hectare, que corresponde a 10000 metros quadrados, e dos submultiplos é o cenliare, qeu é igual ao metro quadrado. ■Unidades de capacidade

Myriametro cubico = 1000 kilometros cubicos = 1.000.000.000.000 metros cúbicos.

Kilometro cubico = 1000 hectometros cúbicos = 1.000.000.000 metros cúbicos.

Hectometro cubico = 1000 decametros cubicos = 1.000.000 metros cúbicos.

Decamet.ro cubico = 1000 metros cúbicos.

Metro cubico (unidade principal)

Decimetro cubico = 0,001 do metro cubico.

Centimetro cubico = 0,001 do decimetro cubico r= 0,000001 do metro cubico.

Millimetro cubico = 0,001 do centimetro cubico = 0,000000001 do metro cubico.

Nas unidades de capacidade, uma uniãaãe qualquer corresponde a

mil ãa classe immediatamente inferior.

Demonstremos, por exemplo, que o metro cubico tem mil ãecime-

tros cúbicos.

Considerando o metro quadrado AC dividido em 100 decimetros quadrados, e imaginando sobre cada um d'elles construído um decimetro cubico, formaremos uma camada tendo um metro quadrado de base e um decimetro de altura e contendo 100 decimetros cubicos.

Collocando sobre esta camada mais nove iguaes á primeira, teremos um cubo de um metro quadrado de base e de um metro de altura, isto é, teremos um metro cubico contendo mil decimetros cubicos, por ser composto de dez camadas, tendo cada uma d'ellas cem decimetros cubicos. Reconhecendo-se a inconveniência da fórma do cnbo para as medidas de capacidade, den-se ao ãecimetro cubico a fórma cylindrica, tendo debaixo d'essa nova fórma o nome de — Litro.

Os multiplos e submultiplos do litro são :

Myrialitro = 10 kilolitros = 10000 litros Kilolitro = 10 hectolitros = 1000 » Hectolitro = 10 decalitros = 100 » Decalitro = 10 litros.

Litro

Decilitro =0,1 do litro

Centilitro = 0,1 do decilitro =0,01 do litro

Millilitro = 0,1 do centilitro = 0,001 do »

Os multiplos myrialitro e Jcilolilro e o submultiplo millilitro não são usados.

Para medir lenha, carvão, emprega-se o Stereo, cuja capacidade é de um metro cubico.

Dos multiplos do Stereo, o único empregado é o ãecastereo, e dos submultiplos é o ãecistereo.

Unidades de peso

A unidade principal é o — Grammo — peso d'agua distillada, na temperatura de 4 grãos centígrados, contida em um centímetro cubico.

Myriagrammo = 10 kilogrammos = 10000 grammos Kilogrammo = 10 hectogrammos = 1000 » Hectogrammo = 10 decagrammos = 100 » Decagrammo =10 grammos

Grammo (unidade principal) Decigrammo = 0,1 do grammo

Centigrammo = 0,1 do decigrammo = 0,01 do grammo Milligrammo = 0,1 do centigrammo = 0,001 do » Para medir pesos consideráveis empregam-se -. A tonelada métrica = 1000 kilogrammos = 1000000 grammos; ■9 o quintal métrico = 100 kilogrammos = 100000 grammos. Unidades de tempo

A commissão encarregada da reforma do systema de pesos e medidas propôz que a unidade de tempo, o dia, fosse dividida em 10 horas, a hora em 100 minutos e o minuto em 100 segundos.Essa nova subdivisão da unidade de tempo não foi acceita,, continuando, portanto, a ser adoptada a divisão do antigo systema, isto é, o dia em 24 horas, a hora em 60 minutos e o minuto em 60 segundos.

Unidade angular

Medindo-se os ângulos por meio dos arcos oppostos e descriptos dos vertices como centros, considerou-se o grado como unidade angular no systema métrico decimal.

O grado representa -J^ da circumferencia.

O grado se subdivide em 100 minutos e o minuto em 100 segundos.

Unidade monetaria

A unidade principal é o franco, que se subdivide em 10 décimos, e o decimo em 10 cêntimos.

Esta parte do systema métrico decimal não ê adoptada no Brasil, por ser o systema monetário brasileiro não só superior ao d'esse systema, como também aos dos outros systemas adoptados nas outras nações.

NUMERAÇÃO DAS MEDIDAS NO SYSTEMA MÉTRICO DECIMAL

Medidas de comprimento

171. Para escrever um numero qualquer de metros, decimetros, etc., escreve-se o numero collocando a virgula ãe modo que a cada sub-muttiplo ãa uniãaãe principal corresponda um algarismo na parte fraccionaria. (146).

O numero : Sessenta e sele metros e trinta e sete millimetros, escreve-se

67m,037

172. Para enunciar um numero qualquer de metros, decimetros, centímetros, etc,.,lê-se todo o numero como se fosse inteiro, ãanão-lhe a ãe- nominação ãa ultima subdivisão principal; ou então lê-se em primeiro logar a parte inteira com o nome ãa unidade principal, e depois a parte fraccionaria com a denominação da ultima subdivisão ãa mesma unidade principal. (148).

O numero 352m, 439 lê-se : 352 metros e 438 millimetros, ou 352439 millimetros.

Medidas de superfície

173. Para escrever um numero qualquer de metros quadrados, decimetros quadrados, centímetros quadrados, etc., escreve-se o numero enunciado, collocando a virgula, ãe modo que a caãa submultiplo ãa unidade principal correspondam ãous algarismos na parte fraccionaria.

O numero: Quatroce?itos e cmcoenta e tres metros quadrados e quinhentos e oito mil trezentos e seis millimetros quadrados, escreve-se

453m2,508306

174. Para enunciar um numero qualquer de metros quadrados, decimetros quadrados, centímetros quadrados, etc., lê-se em primeiro logar a parte inteira, ãanão-lhe o nome ãa unidade principal, e dividindo a parte fraccionaria em classes ãe ãous algarismos ãa esquerãa para a ãireita, lê-se caãa uma ã'essas classes, dando a cada uma ã'ellas os nomes ãe decimetros quadrados, centímetros quadrados, etc.

Se a ultima classe tiver um só algarismo, escreve-se um zero á direita.

Podemos também lêr a parte inteira, ãanão-lhe o nome da unidade principal, e depois a fraccionaria, ãanão-lhe a denominação ãa ultima classe, ou lêr toão o numero, ãanão-lhe o nome ãa ultima classe.

O numero 43m2,530769 lê-se: 43 metros quadrados, 53 decimetros quadrados, 7 centímetros quadrados e 69 millimetros quadrados, on 43 metros quadrados e 530769 millimetros quadrados, ou, finalmente ,43530769 millimetros quadrados. Medidas de capacidade

175. Para escrever um numero qualquer de metros cubicos, decimetros cubicos, centimetros cubicos, etc., escreve-se o numero enunciado collocando a virgula de modo que a cada submultiplo da unidade principal correspondam tres algarismos na parte fraccionaria.

O numero: 57 metros cubicos, 37565623 millimetros cubicot, escreve-se:

B7m8,037565623

176. Para enunciar um numero qualquer de metros cubicos, decimetros cubicos, centimetros cubicos, etc., lê-se em primeiro logar aparte inteira, dando-lhe o nome ãa unidade principal, e dividindo aparte fraccionaria em classes ãe tres algarismos, ãa esquerãapara a ãireita, lê-se cada uma d'essas classes, dando a cada uma ã'ellas os nomes ãe decimetros cúbicos, etc.

Se a ultima classe tiver um sô algarismo, escrevem-se â sua ãireita ãous zeros, e se tiver ãous algarismos escreve-se um zero.

Podemos também lêr a parte inteira, dando-lhe o nome dá uniãaãe principal, e depois a fraccionaria, ãanão-lhe a denominação ãa ultima classe ; ou lêr todo o numero, ãanão-lhe o nome ãa ultima classe.

O numero: 437m3, 358047273 lê-se : 437 metros cubicos, 358 decimetros cubicos, 47 centimetros cubicos e 273 millimetros cubicos; ou 437 metros cubicos e 358047273 millimetros cubicos; ou finalmente 437358047273 'millimetros cubicos.

SYSTEMA MÉTRICO BRASILEIRO ANTIGO

'Relações entre as unidades d'esse systema e as do systema métrico decimal

unidades de comprimento

Uma légua = 3 milhas =5555m,55

Uma milha = 841 ^ braças = 1851m,85

Uma braça = 2 varas = 2™, 2

Uma vara =5 palmos = lc,l Um palmo — 8 pollegadas — 0m,22 Uma pollegada= 12 linhas = 0m,275 ' Uma linha = 0m,0022 A légua e a milha eram usadas como unidades itinerarias.

unidades de superfície

Uma légua quadrada Uma milha quadrada

quadradas == quadradas —

= 9 milhas = 30864135,m2802 5 = 708543 -L braças = 34293,m24225

= 4 varas quadradas = 4m2,84

= 25 palmos quadrados= l,m221 = 64 pollegadas quadradas = 0m20484 Uma pollegada quadrada — 144 linhas quadradas =0m200075625 Uma linha quadrada = 0m2,00000484.

Empregam-se como medidas agrarias : a geira—áQO braças quadradas—1936 metros quadrados ; e a braça quadrada.

Uma braça quadrada Uma vara quadrada Um palmo quadrado.

unidades de capacidade

Para seccos

Para líquidos

Moio

Alqueire

Quarta

Selamim

=60 alqueires =4 quartas =4 selamins =2!.26

Almude =12 canadas Canada =4 quartilhos Quartilho=01,665

=217',62

=361,27 =9^06

=31», 944 = 21,662

<t

o

Ti PU t—"

ÇD

l-J» §

unidades de peso

I Tonelada= 13 1/2 quintaes =792,99 kilogrammos Quintal = 4 arrobas =58,74 »

Arroba = 32 libras

Libra

Marco

Onça

Oitava

Grão

= 2 marcos = 8 onças = 8 oitavas =72 grãos

=14,685 » =458,9 grammos =229,45 » =28,68 » = 3,58 »

= 0,049 do grammo Onça = 8 oitavas = 28,68 grammos

Oitava = 3 escropulos = 3,58 »

Escropulo = 6 quilates =1,19 »

Quilate = 4 grãos = 0,29 do grammo,

Unidades de tempo

A unidade de tompo é o dia.

Os múltiplos do dia são : o século com 100 annos ; o armo com 365 dias, divididos por 12 mezes e do seguinte modo : Janeiro com 31 dias, Fevereiro com 28 dias, Março com 31 dias, Abril com 30 dias, Maio com 31 dias, Junho com 30 dias, Julho com 31 dias, Agosto com 31 dias, Setembro com 30 dias, Outubro com 31 dias, Novembro com 30 dias e Dezembro com 31 dias.

O anno tropico tem proximamente 365 -i- dias, e attendendo-se á inconveniência de ser fraccionario esse numero de dias, considerou-se o anno civil com 365 dias, compensando o desprezo que se faz de ~ do dia em cada anno, pelo augmento de um dia de quatro em quatro annos.

Esses annos de 366 dias foram denominados bissextos e nelles tem o mez de Fevereiro 29 dias.

Os submultiplos do dia são : a hora, que é a vigésima quarta parte do dia ; a hora subdivide-se em 60 minutos e o minuto em 60 segundos.

No systema antigo, a circumferencia era dividida em 360 partes iguaes denominadas grãos, sendo uma d'essas partes a unidade angular.

Sendo a circumferencia no systema métrico decimal dividida em Í00 partes iguaes denominadas grados, segue-se que o quadrante tem 90 grãos ou 100 grados ; por consequência 1 grão = do grado, e 1

Unidade angoi-ar

i 90 9 J grado =100=10 do Srao unidade monetaria

A unidade monetaria no Brasil é o real, moeda fictícia, de valor tão pequeno que nunca é empregada nas differentes transacções com-merciaes. Os multiplos são :

Moedas de ouro

Moedas de prata

20.000 réis 10.000 réis 5.000 réis 2.000 réis 1.000 réis 500 réis 200 réis 400 réis 200 réis 100 réis 50 réis 40 réis 20 réis

Moedas de nickel

Moedas de cobie

OPERAÇÕES SOBRE OS NUMEROS COMPLEXOS

177. Numero complexo é o que consta ãe uniãaães ãe grandezas diversas, senão todas sujeitas a uma mesma que se denomina principal.

Numero incomplexo ê o que consta ãe uma ou mais uniãaães ãe uma mesma grandeza. v

Os numeros: 34 braças, 7palmos, 5 pollegaãas; 23 ãias, 17 hmas, 37 minutos são complexos.

Os numeros 348 arrobas, 25 almuães são incomplexos.

178. As operações sobre os numeros complexos podem ser effe-ctuadas, applicando as regras estabelecidas para as operações sobre as fracções ordinarias, por ser sempre possivel converter um numero complexo em uma expressão fraccionaria da unidade principal, e, reciprocamente, converter uma expressão fraccionaria de uma certa unidade em numero complexo.

Tratemos, pois, de estabeleceras regras para effectuar essas duas transformações.

1? transformação

179. Seja para converter em uma expressão fraccionaria da unidade principal o numero complexo 34 braças, 7 palmos e 5 pollegadas. 34br 7P 5* 10 340 7 347 palmos 8 2776 5 2781 pollegadas

Uma braça tendo 10 palmos, 34 braças terão 340 palmos, que, com os 7 palmos do numero dado, formam 347 palmos.

Um palmo tendo 8 pollegadas, 347 palmos terão 347 vezes 8 ou 2776 pollegadas, que, com as 5 pollegadas do numero dado, formam 2781 pollegadas.

Sabendo-se, porém, que uma braça tem 80 pollegadas, cada pol-legada corresponde a ~-da braça ; e se uma pollegada corresponde

1 2781

a — da braça, 2781 pollegadas corresponderão a da braça. Podemos, pois, estabelecer a seguinte

Regra. Dá-se para numerador o numero dado, reduzido a unidades ãa ultima subdivisão ; e para denominador a unidade principal reduzida também a ultima subdivisão.

%

2" transformação

180. Seja para converter em numero complexo o numero fracci-

80

2781

onario —- da braça.

2781

381 34.br 7P 5p 61 10

6Í0p 50 8

400 P 0

2781

Sendo — da braça o mesmo que a 80a parte de 2781 braças, dividindo 2781 braças por 80, acharemos o numero de braças que a fracção dada contém, isto é, 34 braças. Convertendo o resto 61 braças em palmos, acharemos 610 palmos, e dividindo esse resultado por 80, teremos para quociente 7 palmos e para resto 50 palmos.

Convertendo o resto 50 palmos em 400 pollegadas e dividindo e resultado por 80, acharemos para quociente 5 pollegadas.

Pelo que fica dito fácil é estabelecer a seguinte

Regra. — Divide-se o numerador pelo denominador ; o quociente representará unidades principaes e o resto converte-se em unidades da primeira subdivisão. Dividindo o resultado pelo mesmo ãivisor, acharemos para quociente uniãaães ãa primeira subãivisão. Se houver ainãa resto, converteremos esse resto em unidades ãa segunãa subãivisão, e assim continuaremos até a ultima subãivisão.

Estabeleçamos presentemente o processo directo para effectuar cada uma das quatro principaes operações sobre os numeros complexos.

Addição

181. A addição dos numeros complexos se effectúa do mesmo modo que a addição dos numeros inteiros. Escrevem-se os numeros uns abaixo dos outros, ãe moão que as unidades ãas differentes classes se correspondam em columnas vertieaes. Sommam-se as unidades contidas em caãa uma ãas columnas, começanão pela primeira ãa ãireita e attenãenão em caãa uma d'essas sommas ás diversas subdivisões ãa unidade principal; conservam-se mentalmente as reservas que se formarem, para reunir com as uniãaães ãa columna seguinte.

Sejam para sommar os numeros:

271b 13OBs goit 34grs 14 9 7 47 23 14 5 32 13 6 3 18 79ib 12ODí 6oit 59srs 44 22 131 12 22 1 20

Sommando a columna dos grãos,achamos 131; convertidos em oitavas dão loit 59?r; escrevemos por baixo 59®*, e como reserva levamos loit para sommar á columna das oitavas. A somma d'estas é então 22oit;

Vianna — Arithmetica 10 convertidas aonçadão2ons 6oit; escrevem-se 6oltna columna respectiva, e como reservas jnntam-se 2°ns á columna das onças. Assim por diante, tendo sempre em mente a relação entre as subdivisões da unidade principal .

A prova é a mesma da addição dos números inteiros.

Subtracção

182. A subtracção dos números complexos se effectúa do mesmo modo que a subtracção dos números inteiros. Escreve-se o subtráhenão abaixo ão minuenão, ãe moão que as uniãaães ãas differentes classes se corresponãam em columnas verticaes. Subtí'aliem-se as unidades ãe cada uma ãas classes ão subtráhenão ãas unidades ãas classes correspondentes no minuenão. Se em uma classe ão minuendo houver menor numero ãe uniãaães que na classe correspondente ão subtráhenão, junta-se a essa classe uma uniãaãe ãa classe seguinte, decomposta em uniãaães ãa classe ãe que se traia, e ãiminue-se ãe uma uniãaãe a classe seguinte. Se a classe seguinte ou as classes seguintes não tiverem uniãaães, consiãeram-se essas classes como tenão cada uma ã'ellas tantas uniãaães menos uma, quantas bastarem para formar uma uniãaãe ãa classe seguinte, e ãiminue-se ãe uma uniãaãe a primeira classe que tiver uniãaães.

l.° Exemplo :

11 15 4 15 12br 5P 5P Tl 3 8 2 9 Resto.. gbr 7P 2P 61 Prova.. 12br 5P 5P 31

Não se podendo subtraliir 9 linhas de 3 linhas, decompõe-se uma pollegada em 12 linhas, e fica o minuendo tendo 4 pollegadas e 15 linhas. Subtrahindo 9 linhas de 15 linhas, e 2 pollegadas de 4 pollegadas, restam 6 linhas e 2 pollegadas.

Não sendo possivel subtrahir 8 palmos de 5 palmos, decompõe-se uma braça em 10 palmos, e fica o minuendo tendo 11 braças e 15 palmos. Subtrahindo 8 palmos de 15 palmos, e 3 braças de 11 braças, restam 7 palmos e 8 braças. 2.° Exemplo :

22 23lb 9 15 Qonç 8 7 Qcit 5 75 s—■' 3grs 47 Resto.. 13lb Jonç 2oit 2S«ra Prova. 23Ib Qonç ()0it 3grs

Não sendo possível subtrahir 47 grãos de 3 grãos, decompõe-se uma libra em 16 onças e uma onça em 8 oitavas ; d'essas 8 oitavas decompõe-se uma em 72 grãos, e o minuendo fica tendo 22 libras, 15 onças, 7 oitavas e 75 grãos. Subtrahindo successivamente 47 grãos de 75 grãos, 5 oitavas de 7 oitavas, 8 onças de 15 onças e 9 libras de 22 libras, acha-se o resto 13 libras, 7 onças, 2 oitavas e 28 grãos.

A prova é a mesma da subtracção dos numeros inteiros.

Illnltiplkação

183. Na multiplicação dos numeros complexos ha dous casos a considerar :

1.° Caso : O multiplicador ê numero incomplexo.

2.° Caso : O multiplicador é numero complexo.

184. 1.° —Caso. A multiplicação, neste caso, reduz-se a repetir o multiplicando tantas vezes quantas forem as unidades do multiplicador, o que se consegue, multiplicando pelo multiplicador cada uma das partes do multiplicando, e conservando mentalmente as reservas que se formarem em cada um d'esses productos para reunir com o producto seguinte.

Ha, porém, um processo conhecido pelo nome de processo das partes aliquotas, por meio do qual se obtém facilmente o producto.

Parte aliquota de um numero é um submultiplo d'esse numero, ou um numero nelle contido um numero inteiro de vezes.

O processo consiste em decompor o total das unidades de cada classe em partes aliquotas da unidade principal ou de suas subdivisões.

Resolvamos, pois, por esse processo a questão seguinte :

Uma muralha tendo de comprimento 1 braça, ê construída em 14 dias, 20 horas e 50 minutos; quanto tempo se gastará para construir uma muralha nas mesmas condições que a primeira, tendo, porém, ãe comprimento 37 braças. Se uma maralha tendo de comprimento 1 braça, é construída em 14 dias, 20 horas e 50 minutos, uma muralha que tiver de comprimento 37 braças será construída em um tempo 37 vezes maior.

Dispondo os termos e efectuando a multiplicação, temos

14d 20h 50m 37^_

7 98b

j 42

18 12*

9 6

3 2

0 18 30™

0 9 15

0 3 5

550d 2*1 50™

O primeiro producto parcial se obtém multiplicando 14 dias por 37.

Passemos a multiplicar 20 horas por 37.

Notando que 20 = 12 + 6 + 2, podemos effectuar a multiplicação de 20 horas por 37, multiplicando separadamente 12 horas por 37, 6 horas por 37 e 2 horas por 37, e sommando os tres productos parciaes.

Sendo 12 horas metade do dia, o producto de 12 horas por

37

37 é igual ao producto da metade do dia por 37, isto é,-— do dia, ou metade de 37 dias, que é 18 dias e 12 horas.

O producto de 6 horas por 37 se obtém, tomando a metade do producto de 12 horas por 37, isto é, tomando a metade de 18 dias e 12 horas, que é 9 dias e 6 horas.

O producto de 2 horas por 37 acha-se, tomando a terça parte do producto de 6 horas, por 37, isto ê, tomando a terça parte de 9 dias e 6 horas, que é 3 dias e 2 horas.

Multipliquemos, finalmente, 50 minutos ou 30 minutos, 15 minutos e 5 minutos por 37.

Sendo 30 minutos a metade da hora ou a quarta parte de duas horas, o producto de 30 minutos por 37 se obtém, tomando a quarta parte do producto de duas horas por 37, ou tomando a quarta parte de 3 dias e duas horas, que é 18 horas e 30 minutos.

O producto de 15 minutos por 37 se obtém; tomando a metade do

14a

12

6 2 30" 15 5 producto de 30 minutos por 37, isto é, tomando a metade de 18 horas e 30 minutos, que é 9 horas e 15 minutos.

O producto de 5 minutos por 37 acha-se, tomando a terça parte do producto de 15 minutos por 37, que é 3 horas e 5 minutos.

Sommando esses diversos productos parciaes, o resultado 550 dias, 2 horas e 50 minutos será o producto pedido.

Ás vezes, na applicação do processo das partes aliquotas ha necessidade de formar certos productos auxiliares, para, por meio d'elles, determinarmos outros. Esses productos subsidiários não devem fazer parte do resultado, e por isso são assignalados com traços, para evitar enganos.

185. 2? Caso.—Seja para resolver a seguinte questão :

Vma barra ãe ferro tendo ãe comprimento 1 vara,pesa 25 libras, 11 onças e 7 oitavas; quanto pesará uma barra ãe ferro como a primeira, tendo, porém, ãe comprimento 23 varas, 3palmos e 6 pollegadas 1 25lb i jopc 70»

(50) 23v 3P 6P

25lb

75,b 50

gonç U 8on«

2 2 14

117

40lt 0 11 40it

2 0 5 6

1 0 2 7

IP 5 2 3

2 10 4 6

4P 2 9 li-

2 1 4 4-^-

611lb 6oní 0olt— 4

O peso da barra de ferro se obtém achando o peso da parte da barra de ferro que tem de comprimento 23 varas, depois o peso da parte da mesma barra de ferro que tem de comprimento 3 palmos, e finalmente o peso da parte que tem de comprimento 6 pollegadas. Sommando esses tres pesos, o resultado será o peso pedido.

O peso da parte da barra de ferro que tem de comprimento 23 varas, se obtém multiplicando 25 libras, 11 onças e 7 oitavas por 23, como no exemplo precedente. O peso da parte da barra de ferro que tem de comprimento 3 palmos, acha-se procurando o peso de 1 palmo, depois o de 2 palmos da mesma barra de ferro.

Sendo 1 palmo a quinta parte da vara, o peso de 1 palmo é a quinta parte de 25 libras, 11 onças e 7 oitavas, ou 5 libras, 2 onças e 3 oitavas ; e o peso de 2 palmos será 10 libras, 4 onças e 6 oitavas.

O peso de 6 pollegadas se obtém calculando o peso de 4 pollegadas e depois o de 2 pollegadas.

Sendo 4 pollegadas a metade de um palmo, o peso de 4 pollegadas é a metade do peso de 1 palmo, isto é, 2 libras, 9 onças e 1 -g da oitava.

O peso de 2 pollegadas é metade do peso de 4 pollegadas, isto é, 1 libra,4 onças e 4 da oitava.

Sommando esses diversos productos parciaes, o resultado 611 libras, 6 onças e i da oitava é o peso pedido.

Seja ainda para resolver a seguinte questão :

Um fio ãe arame tenão ãe comprimento 23 varas, 3palmos e 6 pollegadas pesa uma libra ; qual o comprimento ãe um fio ãe arame como o primeiro, pesanão, porém, 25 libras, 11 onças e 7 oitavas f

23t 25lb 3p J Jonc 6p yoit 22* 1? 2 4p 2 gonç j 115v i 46 5 10 2 1 11 2? 1 4 4p 2 3 2 2 4 4 1 1 2 3t 4oit 0 3 2 1 0 0 1 0 •5 64 611v ip 7p— 64

Nos dous últimos exemplos, nota-se que sendo os dous factores os mesmos, não são no entretanto iguaes os productos quanto á especie e ás subdivisões da unidade principal, e por consequência o principio de- monstrado no n. 40 não tem applicação na multiplicação dos numeros complexos.

A razão da differença dos dous productos provém de não seguirem a mesma lei as divisões de uma e de outra unidade principal.

Divisão

186. Na divisão dos numeros complexos lia dous ca sos a considerar:

1? Caso : O dividendo e o ãivisor são ãe especies differentes.

2? Caso : O ãiviãenão e o ãivisor são da mesma especie.

O primeiro caso subdivide-se em dous 1® subdivisão — o ãi-visor é imcomplexo ; 2a. subdivisão — o ãivisor é complexo.

Io Caso (1? subdivisão )

187. Seja para resolver a seguinte questão :

TJm viajante caminhou 37 léguas em 89 dias, 7 horas, 53 minutos e 32segundos; quanto tempo gastou o mesmo viajante para andar umáleguat

Se o tempo que gasta o viajante, para andar uma légua fosse conhecido, multiplicando esse tempo por 37 léguas, o resultado seria 89 dias, 7 horas, 53 minutos e 32 segundos. O tempo pedido se obtém dividindo 89 dias, 7 horas, 53 minutos e 32 segundos por 37.

89a 7h 53m 32s

15

24

37

2d 9h 56m 34sji 37

60

30

360 7

367 34 60

2040 53

2093 243 21 60

1260

32

1292 182 34 Dividindo as unidades principaes do dividendo pelo divisor, aclia-se 2 dias para quociente e 15 dias para resto.

Convertendo esse resto em 360 horas, reunindo as 7 horas do dividendo e dividindo o resultado 367 horas pelo mesmo divisor, acharemos 9 horas para quociente e 34 horas para resto.

Reduzindo o resto a 2040 minutos, reunindo os 53 minutos e dividindo o resultado pelo divisor, acharemos 56 minutos para quociente e 21 minutos para resto.

Convertendo o resto em 1260 segundos e reunindo os 32 segundos do dividendo, o resultado 1292 segundos dividido pelo mesmo divisor dará para quociente 34 segundos e do segundo.

1? Caso (2® subdivisão)

Seja para resolver a seguinte questão:

A agua contida em um reservatório, cuja capacidade é ãe 18 ml-muães, 5 canaãas e 2 quartilhos pesa 728 libras, 13 onças e 7 oitavas ; pergunta-se quanto pesa cada almuãe ãe agua ?

Se o peso de um almude de agua fosse conhecido, multiplicando esse peso por 18 almudes, 5 canadas e 2 quartilhos, o resultado seria 728 libras, 13 onças e 7 oitavas.

O peso pedido se obtém, dividindo 728 libras, 13 onças e 7 oitavas por 18 almudes, 5 canadas e 2 quartilhos.

A divisão se effectúa reduzindo o divisor a uma fracção ordinaria da unidade principal, e multiplicando depois o dividendo por essa fracção invertida.

Convertendo o divisor em fracção ordinaria do almude, acha-se

— do almude. 48

Multiplicando 728lb 13ons 70it por 48, acha-se 34985lb 10ons, e a questão fica reduzida a dividir 34985lb 10on$ por 886.

Indicando o calculo, teremos

QQgalra

728lb 13ons 7oit -r- 18alm 50aE 2"J = 728lb 13ODS 7olt --—

48

48 _ 728lb 13ons 70it X 48 34985lb 10ons

728lb 13oní 70lt X

886 886 886 34985lb 10on® 8405 431 16

2586 431

6896 10

6906on« 704 8

5632°" 316 72

632 2212 ~22752S™ 5032 602

2? Caso

188. Seja para resolver a seguinte questão :

Uma fonte enehe um vaso, cuja capacidade ê ãe 1 almuãe, em 3 horas, 12 minutos e 27 segundos; quantos almuães encherá a fonte em 23 horas, 53 minutos e 58 segundos ?

9

O resultado se obtém, dividindo 23 horas, 53 minutos, e 58 segundos por 3 horas, 12 minutos e 27 segundos.

Reduzindo os dous numeros complexos a fracções ordinarias da hora e indicando o calculo, teremos

86038h 11547h 86038 23h53m58í-i-3h12m27s= 3— ^ ^^^X

3600_86038 X 3600_86038

11547 11547 X 3600_11547

Dividindo 86038 por 11547, e lembrando que pelo enunciado do problema o quociente deve representar almudes, canadas e quartilhos, teremos

886_

391b 7ons goit 25ers

602 886 86038 11547

5209 Yaim 5cao lq 7545

12 11547

10418

5209

62508oan 4773

_ j4

19092iuart 7545

Na divisão dos números complexos:

Se o dividendo e o divisor forem de especies differentes, o quociente é da especie do dividendo ; e, se forem da mesma especie, é pelo enunciado do problema que se conhece a especie do quociente.

Conversão das medidas de um systema para o outro

medidas lineares

189. Conhecendo o coefficiente de reducção da vara em metros, assim como os de seus múltiplos e submultiplos, facilmente se converte um numero qualquer de braças, varas, palmos e pollegadas em metros, e, reciprocamente, um numero qualquer de metros em braças, varas, palmos e pollegadas.

Seja, por exemplo, 7 braças, 6 palmos e 5 pollegadas para converter em metros.

A questão pôde ser resolvida de quatro modos differentes:

1.°

Sendo 1 braça = 2m,2 . . . 7bt = 15m,4 Sendo 1 palmo =0m,22 . . . 6P = lm,32 Sendo 1 pollegada = 0m,0275. . . 5p = 0m,1375

Sommando as tres igualdades ordenadamente, teremos 7br 6P 5p = 16m,8575

í- •« ■ • 2?

Convertendo 7 braças,6 palmos e 5 pollegadas empollegaãas,e multiplicando 0m,0275, coefficiente de reducção da pollegaãa em metros, pelo numero de pollegadas correspondente ao numero dado.

Ao numero 7br 6P correspondendo 613, teremos.

0m,0275

613 •

825 275 1650 16ra,8575

3?

Converte-se o numero dado' em uma fracção ordinaria ãa braça, e multiplica-se o coefficiente ãe reducção ãa braça em metros por essa fracção.

Sendo a fracção correspondente ao numero dado, temos : „ r> 613bc 1343m,6 13486m

7br 6P 5P = 2tn'2 X 15- := IÕ— = "Too- = 16™,8575.

4?

Multiplicando 2m,2 por 7 braças, 6 palmos e 5 pollegadas.

2ra,2 7bt 6P 5p 15m,4 5P 1 ,1 1 0 ,22 4p 0 ,11 1 0 ,0275

16m,8575

190. Para converter um numero qualquer ãe metros em braças, palmos, pollegadas, basta dividir esse numero de metros por 2m ,2 coefficiente ãe reducção ãa braça em metros.

Seja o numero de metros 16™, 8575. Effectuando a divisão, acha-se 16m, 8575-í-2m, 2=16m,8575-^2m, 2000=168575-*-22000=7br 6P 5P

168575 14575 10

145750P 13750 8

110000P 0

22000

7br 6P 5P

medidas de superfície

191. É também fácil converter um numero qualquer de braças quadradas, palmos quadrados e pollegadas quadradas em metros quadrados ; e, reciprocamente, um numero qualquer de metros quadrados em braças quadradas, palmos quadrados e pollegadas quadradas.

Seja, por exemplo, 4 braças quadradas, 7 palmos quadrados e 8 pollegadas quadradas para converter em metros quadrados.

A questão pôde ser resolvida de quatro modos differentes:

1.®

Sendo 1 braça quadrada = 4m2,84................

.........4 braças quadradas = 19m2,36

Sendo 1 palmo quadrado = 0m2,0484...............

......... 7 palmos quadrados = 0m3,3388

Sendo 1 pollegada quadrada = 0m2,00075625........

......... 8 pollegadas quadradas= 0mS,00605

Sommando as tres igualdades ordenadamente, teremos :

4 braças quadradas, 7 palmos quadrados e 8 pollegadas quadradas = 19m2,70485. 2.®

Convertendo 4 braças quadradas,7 palmos quadrados e 8 pollegadas quadradas em pollegadas quadradas, e multiplicando 0mi,00075625, coefficiente ãe reducção ãa pollegaãa quadrada em metros quadrados, pelo numero ãe pollegaãas quadradas correspondente ao numero ãaão.

Ao numero 4 braças quadradas, 7 palmos quadrados e 8 pollegadas quadradas correspondendo 26056 pollegadas quadradas» teremos:

0m2,00075625 26056 453750 378125 4537500 151250_

19m2,70485000

3.°

Converte-se o numero ãaão em numero fraccionario ãa braça quadrada, e multiplica-se o coefficiente ãe reducção ãa braça quaãraãa por esse numero fraccionario.

26056t>q

Sendo o numero fraccionario 6400 correspondente ao numero dado, temos

4 braças quadradas, 7 palmos quadrados e 8 pollegadas quadra-

, . 26056*1 1261 lima,04 das = 70485.

4.®

Multiplicanão 4m2,84 por 4bi 7 pi 8pi

4in2,84

4p'i 7 pq 8p«

19m2,36

5PI..... 0,242

1....... 0,0484

1 ....... 0,0484

8P«..... 0,00605

19™2,70485 192. Para converter um numero qualquer ãe metros quaãraãos em braças, palmos e póllegaãas quadradas, basta ãiviãir esse numero ãe metros quaãraãos por 4m2,84, coefficiente ãe reãucção ãa braça quadrada em metros quaãraãos.

Seja o numero de metros quadrados 19m2,70485. Efectuando a divisão, acha-se

19m2,70485-í- 4ro2,84 = 19m2,70485-í-4m2,84000 = 1970485-r-484000 =

-4bq 7Pq gpq.

484000

7P<3 8pq

1970485 34485 100

34485ÕÕpi

60500 __6£

" 2420 3630

3872000P« 0

As conversões das outras unidades se effectuam do mesmo modo.