Elementos de Arithmetica/Capítulo 6

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Elementos de Arithmetica
por João José Luiz Vianna


-

CAPITULO VI

POTENCIAS E RAÍZES DOS NUMEROS

193. Potencia ãe um numero ê o proãucto ãe factores iguaes a esse numero.

As differentes potencias do numero 2 são4, 8, 16, 32, 64, etc.; as potencias da fracção são:4-, 4-, i-i -i-, etc. ; as potencias

A 4 o lb o4

da fracção 0,2 são : 0,04, 0,008, 0,0016, 0,00032, 0,000064, etc.

Paiz ãe qualquer grão ãe um numero è o numero que elevado ao grão ãa raiz proãuz o numero ãaão.

As raizes do 6? grão dos numeros 64, ~ e 0,000064; as do 5? gráo dos numeros 32, e 0,00032 ; as do 4? grão dos numeros 16, e 0,0016 etc., são respectivamente iguaes aos numeros 2,

lb 3

e 0,2.

É fácil reconhecer pelo que fica estabelecido que :

1? As differentes potencias ãa uniãaãe são toãas iguaes â unidade.

2? As potencias ãos numeros maiores que a uniãaãe são toãas maiores que as raizes.

3? As potencias successivas ãe um mesmo numero maior que a uniãaãe, vão augmentando successivamente, e esse augmento segue uma lei invariavel.

As potencias ãos numeros menores que a uniãaãe são toãas menores que as raizes ãos grãos respectivos.

5? As potencias successivas ãe um mesmo numero menor que a uniãaãe, vão ãiminuinão successivamente, e essa ãiminuição segue uma lei invariavel.

As duas primeiras potencias denominam-se quaãraão e cubo ; e as raizes dos grãos respectivos, raiz quadrada e raiz cubica.

m

í Trataremos sómente da formação dos quadrados e cubos dos numeros, e da extracção das raizes dos gráos correspondentes.

Formação dos quadrados dos numeros

194. Quadrado de um numero é o producto de dous factores iguaes a esse numero.

D'esta definição segue-se, que o quadrado de um numero qualquer, inteiro ou fraccionario, se obtem multiplicando esse numero por si mesmo.

O conhecimento da taboada de multiplicação é sufficiente para, sem effectuar calculo algum, conhecermos os quadrados dos nove primeiros numeros inteiros. Esses quadrados são:

, , , , , , , .

Os quadrados dos numeros formados pela unidade seguida de zeros se obtém dobrando o numero de zeros que acompanharem a unidade. Assim, os quadrados dos numeros , , , , etc., são , , , , etc.

195. Se um numero inteiro fôr composto de dezenas e unidades, o seu quadrado consta de tres partes, a saber: quadrado das dezenas, dobro do producto das dezenas pelas unidades e quadrado das unidade.

Representando por as dezenas de um numero e por as unidades, será o numero, e o seu quadrado se obtem multiplicando por

O resultado demonstra a proposição.

196. O quadrado de um producto de dous ou mais factores se obtem elevando cada um dos factores ao quadrado.

Com effeito:

(5×6×7)2=5×6×7×5×6×7=5×5×6×6×7×7=52×62×72 197. Para elevar ao quadrado um numero inteiro qualquer seguido ãe zeros, basta elevar o numero ao quadrado, prescindindo ãos zeros, e escrever â ãireita ão resultaão o ãobro ão numero ãe zeros.

Assim, sendo 347000=347 X 1000, segue-se que

347000?=3472X 10002=120409 X1000000=120409000000

198. O quadrado ãe qualquer potencia ãe um numero se acha ão-branão o expoente.

Com effeito, (am)2=amXam=a2m

199. Para que um numero inteiro seja quadrado ãe um outro, ê necessário que ambos tenham os mesmos factores primos, e que o expoente ãe cada factor- no primeiro seja o ãobro ão expoente ão mesmo factor no segunão.

Supponhamos a=b2

Os números a e b são compostos dos mesmos factores primos, porque se assim não fosse, dividindo ambos os membros da igualdade por um factor primo, somente de um d'esses números teríamos um numero inteiro igual a um numero fraccionario, o que não é possivel.

Representando por m, n e p esses factores primos, por x, y e z os seus expoentes em a, e por a?' y' e z' os seus expoentes em b, teremos

m* X iy X Pz = (m*' X n*' X Pz)2 =m2x' X«2y' X P2z' e portanto: x=2x',y=2y', z=2z'.

200. A ãifferença ãos quaãraãos ãe ãous números inteiros consecutivos é igual ao ãobro ão menor augmentado ãe uma unidade.

Sendo a + 1 e a os dous números, seus quadrados são : a2 -+--}- 2o + 1 e a2 ; e a differença dos quadrados é a2 -J- 2a -j- 1 — a2 ou 2a -f- 1, resultado que demonstra a proposição.

201. Não sendo possivel á primeira vista conhecer se um numero inteiro é quadrado, podemos no entretanto saber algumas vezes se não é quadrado, por meio dos seguintes caracteres :

1? O numero par não divisivel por é não ê quaãraão.

Porque sendo 2n a formula geral dos números pares, elevando Bn ao quadrado acha-se 4 n2, formula geral dos números pares que são quadrados, e como todos elles são divisíveis por 4, segue-se que os números pares que não satisfizerem a esta condição não serão quadrados.

2? O numero impar que diminuído de uma unidade não deixar um resto divisivel por d não ê quaãraão. Vianna — Arithmetica 1 j Porque sendo 2n -J- 1 a formula geral dos numeros impares, elevando 2w -f- 1 ao quadrado, acha-se d n2 -J- 4 n -f- 1, formula geral dos numeros impares que são quadrados, e como todos elles sendo diminuídos de uma unidade deixam um resto, 4n2 -{- 4n, divisível por 4, se-gue-se que o numero impar que não satisfizer a esta condição não é quadrado.

3? O numero inteiro que terminar por algum ãos algarismos 2, 3, 7 e 8 não é quaãraão.

Porque, seja qual fôr o numero que se considere, elle deve terminar por um dos dez algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, e o seu quadrado deve terminar por 0, 1, 4, B, 6 ou 9, e nunca por 2, 3, 7 ou 8.

4? O numero que terminar por numero impar ãe zeros não ê quaãraão.

Porque o numero terminando por zeros só pôde ser quadrado de outro terminando também por zeros ; mas já vimos que um numero terminando por zeros o seu quadrado deveria terminar pelo dobro do numero de zeros.

5? O numero que terminar pelo algarismo 5, não é quaãraão, se o algarismo ãas ãesenas fôr ãifferente ãe 2.

Porque, seja qual fôr o numero terminado pelo algarismo 5, elle só pôde ser quadrado de um outro numero terminado também por 5. Considerando, pois, um numero qualquer terminado por 5, e chamando a as dezenas d'esse numero, elle é representado por a + 5.

Elevando ao quadrado esse numero, temos ;

(a + 5)2= a2 + 10 a + 25

As duas primeiras partes terminando por dous zeros, a somma das tres partes não pôde deixar de terminar por 25.

6? O numero inteiro ãivisivel por um numero primo não ê quaãraão se não fôr ãivisivel pelo quaãraão ã'esse numero primo.

Porque, se o numero primo n dividir o quadrado de um numero, deve também dividir esse numero, e sendo esse numero divisível pelo factor primo n, o seu quadrado não pôde deixar de ter em sua composição o quadrado d'esse mesmo numero primo. (199)

202. O quadrado de uma fracção ordinaria se obtém, segundo a definição, multiplicando essa fracção por si mesma, e como o producto de uma fracção por outra se acha multiplicando os numeradores e os denominadores, e dividindo o primeiro producto pelo segundo, segue-se que : o quaãraão ãè uma fracção ordinaria se obtém elevanão o numerador ao quaãraão e também o denominador, ãiviãinão depois o primeiro resultado pelo segunão.

Se os termos de uma fracção ordinaria forem números primos entre si, os seus quadrados serão também números primos entre si, e d'alii segue-se que : o quaãraão ãe uma fracção irreductivel ê também uma fracção irreductivel.

203. O producto de um numero decimal por outro, devendo ter na parte fraccionaria tantos algarismos quantos tiverem as partes fraccionarias dos dous factores, segue-se que : o quaãraão ãe um numero decimal tem sempre na parte fraccionaria o ãobro ão numero ãe algarismos que tiver nessa parte o numero dado.

Raízes quadradas dos números

204. Raiz quadrada ãe um numero è o numero que elevado ao qua-ãraão produz o numero dado.

No estudo das raizes quadradas dos números, consideraremos duas partes: Na primeira trataremos das raizes quadradas dos números inteiros ; e na segunda, das raizes quadradas dos números fra-ccionarios.

Raízes quadradas dos números Inteiros

205. O conhecimento da taboada de multiplicação é sufficiente para conhecermos as raizes quadradas dos números inteiros, que, sendo quadrados, tiverem um ou dous algarismos. Esses números são :

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 as suas raizes quadradas são :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Tratemos, pois, de estabelecer o processo para determinai as raizes quadradas dos números inteiros, que, sendo quadrados, tiverem mais de dous algarismos. Considere-se em primeiro logar um numero de tres ou quatro algarismos, e seja esse numero 1225.

12.25 35 9 65 32.5 32.5

0

O numero 1225 sendo maior que 100, a sua raiz quadrada, maior que o numero 10, consta de dezenas e unidades ; portanto o quadrado, isto é, o numero dado compõe-se de tres partes, a saber : o quaãraão ãas ãezenas, o dobro ão proãucto ãas ãezenas pelas unidades e o quadrado ãas uniãaães. (195)

Separando no nnmero dado a parte que contém o quaãraão ãas ãezenas ãa raiz, extraindo a raiz quadrada d'essa parte, teremos as dezenas da raiz.

O quadrado das dezenas dará pelo menos centenas, pois l()2=100. Portanto no numero dado esse quadrado não se achará nas duas primeiras ordens do numero dado, pelo que separamos com um ponto os seus dous primeiros algarismos da direita.

O maior quadrado contido em 12 centenas é 9 centenas, cuja raiz é 3 dezenas. Subtrahindo o quadrado das dezenas das 12 centenas do numero dado, as 3 centenas que restam, reservas das outras duas partes de que se compõe esse numero, reunidas com as 25 unidades do mesmo numero, dão um resultado necessariamente composto das duas partes: ãobro ão proãucto ãas ãezenas pelas unidades e quadrado ãas uniãaães.

Separando d'esse resultado a parte que contêm o ãobro ão producto das dezenas pelas uniãaães, dividindo essa parte pelo dobro das dezenas, o quociente representará as unidades da raiz.

O dobro do producto das dezenas pelas unidades dará pelo menos dezenas, portanto essa parte não se achará nas unidades do numero dado. Separemos, pois, para a direita o algarismo 5 das unidades, e as 32 dezenas conterão o dobro do producto das dezenas pelas unidades da raiz. Então dividindo 32 por 6, que é o dobro das 3 dezenas da raiz, o quociente 5 será as unidades da raiz. Podendo as 32 dezenas, além do dobro do producto das dezenas pelas unidades, conter reservas do quadrado das unidades, é necessário verificar, se com effeito 5 é o algarismo das unidades da raiz, o que se consegue elevando 35 ao quadrado, devendo achar-se para resultado o numero dado ; ou multiplicando 5 por 6 dezenas ou 60 e depois por si mesmo, e sommando os dous productos parciaes; o resultado, subtraído de 325, não deve deixar resto algum, por ser 325 um numero composto d'essas duas partes.

Considere-se presentemente um numero de cinco ou seis algarismos. Seja o numero 1062?6,

326

62 646

10.62. 76 9

16.2 124

3 87.6 3 87 6

Õ

O numero 106276 sendo maior que 100, a sua raiz quadrada,

maior que o numero 10, consta de dezenas e unidades ; e o numero dado compõe-se de tres partes, a saber: quaãraão ãas dezenas, ãobro ão proãucto ãas dezenas pelas unidades e quaãraão ãas uniãaães.

Separando d'esse numero a primeira parte, o que se consegue prescindindo dos dous algarismos da direita e extraindo a raiz quadrada de 1062 centenas, acharemos as 32 dezenas da raiz.

Ao resto 38 centenas reunindo as 76 unidades do numero dadò, teremos o numero 3876, que se compõe das outras duas partes: ãobro ão proãucto ãas dezenas pelas uniãaães e quaãraão das unidades.

Separando do resto o dobro do producto das dezenas pélas unidades, o que se consegue prescindindo do ultimo algarismo da direita e dividindo as 387 dezenas pelas 64 dezenas, dobro das dezenas, teremos as unidades da raiz.

O raciocínio sendo o mesmo, seja qual fôr o numero de algarismos do numero dado, podemos estabelecer a seguinte

Regra.—Divide-se o numero em classes de ãous algarismos da direita para a esquerda. Extrae-se a raiz quaãraãa ão maior quaãraão contido na primeira classe á esquerda, e subtrae-se esse maior quaãraão ãa classe considerada. Á ãireita ão resto escreve-se a classe seguinte, separa-se o ultimo algarismo ãa ãireita e ãiviãe-se a parte á esquerda pelo ãobro da raiz achada. O quociente escreve-se á ãireita ãa raiz e ã ãireita ão ãobro ãa raiz. Este ultimo numero assim formado multiplica-se pelo quociente e subtrahe-se o proãucto do numero que serviu de dividendo, seguido ão algarismo separaão.

Á direita do segundo resto escreve-se a classe seguinte, separa-se o ultimo algarismo ãa direita, e ãiviãe-se a parte á esquerda pelo ãobro da raiz achada ; o quociente escreve-se á direita da raiz e & direita ão dobro ãa raie. Este ultimo numero assim formado multiplica-se pelo quociente, e o proãucto subtrae-se ão numero que serviu ãe ãiviãenão, seguido ão algarismo separaão.

Á ãireita ão terceiro resto escreve-se a classe seguinte, e assim se continua até ter considerado toãas as classes ão numero dado.

Escrevendo á ãireita ãe um ãos restos a classe seguinte e separan • ão-se o ultimo algarismo á ãireita, se a parte á esquerda fôr menor que o ãobro ãa raiz achaãa, escreve-se um zero â direita d'essa raiz achada, e considera-se a classe seguinte.

Pôde acontecer que se escreva na raiz um algarismo menor do que deve ser. Á simples inspecção do resto se conhece o erro.

Supponhamos que se trate de extrair a raiz quadrada do numero 576. Achado o algarismo 2 das dezenas da raiz e subtraindo o quadrado das dezenas do numero dado, o algarismo das unidades se obtém dividindo 17 por 4. Escrevendo na raiz o algarismo 3, multiplicando depois 43 por 3 e subtraindo o producto de 176, acharemos o resto 47; e como esse resto é igual ao dobro de 23 augmentado de uma unidade, concluiremos que o algarismo 3 é fraco.

Com effeito, 576 = 232 + 47, e como 242 = (23 -f l)2 = 232 -f + 2 X 23 + 1, sendo 47 = 2 X 23 + 1, segue-se que 576 é o quadrado do numero 24. O algarismo das unidades é 4 e não 3.

Se o resto fosse maior que o dobro da raiz augmentado de uma unidade, o algarismo das unidades seria ainda menor do que devia ser. O resto deve,pois, ser sempre menor que o dobro da raiz augmentado de uma unidade.

206. Os numeros inteiros não têm todos para raizes quadradas aumeros inteiros. As raizes quadradas d'esses números não podem ser fracções próprias, porque as fracções próprias só podem ser raizes quadradas de outras fracções ainda menores, nem números mixtos ou fracções impróprias .

Com effeito, se a fracção imprópria fosse raiz quadrada exacta do numero inteiro N, elevando essa fracção ao quadrado, teríamos

a2

f &

A fracção imprópria — podendo ser sempre considerada irreductivel, os seus termos a e b serão números primos entre si, e os seus quadrados a2 e b2 serão também números primos entre si (92); o primeiro membro da igualdade é essencialmente fraccionario, e, como o segundo membro é inteiro, a igualdade é impossível; e por consequência a fracção imprópria não pôde ser raiz quadrada exacta do numero inteiro N.

Esses números têm para raizes quadradas números incommensuraveis, que se obtém com a approxímação que se quizer.

Para acbar as raizes quadradas d'esses números, sem erro de uma unidade, basta acbar as raizes dos maiores quadrados contidos nelles. Assim, a raiz quadrada do numero 7248965

2692

7.24.89.6 5

4__46

3 2. 4 529

2 7 6 53S2

4 8 8.9 47 6 1

1 28 6.5 1 0 7 64

2101

é 2692, sem erro de uma unidade.

Vejamos como se obtém a raiz quadrada de um numero qual-quer A, sem erro de — de uma unidade de qualquer ordem.

AXns

Evidentemente A = Suppondo effectuado o producto ÁXn2, e representando par a a raiz quadrada do maior quadrado contido nelle, teremos

a2 < A X n2 < (a + l)2

Dividindo esses tres numeros por n2, resulta

a2 AXn2 (a-}-l)a

on ainda

n2 n2 n2

/ a \2 ( a -f 1 \a

(t) <Â<(~;r~)

O numero dado A acha-se, pois, comprehendido entre os quadrados dos numeros — e- —, numeros cuja differença é —•

n n n

a a -+- 1

O numero - éa raiz quadrada do numero dado por falta, e —-—

é a raiz quadrada do mesmo numero por excesso. Podemos, pois, estabelecer a seguinte

Regra.—Se a fracção que indicar o erro tiver para numerador a unidade, sendo o denominador um numero qualquer, multiplica-se o numero inteiro pelo quadrado ão denominador, extrae-se a raiz quadrada ão proãucto, e ãiviãe-se essa raiz quadrada pelo ãenominaãor.

Se a fracção que indicar o erro tiver para termos numeros quaes-

quer, se fôr, por exemplo, multiplica-se o numero inteiro pelo quaãraão ãa fracção que indica o erro invertida, extrae-se a raiz quaãraãa ão producto, e ãiviãe-se o resultado pela mesma fracção invertida.

Facilmente se reconhece ser esse o meio para obter a raiz qua-

ni 1

drada, nessa ultima hypothese, notando-se que —=—

m

Não se tendo feito hypothese alguma sobre a natureza do numero A, estas regras são applicaveis também ás fracções, como veremos depois.

Io Exemplo : Achar a raiz quadrada de 28, sem erro de —

1/28 x 72 l/28 X 49 V 1372 37 , ,

28= -^— == ---— — --— = JLÍ, sem errro de JL

J/í: 2? Exemplo : Achar a raiz quadrada de 37, sem erro de

100

1 / _ 1/37X1002 V 370000 608 !

V 37—-Wo-= -lõõ— = 1ÕÕ = 6,08, sem erro de—

3

3? Exemplo : Achar a raiz quadrada de 7, sem erro de —

_ I/' X (|)2 I/T X f ]/t V 7 =—

13

_____ _ _ _ _ 1T _13_

5_ _5_ g T 5

3 3 "T 3

. 3

sem erro de -=-•

5

Raizes quadradas dos números íraccionarios

207. Trataremos em primeiro logar das raizes quadradas dos números decimaes.

O numero decimal sendo quadrado, o numero de algarismos da parte fraccionaria é sempre par, porque, como já vimos, o quadrado de um numero decimal tem sempre na parte fraccionaria o dobro do numero de algarismos que tiver a parte fraccionaria da raiz.

Seja a fracção 0,000064, da qual se quer extrair a raiz quadrada.

Se prescindirmos da virgula e extrairmos a raiz quadrada do resultado 64, acharemos 8 ; mas sendo 64 um milhão de vezes maior qne a fracção dada, a raiz quadrada de 64 ou o numero 8 é mil vezes maior que a raiz pedida; para termos, pois, essa raiz, devemos tornar mil vezes menor o numero 8, o que se consegue separando para a direita tres algarismos, e será 0,008 a raiz quadrada de 0,000064.

Pelo que se conclue a seguinte

Regra.—Prescinãe-se ãa virgula, extrae-se a raie quadrada do resultado e separa-se com uma virgula nessa raiz, para a ãireita, a metade ão numero de algarismos ãa parte fraccionaria ão numero dado.

Se o numero decimal não fôr quadrado, a sua raiz se obtém com a approximação que se quizer, applicando o processo apresentado na approxímação das raizes dos números inteiros. (206)

Seja o numero 48,56327, do qual se quer.extrahir a raiz quadrada

«em erro de -i-100 Multiplicando o numero 48,56327 por 10000, quadrado de 100, teremos 485632,7.

Extraindo a raiz quadrada do maior quadrado contido no numero 485632, acha-se 696, e separando nessa raiz, para a direita, dous algarismos, teremos 6,96, raiz quadrada do numero dado, sem erro i

Seja ainda o numero 0,42, do qual se quer a raiz quadrada sem

erro de —^—

1000

Multiplicando o numero 0,42 por 1000000, quadrado de 1000, resulta o numero 420000.

Extraindo a raiz quadrada do maior quadrado contido em 420000, acha-se 648, e a raiz pedida é 0,648.

208. Tratemos presentemente das raizes quadradas das fracções ordinsyias.

A raiz quadrada de uma fracção ordinaria pôde ser obtida convertendo a fracção ordinaria em decimal, e extraindo depois a raiz quadrada d'essa fracção decimal.

É, porém, conveniente estabelecer um methodo especial para obter a raiz quadrada de uma fracção ordinaria.

Do processo que estabelecemos para elevar uma fracção ordinaria ao quadrado se deduz o meio natural de se obter a raiz quadrada de uma fracção ordinaria. Esse meio consiste em extrair a raiz quadrada do numerador e a ão ãenominaãor, dividindo a primeira raiz pela segunda.

A inconveniência que ha em obter para resultado uma fracção que tenha para denominador um numero incommensuravel, o que acontece sempre que o denominador não fôr quadrado, força-nos a considerar na extracção das raizes quadradas das fracções ordinarias os dous casos seguintes:

1® Caso : O ãenominaãor è quaãraão.

2o. Caso : O ãenominaãor não é quaãraão.

No primeiro caso, extrae-se a raiz quadrada ão numerador exacta ou approximadamente, e a exacta ão denominador, ãiviãinão ãepois a primeira raiz pela segunda.

Exemplos :

'25 _j/25"_ 5

1 /I i / 7 __v/ 7

1/ 81 — ,-— 2

^ K 81

No segundo caso, transforma-se a fracção em outra igual, tendo para denominador um numero que seja quadrado, o que se consegue, em geral, multiplicando ambos os termos ãa fracção pelo denominador e appli-canão o processo ão primeiro caso.

Exemplo:

j/W f/W


|/49

Sendo o quadrado de um numero inteiro o producto dos quadrados dos factores primos que entram na composição d'esse numero (199), segue-se que, no segundo caso, e na hypothese de ser o denominador am numero multiplo, póde-se, sem multiplicar os termos da fracção pelo denominador, effectuar a transformação multiplicando-os por um outro numero menor que esse denominador.

O numero pelo qual se deve multiplicar os dous termos da fracção se conhece, decompondo o denominador em factores primos e formando um producto dos factores que faltarem para que esse denominador seja quadrado.

Seja a fracção -J- , da qual se quer extrair a raiz quadrada.

O denominador 630=2X3?X5X7 e como para elle ser quadrado faltam os factores primos 2, 5 e 7, o producto d'esses números ou 70 é o numero pelo qual devemos multiplicar os termos da fracção para que ella seja transformada em outra igual, tendo para denominador um quadrado.

Effectuando a multiplicação e extraindo depois a raiz quadrada, temos

| _| / 7x70_| / 490 _| / 490 _j/~490 _\/m

V 630—[/ 630 x 70 44100—J/ 2102 "~2ÍÕ

Formação dos cubos dos números

209. Cubo ãe um numero é o proãucto ãe tres factores iguaes a esse numero. O cubo de um numero qualquer inteiro ou fraccionario se obtém multiplicando esse numero por si mesmo duas vezes.

Os cubos dos nove primeiros numeros inteiros são :

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729

210. Os cubos ãos numeros inteiros formados pela uniãaãe seguiãa de zeros, se obtêm triplicando o numero ãe zeros que acompanharem a uniãaãe. Assim, os cubos dos ns. 10, 100, 1000, 10000, etc., sâo 1000, 1000000, 1000000000, 1000000000000,etc.

211. Um numero inteiro, senão composto ãe ãezenas e uniãaães, o seu cubo consta ãe quatro partes, a saber : cubo ãas ãezenas, triplo ão producto ão quadrado ãas ãezenas pelas uniãaães, triplo ão proãucto ãas ãezenas pelo quaãraão ãas uniãaães e cubo ãas uniãaães.

Representando por a as dezenas de um numero, e por b as unidades, a+6 será o numero ; o quadrado é a2-\-2al-\-b2 e o cubo se obtém multiplicando o quadrado por a-\-b.

a2 + 2ab + b2

a -f b_

a3 + 2a2b + ab2 + -j- a2 b -f- 2ab2 -f b3

a3 + 3a2b -f 3ab2 -f b3

O resultado demonstra a proposição.

212. O cubo ãe um proãucto ãe ãous ou mais factores, se obtém slevando caãa um ãos factores ao cubo.

Com effeito

(5X6X7)3=5X6X7X5X6X7X5X6X7=5X5X5X X6X6X6X7X7X7=53X63X73.

213. Para elevar ao cubo um numero inteiro qualquer seguido ãe zeros, basta elevar ao cubo o numero, prescindindo ãos zeros, e escrever á ãireita ão resultaão o triplo ão numero de zeros.

Assim, sendo 2300 = 23 X 100, segue-se que 23003 = 238X X 1003 = 12167 X 1000000 = 12167000000. 214. O cubo ãe qualquer potencia ãe um numero se acha triplicando o expoente.

Com effeito, ( am )3 == am X am X am = a3m.

215. Para que um numero seja cubo de outro, ê necessário que ambos tenhamos mesmos factores primos, e que o expoente ãe cada factor no primeiro seja o tripulo ão mesmo factor no segunão.

Supponhamos a = b3.

Os números a e b são compostos dos mesmos factores primos, porque se assim não fosse, dividindo ambos os membros da igualdade por um factor primo, somente de um d'esses números teríamos um numero inteiro igual a um numero fraccionario, o que não é possivel.

Representando por m,nep esses factores primos, por x, y e z os seus expoentes em a, e por x',y' e z' os expoentes emb, teremos mxXnyX XPZ= (mx'Xny'XPz')3 = m3x'Xn3y'Xp3z'; e portanto x=3x', y=3y' ez = 3z'.

216. A ãifferença ãos cubos ãe ãous números inteiros consecutivos ê igual ao triplo ão menor, mais o triplo ão seu quaãraão, mais um.

Sendo a -f-1 e a os dous números, seus cubos são «3-J-3a2-|-3«-|--{- 1 e a3, e a diferença dos cubos ê a3-\-3a2-\-3a -]- 1 — a3 ou 3 a2 -)-+3 o+l, resultado que demonstra a proposição.

217. Não sendo possivel á primeira vista saber se um numero inteiro é cubo, podemos no entretanto conhecer algumas vezes se não é cubo por meio dos seguintes caracteres :

1? O numero par não divisivel por 8 não ê cubo.

Porque, sendo 2n a fórmula geral dos números pares, elevando 2n ao cubo, acha-stf 8n3, fórmula geral dos números pares que são cubos, e como todos elles são divisíveis por 8, segue-se que os números pares que não satisfizerem a esta condição não serão cubos.

2? O numero que terminar por zeros não ê cubo, se o numerò ãe zeros não fôr Ires ou multiplo ãe tres.

Porque um numero terminado por zeros só pôde ser cubo de um outro terminado também por zeros, e já vimos que um numero terminando por zeros, o seu cubo terminava pelo triplo do numero de zeros. 3? O numero inteiro ãivisivel por um numero primo não ê cubo, se não fôr ãivisivel pelo cubo d'esse numero primo.

Porque, se ura numero primo n dividir ao cubo de um numero, deve também dividir esse numero, e esse numero sendo divisível pelo factor primo n, o seu cubo não pôde deixar de ter em sua composição o cubo d'esse mesmo numero primo.

218. O cubo de uma fracção ordinaria se obtém, segundo a definição, multiplicando essa fracção por si mesma duas vezes, o que se reduz a elevar ao cubo o numeraãor e o ãenominaãor também, dividindo depois o primeiro resultado pelo segundo.

Sendo os termos de uma fracção ordinaria numeros primos entre si, os seus cubos são também numeros primos entre si, e portanto: O cubo ãe uma fracção hreãuctivel ê também uma fracção irreãuctivel.

219. O producto de um numero decimal por outro, devendo ter na parte fraccionaria tantos algarismos quantos tiverem as partes fraccionarias dos dous factores, segue-se que : o cubo ãe um numero ãecimal tem sempre na parte fraccionaria o triplo ão numero ãe algarismos que tiver nessa parte o numero dado.

Raízes cubicas dos números

220. Baiz cubica de um numero ê o numero que elevado ao cubo produz o numero ãaão.

No estudo das raizes cubicas dos numeros, consideraremos duas partes: na primeira estudaremos as raizes cubicas dos numeros inteiros; e na segunda, as raizes cubicas dos numeros fraccionarios.

Raizes cubicas dos numeros inteiros

221. As raizes cubicas dos numeros inteiros que, sendo cubos, tiverem um, dous ou tres algarismos, se obtém mentalmente.

Assim, os numeros:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 têm para raizes cubicas

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Tratemos, pois, de estabelecer o processo para determinar as raizes cubica^ dos números inteiros, que, sendo cubos, tiverem mais de tres algarismos.

Consideremos em primeiro logar um numero de quatro, cinco ou seis algarismos, e seja esse numero 42875.

42.875 35 35 27 ~27 35 15 8.75 175 42 8.75 105 0 1225 35 * 6125 3675 42875

O numero 42875 sendo maior que 1000, a sua raiz cubica é maior que 10, e sendo a raiz cubica d'esse numero maior que 10, consta de dezenas e unidades, e portanto o cubo, isto é, o numero dado, com-põe-se de quatro partes, a saber: cubo ãas dezenas, triplo ão proãucto ão quaãraão ãas dezenas pelas uniãaães, triplo ão proãucto ãas ãezenas pelo quadrado ãas uniãaães e cubo ãas uniãaães. (211)

Separando do numero dado a parte que contém o cubo ãas ãezenas da raiz, e extraliindo a raiz cubica d'essa parte, teremos as dezenas da raiz.

O cubo das dezenas da raiz dá pelo menos milhares, porque 103=1000. Portanto o cubo das dezenas da raiz não se acha contido nas tres primeiras ordens do numero proposto. Então separamos para a direita os tres primeiros algarismos do numero dado.

O maior cubo contido em 42 milhares é 27 milhares, cuja raiz cubica é 3 dezenas. Subtrahindo o cubo das dezenas dos 42 milhares do numero dado, os 15 milhares que restam, reservas das outras tres partes de que se compõe esse numero, reunidos com as 875 unidades do mesmo numero, dão um resultado necessariamente composto das tres partes : triplo do proãucto ão quaãraão ãas ãezenas pelas uniãaães, triplo ão proãucto ãas ãezenas pelo quaãraão ãas uniãaães e cubo ãas uniãaães. Separando d'esse resultado a parte que contém o triplo do producto do quadrado das dezenas pelas unidades, dividindo essa parte pelo triplo do quadrado das dezenas, o quociente será constituido pelas unidades da raiz.

O triplo do producto do quadrado das dezenas pelas unidades dá pelo menos centenas.

Portanto, essa parte só poderá se achar nas 158 centenas do resto acima achado. Então separamos para a direita as ordens das unidades e das dezenas d'esse resto. Dividindo as 158 centenas por 27 (3 vezes o quadrado das 3 dezenas da raiz), o quociente 5 será constituido pelas unidades da raiz.

Podendo as 158 centenas, além do triplo do producto do quadrado das dezenas pelas unidades, conter reservas das outras duas partes, é necessário verificar se com effeito 5 é o algarismo das unidades da raiz, o que se consegue elevando 35 ao cubo, e subtrahindo o resultado do numero dado; nestas condições não deve haver resto algum.

Consideremos presentemente um numero inteiro de sete, oito ou nove algarismos.

Seja o numero 43614208.

43.614.208 352 35 352 27 27 35 352 166.14 3675 175 704 428.75

105 1760 7392.08

1225 1056 436142.08

35 123904 0

6125 352

3675 247808

42875 619520


371712


43614208

O numero dado sendo maior que 1000, a sua raiz cubica, maior que o numero 10, consta de dezenas e unidades, e o numero dado compõe-0se de quatro partes, a saber: cubo das dezenas, triplo do producto do quadrado das dezenas pelas unidades, triplo do producto das dezenas pelo quadrado das unidades e cubo das unidades.

Separando d'esse numero a primeira parte, o que se consegue prescindindo dos tres ultimos algarismos da direita, e extraindo a raiz cubica de 43614 milhares, acharemos as dezenas da raiz. 

Ao resto 739 milhares reunindo as 208 unidades do numero dado, teremos o numero 739208, que se compõe das outras tres partes: triplo ão proãucto ão quadrado ãas dezenas pélas unidades, triplo ão proãucto ãas ãezenas pelo quadrado das uniãaães e cubo ãas uniãaães ãa raiz.

Separando d'esse numero o triplo ão proãucto ão quaãraão ãas ãezenas pelas uniãaães, o que se consegue prescindindo dos dous últimos algarismos da direita, e dividindo as 7392 centenas pelas 3675 centenas, triplo do quadrado das dezenas, teremos as unidades da raiz.

A verificação do algarismo 2 das unidades da raiz se faz como no exemplo precedente.

O raciocínio sendo o mesmo, seja qual fôr o numero de algarismos do numero dado, podemos estabelecer a seguinte

Regra.— Diviãe-se o numero em classes ãe tres algarismos ãa ãireita para a esquerda. Extràhe-se a raiz cubica ão maior cubo contido na primeira classe á esquerãa, e subtrahe-se esse maior cubo ãa classe considerada.

A' ãireita do resto escreve-se a classe seguinte, separam-se os ãous últimos algarismos da ãireita, ãiviãe-se a parte â esquerda pelo triplo ão quaãraão ãa raiz achada, e o quociente escreve-se â ãireita ãa raiz. Ele-va-se a raiz achada ao cubo e o resultado subtrahe-se ão numero formado pelas duas primeiras classes.

A' ãireita ão segundo resto escreve-se a classe seguinte, separam-se os dous últimos algarismos ãa direita, ãiviãe-se a parte ■ á esquerda pelo triplo ão quaãraão ãa raiz achaãa, e o quociente escreve-se á direita ãa raiz. Eleva-se a raiz achccãa ao cubo, e o resultado súbtrahe-se ão numero formado pelas tres primeiras classes.

A' ãireita ão terceiro resto escreve-se a classe seguinte, e assim se continua até ter considerado todas as classes ão numero ãaão.

Escrevenão á ãireita ãe um ãos r estos a classe seguinte, e separan-ão-se os ãous últimos algarismos ãa ãireita, se a parte á esquerãa fôr menor que o triplo ão quaãraão ãa raiz achada, escreve-se um zero á direita ãa raiz e eonsiãera-se a classe seguinte.

Pôde acontecer que se escreva na raiz um algarismo maior ou menor do que deve ser; ha, porém, meio de conhecer o erro.

Vianna — Arithmetica 12 Se o algarismo fôr maior, elevando a raiz achada ao cubo, o resultado será maior que o numero dado. ^e fôr menor, será menor ou igual a tres vezes o quadrado da raiz, mais tres vezes a mesma raiz mais um. '

222. Os numeros inteiros não são todos cubos. As raizes d'esses numeros não podem ser fracções próprias, porque as fracções próprias só podem ser raizes cubicas de outras fracções menores, nem numeros mixtos ou fracções impróprias.

Com effeito, se a fracção imprópria -í- fosse a raiz cubica exacta do numero inteiro N, elevando essa fracção ao cubo, teríamos :

A fracção imprópria podendo ser sempre considerada irredu-

ctivel, os seus termos a e b serão numeros primos entre si; os seus cubos a3 e b3 serão também numeros primos entre si (92) o primeiro membro da igualdade será essencialmente fraccionario, e como o segundo é inteiro, a igualdade é impossivel e por consequência a fracção im

própria não pôde ser a raiz cubica exacta do numero inteiro N.

As raizes cubicas d'esses numeros são numeros incommensuraveis, e se obtêm com a approximação que se quizer.

Para achar as raizes cubicas d'esses numeros, sem erro de uma nnidade, basta achar as raizes cubicas dos maiores cubos contidos nel-les. A raiz cubica do numero 43725658

43.725658 352 35 352 27 27 35 352 16 7.25 3675 175 704 42 8 75 105 1760 8 50 6.58 1225 1056 43 6 14 2 08 35 123904 1 11 4 50 6125 352 3675 247808 42875 619520 371712 43614208

é 552, sem erro de uma nnidade. E

Vejamos como se obtém a raiz cubica de um numero qualquer A, sem erro de -j- de uma unidade qualquer.

A X n8

Evidentemente A = ———

Suppondo» efectuado o producto AXn3, e representando por a a raiz cubica do maior cubo contido nelle, teremos

a8 < A X ns < (a + l)8 Dividindo esses tres números por n3, resulta

a3 AXn3 (a +1)3 "P" n3 ^ n3 ~

ou ainda


O numero A está compreliendido entre os cubos dos números

a a-j-1 . . 1

— e —^—> cuja diferença e —

O numero — é raiz cubica do numero dado por falta, e a-- — n r n

é raiz cubica do mesmo numero por excesso.

Podemos, pois, estabelecer a seguinte «

Régua.—Se a fracção que indicar o erro tiver para denominador um numero qualquer, senão porém o numerador a uniãaãe, multiplica-se o numero inteiro pelo cubo ão denominador ãa fracção que inãica o erro,eoo-tráhe-se a raie cubica ão proãucto e ãiviãe-se essa raie pelo â&0&iinaãor.

Se a fracção que inãicar o erro tiver para termos números quaesquer,

se fôr, por exemplo, —, multiplicasse o numero inteiro pelo cubo da fra-P

cção invertida, extràhe-se a raie cubica ão proãucto, e ãiviãe-se o resultado pela mesma fracção invertida. Facilmente se reconhece ser esse o meio para obter a raiz cubica nessa ultima hypothese, observando que

P ~~JL

m

Estas regras são applicaveis também ás fracções, como veremos

depois.

1? Exemplo : Achar a raiz cubica de 5, sem erro de ij-

3 3 3 3

4 — 4

\ / l^X*3 T/5X64 V320 _ 6

l 5 =-7— =-.— =-A T*

sem errro de \ 4

2? Exemplo : Achar a raiz cubica de 23, sem erro de -j^-

3 3 3 _ 3_

V/23X10ÕS 1/23X1000000 V23000000

1/23=

100 100 100

284 1

= — = 2,84, sem errode —— 100 100•

e

8.° Exemplo : Achar a raiz cubica de 2, sem erro de —

3

'2

1/

|/„w 63 t/ 216 1/

y ax-=- i/íxís i/-

3

432

125 " 125

6 6 6 5 1T T

_7_

5 7 , 5 =—=—, sem erro de —

6 6' 6 Raizes cubicas dos números fraccionarios

223. Trataremos em primeiro logar das raizes cubicas des números decimaes.

Um numero decimal sendo cubo, o numero de algarismos da parte fraccionaria é sempre 3 ou multiplo de 3, porque, como já vimos, o cubo de um numero decimal tem sempre na parte fraccionaria o triplo do numero de algarismos que tiver a parte fraccionaria da raiz.

Seja a fracção 0,000512, da qual se quer extrair a raiz cubica.

Se prescindirmos da virgula e extrahirmos a raiz cubica do resultado 512, acharemos 8; porém, sendo 512 um milhão de vezes maior que a fracção dada, a raiz cubica de 512 ou o numero 8 é cem vezes maior que a raiz pedida; para termos, pois, a raiz pedida, devemos tornar cem vezes menor o numero 8, o que se consegue separando para a direita dous algarismos, e será 0,08 a raiz cubica de 0,000512.

Pelo que se conclue a seguinte

Regra.—Prescinde-se da virgula, extrahe-se a rai z cubica ão resultado e separa-se nessa raiz para a ãireita a terça parte ão numero ãe algarismos que tiver a parte fraccionaria ão numero dado.

Se um numero decimal não fôr cubo, a sua raiz cubica se obtém com a approxímação que se qnizer, applicando o processo apresentado na approxímação das raizes cubicas dos números inteiros (222).

Seja o numero 7,3245684, do qual se quer extrair a raiz cubica

sem erro de —.

100

Multiplicando o numero 7,3245684 por 1000000, cubo de 100, teremos 7324568,4.

Extrahindo a raiz cubica do maior cubo contido no numero 7324568, acha-se 193, e separando nessa raiz para a direita dous algarismos, teremos 1,93, raiz cnbica do numero dado, sem erro de-1 .

Seja ainda o numero 0,0042, do qual se quer extraliir a raiz

cubica sem erro de —L.

100 Multiplicando o numero 0,0042 por 1000000, cubo de 100, resulta o numero 4200.

Extrahindo a raiz cubica do maior cubo contido em 4200, acha-se 16, e a raiz cubica pedida é 0,16.

224. Tratemos presentemente das raizes cubicas das fracções ordinarias.

A raiz cubica de uma fracção ordinaria pôde ser obtida, convertendo a fracção ordinaria em decimal, e extrahindo depois a raiz cubica âa fracção decimal.

Ha, porém, um processo especial para determinar a raiz cubica de uma fracção ordinaria. Este processo consiste em extrãhir a raiz cubica ão numerador e ãepois a ão ãenominaãor, ãiviãinão a primeira raiz pela segunda.

Não sendo conveniente que o denominador do resultado seja um numero incommensuravel, o que acontece sempre que o denominador não fôr cubo, devemos considerar na extracção das raizes cubicas das fracções ordinarias os dous casos seguintes :

1.° Caso.—O ãenominaãor ê cubo.

2.° Caso. —O ãenominaãor não é cubo.

No primeiro caso, exlrahe-se a raiz cubica ão numerador, exacta ou approximaãamente, e a exacta ão ãenominaãor, ãiviãinão a primeira raiz. péla segunda.

Exemplos:

8

8

343 l/343 7

513 t3 8

V/512

3

3

3

216 3 _ 6

F216 No segundo caso, transforma-se a fracção numa outra igual, tendo para denominador um numero que seja cubo, o que se consegue em geral multiplicando ambos os termos ãa fracção pelo quaãraão ão denominador e applicanão depois ao resultado o processo ão 1°. caso.

Exemplo:

3 3 3 _ 3

4 __ 1/iõõ _ Vim _ ✓jjjõ

V 125 5,

V125

O cubo de um numero inteiro sendo o producto dos cubos dos factores primos que entram na composição d'esse numero (214), segue-se que no segundo caso e na hypothese de ser o denominador um numero multiplo, póde-se sem multiplicar os termos da fracção pelo quadrado do denominador, effectuar a transformação, multiplicando-os por um outro numero menor.

O numero pelo qual se deve multiplicar os dous termos da fra-* cção se conhece, decompondo o denominador em factores primos, e formando um producto dos factores primos que lhe faltarem para que esse denominador seja .cubo.

» 7

Seja a fracção —da qual se quer extrair a raiz cubica.

O denominador 300 = 22 X 3 X52, e como para elle ser cubo

faltam os factores primos 2, 32 e 5, o producto d'esses números ou 90 é

7

o numero pelo qual devemos multiplicar os termos da fracção — para que ella seja transformada em outra igual, tendo para denominador um cubo.

Efectuando a multiplicação e extrahindo depois a raiz cubica, teremos:

3 __3 _ 3 _ 3

\/JL _ _ l/j^T _ 1 /630 _

^ 300 300 X 90 ~ V 27000 ~ ^ ~30 ~

3 _ 3 _

_V/630 _ V630

~3.__ 3CT

V 3 O3