Elementos de Arithmetica/Capítulo 7

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Elementos de Arithmetica
por João José Luiz Vianna


== PARTE SEGUNDA ==



CAPITULO VII[editar]

THEORIA DAS RAZÕES E PROPORÇÕES[editar]

225. Ao resultado ãa comparação ãe duas grandezas da mesma especie, ãenomina-se rasão ou relação.

Comparando-se duas grandezas, procura-se saber de quanto uma d'ellas excede á outra, ou quantas vezes uma d'ellas contém a outra.

Na primeira hypothese, a razão se diz por differença; e, na segunda, por quociente.

A razão de ãuas grandezas ê igual â razão dos números que as representam, senão, porém, medidas com a mesma unidade.

Representemos por ÁeBas duas grandezas, e por U a unidade ; suppondo a o numero de vezes que U se contém em A, e b o numero de vezes que U se contém em B, teremos :

A

ou

A = Ua

B = Ub

ou ainda

A^_Ua

B~~Ub

Ub b

a

A razão por differença entre 12 e 8 é 12—8. A razão por quociente entre 24 e 4 é Os dous números que se comparam chamam-se termos da razão. Ao primeiro chama-se antecedente e ao segundo consequente.

Na razão por differença o antecedente é o numero 12 e o consequente o numero 8. Na razão por quociente o antecedente é o numero 24 e o consequente o numero 4.

Uma razão por differença não se altera, sommando ou subtrahindo o mesmo numero a ambos os termos.

Porque o resto de uma subtracção não muda,sommando ou subtrahindo ao minuendo e ao subtrahendo o mesmo numero.

Uma razão por quociente não se altera, multiplicando ou dividindo ambos os termos por um mesmo numero.

Porque o quociente de uma divisão não muda, multiplicando ou dividindo o dividendo e o divisor por um mesmo numero.

Da equidifferença

226. Equidifferença é a expressão da igualdade de duas razões por differença.

Assim, sendo 12—7 igual a 8—3, teremos a equidifferença 12—7=8—3, que pôde ainda ser representada do seguinte modo: 12.7:8.3, e lê-se 12 para 7 como 8 para 3. Os termos 12 e 8 são os antecedentes das duas razões, e os termos 7 e 3, os consequentes. Os termos primeiro e quarto chamam-se tambem extremos, e os termos segundo e terceiro chamam-se meios da equidifferença.

Se a equidifferença tiver a fórma 12.7:8.3, e houver necessidade no calculo de represental-a do outro modo 12—7=8—3, chama-se a esta transformação avaliação das razões.

Propriedade fundamental

227. Em toda a equidifferença a somma ãos extremos é igual á somma ãos meios.

Demonstração.—Suppondo que os quatro numeros a, b, c, d formem uma equidifferença, teremos :

a. b: c. d avaliando as razões da equidifferença, resulta

a—b=c—d

sommando a ambos os membros da igualdade a quantidade b-f-d, acha-se

a—b-fb+d=c—d+b+d

reduzindo os termos semelhantes, teremos finalmente

a-(~d=b+c

resultado que demonstra a propriedade.

228. Reciproca.—Senão a somma ãe ãous números igual â somma ãe outros ãous, os quatro números formam uma equidifferença, collocanão nos extremos as parcellas ãe uma somma e nos meios as parcellas ãa outra somma.

Demonstração.—Suppondo a+d=b+c.

Subtrahindo de ambos os membros d'essa igualdade a quantidade b-J-d, temos

a+d—b—d=b+c—b—d reduzindo os termos semelhantes, acha-se

a—b=c—d

ou

a. b: c. d

resultado que demonstra a proposição. 229. CONSEQUÊNCIAS DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

1.» Conseqcencia.— Uma equidifferença não se altera,sommanãb ou subtrahhião a ambos os antecedentes, a ambos os consequentes ou a ambos os termos âc uma mesma razão um mesmo numero. Porque essas mudanças dos termos da equidifferença não alteram a propriedade : a somma ãos extremos é igual á somma ãos meios.

2." Consequência.—Muãanão os logares ãos meios, passando os extremos para os logares dos meios e os meios para os logares ãe extremos, e finalmente mudando a collocação ãas razões, a equidifferença, não se altera.

Porque, não soffrendo alteração alguma a propriedade : a somma ãos extremos ê igual á somma dos meios, não deixa de existir a equidifferença.

A primeira transformação chama-se alternar; a segunda,inverter; e a terceira, transpôr.

3.® Consequência.—Senão um ãos termos ãe uma equidifferença ãesconhecião, ê sempre fácil determinar o seu valor. Se fôr meio, subtrahe-se o meio conhecido ãa somma dos extremos; e se fôr extremo, subtrahe-se o extremo conhecido ãa somma dos meios.

Assim, sendo a. b: x. c.

Applicando á equidifferença a propriedade fundamental, temos b+x=a-|-c subtrahindo de ambos os membros b, resulta

xr=a -f- c — b.

O mesmo raciocínio prova que da equidifferença a. b : c . x, resulta x =. b + c — a.

Uma equidifferença tendo os meios iguaes chama-se continua.

O meio de uma equidifferença continua chama-se meio diferencial.

Em uma equidifferença continua, o ãobro ão meio ê igual á somma ãos extremos, e por consequência o meio ãifferencial ê igual & semi-somma ãos extremos.

Sendo a. x: x. b, I>a proporção

230. Proporção ê a expressão da igualdade ãe duas razões por quociente.

Assim, sendo as duas razões ~ e iguaes, ellas formam a pro-

24 18

porção ———, que se pôde ainda representar do seguinte modo: 8 6

24 : 8 :: 18 : 6,e lê-se como nas equidifferenças 24 para 8 como 18 para 6.

As denominações dos termos são as mesmas que nas equidifferenças.

A proporção tendo a fórma 24 : 8 :: 18 : 6 e havendo no calculo necessidade de represental-a do outro modo chama-se esta

transformação avaliação ãas razões.

231. Propriedade fundamental.—Em toãa a proporção o proãucto ãos extremos ê igual ao proãucto ãos meios.

a : b :: C : d

»

avaliando as razões da proporção, acha-se

a _ c

multiplicando ambos os membros da igualdade por bd, temos

? fl

abd_bcd

17 — ~d~

ou ainda

ad = bc i

resultado que demonstra a propriedade

232. Reciproca.—Senão o proãucto ãe ãous números igual ao proãucto de outros ãous, os quatro números formam uma propor*1 o, collocanão nos extremos os factores ãe um proãucto e nos meios os factores ão outro producto. Demonstração.—Suppondo ad=bc.

Dividindo ambos os membros d'essa igualdade por bd, temos ad _ bc

simplificando, vem

a _ c

~b~ "d"

ou ainda

a : b : : c : d resultado que demonstra a proposição.

233. Consequências da propriedade fundamental.

1® Consequência.— Uma proporção não se altera multiplicando ou ãiviãinão os ãous antecedentes, os ãous consequentes, ou os ãous termos de uma razão por um mesmo numero.

Porque, mudando d'essa fórma os termos da proporção, ella não soffre alteração alguma, pois o producto dos extremos continua a ser igual ao producto dos meios.

2® Consequência.—Muãanão os logares ãos meios, passanão os extremos para os logares ãos meios e os meioS para os logares ãos extremos, ou finalmente muãanão a collocação ãas razões, a proporção não se altera.

Porque, continuando o producto dos extremos a ser igual ao producto dos meios, não deixa de existir proporção.

A primeira transformação chama-se alternar; a segunda, inverter; e a terceira, transpor.

3® Consequência.—Senão desconhecido um ãos termos ãe uma proporção, é sempre possível ãeterminar o seu valor. Se fôr extremo, ãivi-ãe-se o proãucto ãos meios pelo extremo conhecião, e se fôr meio, ãiviãe-se o proãucto ãos extremos pelo meio conhecião. Assim, sendo a : b :: c : x.

Applicando á proporção a propriedade fundamental, temos

ax=be

dividindo ambos os membros da igualdade por a, resulta

bc

x = — a

O mesmo raciocínio prova que da proporção a : b :: x : c, resulta

ac X—b"

Uma proporção tendo os meios iguaes chama-se continua. O meio de uma proporção continua chama-se meio proporcional. Em uma proporção continua, o quaãraão ão meio é igual ao proãucto ãos extremos, e, por consequência, o meio proporcional é igual á » raiz quaãraãa ão proãucto ãos extremos.

Sendo a : x:: x : b, x =J//

Propriedades das proporções

234. 1." Propriedade.—Em toãa a proporção, a somma ou differença ãos ãous primeiros termos está para o segunão como a somma ou differença ãos ãous últimos está para o quarto.

Suppondo a : b :: c : d. Avaliando as razões, temos

a _c

T~"T Sommando ou subtraindo a ambos os membros da igualdade a unidade, vem

a , c ,

—±1=—■-4-1 b d-

on

ou finalmente

a±b_c±d

adbb : b :: c±d : d

235. Coroi.lario.—Em toda a proporção, a somma ou differença ãos dous primeiros termos está para o primeiro, como a somma ou differença dos ãous ultimos está para o terceiro.

Sendo a: b :: c : d.

Applicando á proporção a primeira propriedade, acha-se a±b : b :: c±d : d alternando a ultima proporção e também a primeira, resulta

a±b : c±d :: b : d a : c :: b : d

sendo as segundas razões iguaes, as primeiras também são, e portanto

a±b : c±d :: a : c alternando o resultado, teremos finalmente

a±b : a :: C±d : C

236. 2? Propriedade.—Em toda a proporção, a somma ou differença ãos antecedentes está para a somma ou differença ãos consequentes como qualquer antecedente para o seu consequente.

Seja a proporção: a : b :: c : d. Alternando-a, temos

a : c : : b : d. applicando ao resultado a primeira propriedade, acha-se

a±c : c : : b±d : d,

alternando a ultima proporção, resulta

a±c : b±d : d : : c : d.

237. 1? Corollario.—Em ioda a proporção, a somma ãos antecedentes está para a sua ãifferença, como a somma ãos consequentes para o sua ãifferença.

Seja a proporção a : b : : c : d. Applicando á proporção a segunda propriedade, temos a±c : b±d e : d separando as duas proporções, acha-se

a+c : b+d : : c : d a—c : b—d : : c : d sendo as segundas razões iguaes, segue-se que

a+c : b-j-d : : a—c : b—d alternando a ultima proporção, resulta

a+c : a—c : : b+d : b—d.

238. 2? Corollario.—Em uma serie ãe razões por quociente iguaes, a somma âe alguns ou ãe todos os antecedentes está para a somma ãe alguns ou ãe todos os consequentes, assim como qualquer antecedente está para o seu consequente.

Seja a serie A : a :: B : b : : C : c : : D : d : : E : e : : etc. Considerando as duas primeiras razões, resulta a proporção A : a : : B : b

applicando a essa proporção a primeira parte da segunda propriedade, vem

A+B : a+b : : B : b

Vianna — Arithmetica 13

  • substituindo na ultima proporção em logar de B : b a razão C : c acha-se

A+JB : a+b : : C : c

applicando na ultima proporção a primeira parte da segunda propriedade, temos

A+B+C : a+b+c : : C : c

substituindo em logar de C : c a razão D : d, teremos

A+B+C : a+b+c : : D : d

applicando ao resultado a segunda propriedade, vem

A+B+C+D : a+b+c+d : : D : d

substituindo na ultima proporção a razão D : d pela razão E : e, resulta

A+B+C+D : a+b+c+d : : E : e

e assim continuando se consegue demonstrar a propriedade para um numero qualquer de razões.

239. 3? Propriedade. — Multiplicando ordenadamente os termos de duas ou mais proporções, os productos formarão ainda uma proporção.

Sejam as proporções

a : b:: o : d e : f :: g : h 1 :m :: n : o

Avaliando as razões nas tres proporções, acha-se

a o ~b " d~

L—JL t h

.1 — !L

m o

multiplicando as tres igualdades ordenadamente, temos ou

ael cgn bfm dho

on, finalmente

ael : bfm :: cgn : dho

240. C0R0LLAR10. — Quatro números formando proporção, as potencias do mesmo grão d'esses quatro números também formam proporção.

Seja a proporção a : b : : c : d

Considerando m proporções como a proporção dada e multipli eando ordenadamente os termos d'essas m proporções, resulta

a™ : bm : : cm : d™.

241. 2? Corollario.—Quatro números formando proporção, as raizes ão mesmo gráo d'esses quatro num,eros também formam.

Seja a proporção a : b : : c : d.

Avaliando as razões da proporção, acha-se

b ~ d

extraindo as raizes do gráo m de ambos os membros da igualdade, temos

m m

ou

m m

i/T_l/T

m m

j/~b 1 i/~á

on ainda

mm mm

t/T" : V~~b •• l/T: i/~ Regra de tres

242. Duas grandezas variando ao mesmo tempo, pôde acontecer .que uma d'ellas tornando-se maior ou menor um certo numero de vezes, a outra se torne o mesmo numero de vezes maior ou menor ; ou tornando-se uma d'ellas maior ou menor um certo numero de vezes, a outra se torne o mesmo numero de vç^es menor ou maior.

Na primeira hypothese a relação entre dous valor es quaesquer dados á primeira grandeza, sendo igual á relação dos valores correspondentes da segunda, ellas variam na mesma relação ou são directamente proporcionaes. Assim, o preço de uma peça de fazenda varia com o numero de metros que ella contém. Se o numero de metros torna-se duas, tres, quatro, etc., vezes maior ou menor, o preço será duas, tres, quatro, etc., vezes maior ou menor, e portanto o preço da peça de fazenda é directamente proporcional ao numero de metros.

Na segunda hypothese a relação entre deus valores, quaesquer dados á primeira grandeza, sendo igual á relação inversa dos valores correspondentes da segunda, as duas grandezas variam na razão inversa ou são inversamente proporcionaes. Assim, o tempo necessário para fazer uma certa obra está na razão inversa do numero de operários.

Uma grandeza, sendo dependente de muitas outras, é directamente proporcional a cada uma d'ellas, quando fazendo variar sómeníe uma e conservando os valores de todas as outras, a grandeza de que se trata fôr proporcional áquella que se fizer variar. Assim, o peso de uma . barra de ferro depende de seu comprimento, de sua largura e de sua espessura. Suppondo a largura e espessura constantes, fazendo variar só-mente o comprimento, o peso serápropoicional a esse comprimento; se o comprimento e a espessura forem constantes, o peso é proporcional á largura; e se, finalmente, o comprimento e a largura forem constantes, o peso é proporcional á espessura. O peso de uma barra de ferro é, por consequência, proporcional ao comprimento, largura e espessura, suppondo que a natureza da barra seja sempre a mesma.

Uma grandeza pôde ser ao mesmo tempo directamente proporcional a certas grandezas e inversamente proporcional a outras. Assim, o numero de operários necessários parafazer uma certa obra depende da quantidade da obra, do numero de dias em que ella deve ser feita e do numero de horas de trabalho em cada dia. Se o numero de dias em que a obra deve ser feita e o numero de horas de trabalho não mudarem, o numero de operários é directamente proporcional á quantidade da obra ; se a quantidade da obra e o numero de horas de trabalho em cada dia 'forem con stantes, o numero de operários é inversamente proporcional ao numero de dias de trabalho; se, finalmente, a quantidade da obra e o numero de dias de trabalho não mudarem, o numero de operários é inversamente proporcional ao numero de horas de trabalho em cada dia. O numero de operários é, por consequência, directamente proporcional á quantidade da obra e inversamente proporcional ao numero de dias em que ella deve ser feita e ao numero de horas de trabalho em cada dia.

243. Conhecido o valor numérico de uma grandeza, assim como também os valores de outras ás quaes a primeira ê directa ou inversamente proporcional, achar o valor que toma a primeira quando as outras adquirem valores determinados, ê o fim da regra de tres.

Toda questão de regra de tres reduz-se a determinar o quarto termo de uma proporção, sendo conhecidos os outros tres.

Os tres termos conhecidos podem ser dados immediatamente pelo enunciado da questão, ou resultar da multiplicação de duas ou mais proporções ordenadamente.

Na primeira hypothese a regra de tres se diz simples, e na segunda se diz composta.

Regra de tres simples

t

244. Na regra de tres simples, dos tres termos conhecidos, os dous da mesma especie chamam-se termos principaes ; o outro termo conhecido e desconhecido, que são também da mesma especie, chamam-se

termos relativos.

Assim, na questão : Se 47 Mlogrammos de uma certa mercadoria custam 54$000, qual o preço ãe 32 Mlogrammos da mesma mercador ia t

Os termos principaes são 47 kilogrammos e 32 kilogrammos, e os termos relativos são 54$000 e a quantia correspondente a 32 kilogrammos.

Na questão: Se 23 operários gastam 25 dias para fazer uma certa obra, em quantos dias 47 operários farão a mesma obra f Os termos principaes são 23 operários e 47 operários, e os termos relativos são 25 dias e o numero de dias correspondentes a 47 operários.

Se em uma regra de tres simples, crescendo ou diminuindo um dos termos principaes, crescer ou diminuir o relativo correspondente, ella se diz directa; isto é, os termos principaes são directamente proporcionaes aos seus relativos ; se, pelo contrario, crescendo ou diminuindo um dos principaes, diminuir ou crescer o seu relativo, ella se diz inversa; isto é, os termos principaes são inversamente proporcionaes aos seus relativos.

A regra de tres simples, sendo directa: um dos principaes com o seu relativo devem occupar os logares ãe antecedentes; o outro principal e o seu relativo, os logares ãe consequentes ; ou um ãos principaes com o seu relativo formam a primeira razão, e o outro principal com o seu relativo formam, a segunda razão.

Se a regra de tres fôr inversa : um dos principaes com o seu relativo devem occupar os logares ãe extremos, o outro principal com seu relativo devem occupar os logares ãe meios ãa proporção.

Conhecendo-se a proporcionalidade entre os quatro numeros e se a relação entre elles é directa ou inversa, fica a questão reduzida a estabelecer a proporção e tirar d'ella o valor do termo desconhecido.

Consideremos alguns exemplos:

1? Exemplo.—Se 47 Icilogrammos ãe uma certa mercadoria custam S4$000, qual será o preço ãe 32 kilogrammos ãa mesma mercadoria t

Custando 47 kilogrammos de uma certa mercadoria 54$000, o preço do dobro, do triplo, do quádruplo, etc., d'esse numero de kilogrammos, será o dobro, o triplo, o quádruplo, etc., de 54$000; o preço da metade, da terça parte, da quarta parte, etc., d'esse mesmo numero de kilogrammos, será a metade, a terça parte, a quarta parte, etc., de 54$000.

A questão é uma regra de tres simples e directa. Representando por x a quantia correspondente a 32 kilogrammos, teremos

47 : 32 : : 54000 : x

d'onde

32 X 54000 1728000

= 36765— 47

47

47 2? Exemplo.—TJrna fonte fornece 400 litros d'agua em 2 horas ; quanto tempo será necessário para encher um tanque ãe 225 litros ?

Se a fonte fornece 400 litros d'agua em 2 horas, fornecerá o dohro, o triplo, o quádruplo, etc., d'esse numero de litros d'agua no dobro, no triplo, no quádruplo etc., d'esse numero de horas, e fornecerá a metade, a terça parte, a quarta parte, etc., do numero de litros d'agua na metade, na terça parte, na quarta parte, etc., d'esse numero de horas.

A questão é uma regra de tres simples e directa. Chamando x o numero de horas correspondente a 225 litros, teremos

400 : 225 : : 2 : x

d'onde

_ 225X2 _ 450_ 50 _ 1

X— 400 ~~ 400 ~ 400 ^ ~8~

3? Exemplo.—23 operários gastam 25 dias para fazer uma certa obra ; em quantos dias 47 operários farão a mesma obra, trabalhando elles sempre uniformemente 1

Se 23 operários gastam 25 dias para fazer uma certa obra, o dobro, o triplo, o quádruplo, etc., do numero de operários gastará a metade, a terça parte, a quarta parte, etc., d'esse numero de dias ; e a metade, a terça parte, a quarta parte, etc., d'esse numero de operários gastará o dobro, o triplo, o quádruplo, etc., do numero de dias.

A questão é uma regra de tres simples e inversa. Representando por x o numero de dias correspondente a 47 operários, teremos

47 : 23 : : 25 : x

d'onde

23 X 25 _ 575 _ 11 X = 47 = 47 = 12 47

4.° Exemplo. — A tripulação ãe um navio sô tem mantimentos para 19 dias, e conta com uma viagem ãe 25 dias; como se deve reduzir a ração diária ãe cada praça ?

Facilmente se reconhece que quanto maior fôr o numero de dias de viagem, tanto menor será a ração ; quanto menor fôr o numero de dias de viagem, tanto maior será a ração.

A questão é uma regra de tres simples e inversa. Suppondo ser 19 o numero de dias de viagem, a ração diaria de cada praça será 1, e chamando x a ração diaria correspondente a 25 dias de viagem, teremos

25 : 19 : : 1 : x

d'onde

19

Regra de tres composta

245. A regra de tres composta consta sempre de tantas regras de tres simples, quantas forem as condições das quaes depender o valor da incógnita.

A resolução de uma regra de tres composta consiste em exprimir por uma proporção cada uma das regras de tres simples que resultar da consideração das diversas condições.

Multiplicando depois essas diversas proporções ordenadamente, o resultado será uma proporção que resolverá o problema.

Exemplo. — 32 operários construíram èm 12 dias, trabalhando 10 horas por dia, uma muralha tendo ãe comprimento 28 metros ; quantos operários construirão em 23 dias, trabalhando 8 horas por dia uma muralha como a primeira, tendo, porém, ãe comprimento 57 metros f

O numero pedido de operários depende de tres circumstancias, a saber : do numero de dias de trabalho, do numero de horas de trabalho em cada dia, e, finalmente, do comprimento da muralha.

Fazendo variar somente o numero de dias de trabalho, a questão reduz-se á seguinte :

Se 32 operários construíram em 12 dias uma certa muralha, quantos operários construirão em 23 dias a mesma muralha ?

Nessa questão observa-se que, crescendo o numero de dias de trabalho, diminue o numero de operários, e se, pelo contrario, diminuir o numero de dias de trabalho, cresce o numero de operários.

É uma regra de tres simples e inversa. Chamando x o numero de operários para construir a obra em 23 dias, teremos :

23 : 32 :: 12 : x (a) Fazendo variar o numero de horas de trabalho em cada dia, o resultado será a seguinte regra de tres :

Se x operários fazem em um certo numero ãe ãias (23) uma certa obra, trabalhanão 10 horas por ãia, quantos operários farão a mesma obra no mesmo numero ãe ãias, trabalhanão, porém, 8 horas por ãia 1

Crescendo o numero de horas de trabalho, diminue o numero de operários ; diminuindo o numero de horas de trabalho, cresce o numero de operários. A questão é uma regia de tres simples e inversa.

Representando por x' o numero de operários para fazer a obra em 23 dias, trabalhando 8 horas por dia, teremos

Fazendo, finalmente, variar o numero de metros, a questão reduz-se á seguinte:

Se x operários fazem em um certo numero ãe ãias (23), trabalhando um certo numero ãe horas por ãia (8), uma obra ãe 28 metros de comprimento, quantos operários farão no mesmo numero de dias, trabalhando o mesmo numero ãe horas por dia, uma obra ãe 57 metros ãe comprimento ?

Chamando x" esse numero de operários, e notando-se que crescendo o numero de metros cresce o numero de operários, e diminuindo o numero de metros diminue o numero de operários, se reconhece ser a questão uma regra de tres simples e directa, e portanto

Multiplicando ordenadamente as tres proporções (a, b, c), temos

8 : 10 : : x : x'

(b)

28 : 57 :: x' : x!

(c)

23X8X28 : 32X10X5? :: 12 xx' : xx'x"

dividindo os dous termos da segunda razão por xx', acha-se KEethodo de redacção A nnidade

246. Os problemas de regras de tres podem ser resolvidos sem o auxilio das proporções, por um processo mais simples, conhecido por

methoão ãe reducção á unidade. No primeiro problema:

47 kilogrammos de certa mercadoria custando............. 54000

1 kilogrammo da mesma mercadoria custa................. 54000

47

32 kilogrammos da mesma mercadoria custam.......... 54000X32

47

No segundo problema:

A fonte fornece 400 litros d'agua em............. 2 horas

fornecerá um litro d'agua em.........................JL da hora

400

fornecerá 225 litros d'ag ua em................... 2X225 i10va.

400

No terceiro problema :

23 operários fazendo a obra em .... \........ 25 dias

1 operário fará a obra em.................. 25X23 dias

25X23

47 operários farão a obra em................ ——— do dia

No quarto problema:

Se o numero de dias de viagem fôr 19, a ração é......... 1

Sendo 1 o numero de dias de viagem, a ração é......... 19

19

Sendo 25 o numero de dias de viagem, a ração é......... ■—

25

No problema de regra de tres composta :

Suppondo o numero de horas de trabalho o mesmo (10 horas), e também o mesmo numero de metros (28), a questão reduz-se á seguinte:

32 operários fazem em 12 ãias, trabalhando um certo numero ãe horas (10) por ãia, uma certa obra (28 metros) ; quantos operários farão em 23 ãias, trabalhando o mesmo numero de horas por ãia, a mesma obra 1 Se para fazer a obra em 12 dias o numero de operários é 32, para fazer a obra em um dia o numero de operários será 32X12

32 X 12

e para fazer a obra em 23 dias o numero de operários será ———.

Fazendo variar somente o numero das horas de trabalho, a

questão reduz-se á seguinte :

32 X 12

——— operários fazem uma certa obra (28 metros) em um certo numero

«O

ãe ãias (23), trábcãhanão 10 horas por ãia ; quantos operários farão o mesma obra no mesmo numero ãe ãias, trabalhanão, porém, 8 horas por ãia ?

Se trabalhando 10 horas por dia o numero dos operarioí trabalhando unia hora por dia ,o numero de operários será

e trabalhando 8 horas por dia o numero de operários será

■32 X 12

Se trabalhando 10 horas por dia o numero dos operários é ———

«o

32X^2X10 23

32X1^X10 23X8

Fazendo variar o numero de metros, fica a questão reduzida á seguinte:

33X12X10

—- — operários fazem uma obra ãe 28 metros ãe comprimento em um

«õX®

certo numero ãe ãias (23), trabalhando um certo numero ãe horas (8) por ãia ; quantos operários farão urna obra ãe 57 metros ãe comprimento no mesmo numero ãe ãias, trabalhanão o mesmo numero ãe horas por ãia f Se para fazer uma obra de 28 metros o numero de operários é

32V13X10

—————, para fazer uma obra de um metro de comprimento o numero

23X8 '

, . . 32X12X10 „ ^

de operários sera 23y8X2g- e para fazer uma obra de 57 metros de com-

, , 32X12X-0X57

primento o numero de operários sera —22x8~x°tí—

Regra conjuncta

247. O fim ãa regra conjuncta ê determinar a relação entre ãous números quaesquer, sendo conhecidas as relações ã'esses números com outros determinados.

Conhecendo-se, por exemplo, as relações entre os números A e B, B e C, C e D, é sempre possivel determinar a relação entre o primeiro numero A e o ultimo D. Supponhamos que se tenha

A : B : : 4 : 5 B : C : : 6 : 7 C : D : : 8 : 9

Multiplicando ordenadamente os termos das tres proporções, acha-se

AXBXC : BXCXD : : 4X6X8 : 5X7X9 dividindo os dous termos da primeira razão por BXC, resulta A : D : : 4X6X8 : 5X7X9

A regra conjuncta é uma regra de tres composta, na qual os consequentes das diversas razões são da mesma especie que os antecedentes das razões seguintes. Ella é empregada na conversão de moedas de dous paizes, conhecendo-se as relações d'essas moedas com as de outros paizes.

Exemplo. — Se 48 francos valem 39 soldos de Inglaterra, se 13 soldos ãe Inglaterra valem 8 florins ãa Alúmanha,se 50 florim ãa Allema-nha valem 9 ducados ãe Hamburgo ; quantos ducados ãe Hamburgo valem 250 francos f

A resolução da questão consiste em converter successivamente os 250 francos em soldos de Inglaterra, em florins da Allemanha e em ducados de Hamburgo, o que se consegue do seguinte modo :

Se 48francos valem 39 soldos ãe Inglaterra, 250 francos a quantos soldos ãe Inglaterra correspondem ?

É uma regra de tres simples e directa, e o resultado se obtém por meio da proporção

48 : 39 : : 250 : x (a)

« representa o numero de soldos de Inglaterra correspondente a 250 francos.

Se 13 soldos ãe Inglaterra valem 8 florins ãa Allemanha, 250 francos, ou x sótãos ãe Inglaterra a quantos florim ãa Allemanha correspondem f

É uma regra de tres simples e directa; o resultado se obtém por meio da proporção

13 : 8 : : x : x' (q) representa o numero de florins da Allemanlia correspondente a x soldos de Inglaterra ou 250 francos.

Be 50 florins ãa Allemanlia valem 9 ãucaãos ãe Hamburgo, 250 francos, ou x solãos ãe Inglaterra; x' florins ãa Allemanha a quantos ãucaãos ãe Hamburgo correspondem ?

É uma regra de tres simples e directa, e o resultado é obtido por meio da proporção

50 : 9 : : x' : x" (c)

éo numero de ducados de Hamburgo correspondente a x' florins da Allemanha, oua« soldos de Inglaterra, ou finalmente a 250 francos. Multiplicando ordenadamente os termos das proporções (a, b, c),

temos

48X13X50 : 39X8X9 : :'250 xx' : xx'x" dividindo os dous termos da segunda razão por xx', acha-se 48X13X50 : 39X8X9 : : 250 : x"

d'onde

_ 39X8X9X250 48X13X50

O problema precedente pôde ainda ser resolvido por um outro processo mais simples.

Representando por a, b, c, ã, os valores intrínsecos do franco, do soldo de Inglaterra, do florim da Allemanha e do ducado de Hamburgo, temos

48a = 39b 13b = 8c

50c = 9d

d.x - - 250a

multiplicando ordenadamente as quatro igualdades, acha-se |

48X13X50 abcdx = 39X8X9X250 abcd dividindo ambos os membros da ultima igualdade por abcd, resulta

48X13X50X = 39X8X9X250

d'onde

39X8X9X250 48X13X50 Regra de juros *

248. A regra ãe juros tem por fim determinar o rendimento pro-

ãuzião por uma certa quantia no fim ãe um certo tempo e segundo uma certa taxa.

Taxa ãe juros è o rendimento ãe uma quantia determinada em tempo também determinado.

A quantia determinada é 100 e o tempo determinado é um anno.

A taxa de juros deve ser considerada como unidade de juros. Em diversos paizes, como no Brasil, a taxa é convencional; em outros a lei estabelece um máximo.

A quantia posta a juros chama-se capital.

O juro de uma quantia depende do capital, da taxa e do tempo.

A regra de juros sendo um caso particular da regra de tres composta, as questões de juros são resolvidas pelo mesmo processo empregado na resolução d'essa regra.

As questões de juros podem aindá ser resolvidas por meio de fórmulas, que facilmente podemos estabelecer considerando uma questão geral de juros.

Supponhamos que se trate de achar o rendimento produzido pela quantia c, no fim de t annos, sendo â tctXci i»

Esta questão pôde ser enunciada ainda do seguinte modo :

Se a quantia 100 rende i no fim ãe um anno, a quantia c quanto renderá no fim ãe t annos ?

Considerando o tempo o mesmo (1 anno), a questão reduz-se á seguinte:

Se a quantia 100 rende i no fim ãe um certo tempo (1 anno), a quantia c quanto renderá no fim do mesmo tempo ?

É uma regra de tres simples e directa, e o resultado é conhecido pela seguinte proporção

100 : c : : i : x (a)

x representa o rendimento da quantia c em um anno.

Fazendo variar o tempo, a questão reduz-se á seguinte :

Se no fim ãe um anno uma certa quantia C rende x, quanto renderá no fim ãe t annos a mesma quantia f É uma regra de tres simples e directa, e é resolvida por meio da proporção:

1 : t : : X : x' (b)

x' representa o rendimento da quantia c no fim de t annos.

Multiplicando ordenadamente os termos das proporções (a, b),

temos

dividindo os dous termos da segunda razão por x, resulta

100 : ct: : i : x'

d'onde

cit

x " -

100

ou, representando o juro por j

._ cit

J — lõõ

Cesta fórmula deduzimos facilmente mais tres, que resolverão outras questões sobre juros, tendo ellas por fim determinar o capital, a taxa e o tempo, sendo conhecidas as outras tres quantidades.

Com effeito, multiplicando ambos os membros da igualdade

cit ____

í =--por 100, teremos

J 100 '

100 j = cit,

dividindo successivamente ambos os membros da ultima igualdade por it, por ct e por ci, teremos

100 i (2)

c=----

it

• 100 j (3)

ct

t= 100j (4)

ci

x .. , • cit 100 j -lOOj

As quatro lormulas i = - c =—i ———1-

100' it ct

e t — j resolvem as quatro questões seguintes : ci

k 1* Determinar o juro ãe uma quantia, conhecendo o cajpital, a taxa e o tempo.

Determinar o capital, conhecendo o juro, a taxa eo tempo. 3® Determinar a taxa, conhecendo o capital, o juro e o tempo. 4" Determinar o tempo, conhecendo o capital, a taxa e o juro.

A fórmula (1) pôde ser obtida mais facilmente, resolvendo a questão pelo processo de reducção á unidade.

Com effeito, se 100 rende i no fim de um anno, renderá it no fim

de t annos ; e 100 rendendo it no fim de t annos, 1 renderá —, e c ren-

100'

derá Representando esse rendimento por.?', teremos

._ cit

100

Appliquemos as fórmulas a alguns exemplos : 1? Exemplo.—Calcular o juro ão capital 3:õ28$000 durante 5 annos, senão a taxa ãe juros 6.

cit

Applicando a fórmula j = temos

= 85a8000X6X5=105840000 100 100

2? Exemplo.—Calcular o capital que, posto a juros durante 5 annos, senão a taxa 6, produz o juro ãe 1:0S8$400.

Applicando a fórmula c — acha-se

c= 1068400X100_105840000 6X5 ~~ 30

3? Exemplo.—Calculai- a taxa, sabendo que o capital 3:528$000 no fim ãe 5 annos produziu 1:058$400.

Applicando a fórmula i — — vem

cit

1058400X100_ 105840000 3528000X 5 ~ 17640000 ~ " 4.° Exemplo.—Calcular o tempo necessário para que o capitai S:S28$000, posto a juros segunão a taxa 6, produza l:058$á00.

Applicando a fórmula t -, resulta :

ci

1058400X100 105840000 _

-=5.

3528000X6 21168000

Regra de desconto

249. A regra ãe desconto tem por fim ãeterminar o abatimento que se deve fazer na importancia de uma letra, pagavel no fim ãe certo tempo, mas cujo pagamento se ãeseja realisar antes ão ãia ão vencimento.

Toda letra tem dous valores : valor nominal e valor actual.

Valor nominal ãe uma letra é a quantia que está escripta na letra, ou é o valor que ella tem no ãia ão vencimento.

Valor actual ãe uma letr a é o valor que ella tem na occasião em que é ãescontaãa.

Ha dous modos de descontar uma letra :

O ãesconto racional, denominado também ãesconto por dentro, e o desconto commercial, conhecido também pelo nome de desconto por fora. O ãesconto racional é o juro ão valor actual, e o desconto commercial è o juro ão valor nominal da letra.

Sendo o valor actual menor que o nominal, o desconto racional é menor que o desconto commercial, e por isso é o mais favoravel ao portador da letra.

Dos dous modos de descontar as letras, é o desconto commercial preferido ao racional, por ser o calculo mais expedito ; mas é precisono-tar que procedendo d'esse modo importa em confundir taxa de juros com taxa de descontos e considerar o valor nominal da letra como uma quantia emprestada.

Desconto racional

250. As questões de desconto, sendo regras de tres, resolvem-se do mesmo modo que essas regras; mas podemos, como na regra de juros, deduzir fórmulas por meio das quaes se consiga resolver todas essas questões.

Vianna — Arithmetica 14 Para estabelecer essas fórmulas, supponhamos que se trate de resolver a seguinte questão :

Determinar o valor actual ãe uma letra ãe c francos, que se vence no fim ãe t annos, senão a taxa ãe desconto i.

Se a taxa de desconto é i, a quantia 100 corresponde 110 fim de um anno a 100-j-i; no fim de dous annos deve corresponder a 100+2Í; no fim de tres annos,a 100+3Í; 110 fim de t annos corresponde a 100-(-it; e a questão fica, pois, reduzida á seguinte :

Be 100-\-it no fim ãe t annos vale actualmente 100, a quantia c que valor terá actualmente f

É uma regra de tres simples e directa, e a proporção que a resolve é

100-fit : c : : 100 : x

d'onde

100c

x=

100-fit

ou, chamando V o valor actual,

(1)

100-fit V '

Se, em logar do valor actual, se quizer achar o desconto racional, o enunciado da questão será : se pela quantia 100-\-it ãesconta-se it, pela quantia c quanto se descontará 1

E a proporção será

100-fit : c : : it : x

d'onde

_ cit

X lÕÕ+it

Ou, chamando d o desconto racional,

a= cít. (2)

100+it v

Sendo a somma do valor actual e do desconto racional igual ao valor nominal, segue-se que, conhecida uma d'essas quantidades, se pôde indirectamente conhecer a outra, e para isso basta subtrair a quantidade conhecida do valor nominal.

Assim

c_ cit _ lOOc+cit—cit _ 100c (1)

—C_ 100-j-it 100—|—it ~ 100+it

100 c _ lOOc+cit—100c_ cit (2)

~~ 100+it 100+it TÕÕ+it

Da fórmula n. 1 podemos deduzir mais tres fórmulas, que resolverão as questões seguintes :

1.a Determinar o valor nominal ãe unia letra, conhecenão o valor actual, a taxa e o tempo.

2.a Determinar a taxa, conhecenão os valores nominal e actual e

a taxa.

3.a Determinar o tempo, conhecenão os valores nominal e actual e a taxa.

Com eífeito, multiplicando por 100+it ambos os membros da

igualdade V=- ^Oc temos 6 100+it'

100V+Vit=100c

d'onde

__ ÍOQV+Vit

100

Na igualdade 100V+Vit=100c, subtraindo 100 V de ambos os membros, resulta

Vit=100c—100Y

d'onde

h

100c—100V

~~ vt

100c—100V

Vi

Da fórmula n. 2 podemos deduzir mais tres fórmulas, que resolverão as questões seguintes :

Ia Determinar o valor nominal, conhecenão o ãesconto, a taxa e o tempo.

  • 2a Determinar a taxa, conhecendo o valor nominal, o desconto e o tempo.

3a Determinar o tempo, conhecendo o valor nominal, o desconto e a taxa.

Com effeito, multiplicando por 100+it ambos os membros da

igualdade d = ———, temos 8 100+it '

100d+dit=cit

d'onde

lOOd+dit

c=—iF—

Subtraindo dit de ambos os membros da igualdade 100d+dit= = cit, vem

100d=cit—dit ou 100d=(ct—dt) i

lOOd

d'onde i=

et,—dt

A igualdade 100d=cit—dit se pôde ainda escrever 100d=(ci—di) t

d'onde t= 100d

ci—di

Consideremos dous exemplos para applicar as duas fórmulas principaes.

1.° Exemplo :

Achar o valor actual ãe uma letra ãe á:800$000, que se vence no fim de 4 annos, sendo a taxa ãe desconto 5.

Applicando a fórmula V = ) ■■ acha-se

_LUU—p- ltt

4800000X100 480000000 48000000

100+5X4 = —líõ—= ~ 12 =4000000

2.° Exemplo :

Achar o desconto racional que se deve fazer em uma letra de 4:800$000 pagavél no fim ãe d annos, senão a taxa de desconto 5.

cit

Applicando a fórmula d — , . > temos

100+it

__4800000X5X4_ 4800000 X^O_9600Q000—80Q000

100+5X4 ~~ 120 _ 120 ~~ Desconto commercial

251. Sendo o desconto commercial o juro do valor nominal da letra, e esse valor sendo uma quantia conhecida, a questão se reduz a determinar o juro de uma quantia, e então o desconto commercial é obtido por meio da fórmula empregada para calcular o juro de uma quantia.

Chamando D o desconto commercial, temos

ta cit

Subtrahindo do valor nominal da letra o desconto, teremos o valor actual.

Chamando v esse valor, acha-se

___cit_100c—cit

v—c 1ÕÕ 1ÕÕ

cit

Da fórmula D = — deduzem-se as seguintes 100

100 D C==-it-

100 D



ct 100 D

ci

Da fórmula v ——, deduzem-se as fórmulas

100

c_ lOOv

100—it

. 100c—lOOv

í ~-t—

ct

_ íooc—íoov

L - -~--—-

ci

Terminaremos o estudo da regra de desconto, provando que a differença dos dous descontos é igual ao juro do desconto por dentro. Com effeito, a differença dos dous descontos é

cit _ cit __ 100cit+ci2t2 lOOcit

100 ~ 100+it ~ ÍOOOO+lOÕit ~ lOOOO+lOOit

_100cit+ci2t2—lOOcit_ ci2t2

"— lôÕOO+lOOit ~~10000+100it

e o juro do desconto por dentro se obtém substituindo na fórmula

cit *

=f—, em logar de c, de i e de t os seus valores; fazendo o que

acha-se:

cit . ci2t2

.__100+it"^ ^_100+it_ ci2t2

J ~~ ÍÕÕ 100 ~10000+100it

Os dons resultados demonstram a proposição.

Kegra de caiubio

252. A regra de cambio tem por fim facilitar transacções com-merciaes entre duas cidades ãe um mesmo paiz, ou de paizes diversos sobre as moedas e os seus títulos correspondentes.

Essas transacções são sempre realisadas entre certos individuos que devem fazer pagamentos, e outros que têm de efectuar cobranças em diversas cidades, por meio de uma letra de cambio, ou de uma ordem que os credores enviam aos seus devedores para estes pagarem o valor da letra ao respectivo portador.

Assim, se um individuo A, do Eio de Janeiro, fôr devedor de 3:000$000 a um individuo B, do Eio Grande do Sul, e se um individuo C, do Eio de Janeiro, fôr credor de um individuo D, do Eio Grande do Sul, de igual quantia: A compra a C uma letra de cambio sobre o Eio Grande do Sul, isto é, uma ordem dirigida por C a D para pagar a A ou á sua ordem a quantia de 3:000$000.-

A passa essa letra a B, que no dia do vencimento recebe de D a seu valor; ficando d'esse modo pagas as dividas de A do Eio de Janeiro, para com B, do Eio Grande do Sul, e a de D, do Eio Grande do Sul, para com C, do Eio de Janeiro, sem os riscos e despezas que sempre ha com o movimento de dinheiro de uma para outra cidade. Se a transacção é realisada entre duas cidades de um mesmo paiz, o cambio denomina-se interno; e se é realisada entre duas cidades de paizes differentes, o cambio denomina-se externo.

Saecar ou vender uma letra de cambio é trocar essa letra pelo correspondente em moeda. A letra de cambio em relação ao vendedor chama-se saque ; e em relação ao comprador, remessa.

O preço que em.uma cidade tem qualquer quantia pagavel em outra denomina-se cambio.

O cambio do Rio de Janeiro sobre o Rio Grande do Sul é o valor de 1000 réis pagaveis no Rio Grande do Sul. O cambio de Londres sobre Paris é o valor do franco pagavel em Paris, e o cambio de Paris sobre Londres é o valor da libra esterlina pagavel em Londres.

O cambio compõe-se de dous termos:

O primeiro é o numero 100, termo fixo que corresponde ao valor da letra de cambio, e chama-se o certo; o segundo é variavel, corresponde ao valor da letra, e chama-se incerto.

O cambio está ao par quando se dá em moeda nacional um valor igual ao valor que em moeda estrangeira deve receber o portador da letra no dia do seu vencimento.

O cambio se diz abaixo ou acima do par quando se dér em moeda nacional um valor menor ou maior que o valor da letra em moeda estrangeira.

As questões de cambio são directas ou indirectas. São directas, quando se realisam entre duas praças ; indirectas, quando entram na combinação uma ou mais praças intermediarias, sejam de um paiz, sejam de paizes differentes.

Questão de cambio interno

253. Ia Questão :

Senão o cambio sobre o Bio Grande ão Sul a 6 por cento contra o Bio ãe Janeiro, quanto custará uma letra ãe cambio para pagar 2:000$000 no Bio Grande ão Sul ?

Se o preço de uma letra de 100 é 11)6, o preço de uma letra de 2:000$000 será determinado pela proporção

100 : 106 : : 2000000 : X d'onde

106V2000000 212000000 X =-— = — =2120000

2a Questão :

Tenão-se comprado uma letra ãe cambio por 2:120$000, senão o cambio a 6 por cento a favor ãa letra, qual é o valor ãa letra f

Se 106 é o preço de uma letra de 100, o valor da letra que custou 2:120$000 será conhecido pelaj>roporção

106 : 100 : : 2120000 : x

d'onde

2120000X100 212000000 x =-106 = 1Õ6~ =2000000

3.a Questão:

Comprou-se uma letra ãe 2:000$000 por 2:120$000. Qual foi o preço ão cambio ?

Se o preço de uma letra de 2:000$0000 é 2:120$000, o preço de uma letra de 100 é dado pela proporção:

2000000 : 2120000 : : 100 : x

d'onde

_ 2120000X100 _ 212000000 _ X— 2000000 — 2000000 ~~106

O preço do cambio é 106—100=6.

Questões de canil»! o externo

254. Nas questões de cambio externo trata-se sempre de saber em moeda estrangeira o valor correspondente a uma quantia em moeda nacional, ou de determinar em moeda nacional o valor correspondente a uma quantia em moeda estrangeira.

1." Questão :

Um negociante ãe Paris deve a um outro ão Bio ãe Janeiro a quantia ãe 9:000$000. Querendo o negociante ão Bio ãe Janeiro receber essa divida, sacca uma letra ãe cambio sobre o seu devedor. Qual ê em moeda franceza o valor ãa letna, sendo 450 réis o valor ão franco ?

Se 450 réis é o valor de.......... 1 franco

O valor de 1 real é.............. . do franco _ , , „ 9000000

E o valor de 9000000 é —fr. = 20.000 francos.

450

2.» Questão :

Um negociante ãe Paris sacca uma letra ãe 20000 francos contra um negociante ão Bio ãe Janeiro. Qual o valor ãa letra em moeãa nacional, suppondo que o valor ão franco seja 450 réis t

Se 1 franco vale................. 450 réis

-a

20000 francos valem.............. 20000X450 = 9000000.

3.» Questão :

Achar o valor ãe 1 £ estanão o cambio a 11.

Resolve-se por uma proporção : se, com 1$G00, podemos obter 11 dinheiros, com quantos mil réis obteremos 1 libra, que é igual a 240 dinheiros :

27 : 1000 : : 240 : x

240X1000 x =-^-= 21$818

Na pratica escusa se multiplicar por 1000, comtanto que se opere a divisão de 240 pela taxa do cambio, considerando a parte decimal do quociente como fracção do mil réis, substituindo portanto a virgula

- m . 240

pelo $. Teríamos então: x = —- = 21,818=21$818.

As questões de cambio indirecto resolvem-se sempre por meio .de regras conjunctas.

Exemplos :

Se o cambio entre Lisboa e Maãriã ê ãe 935 réis por 1 peso, entre Madrid e Paris è ãe um peso por 5 francos, entre Paris e Lonãres ê ãe 25 francos por 1 libra esterlina, e entre Lonãres e Génova ê ãe 1 libra esterlina por 26 liras, quanto se deve remetter ãe Lisboa para pagar em Génova 6000 liras t

935 a = b b = 5c 25 c = d d = 26 e 6000 e = ax Multiplicando ordenadamente as igualdades precedentes, resulta 935X25X6000 abcde = 5X26 abcdex

ou

935 X 25X6000 = 5X26 x

d'onde

935X25X6000 935X5X6000 28050000 X = 5X26 =----26-= 26 =1078846"

Regra de divisão proporcional e de sociedade

255. A regra ãe ãivisão proporcional tem por fim ãiviãir um numero em partes proporcionaes a outros numeros ãaãos.

Esta regra tem muitas applicações; é nella que se funda a divisão dos impostos, a distribuição dos dividendos, a repartição dos lucros ou perdas entre duas ou mais pessoas associadas em um negocio qualquer.

Seja, em geral, um numero qualquer A para dividir em partes proporcionaes aos numeros m, n, p, etc.

Representando por x, x\ etc., as partes do numero A, proporcionaes aos numeros m, n, p, etc., teremos

m : X : : n : x' : : p : x" : : etc.

Applicando á serie o segundo corollario da segunda propriedade das proporções (238), acba-se

Im : x n : x' p : x"

substituindo x+x'-j-x"4-& pelo seu valor A, resulta

Im : x n : x' p : x"

d'onde

Am

x =-

m+n-(-p+&

m+n+p+& Ap

m-j-n+p+& Traduzindo em linguagem ordinaria esses diversos resultados, se obtém a seguinte

Regra.—Para dividir um numero em partes proporcionaes a certos números dados, diviãe-se pela somma ã'estes o numero que se trata ãe dividir, e multiplica-se o quociente separadamente por esses números.

256. A regra de divisão proporcional toma o nome de regra de sociedade, tratando-se de dividir, por duas ou mais pessoas associadas em certo negocio, o lucro ou perda que resulta d'esse negocio.

Devendo-se attender na regra de sociedade ás quantias com que entram os socios, e aos tempos durante os quaes elles estão na sociedade, ha quatro hypotheses a considerar :

l'.1 Os socios entram com quantias iguaes e estão na sociedade durante o mesmo tempo.

2a. Os socios entram com quantias differentes e estão na socieãaãe durante o mesmo tempo.

3? Os socios estão na socieãaãe ãurante tempos differentes e entram com quantias iguaes.

4? Os socios entram com quantias differentes e estão na sociedade durante tempos differentes.

Na primeira hypothese, ãeve-se ãiviãir igualmente pelos socios o lucro ou aperãa total.

Na segunda hypothese, ãeve-se ãiviãir o lucro ou perda total em partes proporcionaes ás entradas ãos socios.

Na terceira hypothese, ãeve-se ãiviãir o lucro ou perda total em partes proporcionaes aos tempos durante os quaes os socios estão na socieãaãe.

Na quarta hypothese, ãeve-se dividir o lucro ou perda total em partes proporcionaes aos productos ãas entradas pelos tempos.

A divisão do lucro ou perda total nas tres primeiras hypotheses é razoavel e de justiça, sendo assim considerada por todos os negociantes.

Na quarta hypothese, a divisão do lucro ou perda total em partes proporcionaes aos productos das entradas pelos tempos é uma consequência da segunda e terceira hypotheses.

Com effeito, sejam N e N' dous negociantes, e e e' as suas entradas, t e f' os tempos durante os quaes elles estiveram na sociedade ; \

e imagine-se rim terceiro negociante N" entrando para a sociedade com a mesma quantia e com que entrou o primeiro e estando nella durante o mesmo tempo í' que esteve o segundo.

Comparando-se as condições entre o primeiro negociante e o terceiro e entre este e o segundo, e chamando l, V, l" os lucros ou perdas d'esses negociantes, resulta

1 : 1" : : t : t' 1" : 1' : : e : e' multiplicando ordenadamente os termos das duas proporções, temos

11" : 1» 1" : : : et : e' t' dividindo os dous termos da primeira razão por 1", acha-se

1 : 1' : : et : e' t'

Resultado que demonstra a proposição.

Nas tres primeiras liypotheses, a regra de sociedade se diz simples, e na quarta se diz composta.

A regra de sociedade, quer seja simples, quer seja composta, re-duzindo-se a dividir um numero em partes proporcionaes a certos numeros dados, na resolução das questões de sociedade podemos applicar as fórmulas já estabelecidas, representando nessas fórmulas A o lucro ou perda total, m, n, p, etc., entradas, tempos ou productos de entradas pelos tempos.

Estabelecidas estas noções, consideremos alguns exemplos :

1? Exemplo :

Tres pessoas associaram-se em um certo negocio, entrando a primeira com 4:000$000, a segunda com 5:000$000 e a terceira com 7:000$000. No fim ãe tres annos houve um lucro ãe 8:000$000, que se truta ãe dividir pelos sodos.

Chamando x, x' e x" os lucros dos socios, e applicando as fórmulas, teremos:

_ 8000000X4000000 _ 32000000000000 _ X ~~ 4000000+5000000+7000000 ~~ 16000000 ~~ 2000000

X' = 8000000X5000000 _ 40000000000000 =2500000

4000000+5000000+7000000 16000000

„ _ 8000000X7000000 _ 56000000000000 _ Z ~~ 4000000+5000000+7000000 ~~ 16000000 ~ 5 Regra de sociedade 221

i

2? Exemplo :

Tres pessoas assOciaram-se em um negocio, entrando com quantias iguaes, e estiveram na sociedade, o primeiro S annos, o segunão 3 annos b o terceiro 2 annos, e perderam 12:000$000.

Qual a perãa ãe cada um ãos socios f

Chamando x, x' e x" as>perdas dos socios, teremos:

12000000X5 60000000

x = --. „ , =--= 6000000

5+3+2 10

12000000X3 36000000 „„„„„„„

x =-— =-- — 3600000

5+3+2 10

x„ = 12000000X2 = 24000000 = 5+3+2 10

3? Exemplo :

Uma pessoa estabeleceu um negocio com a quantia ãe 12:500$000; cinco mezes depois associou-se uma outra com 20:000$000, e seis mezes ãepois ãa segunãa associou-se uma-terceira com 30:000$000. No fim ãe ãous annos houve um lucro ãe 40:000$000, que se trata ãe dividir pelos socios, ãevenão tocar ao primeiro 5 por cento ão lucro total, além ãa quota proporcional á quantia que empregou e ao tempo que esteve na socieãaãe.

Deduzindo do lucro total de 40:000$000 os 5 por cento ou 2:000$000, o resto 38:000$000 é a quantia a dividir pelos socios.

O primeiro socio, empregando 12500000 durante 24 mezes, deve ter o mesmo resultado que teria se empregasse 12500000X24, ou 300000000 durante um mez.

O segundo socio, empregando 20000000 durante 19 mezes, deve ter o mesmo resultado que teria se empregasse 20000000X19 ou 380000000 durante um mez.

O terceiro socio, empregando 30000000 durante 13 mezes, deve ter o mesmo resultado que teria se empregasse 30000000X13 ou 390000000 durante um mez.

Os lucros dos tres socios devem ser proporcionaes a esses tres productos.

Chamando x, x', x" os lucros dos socios, temos 38000000X30000000 1140000000

300000000+380000000+390000000 107

38000000X38000000 _ 1444000000

' 300000000-|-380000000-|-390000000 _ 107

_38000000X39000000 1482000000

300000000+380000000+390000000— ÍÕ7

10654205 =13.495327 =13.850467