Elementos de Arithmetica/Capítulo 8

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Elementos de Arithmetica
por João José Luiz Vianna


CAPITULO VIII THEORIA ELEMENTAR DAS PROGRESSÕES

Serie é uma reunião ãe numeros que crescem ou ãecrescem segundo uma lei qualquer. Exemplos : a serie dos numeros pares, a serie dos numeros impares, a serie dos numeros primos, a serie dos numeros multiplos.

Uma serie toma o nome de progressão, se a lei ãe accreseimo ou diminuição de seus termos fôr constante.

As progressões são crescentes quando os termos augmentarem, e decrescentes se os termos diminuírem successivamente.

As progressões podem ser por differença ou por quociente.

Progressões por differença

257. Progressão por differença, ê uma série ãe numeros, caãa um ãos quaes excede ou é exceãião pelo preceãente ãe um numero constante que se chama a razão da progressão.

A progressão por differença é crescente, quando cada termo excede o precedente.

Exemplo:

-f- 2. 4. 6. 8. 10. 12.14, etc.

A progressão por differença é decrescente, quando cada termo é excedido pelo precedente.

Exemplo:

60. 55. 50. 45.' 40. 35. 30, etc.

Uma progressão por differença, crescente ou decrescente, não é mais do que uma serie de razões por differença iguaes, sendo cada termo da progressão consequente de uma razão e antecedente da seguinte, exceptuando o primeiro termo, que é somente antecedente da primeira razão, e o ultimo, que é somente consequente da ultima.

Assim, a progressão : pôde ainda ser escripta:

2. 4 : 4. 6 : 6. 8 : 8. 10 : 10. 12 : 12. 14 A progressão :

-r- 60. 55. 50. 45. 40. 35. 30 pôde ser ainda escripta :

60. 55 : 55. 50 : 50. 45 : 45. 40 : 40. 35 : 35. 30 Tres termos consecutivos quaesquer de uma progressão por differença, formam sempre uma equidifferença continua.

258. A primeira questão a considerar no estudo das progressões por differença é: calcular o valor ãt um termo qualquer, conhecendo o ;primeiro termo e a razão.

Seja em geral a progressão

-r-a. b. c. d. e. f. g .li., etc. Suppondo crescente a progressão e chamando r a razão, temos : b=a+r

c=b+r=a+ r+r=a-f-2r d=c+r=a+2r+r=a+3r e—d-j-r=a-j-3r-f-r:=a-{-4r etc., etc., etc.,

Sendo o segundo termo igual ao primeiro mais a razão, o terceiro termo igual ao primeiro mais duas vezes a razão, o quarto termo igual ao primeiro mais tres vezes a razão, etc., segue-se que um termo qualquer ê sempre igual ao primeiro mais tantas vezes a razão quantos forem os termos precedentes.

Representando por l um termo qualquer, por n o numero de termos desde o primeiro até o termo l, será w—1 o numero de termos precedentes, e o valor do termo l será

l=a+(n—1) r. (1)

Se a progressão fôr decrescente, temos b=a—r

c— -r—a—- r— -i— a—2r d= :d- -r=a—2r— -r=a—3r e= :d— ■r=a—3r— -i—a—4r

etc., etc., etc., D'onde se conclue, como na hypothese precedente,

l=a—(n—1) r. (2)

Reunindo as duas fórmulas (1 e 2) por meio do signal ±, resulta:

l=a±(n—1) r.

É por meio d'esta fórmula que se obtém o valor de um termo qualquer de uma progressão por differença conhecendo-se o primeiro termo da progressão, a razão e o numero de termos, desde o primeiro até aquelle que se determinar.

Se, por exemplo, se quizer determinar o decimo quinto termo da progressão crescente~-2.6.10..., será a=2,r=4,n=15, e teremos

1=2+14X4=2+56=58

Se é o decimo segundo termo da progressão decrescente -r 150. 145. 140... que se quer conhecer, teremos

1=150—11X5=150—55=95

Da fórmula l=a±(n—1) r, podemos deduzir outras, por meio das quaes se pôde determinar :

1? O valor ão primeiro termo ãe uma progressão, conhecendo o ultimo termo, a razão e o numero ãe termos.

2o. O valor ão numero ãe termos ãa progressão, conhecendo o primeiro termo, o ultimo e a razão.

3? O valor ãa razão, conhecenão o primeiro termo, o ultimo e o numero ãe termos.

Essas fórmulas são :

Para determinar o valor ão primeiro termo :

a=l—(n—1) r, a=l+(n—1) r

Para determinar o numero ãe termos :

1+r—a a+r—1

n =- n = --—

r r

Para ãeterminar a razão : D'estas fórmulas a mais importante é a ultima, porque é empregada na resolução do seguinte problema, que, pelas suas applicações, é considerado como um dos mais importantes d'esta theoria :

Inserir entre ãous termos quaesquer ãe uma progressão por ãifferença um numero qualquer ãe meios ãifferenciaes.

Antes de tratar d-'esta questão, notemos que sendo m o numero de meios que se quer inserir entre os termos ael de uma progressão, o numero de termos da progressão será m+2, e como esse numero é representado nas fórmulas por n, segue-se que m+2=n 0u m+l=:n—1, e fazendo nas ultimas fórmulas a substituição, teremos

1 — a a — 1

r =- • r =-

m + l m 4-1

Estas duas fórmulas se traduzem na seguinte

Regra.—Para inserir meios ãifferenciaes entre ãous termos quaesquer ãe uma progressão por ãifferença, subtrae-se o menor ão maior e ãiviãe-se o resto pelo numero ãe meios que 'se quer inserir, augmentaão ãe uma uniãaãe. O quociente ê a razão ãa progressão.

1.° Exemplo : Inserir entre d e 32, 13 meios ãifferenciaes.

1 — a

Applicando a fórmula r = m ^; temos

_ 32 — 4_28 _ r-Í3~+i-Ti-2

A progressão será

-í- 4. 6.8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 30. 32.

2o. Exemplo : Inserir 14'meios ãifferenciaes entre 50 e 5.

a— 1

Applicando a fórmula r = , temos 50 — 5 45

r —_— — — a

14+ 15

A progressão será

-s-50. 47. 44. 41. 38. 35. 32. 29 . 26. 23 . 20. 17. 14. 11. 8. 5.

Yianna — Arithmetica 15 Propriedades

primeira propriedade

259. Tnserindo-se entre os termos consecutivos de uma progressão por differença o mesmo numero ãe meios ãifferenciaes, as progressões parciaes assim formadas constituem uma sô progressão.

Seja a progressão crescente -=- a. b. c. d. e. f. g. h. etc.

Suppondo sc o numero de meios a inserir entre a e b, b e c, c e d, etc., e chamando E, R', R", etc., as razões das diversas progressões parciaes, temos •

b — a

E =

R' =

R"=

x + 1 c — b

x + 1 d — c

x+1

Os denominadores das fracções que representam os valores das razões são evidentemente iguaes, e sendo os numeradores d'essas fracções todos iguaes á razão da progressão dada, segue-se que as razões das progressões parciaes são todas iguaes entre si, e como o primeiro termo de cada uma é igual ao ultimo da precedente, ellas ligam-se perfeitamente formando uma só.

Se a progressão -5- a. b. c. d. e. f. g. h. etc. fôr decrescente, os valores das razões das progressões parciaes são :

R

E' =-

x+1

b—c

x+1

R„_c—d x+1

Sendo ainda esses valores iguaes entre si, as progressões parciaes ligam-se formando ainda uma só progressão. Devemos notar que a razão da progressão que resulta da juncção das diversas progressões parciaes é o quociente da divisão da razão da progressão primitiva pelo numero de meios que inserirmos mais um.

segunda propriedade

260. Dous termos quaesquer ãe uma progressão por ãifferença e ãous que distem igualmente ã'elles, formam sempre uma equiãifferença.

Seja a progressão -f- a. b. c. d. e. f. g. b. m. o. p. q. s____

Suppondo os termos b ep e os dous e e h equidistantes d'elles, trata-se de provar que

b. e : b. p

Considerando a progressão desde l até e, e substituindo na fórmula 1—a ± (n—1) r. em logar de l o seu valor e, e èm logar de a o seu valpr b, temos

e=b ± (n—1) r (1)

Se considerarmos a progressão desde h até p, e substituirmos na mesma fórmula em logar de l o seu valor p, e em logar de a o seu valor h, teremos

p—h ± (n—1) r (2)

Subtrahindo b de ambos os membros da primeira igualdade e 7i de ambos os membros da segunda, acha-se

e—b= ± (n—1) r p—h=: ± (n—1) r Na penúltima igualdade, n representa o numero de termos desde b até e, e na ultima representa o numero de termos desde h até p, e sendo por hypothese o numero de termos entre b e e o mesmo que entre h e p, segue-se que n tem o mesmo valor nas duas igualdades.

O mesmo acontece com r, porquanto na penúltima igualdade representa a razão da progressão desde b até e, e na ultima representa a razão da progressão desde h até p, e a razão de uma progressão é um numero constante.

Sendo os segundos membros iguaes, os primeiros também são, e teremos

e—b=p—h

ou

e . b : p . h

ou, invertendo

b . e : h . p somma dos termos de dma progressão por differença

261. Tratemos presentemente de deduzir a fórmula para determinar a somma dos termos de uma progressão por differença.

Seja a progressão

a. b. c. d.....m. o. p. 1.

Consideremos uma outra progressão, tendo os mesmos termos que a primeira, porém dispostos em ordem inversa.

-r- 1. p. o. m.....d. c. b. a.

Chamando S a somma dos termos da primeira progressão, teremos

S=a+b+c+d+.....-f-m+o+p+l

S=l+p-!-o+m+.....-fd+c+b+a

Sommando as duas igualdades ordenadamente, acha-se

2 S=(a+l)+(b+p)+(c+o)+(d+m).....+

+(m+d)+(o+c)+(p+b)-F(l+a)

Sendo as parcellas que estão no segundo membro iguaes entre si por causa da propriedade precedente, podemos em logar d'essas parcellas escrever uma d'ellas multiplicada por um numero que tenha tantas unidades quantas forem as parcellas ou os termos da progressão.

Chamando n o numero de termos da progressão, resulta 2 S=(a+l)n

d'onde

(a+l) n

S = que se enuncia assim:

«

A somma ãos termos ãe uma progressão por differença i igual á semi-somma ãos termos extremos multiplicada pelo numero ãe termos.

•Querendo-se a somma de um cesto numero de termos, desde o primeiro até, por exemplo, o 12°, bastará considerar a progressão até esse termo e applicar-lhe a regra acima, fazendo l igual ao 12° termo e n = 12. 1? Exemplo :

Achar a somma dos termos na progressão :

-i- 5. 10.15. 20. 25. 30. 35. 40. 45. 50. 55.

Applicando a fórmula, acha-se

(5+55) 11 60X11 S = 3 —-^-—30X11=330

2? Exemplo :

Achar a somma dos termos na progressão -.

-f- 240. 232. 224. 216. 208. 200. 192. 184. 176.

Applicando a fórmula, temos

(240+176) 9 416X9 . „

S= — „ =—^—=208X9=1872

Progressões por quociente

262. Progressão por quociente ê uma serie ãe números,cada um ãos quaes ê igual ao preceãente multiplicado por um numero constante, que se chama razão ãa progressão.

As progressões por quociente podem ser crescentes e ãecrescentes; são crescentes quando as razões forem maiores que a unidade, e ãecrescen--tes se as razões forem menores que a unidade.

A progressão -H- 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : etc., é crescente e a razão é 2.

Aprogressão-H-480 : 240 : 120 : 60 : 30 : 15 : etc., édecrescentee

- A 1

a razao e — 2

Uma progressão por quociente não é mais do- que uma serie de razões por quociente iguaes, sendo cada termo da progressão consequente de uma razão e antecedente da razão seguinte ; exceptuando o primeiro termo que é somente antecedente da primeira razão, e o ultimo que é somente consequente da ultima.

A progressão :

-H- 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 pôde ainda ser escripta

2 : 4: : 4 : 8 : : 8 : 16 : : 16 : 32 : : 32 : 64.

A progressão :

-H- 240 : 140 : 60 : 30 : 15 : 7 4-

Á

pôde ainda ser escripta

240 : 120 : : 120 : 60 : : 60 : 30 : : 30 : 15 : : 15 : 7—

2 Tres termos consecutivos quaesquer de umaprogressão por quociente formam sempre uma proporção continua.

263. A primeira questão a considerar no estudo das progressões i\: calcular o valor ãe um termo qualquer, conhecendo o primeiro termo e a razão.

Seja em geral a progressão :

vfa : b : c : d : e : f: g : h : etc b=ar

c=br=ar.r=ar2 d=cr=ar.2r=ar3 e=dr=ar. 3r=ar4 etc. etc. etc.

Sendo o segundo termo igual ao primeiro ríiultiplicado pela razão, o terceiro termo igual ao primeiro multiplicado pela razão elevada ao expoente 2, o quarto termo igual ao primeiro multiplicado pela razão elevada ao expoente 3, etc., segue-se que : um termo qualquer ê sempre igual ao primeiro multiplicado pela razão elevada a um expoente que tem tantas unidades quantos são os teivnos precedentes.

Representando por l um termo qualquer, por n o numero de termos desde o primeiro até o termo l, será n—1 o numero de termos precedentes, e o valor do termo l será

l=a. rn 1

É esta a fórmula por meio da qual se obtém o valor de um termo qualquer de uma progressão por quociente, conbecendo-se o primeiro termo, a razão e o numero de termos, desde o primeiro até aquelle que se quer determinar

Se, por exemplo, se quer determinar o 5o termo da progressão — 2 : 6 :............ será a=2, r=3 e n=5, e teremos

Í=2X34=2X81=162

Se o termo que se quizer conhecer estiver muito afastado do primeiro, a questão fica dependendo de elevar a razão a uma potencia considerável, operação que depende de muito tempo e trabalho, mas que se simplifica depois de conhecidas as propriedades dos logarithmos, como veremos adiante. Da fórmula l=ar "-1, podemos deduzir outras por meio das quaes se possa determinar :

1? O valor ão primeiro termo ãe uma progressão por quociente, conhecendo-se o vitimo, a razão e o numero ãe termos.

2? O valor ãa razão, conhecenão-se o primeiro termo, o ultimo e o numero ãe termos.

3? O valor ão numero de termos ãa progressão, conhecenão-se o primeiro termo, o ultimo e a razão.

A fórmula para resolver a primeira questão é

A fórmula para resolver a terceira questão só pôde ser deduzida depois de estudadas as propriedades dos logaritlimos.

D'estas tres fórmulas a mais importante é a que tem por fim determinar o valor da razão, conhecendo-se o primeiro termo, o ultimo e o numero de termos da progressão, porque é por meio d'esta questão que se consegue inserir entre ãous termos quaesquer ãe uma progressão por quociente um numero qualquer ãe meios proporcionaes.

Nas progressões por differença vimos que, sendo m o numero de meios a inserir, o numero de termos da progressão era igual a m-\-2, e que se podia substituir nas fórmulas m-\-l em logar de n—1.

I

a — rn—í

A fórmula para resolver a segunda questão é

n—i

n—1

Feita a substituição na*fórmula r =

., resulta

m+l p

Esta fórmula pôde ser traduzida na seguinte

Regra. — Para inserir meios proporcionaes entre ãous numeros ãaãos, ãiviãe-se o segundo numero pelo primeiro, e ão quociente se extrae a raie ão grão designado pelo numero ãe meios augmentado ãe uma uniãaãe. A raiz assim achada ê a razão ãa progressão.

As applicações d'esta regra dependem quasi sempre de muito tempo e trabalho, por ser necessário extrair a raiz de um gráo superior ao terceiro, operação esta que é simplificada depois de conhecidas as propriedades dos logarithmos.

Póde-se algfumas vezes resolver a questão fazendo-a depender de uma serie de raizes quadradas, inserindo os termos um a um.

Exemplo:

Inserir entre ae i sete meios proporcionaes.

Inserindo entre os dous numeros um termo b, acha-se:

ff a : b : l

i

Inserindo entre a e b um termo c, e entre b e l um termo d,

temos

 : a : c : b : d : l

Inserindo entre a e c um termo e, entre b e l um termo /, entr e b e ã um termo g, e entre dei um termo h, resulta a progressão

a:e:c:f:b:g:d:h:J e a questão fica resolvida.

Propriedades

264. Primeira propriedade:

Inserinão-se entre toãos os termos consecutivos ãe uma progressão por quociente o mesmo numero ãe meios proporcionais, as progressões parciaes assim formadas constituem uma s6 progressão.

Seja a progressão -H-a:b:c:d:e:f:g:h: etc. Suppondo que o numero de meios a inserir entre a e 6, b e c, c e ã, etc., seja x, e chamando E, R', R", etc., as razões das diversas progressões parciaes, temos

x+l

x+l

x+l __

  • 't|/4

As quantidades submettidas aos radicaes, sendo iguaes á razão •da progressão dada, são iguaes entre si, e portanto as raizes do mesmo gráo d'essas quantidades são também iguaes entre si. Sendo as razões das diversas progressões parciaes iguaes entre si e sendo o primeiro termo de cada uma d'essas progressões igual ao ultimo da progressão precedente, ellas ligam-se formando uma sõ progressão.

Devemos notar que a razão da progressão final é igual á raiz do gráo marcado pelo numero de meios que inserimos mais um da. razão da progressão primitiva:

265. Segunda propriedade :

Dous termos quaesquer ãe uma progressão por quociente e ãous que distem igualmente ã'elles, formam sempre umapropòrção.

Seja a progressão -H-a:b:C:d:e:f:g: h:m:0:p: <1 : s :...

Suppondo os temos b e q e os dous- f e h equidistantes d'elles, trata-se de provar que

b : f : : h : q

Considerando a progressão desde b até / e substituindo na fórmula fc=arn—J> em logar de l seu valor/, e em logar de a o seu valor ò, teremos

f—brn-l

Se considerarmos a progressão desde h até q e substituirmos na mesma fórmula em logar de l o seu valor p, e em logar de a o seu valor h, temos

qz^hr"-1

Dividindo ambos os membros da primeira igualdade por b, e ambos os membros da segunda por h, acha-se

f

_—i*n—1

b

n na penúltima igualmente representa o numero de termos desde b até/ e na ultima o numero de termos desde h até q, e sendo por hypothese o numero de termos entre 6 e / o mesmo que entre h e q, segue-se que n tem o mesmo valor nas duas igualdades.

O mesmo acontece com r, porque r na penúltima igualdade representa a razão da progressão desde b até f, e na ultima representa a razão da progressão desde h até q, e a razão da progressão é um numero constante.

Sendo iguaes os segundos membros, os primeiros são também, e teremos

J___1

b h

ou

f : b : q : h

ou, invertendo

b : f : : h : q

266. Tratemos presentemente de deduzir as fórmulas para determinar a somma e o producto dos termos de uma progressão por quociente.

Seja a progressão

■K a : b : c : d :.....:m:0:p:l Chamando r a razão da-progressão, temos :

b = ar c = br d = cr

0 = mr p= or

1 = pr

Sommando as igualdades ordenadamente, acha-se

b+c+d+..........+o+p+l=

=(a+b+c+..........-j-m-f-o-J-p) r.

Representando por S a somma dos termos da progressão, a ultima igualdade se reduz a

S—a=(S—l)r

on

S—a=Sr—Ir Sommando Ir a ambos os membros da igualdade, vem ír+S—a=Sr.

subtrahindo S de ambos os membros da ultima igualdade, acha-se

Ir—a=Sr—S

on

Ir—a=(r—)1 S

d'onde

Ir—a

S=-r (1)

r—1 v '

Se na igualdade S—a=Sr—Ir, sommarmos a a ambos os membros, teremos

S=a-[-Sr—Ir Subtrahindo Sr de ambos os membros da ultima igualdade, acha-se

S—Sr=a—Zr

ou

(1—r) S=a—Ir

d'onde

o a—lr

S = T=F 00

A primeira fórmula serve para as progressões crescentes, e a segunda para as decrescentes.

1? Exemplo :

Achar a somma dos termos da progressão :

■H- 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : 256.

_^

Applicando a fórmula S = --acha-se

I*-1>

256X2-2 512-2 S~ 2-1 = 1

2? Exemplo :

Achar a somma dos termos da progressão

vr 480 : 240 : 120 : 60 : 30 : 15.

^_Iy

Applicando a fórmula S =-> acha-se

1—r

480—15X"

AOn 15 960—15 945

2~ T

S =

■ = — =945

2

267. Para deduzir a fórmula por meio da qual se conhece o producto dos termos de uma progressão por quociente, seja ainda a progressão.

■H-a:b:c:d: ... m : o : p : 1. Considerando uma ontra progressão composta dos mesmos termos, dispostos, porém, em ordem inversa,

• •

ir 1 : p : o : m : ... d : C : D : a.

Representando por P o producto dos termos da primeira progressão, teremos

P=aXbXcXdX .... XmXoXPXl P=lXPXoXmX .... XdXcX^Xa

multiplicando as duas igualdades ordenadamente* acha-se P2=alXbpX

XcoXdmX • • • • XmdX°cXphXla ; sendo al=hp=co=dm____ por

causa da segunda propriedade das progressões por quociente, e suppondo que o numero de termos da progressão seja n, resulta

Pz=(al)n

d'onde